普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第三章 动量定理及其守恒定律
动量定理及动量守恒定律
20
动量定理及动量守恒定律
oy N1 − m1g = 0 又f1max = N1μ1
以 m2 为隔离体，m2 受重力W = m2 g ;桌面的支持力 N2 ; m1 的压力 N1′ （大小与 N1 相等）; m1 作用在 m2 上的最大静摩擦力 f1max′（大小与 f1max 相等） ;桌面作用在 m2 上的
oA y A W3 − TA′ − TB′ = m3a3
(7)
因为不计滑轮及绳的质量，不计轴承摩擦. 且已知绳不可伸长.
∴ TA = TB = TA′ = TB′ = T
f A ,绳的拉力 TA , A 的动力学方程为
动量定理及动量守恒定律
W1 + N A + f A + TA = m1a1 建立如图 3.5.7（1）所示的坐标系 oA − xA y A .
oA xA TA − f A = m1a1
(1)
oA y A W1 − N A = 0
(2)
且 fA = NAμ
动量定理及动量守恒定律
第三章 动量定理及动量守恒定律
(Momentum and Conservation Law of Momentum)
一、内容简介（Abstract） 1．牛顿第一定律（Newton’s first law)
孤立质点静止或作等速直线运动，即质点在不受力或所受力的合力为零时，将保持静 止或匀速直线运动状态不变.（惯性定律） 2．牛顿第三定律（Newton’s third law）
g
y
x o
N
2
α m2
a2
W2
N1′
图3.5.（5 3）
y′
N1 f∗
m1
第3章动量角动量
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
动量及动量守恒定律
动量定理
t2
t1
t2
t1
(F1
(F2
F12 )dt
F21)dt
m1v1
m 2v2
m1v10 m2 v 20
因为内力 F12 F21 0 ，故
质点系
F1
F12
m1
F2
F21
m2
t2
t1
(F1
F2
)dt
(m1v1
X
v1
Y
变质量问题
F
f N
v2
v(m1 0
t)g
dP dt
竖直 (m0 t)g N v1
N v1 (m0 t)g
水平 F f v2
v2
F v2 f
v2 N
(m0 t)g (v2 v1)
X
v1N
Y
Ff
(m0 t)g
例 一柔软链条长为l,单位长度的质量为.链条放在 桌上,桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下,其余部分堆 在小孔周围.由于某种扰动,链条因自身重量开始落下 .求 链条下落速度与落下距离之间的关系 . 设链与各处的摩 擦均略去不计,且认为链条软得可以自由伸开 .
t2 n
Fiex )dt (
Fiin )dt
n
mi vi
n
mi vi0
t1 i1
i 1
i 1
I
p
p0
物理意义：作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量。
质点系的总动量的变化只与质点系所受的外力的矢 量和有关，与内力的冲量无关。
动量定理及动量守恒定理
第三章：动量定理及动量守恒定理运动和物体相互作用的关系是人类几千年来不断探索的课题。
即使在今天已知运动求力的问题仍然不断提到人们面前怎样安排火间推力才能将它送上巧妙设计的轨道？这便是动力学问题。
自牛顿发表他的《原理》以来，牛顿三定律成为动力学的基础。
所以我们下面研究牛顿三定律。
§3.1 牛顿第一定律和惯性叁考系一、牛顿第一定律一个物体，如果不受到任何力的作用，它将保持静止转台或匀速直线运动状态，把这个定律称为牛顿第一定律。
物体保持这种运动状态的特性称为惯性。
所以牛顿第一定律又称为惯性定律。
在第一定律尚未建立以前，许多人误认为力是维持速度的原因。
误认为物体不受力。
物体一定静止不动。
力并不是维持速度的原因，而是改变速度的原因。
任何物体是不可能完全不受处力的作用的。
当物体受到两个获两个以上的处力作用时，如果处力的矢量和为零时，物体将与不受处力一样。
保持静止或匀速直线运动状态。
如果这些力的作用不等于零，物体将在合力的作用下改变速度。
这条定律说明了两个问题：（一）它正确地说明了，力和运动的关系。
物体的运动并不需要力去维持，只有当物体的运动状态发生变化即产生加速度时，才能需要力的作用。
力是一物体对另一物体的作用，它使受力物体改变运动状态。
（二）牛顿第一定律，实际上提出了惯性的概念。
物体之所以能保持静止或匀速直线运动是在不受力的条件下由物体本身的特性来决定的，物体所固有的保持原来运动状态。
不变的特性叫做惯性，物体不受力对所作的匀速直线运动也叫做惯性运动。
二、惯性叁考系牛顿第一定律能成立的叁考系叫做惯性叁考系或惯性系。
