最新 (人教A版)数学【选修2-2】第2章《推理与证明》ppt复习课件
高中数学人教A版选修2-2课件2-1-2演绎推理2
是否正确．
• 2．在应用三段论推理中，最常见的错误是偷换概念的错误， 即大前提与小前提中同一名称的概念含义不同；其次是推理 形式错误，大前提“所有M都是P”，则小前应是“S是M”， 而非“S是P”．
跟踪练习
下列推理是否正确，将有错误的指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于 360°. 证明：设四边形 ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角， 有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°.所以，四 边形的内角和等于 360°. (2)已知 2和 3都是无理数，试证： 2＋ 3也是无理数． 证明：依题设， 2和 3都是无理数，而无理数与无理数的 和是无理数，所以 2＋ 3也必是无理数．
• 3．三段论
• (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
• ①大前提——已知的一_般__原__理___； • ②小前提——所研究的特_殊__情__况___； • ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判__断______． • 其一般推理形式为
• 大前提：M是P.
• 小前提：S是M.
• 结 论：________. S是P
• [解析] (1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃， • 小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃， • 结论：水会沸腾． • (2)大前提：一切奇数都不能被2整除， • 小前提：2100＋1是奇数， • 结论：2100＋1不能被2整除．
• (3)大前提：两条直线平行，同旁内角互补， • 小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角， • 结论：∠A＋∠B＝180°. • (4)大前提：一次函数都是单调函数； • 小前提：函数y＝2x－1是一次函数； • 结论：y＝2x－1是单调函数． • (5)大前提：各位数字的和能被3整除的整数，能被3整除； • 小前提：711的各位数字的和能被3整除； • 结论：711能被3整除．
数学人教A版选修2-2：第二章推理与证明2.1 2.1.2
A级：基础巩固练一、选择题1．下面几种推理中是演绎推理的是()A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)B．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n＝1n(n＋1)(n∈N*)C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积为πabD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2答案 A解析选项B为归纳推理，C，D为类比推理，只有A为演绎推理．故选A.2．看下面的演绎推理过程：大前提：棱柱的体积公式为：底面积×高，小前提：如图直三棱柱ABC－DEF.H是棱AB的中点，ABED为底面，CH⊥平面ABED，即CH为高，结论：直三棱柱ABC－DEF的体积为S四边形ABED·CH.这个推理过程()A．正确B．错误，大前提出错C．错误，小前提出错D．错误，结论出错答案 C解析在小前提中，把棱柱的侧面，错当成了底面．3．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”中的小前提是()A．①B．②C．③D．①②答案 B解析“三段论”推理中小前提是指研究的特殊情况．4．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②① 答案 B解析 根据“三段论”：“大前提”⇒“小前提”⇒“结论”可知：①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③.5．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 答案 C解析 ∵圆心到直线的距离d ＝|－1|si n 2θ＋1 >22＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z ，∴直线与圆相离．故选C. 6．函数f (x )＝⎩⎨⎧si n (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．－22 C ．1或－22 D ．1或22答案 C解析 ∵f (1)＋f (a )＝2，f (1)＝e 0＝1，∴f (a )＝1. 当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1； 当－1<a <0时，f (a )＝sin (πa 2)＝1⇒a 2＝12，∴a ＝－22或a ＝22(舍去)． 二、填空题7．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．答案 甲解析若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不符合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．8．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则f(2)f(1)＋f(4)f(3)＋…＋f(2020)f(2019)＝________.答案2020解析利用三段论．∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)(大前提)．令b＝1，则f(a＋1)f(a)＝f(1)＝2(小前提)．∴f(2)f(1)＝f(4)f(3)＝…＝f(2020)f(2019)＝2(结论)，9．设f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a，b，c是两两不等的常数)，则af′(a)＋bf′(b)＋cf′(c)的值是________．答案0解析f′(x)＝(x－b)(x－c)＋(x－a)(x－c)＋(x－a)·(x－b)，∴f′(a)＝(a－b)(a－c)，f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)．∴af′(a)＋bf′(b)＋cf′(c)＝a(a－b)(a－c)＋b(b－a)(b－c)＋c(c－a)(c－b)＝a(b－c)－b(a－c)＋c(a－b)(a－b)(a－c)(b－c)＝0.三、解答题10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos15°＝1－12·sin 30°＝34(答案不唯一)． (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α2－sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12 sin α＝34 sin 2α＋34cos 2α＝34.B 级：能力提升练11．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )．