理论力学第7版第十三章达朗贝尔定理
的变形有关，与作用 点路径无关。
式中 1r1l0, 2r2l0
3. 定轴转动刚体上作用力的功
令F Fcos
wFco· sds Fds FRd
Mzd
从角 1转动到角 2过程中力 F 的功为：
W12
1
2
Mzd
若 Mz 常量
W 12 M z(21)
同样适用于刚体上作 用一力偶所作的功。
4. 平面运动刚体上力系的功 当质心由 C1 ~C2 ，转角由1 ~2时，力系的功：
13-3 动能定理
1、质点的动能定理
m d F 两端乘 dt dr ，
dt
m dFdr
d(1m2) w
2
——质点动能定理 的微分形式
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
12m2212m12 W12
——质点动能定理 的积分形式
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于 作用于质点的力作的功。
第十三章 动能定理
13-1 力的功
力的功——是力沿路程累积效应的度量。
1. 常力在直线运动中的功:
W Fco s
力的功是代数量。 时,
正功；
2
时,功为零；
时,负功。 2
2
单位: J（焦耳） 1 J = 1 N·m
2. 变力在曲线运动中的功:
元功 wFco· sds
F·dr
Fxd xFyd yFzdz
B
在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧
的另一端由点B拉至点A和由点A拉至
点D，AC垂直BC，OA和BD为直径。 O
分别计算弹簧力所作的功。
解：对于弹簧作功：
CA D
WBA由k2W(1212k2(2212)220).2（J）12O OBA ll00..11（2m）0.1（m）
WADk2('12'22)
令：F Fxi Fy j Fzk
dr dxi dyj dzk
W12
M2 M1
Fcos· ds（自然形式）
力 F
在
M1 ~M2路程上的功： W12
M2 F·dr （矢量式）
M1Leabharlann W 1 2M M 1 2(F x d x F y d y F zd z)
（直角坐标式）
3. 常见力的功
1)、重力的功
2、质点系的动能定理
d(12mii2)wi
求和 d(12mii2) wi
dT
wi
——质点系动能定 理微分形式
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的
元功的和。
T2T1
wi
——质点系动能定 理积分形式
质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，
等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
质点：重力在三轴上的投影：
FxFy0,Fzmg
W 1 2z z 1 2 m d z g m (z 1 g z2 )
质点系:
W m g (z z)
12
i i1 i2
由 mCzmizi
W 12 m (zC g 1 zC 2)
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
2、弹性力的功
弹性力：Fk(rl0)er
1 2(2 m 1 3 m 2)C a CM R C 1 m 2gSi· n C
aC2(M (2m 1m 23gm R 21)SR1in)
[例2] 冲击试验机m=18kg ,
3、理想约束 定义：约束力作功等于零的约束为理想约束。
1）光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承、一 端固定的绳索类约束 ——力与位移垂直
W (N ) N d r 0(N d r)
2）固定铰支座、固定端约束 ——位移为零
3）光滑铰链、刚体二力杆、不可伸长绳索类约束 ——约束反力成对出现，作功之和为零
[例1] 已知：轮O的R1、m1, 质量分布在轮缘上; 均质轮C
的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为常力偶。
求：轮心C走过路程S时的速度
和加速度
解： T1 0
T2
1 2
J
O
2 1
12m222
12JC22
其中：JO m1R12
JC
1 2
m2R22
1
C
R1
,2
C
R2
W12
M m 2gSi· Sn
S R1
由 W 12T2T1
已知：轮O的R1、m1,; 均质轮C的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为 常力偶。 求：轮心C走过路程S时的速度和加速度
2
M m 2gSi· S n4 C(2 m 1 3 m 2)( a )
C2
(Mm2gR 1Sin)S
R1(2m13m2)
式(a)是函数关系式，两端对t求导，
k——弹簧刚度系数 (N/m)
弹性力的功：W12
A2 Fdr
A1
A2 A1
k(rl0)er
dr
er
因 e r d rW r r 12 d r rr1 22 1 rk d ( (r r r) l0 )d 2 1 r rd (r2 ) d r簧在弹初性始力和的末功了只位与置弹
