理论力学第7版达朗贝尔定理
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理论力学达朗贝尔原理
理论力学达朗贝尔原理达朗贝尔原理（d'Alembert's principle）是理论力学中的一个重要原理，它为研究物体在平衡或运动状态下受力情况提供了重要的理论基础。
达朗贝尔原理的提出，极大地推动了理论力学的发展，对于解决复杂的力学问题具有重要意义。
达朗贝尔原理的核心思想是，在运动坐标系中，对于一个质点系的平衡或运动状态，可以把系统的动力学问题转化为静力学问题来处理。
这就是说，对于一个质点系，可以找到一个虚拟的平衡系统，使得外力在这个虚拟系统中所做的功等于零。
通过这个虚拟系统的构建，我们可以简化动力学问题的求解过程，使得复杂的运动问题变得更加清晰和直观。
达朗贝尔原理的应用范围非常广泛，不仅可以用于刚体的运动问题，还可以用于弹性体、流体等物体的运动问题。
在工程实践中，达朗贝尔原理被广泛应用于各种机械系统的设计与分析中，例如汽车、飞机、船舶等。
通过运用达朗贝尔原理，工程师可以更加准确地分析系统的受力情况，从而设计出更加安全可靠的机械系统。
除此之外，达朗贝尔原理还在理论物理学中有着重要的应用。
在量子力学和相对论物理中，达朗贝尔原理也被广泛地运用于分析粒子的运动规律和相互作用。
通过引入虚拟位移和虚拟功的概念，达朗贝尔原理为理论物理学提供了一种全新的研究方法，为科学家们深入探索微观世界提供了重要的理论工具。
总的来说，达朗贝尔原理作为理论力学中的重要原理，为研究物体的运动和受力问题提供了重要的理论基础。
它的提出和应用，极大地推动了理论力学和工程实践的发展，为科学家们和工程师们提供了重要的研究方法和设计工具。
在今后的研究和实践中，我们应该深入理解达朗贝尔原理的原理和应用，不断拓展其在理论力学和工程领域的应用范围，为人类的科学技术进步做出新的贡献。
理论力学经典课件第七章达朗贝尔原理
22
cos0.63
7-4-4 动约束力效应及消除方法 题型特点: 非稳定向:复力与加速度变化: 先由支国能定理，求速度和加速度 ，再用 动静法类似法: 习题7-20、7-21、7-31、7-33、7-34
r
m
r
m
r
m
r
2r
2m
r
m
(a)
(b)
静,动
静(c)Biblioteka 静,动mr mrm
(d)
静
7-4-4 动约束力效应及消除方法
1. C 0 Wc=0。
由 TTv W
R
1mvc211m2R22
C
2
23
m g ( 2 R 2 R c o s) + m g R ( 1 c o s) l
而 VC 2R ，
•
又
d
dt
di ωi ωj dt
F1
aC C
F2
rC
Fi
A
M IA y
dj ωj ωi d k 0 x
m aC
dt
dt
故 M IA ( J x α z J y ω z 2 ) i ( J y α z J x ω z 2 ) j J z α k
7-4-3 轴承动约束力
• 设动约束力如图。
z
令 d d F R 2 2 2 8 7 m g 4 8 3 m g c o s θ 4 8 3 m g s in θ 2 1 5 6 m g s in
0
sin 0 或 2 2 8 7m g4 8 3m g c o s 4 8 3 1 1 0 61 1 6 5c o s 0
即 22743 cos43105cos0
2020/3/31
cos0.63
7-4-4 动约束力效应及消除方法 题型特点: 非稳定向:复力与加速度变化: 先由支国能定理，求速度和加速度 ，再用 动静法类似法: 习题7-20、7-21、7-31、7-33、7-34
r
m
r
m
r
m
r
2r
2m
r
m
(a)
(b)
静,动
静(c)Biblioteka 静,动mr mrm
(d)
静
7-4-4 动约束力效应及消除方法
1. C 0 Wc=0。
由 TTv W
R
1mvc211m2R22
C
2
23
m g ( 2 R 2 R c o s) + m g R ( 1 c o s) l
而 VC 2R ，
•
又
d
dt
di ωi ωj dt
F1
aC C
F2
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A
M IA y
dj ωj ωi d k 0 x
m aC
dt
dt
故 M IA ( J x α z J y ω z 2 ) i ( J y α z J x ω z 2 ) j J z α k
7-4-3 轴承动约束力
• 设动约束力如图。
z
令 d d F R 2 2 2 8 7 m g 4 8 3 m g c o s θ 4 8 3 m g s in θ 2 1 5 6 m g s in
0
sin 0 或 2 2 8 7m g4 8 3m g c o s 4 8 3 1 1 0 61 1 6 5c o s 0
即 22743 cos43105cos0
2020/3/31