判断一叁考系是否惯性系？只能根据观察和实验，实验证明。
地球不是精确的惯性系，若以地球为叁考系存在着与牛顿第一定律不相符合的现象。
如果选择一个叁考系，以太阻的中心为原点，以指向任一横星的直线为坐标轴，那么观察和实验证明，牛顿第一定律相对于该叁考系十分精确地成立。
因此这个叁考系是一个十分精确的惯性系。
大学物理 第3章动量定理
(m2
m1)v2o m1 m2
2m1v1o
2v1o
vr1o
m2 m1
当m1>>m2时，且第二个 球静止，则碰后，第一个球 速度不变，而第二球以2倍 于第一个球的初速度运动。
第一篇 力学
2.完全非弹性碰撞 totally non-elastic collision
特点：机械能不守恒，动量守恒。碰撞
大
数
理 学
例如：两队运动员拔河，有的人说甲队力气大，乙队
院 力气小，所以甲队能获胜，这种说法是否正确?
赵 承 均
甲队
乙队
第一篇 力学
重
大
数
理
学 院
r
F1
r F2
赵 承
均 分析：
拔河时，甲队拉乙队的力，与乙队拉甲队的力是一对作用 力与反作用力，为系统的内力，不会改变系统总的动量。只 有运动员脚下的摩擦力才是系统外力，因此哪个队脚下的摩 擦力大，哪个队能获胜。所以拔河应选质量大的运动员，以 增加系统外力。
重
大 数
质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。
理
rr
学 院
p mv
单位：千克·米/秒, kg·m/s
赵 承 均
由Newton第二定律，得：F
ma
m
dv
d (mv)
dp
dt dt
即：
F dt
这就是动量定理。
在经典力学范围内，m=constant，动量定理与F=ma等价，但在高 速运动情况下，只有动量定理成立。
杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别
为 1 秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击力。
大学物理第三章动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒定律的表述
总结词
动量守恒定律表述为系统不受外力或所 受外力之和为零时，系统总动量保持不 变。
VS
详细描述
动量守恒定律是自然界中最基本的定律之 一，它表述为在一个封闭系统中，如果没 有外力作用或者外力之和为零，则系统总 动量保持不变。也就是说，系统的初始动 量和最终动量是相等的。
动量守恒定律的适用条件
能量守恒定律可以通过电磁学 的基本公式推导出来。
能量守恒定律可以通过相对论 的质能方程推导出来。
能量守恒定律的应用实例
01
02
03
04
机械能守恒
在无外力作用的系统中，动能 和势能可以相互转化，但总和
保持不变。
热能守恒
在一个孤立系统中，热量只能 从高温物体传递到低温物体，
最终达到热平衡状态。
电磁能守恒
详细描述
根据牛顿第三定律，作用力和反作用力大小相等、方向相反。如果将一个物体施加一个力F，则该力会产生一个 加速度a，进而改变物体的速度v。由于力的作用是相互的，反作用力也会对另一个物体产生相同大小、相反方向 的加速度和速度变化。因此，在系统内力的相互作用下，系统总动量保持不变。
02
能量守恒定律
能量守恒定律的表述
感谢观看
01
能量守恒定律表述为：在一个封闭系统中，能量不能被创造或消灭， 只能从一种形式转化为另一种形式。
02
能量守恒定律是自然界的基本定律之一，适用于宇宙中的一切物理过 程。
03
能量守恒定律是定量的，可以用数学公式表示。
04
能量守恒定律是绝对的，不受任何物理定律的限制。
能量守恒定律的适用条件
能量守恒定律适用于孤立系统，即系统与外界没有能量 交换。
漆安慎 杜禅英 力学习题及答案03章
第三章一、基本知识小结1、牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。
矢量式：22dtr d m dt v d m a m F === 分量式：（弧坐标）（直角坐标）ρτττ2,,,v m m a F dt dv m m a F m a F m a F m a F n n z z y y x x ======= 2、动量定理适用于惯性系、质点、质点系。
导数形式：dt p d F =；微分形式：p d dt F=；积分形式：p dt F I∆==⎰)(（注意分量式的运用）3、动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。
若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。
即∑==恒矢量。
则，若外p F0（注意分量式的运用）4、在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。