即 W12k2(12 22)
W 12C C 12FR drC12M Cd
平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简 化所得的力和力偶作功之和。
说明：1、对任何运动的刚体，上述结论都适用； 2、C点为刚体上任意一点，上述结论仍成立； 3、计算力系的主矢、主矩时，不作功的力可 不考虑。
例：图示弹簧原长l=100mm，刚性系
数k=4.9KN/m,一端固定在点O，此点
W (N ) N d r N 'd r
NdrNdr0
4）不计滚动摩阻时，纯滚动（只滚不滑）的接触点 ——无位移
对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。
质点系内力作功问题：
质点系内力作功之和不一定等于零。
1）相互吸引或排斥的质点，两力作功和不为零。 2）当力作用点有滑动摩擦时，滑动摩擦力与
物体的相对位移相反，摩擦力作负功。 刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零。
0.2（J）
'1OAl 0.1（m） '2OD l0.1 20.（1m）
13-2 质点和质点系的动能
1、质点的动能
T 1 m 2
2
瞬时值,与速度方向无关的正标量。单位：J（焦耳）
2、质点系的动能 T 12mii2
（1）平移刚体的动能
T
1 2mivi21 2vC 2
mi 即
T
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
12mivi2
12mi2ri
2
12
2
miri2 即
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心：P
T
1 2
J p 2
12(JCmd2)2
T12mC v2 12JC2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
与绕质心转动的动能之和。 [ 习题 P314 13-4 ] 上面结论也适用于刚体的任意运动。
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十三章达朗贝尔原理xppt课件-文档资料
当调速器以匀角速转动时，角a 将保持不变，飞 球在水平面内作匀速圆周运动，其向心加速度为
a a l sin A B
2
加上相应的惯性力
W 1 2 F F lsin IA IB g
则所有主动力、约束力（未画出）与惯性力组成一 平衡力系。
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第二节 质点系的达朗贝尔原理
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
下面讨论几种常见运动刚体惯性力系的简化： 1 刚体作平行移动
设刚体作平行移动，某瞬时的加速度为a。根据刚 体平行移动的特点，体内各点的加速度也都是a，因 而各点的惯性力
F m Ii ia
组成一同向的平行力系，可进一步合成为一个合力
F F m a m a I I i i
2
y
F
Ii
i
O
i
x
FT
FT
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第三节 运动刚体惯性力系的 简化及应用
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
对于一般质点系，在应用达朗贝尔原理时，可在 每一质点上加上相应的惯性力，据此进行计算。 但应用达朗贝尔原理研究刚体动力学时，由于各 质点的加速度可用刚体运动的角速度与角加速度等量 来表明，因而可将各质点的惯性力组成的力系进行简 化，用表征刚体运动的量来表示。应用达朗贝尔原理 研究刚体动力学时，就可以直接利用简化结果。 下面就刚体作平移、定轴转动及平面运动的情形， 分别讨论惯性力系简化的结果。
合力FI的作用线通过刚体的质心。
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
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第二节 质点系的达朗贝尔原理
a a l sin A B
2
加上相应的惯性力
W 1 2 F F lsin IA IB g
则所有主动力、约束力（未画出）与惯性力组成一 平衡力系。
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第二节 质点系的达朗贝尔原理
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
下面讨论几种常见运动刚体惯性力系的简化： 1 刚体作平行移动
设刚体作平行移动，某瞬时的加速度为a。根据刚 体平行移动的特点，体内各点的加速度也都是a，因 而各点的惯性力
F m Ii ia
组成一同向的平行力系，可进一步合成为一个合力
F F m a m a I I i i
2
y
F
Ii
i
O
i
x
FT
FT