(1)判定函数f (x )的奇偶性；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并证明．12．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N ＋)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，小前提 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．结论(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)． ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，小前提又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，小前提 ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .结论(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)由Ruize收集整理。
2019数学全国通用版人教A版选修2-2课件：第二章 推理与证明2-1-2
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
(2)因为一切偶数都能被2整除,大前提 256是偶数,小前提 所以256能被2整除.结论 (3)因为一次函数的图象是一条直线,大前提 y=x+5是一次函数,小前提 所以y=x+5的图象是一条直线.结论
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
三段论在证明几何问题中的应用 【例2】 如图,三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,A1A⊥底面ABC,D,E 分别为C1C与AB的中点,A1B交AB1于点G. 求证:(1)A1B⊥AD; (2)CE∥平面AB1D. 分析:(1)线线垂直→线面垂直→线线垂直 (2)线线平行→线面平行
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 把下列演绎推理写成三段论的形式: (1)在一个标准大气压下,水的沸点是100 ℃,所以在一个标准大气 压下把水加热到100 ℃时,水会沸腾; (2)一切偶数都能被2整除,256是偶数,所以256能被2整除; (3)函数y=x+5的图象是一条直线. 解:(1)因为在一个标准大气压下,水的沸点是100 ℃,大前提 在一个标准大气压下把水加热到100 ℃,小前提 所以水会沸腾.结论
重难聚焦
温馨提示就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的 重要思维过程,但数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理, 因此我们不仅要学会证明,也要学会猜想.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
把演绎推理写成三段论的形式 【例1】 把下列推断写成三段论的形式: (1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形; (2)y=sin x(x∈R)是周期函数. 分析:解答本题的关键在于分清大前提、小前提和结论,还要准 确利用三段论的形式. 解:(1)因为一条边长的平方等于其他两条边长平方的和的三角形 是直角三角形,大前提 △ABC三边的长依次为3,4,5,且32+42=52,小前提 所以△ABC是直角三角形.结论 (2)因为三角函数是周期函数,大前提 y=sin x(x∈R)是三角函数,小前提 所以y=sin x(x∈R)是周期函数.结论
【人教A版数学选修2-2】推理与证明2-2-2-1
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第二章 2.2 2.2.1
第23页
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【证明】 要证 lga＋2 b＋lgb＋2 c＋lgc＋2 a>lga＋lgb＋lgc，只 需证 lg(a＋2 b·b＋2 c·c＋2 a)>lg(a·b·c)，
即证a＋2 b·b＋2 c·c＋2 a>abc. 因为 a，b，c 为不全相等的正数， 所以a＋2 b≥ ab>0，b＋2 c≥ bc>0，c＋2 a≥ ac>0，
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第二章
推理与证明
第二章 推理与证明
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第1页
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2．2 直接证明与间接证明
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第二章 2.2 2.2.1
第2页
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2.2.1 综合法和分析法
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第二章 2.2 2.2.1
第3页
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[目标] 1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法的 思考过程、特点.2.会用综合法和分析法证明数学问题．
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第二章 2.2 2.2.1
第18页
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如果 a1，a2，…，a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d≠0， 则( B )
A．a1a8>a4a5 C．a1＋a8>a4＋a5
B．a1a8<a4a5 D．a1a8＝a4a5
解析：设等差数列的公差为 d，则 a1a8＝a1(a1＋7d)＝a21＋7a1d， a4a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d＋12d2， ∵d≠0，∴a4a5>a1a8.
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(人教A版)数学【选修2-2】2-2-2《反证法》ppt课件
规律技巧 用反证法证明“至多”“至少”型命题，可减 少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什 么，避免出现错误．需仔细体会“至多有一个”“至少有一 个”的含义.
三 用反证法证明否定性命题 【例3】 求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能
是平行四边形．
已知：如图所示，A，B，C，D是抛物线y2＝2px(p>0)上的 任意四点，其坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4， y4)．连接AB，BC，CD，DA.