在直线加速参考系中：0*a m f-= 在转动参考系中：ωω⨯=='2,*2*mv f r m f k c5、质心和质心运动定理 ⑴∑∑∑===i i c ii c ii c a m a m v m v m r m r m⑵∑=c a m F（注意分量式的运用）二、思考题解答3.1试表述质量的操作型定义。
解答，kgv v m m 00 ∆∆= 式中kg 1m 0=（标准物体质量）0v∆：为m 与m 0碰撞m 0的速度改变 v∆：为m 与m 0碰撞m 的速度改变这样定义的质量，其大小反映了质点在相互作用的过程中速度改变的难易程度，或者说，其量值反映了质量惯性的大小。
这样定义的质量为操作型定义。
3.2如何从动量守恒得出牛顿第二、第三定律，何种情况下牛顿第三定律不成立？ 解答，由动量守恒)p p (p p ,p p p p 22112121-'-=-'+='+' ,p p 21 ∆-=∆t p t p 21∆∆-=∆∆，取极限dt p d dt p d 21 -= 动量瞬时变化率是两质点间的相互作用力。
第3章-动量动量守恒定律
解
由牛顿运动定律求解 对物体作受力分折，然后列运动方程
dv dv 运动方程： mg kv m mv dt dy k 2 1 dv 2 g v m 2 dy
2
1 对上式作分离变量后， dy - 2
v 两边积分，初始条件： v0
dv 2 k 2 g v m 时, y 0 ; y max 时, v 0
相距 r
m1m2 o F G 2 r r 引力常数 : G 6.67 10-11 牛顿 · ／千克2 米2
引力质量 : m1 、m2 , 实验证明 : 引力质量 惯性质量
(2) 电磁相互作用 电磁力——长程力 ( 吸引力或排 斥力)
如：电磁学的静电库仑力 、洛仑兹力
力学中的张力 、拉力 、正压力 、 弹性力 、摩擦力 „„ 分子间电磁相互作用的集体效应 (分子力的宏观表现)
dv 列运动方程 ：F m dt
4、一条质量为 m 的轮船，在停靠码头前，发动机停止 工作，此时轮船的速率为 v 0 ，设水对轮船的阻力与船速 成正比，比例系数为 k ，即：阻 kv ,求轮船在发动机 f 停机后所能前进的最大距离。 (练习 二.3)
解
由牛顿运动定律求解
对轮船作受力分析，并取 坐标轴(一维，x轴)。
注意： ① 作用力与反作用力等值、反向、共线、共性。 生，同时消失。 ③ 牛顿第三定律不包含运动量，适用于任何参照系。 ② 作用力与反作用力分别作用在两个物体上，同时产
第三章 动量、动量守恒定律
自然界中存在四种基本相互作用力
(1) 引力相互作用
引力 —— 长程力 (吸引力)
万有引力定律 :
两质点 m1 、m2 ,
（2）重力
mM 地面附近物体受到地球的引力为 F G 2 R 方向指向地心，随地球自转的向心力由引力F提供， 相应的惯性离心力fn和引力F的合力就是物体的重力G， 或者说，引力F分解为向心力和重力G两个分力。
大学物理第三章-三大守恒定律
N
h
解：以重锤为研究对象，分析受力， 作受力图： 解法一：锤对工件的冲力变化很 大，采用平均冲力计算，其反作用力 用平均支持力代替。
Mg
在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。
( N Mg ) Mv Mv0
动量定理
( N Mg ) Mv Mv0
初状态动量为 末状态动量为 得到 解得 (1) (2)
I x t1 Fx d t mv2 x mv1x t2 I y t1 Fy d t mv2 y mv1 y
t2
t2
t2 t
动量定理
F dt p2 p1 F t2 t1 F 根据改变动量的等效性定义平均力。 t2 t1 F dt p2 p1 F t2 t1 t2 t1
M 2 gh
0
N
h
( N Mg ) M 2 gh
Mg
N Mg M 2 gh / 代入M、h、的值，求得： 3 N 3 10 (9.8 2 9.8 1.5 / 0.1) 5 1.92 10 牛顿 3 N 3 10 (9.8 2 9.8 1.5 / 0.01) 6 1.9 10 牛顿
M
m
G 解： 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖 G 直方向上的外力有重力 和地面支持力 N，而 且 G N ，在发射过程中 G N并不成立（想一
想为什么？）， 系统所受的外力矢量和不为零，所以这 一系统的总动量不守恒。
对地面参考系，炮弹相对地面的速度 u V 它的水平分量为 M ux v cos V
动量定理
解法二：考虑从锤自由下落到静止 的整个过程，动量变化为零。
第3章-动量守恒定律和能量守恒定律
质点的位移在力方向的分量和力的大小的乘积。
dW
F
cos
dr
F cos
ds
dW F dr
B
*
0 90, dW 0 90 180 , dW 0
dr
*A
F