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第三节 运动刚体惯性力系的 简化及应用
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
对于一般质点系，在应用达朗贝尔原理时，可在 每一质点上加上相应的惯性力，据此进行计算。 但应用达朗贝尔原理研究刚体动力学时，由于各 质点的加速度可用刚体运动的角速度与角加速度等量 来表明，因而可将各质点的惯性力组成的力系进行简 化，用表征刚体运动的量来表示。应用达朗贝尔原理 研究刚体动力学时，就可以直接利用简化结果。 下面就刚体作平移、定轴转动及平面运动的情形， 分别讨论惯性力系简化的结果。
合力FI的作用线通过刚体的质心。
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
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第二节 质点系的达朗贝尔原理
第十三章 达朗贝尔原理
Fi + FNi +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 上式表明，质点系运动的每一瞬时，作用于系内每个质
点的主动力、约束反力和该质点的惯性力组成一个平衡力
系。这就是质点系的达朗贝尔原理。
如果把真实作用于第i个质点上的所有力分成外力Fie 和内力Fii，则上式可改写为
Fie + Fii +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 这表明，质点系中每个质点上作用真实的外力、内力
第13章 达朗贝尔原理
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理 13.2 质点系的达朗贝尔原理 13.3 刚体惯性力系的简化
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
13.1.1 惯性力的概念
一工人在水平光滑直线轨道上推质量为m 的小车，如 图所示。由牛顿第二定律可知F=ma。由于小车具有惯性， 这个惯性力图使小车保持其原来的运动状态而给手一个反
的绳上，绳的另一端系在固定点O。当小球在水平面内以
速度v 做匀速圆周运动时，绳子与铅垂线成θ角。用达朗
贝尔原理求速度v与θ角之间的关系。 解：选小球为研究对象，受力
分析如图所示。由达朗贝尔原理， 列“静力”平衡方程
FNsin FI 0
O
l
FNcos mg 0
解得 FI mgtan
由于
v2 FI man m lsin
和虚假的惯性力在形式上组成一平衡力系。
对于由n个质点组成的质点系，由于每一个质点处于平 衡，整个质点系也就处于平衡。对于整个质点系的平衡， 由静力学中的平衡条件可知，空间任意力系平衡的充分必 要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
Fie
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
点的主动力、约束反力和该质点的惯性力组成一个平衡力
系。这就是质点系的达朗贝尔原理。
如果把真实作用于第i个质点上的所有力分成外力Fie 和内力Fii，则上式可改写为
Fie + Fii +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 这表明，质点系中每个质点上作用真实的外力、内力
第13章 达朗贝尔原理
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理 13.2 质点系的达朗贝尔原理 13.3 刚体惯性力系的简化
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
13.1.1 惯性力的概念
一工人在水平光滑直线轨道上推质量为m 的小车，如 图所示。由牛顿第二定律可知F=ma。由于小车具有惯性， 这个惯性力图使小车保持其原来的运动状态而给手一个反
的绳上，绳的另一端系在固定点O。当小球在水平面内以
速度v 做匀速圆周运动时，绳子与铅垂线成θ角。用达朗
贝尔原理求速度v与θ角之间的关系。 解：选小球为研究对象，受力
分析如图所示。由达朗贝尔原理， 列“静力”平衡方程
FNsin FI 0
O
l
FNcos mg 0
解得 FI mgtan
由于
v2 FI man m lsin
和虚假的惯性力在形式上组成一平衡力系。
对于由n个质点组成的质点系，由于每一个质点处于平 衡，整个质点系也就处于平衡。对于整个质点系的平衡， 由静力学中的平衡条件可知，空间任意力系平衡的充分必 要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
Fie
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
理论力学第十三章达朗贝尔原理
aIN第十三章 达朗贝尔原理[习题13-1] 一卡车运载质量为1000kg 的货物以速度h km v /54=行驶。