答案 D
3．求证：如果a>b>0，那么n
n a>
b(n∈N，且n>1)．
证明 假设n a不大于n b，则n a＝n b，或n a<n b.
当n a＝n b时，则有a＝b. 这与a>b>0相矛盾．
当n
n a<
b时，则有a<b，
这也与a>b相矛盾．
所以n
a>
b.
4．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
π 2
，b＝y2－2z＋
π3，c＝z2－2x＋6π.
高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》课件(1) 新人教A版选修2-2
思考2 思考2：科学家们发现火星具有一些与地 球类似的特征， 球类似的特征，如火星也是围绕太阳运 绕轴自转的行星，也有大气层， 行、绕轴自转的行星，也有大气层，在 一年中也有季节的变更， 一年中也有季节的变更，而且火星上大 部分时间的温度适合地球上某些已知生 物的生存，等等.运用类比推理， 物的生存，等等.运用类比推理，你有什 么猜想？其推理过程是怎样形成的？ 么猜想？其推理过程是怎样形成的？ 猜想：火星上也可能有生命存在. 猜想：火星上也可能有生命存在.
不能！ 不能！
思考6 对于等式：1·2＋2·3＋ 思考6：对于等式：1·2＋2·3＋3·4 n(n＋1)＝ 3n＋ n=1， ＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2，当n=1， 时等式成立吗？ 2，3时等式成立吗？能否由此断定这个 等式对所有正整数n都成立？ 等式对所有正整数n都成立？ 思考7：应用归纳推理可以发现一般结 思考7 其不足之处是什么？ 论，其不足之处是什么？ 由归纳推理得出的结论不一定正确， 由归纳推理得出的结论不一定正确，其 真实性有待进一步证明. 真实性有待进一步证明.
圆的概念和性质 圆的周长 圆的面积 球的类似概念和性质 球的面积 球的体积
圆心与弦（非直径）中点 球心与截面（非大圆）圆心的 球心与截面（非大圆） 圆心与弦（非直径） 连线垂直于截面 的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相 等，与圆心距离不等的两 弦不等， 弦不等，距圆心较近的弦 较长. 较长. 圆的方程为： 圆的方程为： (x－ (y－ (x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 与球心距离相等的两截面积相 等，与球心距离不等的两截面 积不等， 积不等，距球心较近的截面积 较大. 较大 球的方程
如图所示， 例1 如图所示，有三根针和套在一根针 上的若干金属片，按下列规则， 上的若干金属片，按下列规则，把金属片 从一根针上全部移到另一根针上. 从一根针上全部移到另一根针上. 每次只能移动1个金属片； （1）每次只能移动1个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属 片上面. 片上面. 试推测： 个金属片从1 试推测：把n个金属片从1号针移到3号 个金属片从 号针移到3 最少需要移动多少次？ 针，最少需要移动多少次？
2018版数学人教A版选修2-2课件：第二章 推理与证明 2-
当堂训练
1.设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex (x<0)，则a与b的大小关系为
√
A.a>b C.a<b b＝ex<e0＝1，∴a>b.
B.a＝b D.无法确定
解析 ∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，
1
2
3
4
5
解析
答案
√
1 2.设 0<x<1，则 a＝ 2x，b＝x＋1，c＝ 中最大的是 1－x A.c B.b
②a＋b≥2 ab(a≥0，b≥0).
跟踪训练 1
b＋c－a c＋a－b 已知 a，b，c 为不全相等的正实数.求证： a ＋ b
a＋b－c ＋ c >3.
证明
命题角度2 用综合法证明等式
例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β). 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)
(2)和、差、倍角的三角函数公式.
(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理.
(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.
跟踪训练 2
AC cos B 在△ABC 中，AB ＝cos C，证明：B＝C.
证明 在△ABC中，由正弦定理及已知，得
sin B cos B sin C＝cos C.
于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
证明
(2)在锐角△ABC中，求证：tan Atan B>1.
证明
要证tan Atan B>1，
sin Asin B 只需证cos Acos B>1，
∵A、B均为锐角，∴cos A>0，cos B>0. 即证sin Asin B>cos Acos B， 即cos Acos B－sin Asin B<0， 只需证cos(A＋B)<0. ∵△ABC为锐角三角形，∴90°<A＋B<180°， ∴cos(A＋B)<0，因此tan Atan B>1.