90 F dr dW 0
20
3-4 动能定理
• 变力的功
W
B F dr
B
F
cos
ds
A
A
dri
i
B
*
端 , 绳的上端固定在天花板上 . 起初把绳子放在与竖
直线成 30 角处, 然后放手使小球沿圆弧下落 . 试求
绳解与: 竖d直W线成F
10角时 小球 的速率 d s FT d s P d s
.
P d s mgl d cos
mgl sin d
W mgl sin d 0
mgl (cos cos0 )
I
t2 t1
Fdt
p2
p1
mv2
mv1
问：冲量是矢量，它的方向就是力的方向吗 ？
分量形 式 I Ixi Iy j Izk
单位和量纲 1N·s = 1kgm/s dimI = M·L-1·T-1
Ix
t2 t1
Fxdt
mv2 x
mv1x
I y
t2 t1
Fydt
mv2 y
mv1y
Iz
14
3-2 动量守恒定律
例 1 设有一静止的原子核, 衰变辐射出一个电子和一
个中微子后成为一个新的原子核. 已知电子和中微子的
运动方向互相垂直, 电子动量为1.210-22 kg·m·s-1,中微
子的动量为 6.410-23 kg·m·s-1 . 问新的原子核的动量的
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第三章 动量定理及其守恒定律习题解答3.5.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。
解：∵j i dt r d a ˆ6ˆ12/22+==, j i a m F ˆ12ˆ24+==为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。
F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/︒===arctg F arctgFx yα3.5.2 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为：j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+=，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。
证明：∵r j t b i t a dtr d a2222)ˆsin ˆcos (/ωωωω-=+-==r m a m F2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。
3.5.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？解：以地为参考系，设谷物的质量为m ，所受到的最大静摩擦力为 mg f oμ=，谷物能获得的最大加速度为2/92.38.94.0/s m g m f a o =⨯===μ ∴筛面水平方向的加速度至少等于3.92米/秒2，才能使谷物与筛面发生相对运动。
3.5.3 题图 3.5.4题图3.5.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m 1 ,m 2,如图所示，m 2和桌面间的摩擦系数为μ2，m 1和m 2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。
解：以地为参考系，隔离m 1、m 2，其受力与运动情况如图所示，其中，N 1'=N 1,f 1'=f 1=μ1N 1,f 2=μ2N 2，选图示坐标系o-xy ，对m 1,m 2分别应用牛顿二定律，有 00212222211111111=--=--=-=g m N N a m N N F g m N a m N μμμ 解方程组，得()2221211211/m g m g m gm F a ga μμμμ---==要把木板从下面抽出来，必须满足12a a >，即 gm g m g m g m F 12221211μμμμ>---()()g m m F 2121++>∴μμ3.5.5 质量为m 2的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角为α,质量为m 1的运动员与斜面之间亦无摩擦，求运动员相对于斜面的加速度及其对斜面的压力。