设刹车时货车作匀减速运动，货物与板间的摩擦因数3.0=s f 。
试求使货物既不倾拿倒又不滑动的刹车时间。
解：以货物为研究对象，其受力如图所示。
图中， 虚加惯性力之后，重物在形式上“平衡”。
货物不滑动的条件是：即货物不滑动的条件是：)(1.5s t ≥…………(1) 货物不倾倒（不向前倾倒）的条件是：)(06.38.93030s g t ==≥…………(2) （1）（2）的通解是)(1.5s t ≥。
即，使货物既不倾拿倒又不滑动的刹车时间是)(1.5s t ≥。
[习题13-2] 放在光滑斜面上的物体A ，质量kg m A 40=，置于A 上的物体B ，质量kg m B 15=；力kN F 500=，其作用线平行于斜面。
为使A 、B 两物体不发生相对滑动，试求它们之间的静摩擦因素s f 的最小值。
解：以A 、B 构成的质点和系为研究对象，其受力如图所示。
在质心加上惯性力后，在形式上构成平面一般“平衡”力系。
以B 为研究对象，其受力如图所示。
由达朗伯原理得：305.05.0191.48.9866.0191.430sin 30cos 00=⨯+⨯=+≥a g a f s ，即： [习题13-3] 匀质杆AB 的质量kg m 4=，置于光滑的水平面上。
在杆的B 端作用一水平推力N F 60=，使杆AB 沿F 力方向作直线平动。
试求AB 杆的加速度a 和角θ的值。
解：以AB 杆为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
由达朗伯原理得：[习题13-4] 重为1P 的重物A ，沿光滑斜面D 下降，同时借一绕过滑轮C 的绳子而使重为2P 的重物B 运动，斜面与水平成θ角。
试求斜面D 给凸出部分E 的水平压力。
解：以A 为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
由达朗伯原理得：EN D0sin 11=--a gP T P B θ………(1) 以B 为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
13第十三章达朗贝尔定理
d dp Fgi mi ai MaC dt ( mi vi ) dt
dLO d M O ( Fgi ) M O (mi ai ) dt M O (mi vi ) dt
第一节 惯性力·达朗贝尔原理
此时惯性力系简化为一惯性力偶。 2、当刚体作匀速转动时， 0 ，若转轴不过质心，惯 性力系简化为一惯性力 Fg ，且 Fg maC ，同时力的作用线
通过转轴O。
3、当刚体作匀速转动，同时转轴通过质心C时， g 0 ， F M gC 0 ，惯性力系自成平衡力系。
第十三章
第十三章
达朗贝尔原理
第一节 惯性力· 达朗贝尔原理
一、质点的达朗贝尔原理 对质点M，由动力学基本方程
Fg
m
即 F FN (ma ) 0 令 Fg ma ，称为惯性力。 则有 F FN Fg 0
ma F FN
FN
达朗贝尔原理
第二节 刚体惯性力系的简化
三、刚体作平面运动 实际工程中，刚体常具有质量对称平面，且平行于该平面 运动，则刚体各点的惯性力组成的空间力系，可简化为在该对 称平面内的平面运动。 以质心C为基点，该平面运动可以 分解为随基点的平移和绕基点的转动， 根据上述结果，则平面运动刚体惯性力 系向质心简化的结果是一个惯性力和一 个惯性力偶并且有 FgC maC
第十三章 达 朗 贝 尔 原 理
山东农业大学水利土木工程学院
第一节 惯性力·达朗贝尔原理
第二节 第三节 刚体惯性力系的简化 达朗贝尔原理应用
第一节 惯性力·达朗贝尔原理
第二节 第三节 刚体惯性力系的简化 达朗贝尔原理应用
理论力学 第十三章达朗贝尔原理
二、质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
《理论力学》--第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
例13-7 已知：如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg, 转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm. 当轮盘以均转速 转动. n 12000 r min 求：轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 2 an e m s 158 m s 2 1000 30
2
FI man 3160 N 1 FNA FNB mg FI 2
1 20 9.8 3160N 1680N 2
(e) Fi 为作用于第i个质点上质点系外部物体的作用力. (i) Fi 为作用于第i个质点上质点系内部的力. (e) (i) Fi Fi Fi 0 i 1,2,, n
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘 上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
例13-1 已知: 求:
m 0.1kg , l 0.3m , 60
v, FT .