达朗贝尔原理达朗贝尔原理是法国科学家达朗贝尔于1743年
第7章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理是法国科学家达朗贝尔于1743年提出的，是分析力学的两个基本原理之一。
该原理揭示，对动力系统加入惯性力后，惯性力与外力构成平衡，因而提供一种用静力平衡方法处理动力学问题的普遍方法——动静法。
§7.1 质点系的达朗贝尔原理7.1.1 惯性力与质点的达朗贝尔原理1、质点达朗贝尔原理如图7.1所示，质量为m 的质点沿曲线轨道运动，受主动力F 和约束力N F 作用，由牛顿第二定律有N m +=F F a即0N m +-=F Fa 引入惯性力I m =-F a (7-1)则有0N I ++=F F F (7-2)这就是质点的达朗贝尔原理：作用在质点上的所有主动力、约束力和惯性力组成平衡力系。
这样，我们完全可以采用静力学的方法和技巧，求解动力学问题。
顺便指出，达朗贝尔原理作为分析力学的基本原理之一是不需要推导证明的。
这里由牛顿第二定律导出，可以说明它与牛顿力学在数学上的等价性。
问题7-1 如图所示，重为G 的小球用细绳悬挂，试求AC 绳断瞬时AB 绳的张力。
答 研究小球，加惯性力I F ，受力如图所示，由质点达朗贝尔原理，有0I T ++=F G F由力三角形有cos T F G =θ可见，加上惯性力，采用静力学中三力平衡的几何法求解决，直观简便。
2、惯性力的概念质点的惯性力I F 可以想象为：当质点加速运动时外部物质世界作用在质点上的一个场图7.1 质点达朗贝尔原理IF 问题7-1图力，其大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与质点加速度方向相反。
惯性力与万有引力是完全等效的。
惯性力与参考系相关，如图7.2(a)所示，小球在旋转水平圆台上沿光滑直槽运动。
在地面惯性参考系观察，小球运动的绝对轨迹为螺旋线，见图7.2(b)，在水平面内受滑槽侧壁对它的作用力N F 作用，加速度如图所示；从转动圆台非惯性参考系观察，小球的运动轨迹沿槽直线，在半径方向，受牵连法向惯性力2()nnIe Ie F mr ω=F 作用，小球沿直槽加速向外运动。
理论力学第七章
dLC dt
7-2 惯性力系的简化
7-2-2 刚体惯性力系的简化 1.平面运动 ①一般情形
FIR maC , M I C dLC dt (LC J xz i J yz j J z k )
②主平面情形(如质量对称面)
LC J C ω , M IC J C α
e
Fi FI i 0
质点系达朗贝尔原理
即作用在质点系的全部外力与惯性力构成平衡力系。
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-1-2 质点系的达朗贝尔原理
可列6个独立投影方程
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-1-2 质点系的达朗贝尔原理 问题 已知 m,l,θ,ω, AB h, 求A，B处动约束力。 加惯性力，受力如图。 由动平衡
FA
A
M 0,有
ml sin2
2 2
ml sin
l
2
mg
l
2
FA FB
O
h
ml sin
mg
B
FB
考虑斜杆质量时，结果如何?
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-2 惯性力系的简化
7-2-1 惯性力系的主矢和主矩 7-2-2 刚体惯性力系的简化
第七章 达朗贝尔原理
7-2-1 惯性力系的主矢和主矩 1.主矢:
FIR FIi mi ai m aC
与质点系运动形式无关 2.主矩: ①对固定点O
M O FI i M O F
e
且 M F
e O
dLO dt
故 M I O M O FI i
dLO dt
与质点系的分布及运动形式相关 同理 M I C
7-2 惯性力系的简化
7-2-2 刚体惯性力系的简化 1.平面运动 ①一般情形
FIR maC , M I C dLC dt (LC J xz i J yz j J z k )
②主平面情形(如质量对称面)
LC J C ω , M IC J C α
e
Fi FI i 0
质点系达朗贝尔原理
即作用在质点系的全部外力与惯性力构成平衡力系。
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-1-2 质点系的达朗贝尔原理
可列6个独立投影方程
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-1-2 质点系的达朗贝尔原理 问题 已知 m,l,θ,ω, AB h, 求A，B处动约束力。 加惯性力，受力如图。 由动平衡
FA
A
M 0,有
ml sin2
2 2
ml sin
l
2
mg
l
2
FA FB
O
h
ml sin
mg
B
FB
考虑斜杆质量时，结果如何?
