第十三章动量矩定理_理论力学

第十三章 动量矩定理 1. 质系动量矩
为质系中各质点的动量对 O 点之矩的矢量和，或质系动量对于 O 点的主矩，称为质系 对 O 点的动量矩。
质系对于某轴，例如 z 轴的动量矩为
刚体对转动轴 z 轴的动量矩为
质系对任意一点的动量矩，等于质系对质心的动量矩，与将质系的动量集中于质心对于 O 点动量矩的矢量和。
例 13-5 复摆法测转动惯量。如图 13-11 所示刚体在重力作用下绕 水平轴 O 转动，称为复摆或物理摆。水平轴称为摆的悬挂轴（或悬点）。设摆的质量为 m ， 质心为 C ，s 为质心到悬挂轴的距离。若已测得复摆绕其平衡位置摆动的周期 T ，求刚体 对通过质心并平行于悬挂轴的轴的转动惯量。
解：刚体在任意位置的受力图如图 13-11 所示，刚体绕定轴转动微分方程为
对于质心 C 用绝对速度计算动量矩并不方便，通常引入 固结于质心的平动参考系，用相对此参考系的相对速度计算质系对质心的动量矩。如图 13-13
所示，以 表示质点 对于平动系
的相对速度，由速度合成定理有
所以
式中
；
5. 质系相对质心动量矩定理 在相对质心平动坐标系的运动中，质系对质心的动量矩对于时间的一阶导数，等于外力
系对质心的主矩，即
或 6. 刚体平面运动微分方程
应用质心运动定理和相对质心动量矩定理得
上式称为刚体平面运动微分方程。应用以上方程可求解平面运动刚体动力学的两类问题。 7. 陀螺仪的近似理论
赖柴尔定理：质系对固定点的动量矩矢量端点的速度等于外力系对同一点的主矩。即
和
的两个飞轮分别装在轴Ⅰ和
轴Ⅱ上，齿数比为
的两齿轮将转动从轴Ⅰ传到轴Ⅱ，如图 13-7(a)所示。轴Ⅰ由静止
开始以匀加速度转动， 秒后其角速度达到
。求需加在轴Ⅰ上的转动力矩 M 及
两轮间的切向压力 P。已知
，不计各齿轮和轴的转动惯量。
解：分别取轴Ⅰ和轴Ⅱ为研究对象，其受力如图 13-7（b）、（c）所示。 分别建立两轴的转动微分方程
设 Q 为体积流量， 为密度， 和 分别为水流进口处和出口处的绝对速度， 和 分别为涡轮外圆和内圆的半径， 为 与涡轮外圆切线的夹角， 为 与涡轮内圆切线的
夹角，则
由动量矩定理 得
为叶片作用于水流上的力矩。若水涡轮共有 个叶片，则水流作用于涡轮的转动力矩为
方向与图示方向相反。 §13-2 刚体绕定轴转动微分方程
由于
，于是上式变为
式中第二项
，于是得
定理证毕。在应用时注意以下几点： （1）两轴互相平行； （2）其中一轴过质心； （3）过质心的轴的转动惯量最小。
3. 求转动惯量的实验方法 工程中对于几何形状复杂的刚体，常用实验的方法测定其转 动惯量。常用的方法有扭转振动法；复摆法；落体观测法等。下面以复摆法为例加以说明。
回转半径为 如图 13-8（b）所示，对于过杆端 A 且与 z 轴平行的 z1 轴的转动惯量为
回转半径 （2）半径为 R ，质量为 m 的均质薄圆盘，如图 13-9 所示，对于过中心 O 与圆盘平
面相垂直的 z 轴的转动惯量。图中所示圆环的质量为 对
，此圆环
于 z 轴的转动惯量为 回转半径
于 z 轴的转动惯量为
如图 13-12 所示，质系对于固定点 O 的矩为
上式中，
；
，为质系相对质心 C 的动量矩，于是得
（13-13）
上式表明：质系对任意一点 O 的动量矩，等于质系对质心的动量矩，与将质系的动量集中 于质心对于 O 点动量矩的矢量和。 2. 质系在相对动坐标系的运动中对质心的动量矩与在绝对运动中对质心的动量矩之间的关 系
（1） 以绝对速度 爬绳， 不爬，问 的绝对速度为多少？
（2）开始时两人静止在同一高度，而后两人分别以相对于绳子的速度 uA ，uB 同时 爬绳，问谁先到达顶点？
（3）*（2）中绳子移动的速度为多少？ （4）象这样的爬绳比赛能比出谁的力气大吗？
例 13-2 水涡轮以等角速度 绕通过 O 点的铅垂轴 z 转动，求水流作用于涡轮的转动力矩。
，于是整个圆盘对
读者试计算均质圆柱体对于纵向中心轴的转动惯量。
一般简单形状的均质刚体的转动惯量可以从有关手册中查到，也可用上述方法计算。表
13-1 列出常见均质物体的转动惯量和回转半径。
表 13-1 均质物体的转动惯量
形状 简图
转动惯量
惯性半径
体积
细直杆
薄壁圆筒
圆柱 形状 简图
转动惯量
惯性半径
体积
空心圆柱 薄壁空心 球 实心球