【人教A版数学选修2-2】推理与证明2-1-2
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2．如何区别演绎推理与合情推理？
提示：(1)演绎推理是确定的、可靠的，而合情推理则带有 一定的风险性．严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论、 证明思路等的发现主要靠合情推理．
(2)合情推理和演绎推理分别在获取经验和辨别真伪两个环 节中扮演重要角色．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．
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第二章 2.1 2.1.2 第17页
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(4)对于定义域关于原点对称的函数 f(x)，若 f(－x)＝－f(x)， 则函数 f(x)是奇函数，(大前提)
函数 f(x)＝x3 的定义域关于原点对称，f(－x) ＝(－x)3＝－x3 ＝－f(x)，即 f(－x)＝－f(x)，(小前提)
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第二章 2.1 2.1.2 第31页
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“三段论”中大(或小)前提用错 演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有 蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那 么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论． 【例 4】 用三段论的形式写出下列演绎推理． (1)自然数是整数，所以 6 是整数； (2)y＝sinx(x∈R)是周期函数．
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第二章 2.1 2.1.2 第13页
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第二章 2.1 2.1.2 第14页
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类型一
把演绎推理写成三段论
【例 1】 将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所 以菱形的对角线互相平分；
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最新高中数学人教a版选修2-2教学课件：2、2-1-1-1
人 教 A 版 数 学
第二章 推理与证明 (选修2-2)
2．1 合情推理与演绎推理
人 教 A
版
数
2．1.1 合情推理
学
第二章 推理与证明 (选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第二章 推理与证明 (选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第二章 推理与证明 (选修2-2)
五棱锥
6
正方体
6
6
9
人 教
6
10
A 版
数
8
12
学
正八面体
8
6
12
五棱柱
7
10
15
截角正方体
7
10
15
尖顶塔
9
9
16
第二章 推理与证明 (选修2-2)
观察其数字特征：
4＋4－6＝2；
5＋5－8＝2；
5＋6－9＝2; 6＋6－10＝2；
6＋8－12＝2; 8＋6－12＝2；
人
教
7＋10－15＝2; 9＋9－16＝2.
(3)对一切的 n∈N*，an＞0，且 2 Sn＝an＋1.
第二章 推理与证明 (选修2-2)
[分析] 写出a1，a2，a3，a4，观察所得数与项数n之间 的规律．
[解析] (1)由已知有a1＝3＝22－1，
人
a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，
教 A 版
a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，
1．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为 ( )
A．3
B．－3
C．6
D．－6
[答案] A
【人教A版】选修2-2数学：2.1.1《类比推理》ppt课件
球的性质
球心与截面圆(不是大圆) 的圆心的连线垂直于截面 与球心距离相等的两截面 圆是等圆； 与球心距离不等的两截面 圆不等，距球心较近的截 面圆较大 球的切面垂直于经过切点 的半径； 经过球心且垂直于切面的 直线必经过切点
圆的性质 经过切点且垂直于切线的 直线必经过圆心 圆的周长 c＝πd 圆的面积 S＝πr
直径 ↔ 大圆，
周长 ↔ 表面积，
圆面积 ↔ 球体积， 等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所 示：
圆的性质
圆心与弦(不是直径)的中 点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相 等； 与圆心距离不等的两弦不 等，距圆心较近的弦较长 圆的切线垂直于经过切点 的半径； 经过圆心且垂直于切线的 直线必经过切点
(3)类比的结果不一定可靠，但它却具有发现的功能．
2．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察 分析 比较 ， 再 进 行 ________ 联想 、 ________ 、 ________ 、 ________
归纳 ，然后提出________ 猜想 的推理，我们把它们统称为合情 ________ 推理． 整体 ，由具体到 ________ 抽象 ， 3 ．归纳推理是由部分到 ________ 一般 ，从个别事实中概括出________ 一般结论的思维模式． 由特殊到______ 两类不同 的事物之间进行对比，找出若干 类比推理是在__________ 相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在 相同或相似 之处的一种推理模式． _____________
典例探究学案
事物的相似性与类比
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集
合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合．这两个定 义很相似．于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质．试将平 面上的圆与空间中的球进行类比．