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-2 惯性力系的简化
7-2-1 惯性力系的主矢和主矩 7-2-2 刚体惯性力系的简化
第七章 达朗贝尔原理
7-2-1 惯性力系的主矢和主矩 1.主矢:
FIR FIi mi ai m aC
与质点系运动形式无关 2.主矩: ①对固定点O
M O FI i M O F
e
且 M F
e O
dLO dt
故 M I O M O FI i
dLO dt
与质点系的分布及运动形式相关 同理 M I C
理论力学——达郎贝尔原理
力和一个力偶，这个力等于刚体质量与质心的加速度的 乘积，方向与加速度方向相反，作用线通过转轴；这个 力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积， 转向与角加速度相反。
（e） FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
度，标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶， 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB
1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB
1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
（e） FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
度，标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶， 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB
1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB
1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
达朗贝尔原理
ma = F + FN
将上式改写成
FI m F FN a
F + FN − ma = 0
令
FI = − ma
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点 的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘 积, 方向与质点加速度的方向相反。
一、质点的达朗贝尔原理
则有
F + FN + FI = 0
即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动力、 约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的
1 3 3 maB = mg 2 16
1 13 FN = mg − maB tan 30 = mg 2 16
三、刚体惯性力系的简化
1. 刚体作平移
M IO = ∑ ri × FIi = ∑ r i × (− mi ai ) = ( − ∑ mi ri ) × aC = − mrC × aC
式中，rC为质心C到简化中心O的 矢径。若选质心C为简化中心， 主矩以MIC表示，则rC＝0，有
1 FI1 rC O C
ω α
M IC = − J C α
三、刚体惯性力系的简化
FI ＝－maC
M IC = − J C α
结论： 有质量对称平面的刚体，平行于此平
面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面 内的一个力和一个力偶。这个力通过质心， 其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积, 其方向与质心加速度的方向相反；这个力偶 的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面 的轴的转动惯量与角加速度的乘积, 转向与 角加速度相反。
三、刚体惯性力系的简化
3. 刚体作平面运动(平行于质量对称面） 工程中，作平面运动的刚体常 常有质量对称平面，且平行于此平 MIC aC 面运动。当刚体作平面运动时，其 C 上各质点的惯性力组成的空间力系， FIR 可简化为在质量对称平面内的平面 力系。 取质量对称平面内的平面图形如图所示, 取质心 C为基点, 设质心的加速度为aC，绕质心转动的角速 度为 ω，角加速度为 α ，与刚体绕定轴转动相似，此 时惯性力系向质心C简化的主矩为
哈尔滨工业大学 第七版 理论力学.14
将 FI 值代入，得
m2 g )l sin ϕ − FI l cos ϕ = 0 2
ω2 =
2m1 + m2 g tan ϕ 2m1 (a + l sin ϕ )
14-5 曲柄滑道机械如图 14-5a 所示，已知圆轮半径为 r，对转轴的转动惯量为 J，轮上 作用 1 不变的力偶 M，ABD 滑槽的质量为 m，不计摩擦。求圆轮的转动微分方程。
∑ M x = 0, M − 2 FI ⋅ l cos ϕ = 0
其中 代入前式得
FI = m ⋅ l sin ϕ ⋅ ω 2
209
理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社
k (ϕ − ϕ 0 ) − 2 ⋅ m ⋅ l sin ϕ ⋅ ω 2 ⋅ l cos ϕ = 0
ω=
k (ϕ − ϕ 0 ) ml 2 sin 2ϕ
y
m2 g 2
FAy
A FI
FAx
x
ϕ
m1 g
(a) 图 14-4
(b)
解
取调速器外壳为研究对象，由对称可知壳与圆盘接触处所受约束力为 FN = m2 g/2
取左圆盘为研究对象，受力如图 14-4b 所示，惯性力为
FI = m1 ⋅ (a + l sin ϕ )ω 2
由动静法
∑ M A = 0, (m1 g +
FI
a
FI
a
FS FN mg
(a) (b) 图 14-1
A FN mg
(c)
FS
