《变化率问题与导数的概念》导学案

也第一章导数及其应用

它 -----------------------------------

第1课时 变化率问题与导数的概念

审丼ft ■練・**佬

a 课得学□目标

1. 通过物理中的变化率问题和瞬时速度引入导数的概念

2. 掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤

3.

通过构

建导数概念，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验 •

4. 通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的 重要

过程.

借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人 10米跳台冠军

的视频•上节课我们已经学习了平均变化率的问题 ，我们知道运动员的平均速度不一定能够

反映她在某一时刻的运动状态

，而运动员在不同时刻的运动状态是不同的

，我们需要借助于

瞬时速度这样的量来刻画，那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢

？

o 知讯导学

问题1:根据以上情境，设陈若琳相对于水面的高度

h (单位:m)与起跳后的时间t (单

位:s)存在函数关系 h (t )=-4. 9t 2+6. 5t+10,如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动

状态，那么：

(1)在O W t <0.5这段时间里，运动员的平均速度v= ___________________ . (2)在1< t <2这段时间里，运动员的平均速度■-= _______________________ .

问题2:函数y=f (x )从X 1到X 2的平均变化率公式是 _________________ .如果用X 1与增量△ x 表示，平均变化率的公式是 ______________ .

识记忆与理解-

知识徉系梳理

化率是g我们称它为函数y=f(x)在x=x o处的导数，记作f(x o)或y ,问题3:函数f (x)在X=X O处的瞬时变化率的定义：一般地，函数y=f (x)在X=X O处的瞬时变

即f' (x o)= =

士^*0血 ---------------

问题4:在导数的定义中,对△ X T0的理解是：△ x>0, △ x<0,但____________ .

基础学习立流

_ 2

1. 已知函数y=f(x)=x+1,当x=2, △ x=0.1 时，△ y 的值为().

A 0.40 B. 0.41 C0. 43 D 0. 44

2. 设函数 f (x)在点X0附近有定义，且有f (x0+A x) -f (x0)=a A x+b( △ x) (a, b为常数),则( ).

Af (x) =a Bf (x) =b C.f (X0)=a D.f' (x°)=b

3. 一质点按规律s( t) =2t2运动,则在t= 2时的瞬时速度为

4. 求y=2x +4x在点x=3处的导数.

思维探究与创輪-

重点难点探究

求平均变化率

__ 2 ____________________________________________________________________

(1)已知函数f(x)=-x +x的图象上的一点A(-1, -2)及附近一点耳-1 + A x, - 2+A y),则

(2) 求y=x2在x=X0附近的平均变化率

求物体运动的瞬时速度

若一物体运动方程为s=：爲4^(

求此物体在t= 1和t= 4时的速度.

导数定义的应用

已知f (x°)=2,求.

R—D 上

丄思维托展应用

应用一

函数y=5x2+6在区间［2,2 +△ x］内的平均变化率为_____ .

O s«-

质点M按规律S(t)=at2+1作直线运动(位移单位：m,时间单位：S),若质点M在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值.

3

已知f(x)=x-8x, 贝U 諮］

i 基础智能检测

1.

自变量x 从X 0变到

X i 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数

( )•

A 在区间［x o , x i ］上的平均变化率

B.在x o 处的变化率 C 在x i 处的变化量

D 在区间［X o , x i ］上的导数 2.

函数f (x )=x 2在x o 到x o +A x 之间的平均变化率为 k i ,在x o - △ x 到

x o 之间的平均变化率为 k 2,则k i , k 2的大小关系是( ).

Ak i >k 2

B k i =k 2

C k i

D 无法确定

3. (i)设函数y=f (x ),当 为 兰自变量x

由x o 变化到

x o +A x 时，函数值的改变量

A y

⑵

设

函 数

y=f (x ) =3x 2,

则

A y=f (i +A x )-f (i)

= 虫=

'ir

，’=

,f'(i)= .

4. 已知自由下落物体的运动方程是 s= gt 2( s 的单位是m,t 的单位是s),求: (1) 物体在t o 到t o +A t 这段时间内的平均速度； (2) 物体在t o 时的瞬时速度；

⑶物体在t o =2 s 到t i =2. i s 这段时间内的平均速度；

⑷ 物体在t=2 s 时的瞬时速度.

H Jilt 鐵

全新视角拓展

__

3

求函数f (x ) =x +2x+i 在x o =i 处的导数f (i).