实际上赖柴尔定理是质系动量矩定理的几何解释。 陀螺绕其对称轴高速转动，其角速度为 ，在计算陀螺对固定点 O 的动量矩时可忽略
由于进动角速度 引起的动量矩分量。陀螺对 O 点的动量矩可近似地表示为
。
动量矩矢量方向近似与自转轴重合，大小等于 。
质系动量矩定理建立了质系动量矩的变化率与作用于质系上外力系的主矩之间的关系。应用 动量矩定理所建立的刚体绕定轴转动微分方程；以及由上章的质心运动定理和本章导出的相 对质心动量矩定理所建立的平面运动微分方程，是解决刚体动力学的有效工具。 §13-1 质系动量矩定理
（1）具体应用时，常取其在直角坐标系上的投影式
式中
，
，
量对于 x，y，z 轴动量矩的代数和。
（13-5） 分别表示质系中各点动
（2）内力不能改变质系的动量矩，只有作用于质系的外力
才能使质系的动量矩发生变化。在特殊情况下外力系对 点的主矩为零，则质系对 点的 动量矩为一常矢量，即
常矢量 或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质系对该轴的动量矩为一常数，例如
1. 质点动量矩定理 对于 O 点的矩，定义为质点对于 O 点的动量矩，即
如图 13-1 所示质点 M 的动量
（13-1）
质点对于 O 点的动量矩为矢量，它垂直于矢径 r 与动量 mv 所形成的平面，指向按右手法 则确定，其大小为
将式（13-1）对时间求一次导数，有
得
（13-2） 式（13-2）为质点的动量矩定理，即：质点对固定点 的动量矩对时间的一阶导数等于作用 于质点上的力对同一点的力矩。 2. 质系动量矩定理 设质系内有 n 个质点，对于任意质点 Mi 有
如图 13-5 所示定轴转动刚体，若任意瞬时的角速度为 ，则 刚体对于固定轴 z 轴的动量矩为 式中
（13-6） 称为刚体对 轴的转动惯量，它是描述刚体的质量对 轴分布状态的一个物理量，是刚体转 动惯性的度量。代入后得
（13-7） 即，刚体对转动轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。
作用于刚体上的外力有主动力及轴承约束力，受力如图 13-5 所示。应用质系对 z 轴的 动量矩方程
在工程中，常将转动惯量表示为
（13-11）
式中 为刚体的质量， 称为回转半径，单位为 m 或 cm。 回转半径的物理意义为： 若将物体的质量集中在以 为半径、Oz 为对称轴的细圆环上，则转动惯量不变。
1.简单形状的均质刚体转动惯量的计算 （1）长为 l ，质量为 m 的均质细长杆，如图 13-8（a）所示，对于过质心 C 且与杆的轴线 相垂直的 z 轴的转动惯量为
由平行轴定理知，式中
有
或
若摆角 很小，
，运动微分方程线性化为
这与单摆的运动微分方程相似。由此得复摆微小摆动的周期为
若已测得复摆摆动的周期，可求出刚体的转动惯量
§13-4 质系相对质心的动量矩定理 1.质系相对于固定点 O 的动量矩与相对于质心 C 的动量矩之间的关系
图中 C 为质系的质心，有 代入上式后得
2. 质系动量矩定理 质系对固定点 O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩，即
在直角坐标系上的投影式
动量矩守恒定律：在特殊情况下外力系对 O 点的主矩为零，则质系对 O 点的动量矩为 一常矢量，即
常矢量 或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质系对该轴的动量矩为一常数，例如
3. 刚体绕定轴转动微分方程
，Lx =常数
或
4.刚体对轴的转动惯量
称为刚体对 z 轴的转动惯量，它是描述刚体的质量对 z 轴分布状态的一个物理量，是刚体 转动惯性的度量。
在工程中，常将转动惯量表示为
称为回转半径。 转动惯量的平行轴定理：刚体对于任一轴的转动惯量等于刚体对于通过质心，并与该轴 平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。即
有
式中
得
（13-8）
或
（13-9）
此式称为刚体绕定轴转动的微分方程。
为刚体绕定轴转动的角加速度，所以上式
可写为
（13-10）
1．由于约束力对 z 轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。 2．比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即