解 取圆柱形零件为研究对象，作受力分析，并虚加上零件的惯性力 FI。 （1）零件不滑动时，受力如图 14-1b 所示，它满足以下条件： 摩擦定律
Fs ≤ f s FN
m2 g )l sin ϕ − FI l cos ϕ = 0 2
ω2 =
2m1 + m2 g tan ϕ 2m1 (a + l sin ϕ )
14-5 曲柄滑道机械如图 14-5a 所示，已知圆轮半径为 r，对转轴的转动惯量为 J，轮上 作用 1 不变的力偶 M，ABD 滑槽的质量为 m，不计摩擦。求圆轮的转动微分方程。
∑ M x = 0, M − 2 FI ⋅ l cos ϕ = 0
其中 代入前式得
FI = m ⋅ l sin ϕ ⋅ ω 2
209
理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社
k (ϕ − ϕ 0 ) − 2 ⋅ m ⋅ l sin ϕ ⋅ ω 2 ⋅ l cos ϕ = 0
ω=
k (ϕ − ϕ 0 ) ml 2 sin 2ϕ
y
m2 g 2
FAy
A FI
FAx
x
ϕ
m1 g
(a) 图 14-4
(b)
解
取调速器外壳为研究对象，由对称可知壳与圆盘接触处所受约束力为 FN = m2 g/2
取左圆盘为研究对象，受力如图 14-4b 所示，惯性力为
FI = m1 ⋅ (a + l sin ϕ )ω 2
由动静法
∑ M A = 0, (m1 g +
FI
a
FI
a
FS FN mg
(a) (b) 图 14-1
A FN mg
(c)
FS
解 取圆柱形零件为研究对象，作受力分析，并虚加上零件的惯性力 FI。 （1）零件不滑动时，受力如图 14-1b 所示，它满足以下条件： 摩擦定律
Fs ≤ f s FN
理论力学达朗贝尔原理(动静法)
miri cosi zi (miri 2 sin i zi )
由
cos
i
xi ri
,
sin i
yi ri
有 MI x mix iz i2 m i y iz i
记 Jyz m i y iz i, Jxz m i x iz i
称对 y、z 轴的惯性积， 对x、z 轴的惯性积。
M Ix J xz J yz 2
已知: P, R, J , a, m.
求：支座A，B受到的附加约束力。
解 ： FI ma
MI0
J
J
a R
M B 0 mgl2 FIl2 Pl3 M IO FAl1 l2 0
Fy 0 FA FB mg P FI 0
解得：FA
l1
1
l2
mgl2
Pl3
a
ml2
J R
第十五章 达朗贝尔原理(动静法)
§15-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持其原
有的运动状态，对于施力物体(人手)产生 的反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
FI m a
质点惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方
Fz 0 FBz FRz 0
M x 0 FB yOB FAyOA M x M I x 0
M y 0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
解得
FAx
1 AB
M y FRxOB M Iy FIxOB
FAy
1 AB
M x FRyOB M Ix FIyOB
由 miar mi ar mar
由
cos
i
xi ri
,
sin i
yi ri
有 MI x mix iz i2 m i y iz i
记 Jyz m i y iz i, Jxz m i x iz i
称对 y、z 轴的惯性积， 对x、z 轴的惯性积。
M Ix J xz J yz 2
已知: P, R, J , a, m.
求：支座A，B受到的附加约束力。
解 ： FI ma
MI0
J
J
a R
M B 0 mgl2 FIl2 Pl3 M IO FAl1 l2 0
Fy 0 FA FB mg P FI 0
解得：FA
l1
1
l2
mgl2
Pl3
a
ml2
J R
第十五章 达朗贝尔原理(动静法)
§15-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持其原
有的运动状态，对于施力物体(人手)产生 的反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
FI m a
质点惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方
Fz 0 FBz FRz 0
M x 0 FB yOB FAyOA M x M I x 0
M y 0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
解得
FAx
1 AB
M y FRxOB M Iy FIxOB
FAy
1 AB
M x FRyOB M Ix FIyOB
由 miar mi ar mar
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B
在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧
的另一端由点B拉至点A和由点A拉至
点D，AC垂直BC，OA和BD为直径。 O
分别计算弹簧力所作的功。
解：对于弹簧作功：
CA D
WBA
由W12
k 2
(12
k 2
(12
22)
22) 0.2（J）
1 2
OB l OA l
0.1 2 0.1（m） 0.1（m）
令：F Fx i Fy j Fzk
dr dxi dyj dzk
W12
M2 F cos ·ds（自然形式）
M1
力 F 在 M1 ~ M2路程上的功： W12
M2 F ·dr （矢量式）
M1
W12
M2 M1
(Fxdx
Fydy
Fzdz)
（直角坐标式）
3. 常见力的功
1)、重力的功
质点：重力在三轴上的投影：
A2 F dr
A1
A2 A1
k(r
l0 )er
dr
er
因
er
dr
r r
dr
1 2r
d(r
r)
1 2r
d(r 2 )
dr
W12
r2 r1
k(r
l0 )dr
弹性力的功只与弹 簧在初始和末了位置
即
W12
k 2
(12
