新高等数学 下册 教学课件 刘金林 主编 D11_8
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高等数学教学课件PPT
注 （1） 周期函数在每个周期上有相同的图形
（2） 通常周期函数的周期是指最小正周期
（3） 并非每个周期函数都有最小正周期
例：常量函数 f ( x) C
y
狄利克雷函数
1 f (x) 0
xQ x QC
1
概念
概念
集映
函
合射
逆映射
反函数
数
区邻 间域
构造 复合映射
构造
➢概念
设函数 f : D f (D) 是单射， 则它存在逆映射 f 1 : f (D) D 称映射 f 1 为函数f 的反函数. 一般地， y f ( x), x D的反函数记成 y f 1( x), x f (D)
1, x 0
y
sgn
x
0,
x0
1, x 0
y
1
o
x
1
y
注 分段函数不一定就是非初等函数！
2 1o 1 2 3 4 x
x x0
2
例5 设f(x)的定义域D=[0,1]，求下述函数的定义域
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的 o
类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的
x1 x2 x
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
➢ 如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
设f是从集合X到集合Y的映射
若
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射
若对X中任意两个不同的元素 则称f为X到Y的单射
《高等数学》PPT课件
因dyx, 故有 dx y
fxfyxy 0
记
f x f y Байду номын сангаас
x y
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极值点必满足 引入辅助函数 则极值点满足:
fxx0
fyy0 (x,y)0
F f ( x , y ) ( x , y )
F x fx x 0
F y fyy 0
F 0
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点.
例如, zxy有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.
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推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
所 以 z f ( 1 , 1 ) 2 为 极 小 值 ；
当 z2 6 时 ， A 1 4 0 ,
所 以 z f ( 1 , 1 ) 6 为 极 大 值 .
例3. 讨论函 数
zx3y3及 z(x2y2)2在点(0,0)
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点并,且在 (0,0) 都有
A<0 时取极大值;
则: 1) A C B 20时, 具有极值
当
A>0 时取极小值.
2) 当 A C B 20时, 没有极值.
3) 当 A C B 20时, 不能确定 , 需另行讨论.
证明见 第九节(P65) .
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求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
高等数学下册第十章课件.ppt
则
(2) 若D为Y -型区域
则
说明:
即先对y后对x积分
即先对x后对y积分
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(4) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
(3) 若积分区域既是X-型区域又是Y -型区域
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
记作
第五节 三重积分（一）
利用直角坐标计算三重积分
方法1 投影法 (“先一后二” )
如图，
第五节 三重积分（一）
划分：
记作
第五节 三重积分（一）
化为三次积分
区域
方法2 截面法 (“先二后一”)
第五节 三重积分（一）
记作
于是
注：方法一和方法二的可看作由上下两个曲面所围成.即平行于z轴且穿过内部的直线与的边界曲面相交不多于两点.
直角坐标系
柱面坐标系
球面坐标系
说明:
三重积分类似于二重积分也可以利用对称性计算.
变量可分离.
围成 ;
第六节 三重积分（二）
例 求
解 原式
第六节 三重积分（二）
几种的图形
第六节 三重积分（二）
三重积分的应用 1.物体的质心
设物体占有空间域 ,
有连续密度函数
则
设空间有n个质点,
其质量分别
例 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1 将D看作X-型区域, 则
解法2 将D看作Y-型区域, 则
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 计算
其中D 是抛物线
(2) 若D为Y -型区域
则
说明:
即先对y后对x积分
即先对x后对y积分
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(4) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
(3) 若积分区域既是X-型区域又是Y -型区域
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
记作
第五节 三重积分（一）
利用直角坐标计算三重积分
方法1 投影法 (“先一后二” )
如图，
第五节 三重积分（一）
划分：
记作
第五节 三重积分（一）
化为三次积分
区域
方法2 截面法 (“先二后一”)
第五节 三重积分（一）
记作
于是
注：方法一和方法二的可看作由上下两个曲面所围成.即平行于z轴且穿过内部的直线与的边界曲面相交不多于两点.
直角坐标系
柱面坐标系
球面坐标系
说明:
三重积分类似于二重积分也可以利用对称性计算.
变量可分离.
围成 ;
第六节 三重积分（二）
例 求
解 原式
第六节 三重积分（二）
几种的图形
第六节 三重积分（二）
三重积分的应用 1.物体的质心
设物体占有空间域 ,
有连续密度函数
则
设空间有n个质点,
其质量分别
例 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1 将D看作X-型区域, 则
解法2 将D看作Y-型区域, 则
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 计算
其中D 是抛物线
《高等数学下册》(资料全集)D113-PPT课件
n
x M x0
n0
n
x M 当 x x 0 时, x0 n 0
故原幂级数绝对收敛 .
n
收敛, a n x n 也收敛,
反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 , 下面用反证法证之.
假设有一点 x 1 满足 x 1 x 0 且使级数收敛 , 则由前
面的证明可知, 级数在点 x0 也应收敛, 与所设矛盾, 故假设不真. 所以若当 x x0 时幂级数发散 , 则对一切
0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; 在[－R , R ]
可能收敛也可能发散 . R 外发散; 在 x
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发
散
收
o 敛
发
散
x
YANGZHOU UNIVERSITY
第三节
幂级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
第十一章
YANGZHOU UNIVERSITY
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一、 函数项级数的概念
为定义在区间 I 上的函数, 称 ( x ) ( n 1 , 2 , ) 设u n
n 1
u ( x ) u ( x ) u ( x ) u ( x ) n 1 2 n
为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对x I, 若常数项级数 u n ( x 0 ) 收敛, 称 x0 为其收 0
n 1
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 u n ( x 0 ) 发散 , 称 x0 为其发散点, 所有
高等数学 下册-偏导数 ppt课件
p V T RT 1 V T p pV
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
第八章
机动
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结束
一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u o
u ( x0 , t )
u(x , t )
x0
x
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim 0 x f ( x x x) f ( x0 ) d y 0 f ( x0 ) lim x 0 x d x x x0
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f y
是曲线
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
斜率.