与
形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。 转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动
解：取两叶片间的水流为研究对象（图 13-4 中的兰色部分）。作用于质系上的的外力有 重力和叶片的约束力，重力平行于 z 轴，对转动轴之矩为零。所以外力主矩为叶片对水流
的约束力对 z 轴之矩 。
计算 时间间隔内动量矩的增量 。设 t 瞬时占据 ABCD 的水流，经过 时间间隔
后，运动至占据
，设流动是稳定的，则
时起作用。
例 13-3 两个质量为 m1 ，m2 的重物分别系在绳子的两端，如图 13-6 所示。两绳分别
绕在半径为 ， 并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对 O 轴的转动惯量为 Jo，重为 W ， 求鼓轮的角加速度和轴承的约束力。
解：1. 以整个系统为研究对象；
2．系统所受外力的受力图如图 13-6，其中 ， ， 为主动力， ， 为约 束力；
力作用下质点的面积速度不变。
例 13-1 水平杆 长为 ，可绕铅垂轴 z 转动，其两端各用铰链与长为 l 的杆 AC 及 BD 相连，杆端各联结重为 的小球 C 和 D 。
起初两小球用细线相连，使杆 AC 与 BD 均为铅垂，系统绕 z 轴的角速度为 。如某瞬时
此细线拉断后，杆 AC 与 BD 各与铅垂线成 角，如图 13-3 所示。不计各杆重量，求这时 系统的角速度。
， =常数
如质点在有心力 F 作用下的运动，如图 13-2(a)所示，此时
，所以
常矢量，即 的大小和方向不变，所以质点动量矩守恒。 ① 方向不变，即质点在 r 与 mv 组成的平面内运动，且此平面在空间的方位不变；
② 大小不变，即
常数，如图 13-2(b)所示，得
常
数，或
常数。
为矢径在单位时间内扫过的面积，称为面积速度。所以在有心
解：系统所受外力有小球的重力及轴承的约束力，这些力对 z 轴之矩都等于零。所以
系统对 z 轴的动量矩守恒，即 开始时系统的动量矩为
， =常数。
细线拉断后的动量矩为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由
，有
由此求出细线拉断后的角速度
显然
。
1．花样滑冰运动员在光滑的冰面上，可做出许多优美的动作。读者试分析运动员绕铅 垂轴角速度的变化。
2．两人 、 同时爬绳，设两人质量相同，不计绳重及摩擦。试讨论下面几种情形
圆锥体
圆环 椭圆形薄 板
立方体
矩形薄板
2. 转动惯量的平行轴定理
定理：刚体对于任一轴的
转动惯量等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间 距离平方的乘积。即
（13-12） 证明：如图 13-10 所示，设 C 为刚体的质心，刚体对于过质心的轴 z 的转动惯量为
对于与 z 轴平行的另一轴 的转动惯量为
式中
分别为作用于质点上的内力和外力。求 n 个方程的矢量和有
式中
，
于 点的主矩。交换左端求和及求导的次序，有
为作用于系统上的外力系对
令 （13-3）
为质系中各质点的动量对 点之矩的矢量和，或质系动量对于 点的主矩，称为质系对 点的动量矩。由此得
（13-4） 式（13-4）为质系动量矩定理，即：质系对固定点 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。
3．系统的动量矩为
4．应用动量矩定理 有 所以鼓轮的角加速度为 5．应用动量定理
有 所以轴承约束力为
6．讨论： 解决问题的思路是以整个系统为研究对象，首先应用动量矩定理求解已知力求运动问 题，然后用质心运动定理求解已知运动求力的问题。所以联合应用动量定理和动量矩定理可 求解动力学的两类问题。
例 13-4 转动惯量分别为
式中
，
，于是得
由匀角加速度转动公式知
将已知数据代入后，得
该例题是应用动量矩定理解决已知系统的运动求未知力的问题。 思考题问题：本例中是分别取轴Ⅰ和轴Ⅱ为研究对象，是否能象上例中一样取整个系统 作为研究对象呢？ §13-3 刚体对轴的转动惯量 由上节知，转动惯量是刚体转动惯性的度量，其表达式为
如果刚体的质量是连续分布的，则上式可写为积分形式