解：以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系（非惯性系，设斜面相对地的加速度为a 2），取m 1为研究对象，其受力及运动情况如左图所示，其中N 1为斜面对人的支撑力，f *为惯性力，a'即人对斜面的加速度，方向显然沿斜面向下，选如图所示的坐标系o'-x'y',应用牛顿第二定律建立方程：⎩⎨⎧=+=+-)2('cos sin )1(0sin cos 12112111a m a m g m a m g m N αααα再以地为参考系，取m 2为研究对象，其受力及运动情况如右图所示，选图示坐标o-xy,应用牛顿第二定律建立方程：⎩⎨⎧=--=)4(0cos )3(sin 122221 ααN g m N a m N （1）、（2）、（3）联立，即可求得：g m m m m a g m m m m N αααα21221212211sin sin )('sin cos ++=+=3.5.6在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。
解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其m 1gf 1N 1a 1a 2 xyf 1 N 1 m 1gTaF N 2 m 2gTaN 1 f 1 f 2 a 21 2f*=m 1a 2中：f 1=μN 1=μm 1g ，f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律： ②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ ①+②可求得：g m m g m F a μμ-+-=2112将a 代入①中，可求得：2111)2(m m g m F m T +-=μ3.5.7在图示的装置中，物体A,B,C 的质量各为m 1,m 2,m 3，且两两不相等. 若物体A,B 与桌面间的摩擦系数为μ，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。
解：以地为参考系，隔离A,B,C ，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ，f 2=μN 2=μm 2g ，T'=2T ，由于A 的位移加B 的位移除2等于C 的位移，所以（a 1+a 2）/2=a 3.对A,B,C 分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律： ③②①2/)(22133222111a a m T g m a m g m T a m g m T +=-=-=-μμ①,②,③联立，可求得：gm m m m m m m m a g m m m m m m m a gm m m m m m m a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=μμμμμμ21321321321321312213213214)()1()(4)()1(24)()1(23.5.8天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m 1,m 2的物体（m 1≠m 2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。
解：隔离m 1,m 2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律： '2''2211T T a m T g m a m g m T ==-=-②① 由①②可求得：212121212,2'm m g m m T m m g m m T +=+=所以，天平右端的总重量应该等于T ，天平才能保持平衡。
3.5.11棒球质量为0.14kg ，用棒击棒球的力随时间的变化如图所示，设棒球被击前后速度增量大小为70m/s ，求力的最大值，打击时，不计重力。
解：由F —t 图可知：Tf 1 N 11ga 1Tf 2 N 2m 2g a 2T' m 3ga 3T'm 1g a T'm 2g a 0.05 0.08 t(s)Fmax03.008.0max05.008.005.005.00F F t F F t t t -=≤≤=≤≤时，当时，当[斜截式方程y=kx+b ，两点式方程 (y-y 1)/(x-x 1)=(y 2-y 1)/(x 2-x 1)]由动量定理：⎰⎰⎰-+==∆08.005.003.005.0005.008.00)08.0(max max dtt tdt Fdt v m F F可求得F max = 245N3.5.12 沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为2kg ，t=0时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大高度（注意，推力大于重力时才启动）。