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注意： 函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
xy , x2 y2 0 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 0 , x2 y2 0
(新)高等数学1-2定-PPT精选文档84页
2
lim
x 0
1 cos
x
1 1 1 1 21 2
高等数学
第一章 第二节
(2)lim(11)x e x x
幻灯片02-15
x
10
1000 10000000
(1 1 ) x x
2.59374
2.71692
2.71828
无穷小与无穷大
定理1 limf(x)Af(x)A(x), xx0 其 中 (x)是x当 x0时的无 . 穷小 设 f(x ) A (x ),
其中A是常数, (x)是当 xx0时的无,穷小
于是 |f(x)A | | (x)|
0, 0,当 0|xx0|,恒有
(2)零是可以作为无穷小的唯一常数。
定义 1.11 如果对于任意给定的正数
(不论它多么小),总存在正数 (或正数 X ),
使得对于适合不等式0 xx0 (或 x X ) 的一切x,对应的函数值 f (x)都满足不等式
f (x) ,
则称函数 f (x)是当 xx0(或 x)时的无穷 小,记作 xlimx f (x)0 (或xlim f (x)0).
sinx 0.995 0.99995 x
0.9999995
1
高等数学
第一章 第二节
幻灯片02-12
准则1(夹逼原理)
若在 x0 的某一邻域内有
g(x)f(x)h(x)
成立，且 limg(x)A，limh(x) A， 则 f(x) 的极x限x0存在，并且xx0
limf (x) A
推论（1） lim[Cf(x)]Climf(x) （2） lim[f(x)]n[limf(x)]n
高等数学
第一章 第二节
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第7章
n
un
1 lim
n n
0
，所以该级数收敛。
（2）该级数也为交错级数。因为
lim
n
un
lim
n
n 2n 1
1 2
0
，所以
该级数发散。
三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛
如果数项级数的项可正可负，那么称为任意项级数。对于任 意项级数，有绝对收敛与条件收敛。
定理4 设 un 为任意项级数，如果级数 | un | 收敛，则级数 un
定义1 设 un (x) (n 1，2 ， ) 是定义在区间I上的函数，级数
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n 1
称为区间
I
上的函数项级数。对于区间
I
内确定的点
x0， n 1
un
( x0
)
即是数项级数。若
n 1
un
(x0 )
收敛，那么
x0
就称为级数
n 1
un (x)
当级数 un 收敛时，其和与部分和的差，即 S Sn ，称为级数 n 1
的余项，记为 rn ，则
rn S Sn un1 un2
例2
讨论级数
1 1 2
11 23 34
1 n(n 1)
的敛散性。
解
级数一般项
un
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
，所以级数的部分和为
Sn
1 1 2
1 23
1 34
n 1
n 1
n 1
收敛。
证明
令n
1 2
(|
un
|
un ) ，n
1，2 ，
，则级数 n 为正项级数。
un
1 lim
n n
0
，所以该级数收敛。
（2）该级数也为交错级数。因为
lim
n
un
lim
n
n 2n 1
1 2
0
，所以
该级数发散。
三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛
如果数项级数的项可正可负，那么称为任意项级数。对于任 意项级数，有绝对收敛与条件收敛。
定理4 设 un 为任意项级数，如果级数 | un | 收敛，则级数 un
定义1 设 un (x) (n 1，2 ， ) 是定义在区间I上的函数，级数
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n 1
称为区间
I
上的函数项级数。对于区间
I
内确定的点
x0， n 1
un
( x0
)
即是数项级数。若
n 1
un
(x0 )
收敛，那么
x0
就称为级数
n 1
un (x)
当级数 un 收敛时，其和与部分和的差，即 S Sn ，称为级数 n 1
的余项，记为 rn ，则
rn S Sn un1 un2
例2
讨论级数
1 1 2
11 23 34
1 n(n 1)
的敛散性。
解
级数一般项
un
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
，所以级数的部分和为
Sn
1 1 2
1 23
1 34
n 1
n 1
n 1
收敛。
证明
令n
1 2
(|
un
|
un ) ，n
1，2 ，
，则级数 n 为正项级数。
高等数学下册课件-第8章-习题课
=9+4+2 | a || b | (a, b) 19
2.
a b ab 0
A B (2a b ) (a b ) 2 | a |2 | b |2
=2( +2)=0
2
3. cos(a,b) a b 1 | a || b | 2
sin(a,b) 1 1 3 42
| a b || a || b | sin(a,b) 10 3
三、设点 M (x, y, z)
M1M 3MM 2 (x 2, y 5, z 3) 3(3 x, 2 y,5 z)
x 2 3(3 x)
y
5
3(2
y)
z 3 3(5 z)
i jk
所求为
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
7 1 4
cos 3 , cos 5 , cos 4
x 11, y 1 , z 3
4
4
OM 1 (11, 1,12) 4
四、1.原式 (6 7 8)c 21c (21, 42, 21) 2.原式 (9 1 4)(21 7 2 41) 280
i jk 3.原式 3 1 2 (3, 1,5)
d M0M1 s s
s (m,n, p)
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
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二、实例分析
例1. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程.