22)
的变形有关，与作用 点路径无关。
式中 1 r1 l0,2 r2 l0
T
1 m
2i
vi2
1 2
vC2
mi
即
T
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
1 2mivi
2
12mi
2ri 2
1
2
2
miri2 即
T
1 2
J z
2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心：P
T
1 2
J p 2
1 2
(JC
md 2 ) 2
T
1 2
mvC2
1 2
JC 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
W12
C2 C1
FR drC
2 1
M Cd
平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简 化所得的力和力偶作功之和。
说明：1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；
2、C点为刚体上任意一点，上述结论仍成立；
3、计算力系的主矢、主矩时，不作功的力可 不考虑。
例：图示弹簧原长l=100mm，刚性系
数k=4.9KN/m,一端固定在点O，此点
WAD
k 2
( '12 '22
)
0.2（J）
'1 OA l 0.1（m） '2 OD l 0.1 2 0.（1 m）
13-2 质点和质点系的动能
1、质点的动能
T 1 m 2
2
瞬时值,与速度方向无关的正标量。单位：J（焦耳）
2、质点系的动能 T
1 2
mii
2
（1）平移刚体的动能
T2 T1
wi
——质点系动能定 理积分形式
质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，
等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
3、理想约束 定义：约束力作功等于零的约束为理想约束。
1）光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承、一 端固定的绳索类约束 ——力与位移垂直
W (N) N dr 0 (N dr )
求：轮心C走过路程S时的速度
和加速度
解： T1 0
T2
1 2
J
2
O1
1 2
m22
2
1 2
J
C
2 2
其中：JO m1R12
JC
1 2
m2
R2
2
1
C
R1
,2
C
R2
W12 M m2gSin ·S
S
R1
由W12 T2 T1
已知：轮O的R1、m1,; 均质轮C的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为 常力偶。 求：轮心C走过路程S时的速度和加速度
13-1 力的功
力的功——是力沿路程累积效应的度量。
1. 常力在直线运动中的功:
W F cos s
力的功是代数量。 时,
正功；
2
时,功为零；
时,负功。 2
2
单位: J（焦耳） 1 J = 1 N·m
2. 变力在曲线运动中的功:
元功 w F cos ·ds
F ·dr
Fxdx Fydy Fzdz
质点系内力作功之和不一定等于零。
1）相互吸引或排斥的质点，两力作功和不为零。 2）当力作用点有滑动摩擦时，滑动摩擦力与
物体的相对位移相反，摩擦力作负功。 刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零。
[例1] 已知：轮O的R1、m1, 质量分布在轮缘上; 均质轮C
的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为常力偶。
3. 定轴转动刚体上作用力的功
令F F cos
w F cos ·ds F ds F Rd M zd
从角1转动到角2过程中力 F的功为：
W12
1 2
M
z
d
若 M z 常量
W12 M z (2 1)
同样适用于刚体上作 用一力偶所作的功。
4. 平面运动刚体上力系的功 当质心由 C1 ~ C2 ，转角由1 ~ 2时，力系的功：
与绕质心转动的动能之和。 [ 习题 P314 13-4 ] 上面结论也适用于刚体的任意运动。
13-3 动能定理
1、质点的动能定理
m d F 两端乘 dt dr ，
dt
m d F dr
d(1 m 2 ) w
2
——质点动能定理 的微分形式
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 2
m22
M
m2 g
Sin ·S
C 2
4
(2m1
3m2 )
(a)
C 2
(M m2gR1 Sin )S
R1(2m1 3m2 )
式(a)是函数关系式，两端对t求导，
1 2 (2m1
3m2 )CaC
M
C
R1
m2 g
Sin ·C
aC
2 (M m2g R1Sin )
2）固定铰支座、固定端约束 ——位移为零
3）光滑铰链、刚体二力杆、不可伸长绳索类约束 ——约束反力成对出现，作功之和为零
W (N) N dr N 'dr
N dr N dr 0
4）不计滚动摩阻时，纯滚动（只滚不滑）的接触点 ——无位移
对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。
质点系内力作功问题：
Fx Fy 0, Fz mg
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
质点系:
W 12
m g(z z )
i
i1
i2
由 mzC mi zi
W12 mg(zC1 zC2 )
重力的功只与始、末位置有弹性力：
k——弹簧刚度系数 (N/m)
弹性力的功：W12
1 2
m12
W12
——质点动能定理 的积分形式
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于
作用于质点的力作的功。
2、质点系的动能定理
d
(1 2
mii2 )
wi
求和 d (12mii2 ) wi
dT
wi
——质点系动能定 理微分形式
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的
元功的和。