解:
v2 FI man m l sin mg FT FI 0
Fb Fn
0, FT cos mg 0 0, FT sin FI 0
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D
§ 13-4
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
F
x
0 FA x FB x FR x FI x 0
F
y
0 FA y FB y FR y FI y 0
第十三章 达朗贝尔原理
解:⑴ 以杆为研究对象 ⑵ 分析运动，并将惯性力系向 点O简化
质点系的达朗贝尔原理
例14-3 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω转动。设轮缘 较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑重力的影响， 求轮缘横截面的张力。 解:⑴ 以飞轮一半为研究对象，画受力图 由于轮缘质量均布， 任意截面的张力都相同
FA FB
A y
FIi
d
n ai
⑵ 分析运动，加惯性力
z
FIin mi ri 2 ; FIit mi ri
惯性力对x轴之矩
M Ix M x ( FIi ) M x ( FIit ) M x ( FIin ) mi ri cos i zi mi ri 2 sin i zi
ri cos i xi ; ri sin i yi
第十四章 达朗贝尔原理
1
惯性力 · 质点的达朗贝尔原理
2 3
质点系的达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
4
PAG 3
Northeastern University
§14-1 一、惯性力
惯性力· 质点的达朗贝尔原理
F ma ' F F ma
§14-3
刚体惯性力系的简化
一、刚体作平移
FIi mi ai
FIi
ri
O C rC FIR
各质点惯性力的方向相同，组成 一个同向的平行力系 平行力系向任一点O简化
FIR FIi mi ai (mi )aC maC M IO ri FIi ri (mi aC ) (mi ri ) aC mrC aC
理论力学——达郎贝尔原理
力和一个力偶，这个力等于刚体质量与质心的加速度的 乘积，方向与加速度方向相反，作用线通过转轴；这个 力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积， 转向与角加速度相反。
（e） FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
度，标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶， 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB
1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB
1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
（e） FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
度，标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶， 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB
1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB
1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
理论力学--第十三章 达朗伯原理
惯性力系的主矢
FIR F (e)i maC
该式对任何质点系做任意运动都成立，当然适用于做平移 、定轴转动与平面运动的刚体
1、刚体平动
任选一点O为简化中心 主矢： F IR
1
a1
ma ( m )a MaC
i i
FI1 aC ai C i rC FIi O ri
实质上即是刚体平面运动微分方程：
例2：边长为a的正方形平板重P，质心在C点，在 图示的三个点处用三根绳挂于铅锤平面内。 求：FG处绳突然剪断的瞬间，另外二绳的张力。
D A 60O B E 60O
F
G
C
1、运动分析
板作平动
2、施加惯性力
FI=maC
A FI
D
E
60O
B
60O
F
G
C
3、受力分析
4、静力学方程
质点系中每个质点上作用 的主动力、约束力和它的惯性力 在形式上组成平衡力系。
空间任意力系平衡的充分必要条件： 力系的主矢和对于任一点的主矩等于零。
e i F F FR i i FIi 0
M 0 M 0 Fi
e
M F M F
e M 0 (Fi ) M 0 (FIi ) 0 (主矩)
e M x (Fi ) M x (FIi ) 0 e M y (Fi ) M y (FIi ) 0
e M z (Fi ) M z (FIi ) 0
构成形式上的平衡力系。
★强调★ ： 1、质点并非处于平衡状态
目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。
2、质点惯性力不是作用在质点上的真实力
理论力学 第十三章 达朗贝尔原理
（1）选取研究对象； （原则与静力学相同）
（2）受力分析，画受力图； （画全部外力，并虚加惯性力系）
（3）列平衡方程； （选取适当的矩心和投影轴）
（4）解方程，求未知量。
[注] FIR ，MIO 的方向及转向已在受力图中标出，建立
方程时，只需按 FIR= maC ，MIO = JOα 代入即可。
26
平面成ϕ0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速
度及支座A的约束力。
解：选杆AB为研究对象
虚加惯性力系：
FIRt
=
mlα
2
FIRn = ma n = 0
MIA
=
J Aα
=
ml 2α
3
根据动静法，有
α
M IA
α
FAt FIRn
FAn
FItR
20
第十三章 达朗贝尔原理
∑ Ft = 0 , FAt + mg cosϕ0 − FIRt = 0
由于
∑ ∑ F (i) i
=
0,
M O (Fi(i) ) = 0
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
11
第十三章 达朗贝尔原理
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
对平面任意力系：
∑ ∑ F (e) ix
+
FI x = 0
∑ ∑ F (e) iy
（2）受力分析，画受力图； （画全部外力，并虚加惯性力系）
（3）列平衡方程； （选取适当的矩心和投影轴）
（4）解方程，求未知量。
[注] FIR ，MIO 的方向及转向已在受力图中标出，建立
方程时，只需按 FIR= maC ，MIO = JOα 代入即可。
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平面成ϕ0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速
度及支座A的约束力。
解：选杆AB为研究对象
虚加惯性力系：
FIRt
=
mlα
2
FIRn = ma n = 0
MIA
=
J Aα
=
ml 2α
3
根据动静法，有
α
M IA
α
FAt FIRn
FAn
FItR
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第十三章 达朗贝尔原理
∑ Ft = 0 , FAt + mg cosϕ0 − FIRt = 0
由于
∑ ∑ F (i) i
=
0,
M O (Fi(i) ) = 0
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
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第十三章 达朗贝尔原理
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
对平面任意力系：
∑ ∑ F (e) ix
+
FI x = 0
∑ ∑ F (e) iy