解：根据推力F-t 图像，可知F=4.9t （t ≤20）,令F=mg ，即4.9t=2×9.8，t=4s 因此，火箭发射可分为三个阶段：t=0—4s为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止，v=0,y=0；t=4—20s 为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设t=20s 时，y = y 1，v = v max ；t ≥20s 为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最大高度时的坐标 y=y 2.第二阶段的动力学方程为：F- mg = m dv/dt()()my dttdt dt t dy dt t t vdt dy sm v v t t t v t dttdt dv dttdt gdt dt m F dv y ttv16729.448.94/9.4)9.448.94/9.4(/314)20(209.448.94/9.4208.92/9.48.92/9.4/1204204204202max 24401=⨯+-=∴⨯+-====≤⨯+-=≤-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第三阶段运动学方程)2()20(9.4)20(314),1()20(8.931421---=---=t t y y t v令v=0,由（1）求得达最大高度y 2时所用时间（t-20）=32，代入（2）中，得y 2-y 1=5030 y 2=y max =5030+1672=6702(m)3.5.13抛物线形弯管的表面光滑，沿铅直轴以匀角速率转动，抛物线方程为y=a x 2，a 为正常数，小环套于弯管上。
⑴弯管角速度多大，小环可在管上任一位置相对弯管静止？⑵若为圆形光滑弯管，情况如何？ 解：以固定底座为参考系，设弯管的角速度为ω，小环受力及运动情况如图示：α为小环处切线与x 轴夹角，压力N 与切线垂直，加速度大小a=ω2x ，方向垂直指向y 轴。
在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式： ②①mgN N x m N N ==-︒==-︒ααωααcos )90sin(sin )90cos(2①/②得：tg α=ω2x/g ③；由数学知识：tg α=dy/dx=2a x ； 所以，ag ag g x ax 2,2,/222===ωωω若弯管为半径为R 的圆形，圆方程为：x 2 + (R-y)2 = R 2，即x222/122212/1222/122222/)2()(/)(,)(,)(xR x x x R dx dy tg x R R y x R y R x R y R -=-⋅--==--=-=--=--α代入③中，得：22222/,//xR g g x xR x -==-ωω3.5.14北京设有供实验用的高速列车环形铁路，回转半径为9km ，将要建设的京沪列车时速250km/h ，若在环路上作此项列车实验且欲使铁轨不受侧压力，外轨应比内轨高多少？设轨距1.435m.解：以地为参考系，把车厢视为质点，受力及运动情况如图示：车厢速度v=250km/h=69.4m/s ，加速度a =v 2/R ；设轨矩为l ，外轨比内轨高h, 有l h l h l /sin ,/cos 22=-=αα选图示坐标o-xy ，对车箱应用牛顿第二定律： ②①，R mvl Nh N mg l h l NN //sin /cos 222===-=αα ①/②得：222//v gR h h l =-，两边平方并整理，可求得h ：cmm Rg v l v h 8.70782.090008.94.69/435.14.69/22422242==⨯+⨯=+=3.5.15汽车质量为1.2×10kN ，在半径为100m 的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜15°，沿公路取自然坐标，汽车运动学方程为s=0.5t 3+20t (m)，自t=5s 开始匀速运动，问公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧？解：以地为参考系，把汽车视为质点，受力及运动情况如图示： v=ds/dt=1.5t 2+20，v| t=5 =1.5×52+20=57.5m/s ，a n =v 2/R=57.52/100=33 设摩擦力f 方向指向外侧，取图示坐标o-xy ，应用牛顿第二定律：②①ααααααααcos sin cos sin sin cos sin cos f ma N ma f N f mg N mgf N n n +==--==+②/①得：)sin /()cos (αααf mg f ma tg n -+= ααααααααtg a gtg m f f ma tg f mgtg n n sin cos )(,cos sin +-=+=-0,043.3033158.9<∴<-=-︒=-f tg a gtg n α ，说明摩擦力方向与我们事先假设方向相反，指向内侧。