理论力学-达朗贝尔原理案例
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理论力学第十四章 达朗贝尔原理与动静法 教学PPT
Fi Ni Qi 0
mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0 mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解 动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解 动应力。
工程实例
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
达郎贝尔原理
质点达朗贝尔原理
设质量为m的非自由质点M，在主动 力F和约束力N作用下沿曲线运动，
该质点的动力学基本方程为
N B
ma F N
考虑到式上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Mac Mrc Macn Mrc 2
显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。
z
RQn
mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0 mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解 动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解 动应力。
工程实例
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
达郎贝尔原理
质点达朗贝尔原理
设质量为m的非自由质点M，在主动 力F和约束力N作用下沿曲线运动，
该质点的动力学基本方程为
N B
ma F N
考虑到式上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Mac Mrc Macn Mrc 2
显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。
z
RQn
北京交通大学理论力学达朗贝尔原理课件
M gx
mi
zi
x i
2
mi yi zi
z
J yz J zy mi yi zi J zx J xz mi zi xi
刚体对z轴旳惯性积
ri
FIti
O
zi
yi
xi
x
FIin y
M gx J xz J yz 2 M gy J yz J xz 2
M gz miri2 J z
刚体作定轴转动时
FgR mac
M gc 0
（转轴与质量对称面垂直，向质量对称面与转轴交点简化）
FgR mac
M g0 M gz J z
刚体作平面运动时
（设运动平行于质量对称面、向质心C简化)
Fgc mac
M gc Jc
例1：
a
FgR maC
HC
M gc JC
a Hy
H
an HC
aA aC
均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其
质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：
圆柱体A旳角加速度。
MI
FOy
FT
FOx
拓展：
M IA
FT
FIA
FN
已知：均质圆盘 m1, 纯R,滚动.均质杆 l 2R, m2.
求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面? 纯滚动旳条件?
FgO
FOY MgO O
FOX C1
MgC2 A
FgC2 C2 B
？拟定惯性力大小
mg
mg
例3长均为l，质量均为m旳均质杆OA、AB铰接于O，在图
示水平位置由静止释放，求初始瞬时OA、AB旳角加速度。
？列什么方程 aC1
《达朗贝尔原理》课件
达朗贝尔原理的微分方程形式为：dM/dt=∫F·d(dr/dt)dr，其中dM/dt表示动量 矩对时间的变化率，dr/dt表示速度矢量，∫F·d(dr/dt)dr表示力矩对时间的积分 。
该微分方程描述了刚体在力矩作用下的动态行为，是刚体动力学中的基本方程之 一。
达朗贝尔原理的积分方程形式
达朗贝尔原理的积分方程形式为：M(t2)-M(t1)=∫t1t2F·dr， 其中M(t2)和M(t1)分别表示刚体在时刻t2和t1的动量矩， ∫t1t2F·dr表示在时间t1到t2之间力矩的积分。
船舶工程
用于分析船舶的运动特性和稳定性。
02
达朗贝尔原理的数学表达
达朗贝尔原理的公式表达
达朗贝尔原理的公式表达为： M=∫F·dr，其中M表示刚体绕固定 点O转动的动量矩，F表示刚体上任 一点的速度矢量，dr表示矢径。
该公式描述了刚体在力矩作用下的运 动规律，是刚体动力学中的基本原理 之一。
达朗贝尔原理的微分方程形式
限制条件
达朗贝尔原理在处理复杂系统时，可能无法考虑所有 相互作用力和能量转换，导致预测精度下降。
与其他物理定律的互补性
与牛顿第三定律互补
达朗贝尔原理与牛顿第三定律互补，强调了 力和运动的相互关系。
与能量守恒定律的互补性
达朗贝尔原理在处理保守系统时，与能量守 恒定律相一致，但在非保守系统中存在差异
。
详细描述
在弹性力学中，达朗贝尔原理可以用来分析 各种复杂的力学问题，如梁的弯曲、板的变 形等。通过应用该原理，我们可以建立各种 弹性力学问题的数学模型，并进一步求解其 解析解或近似解。
05
达朗贝尔原理的局限性
适用范围和限制条件
适用范围
达朗贝尔原理主要适用于线性、保守的力学系统。对 于非线性、非保守系统，达朗贝尔原理可能不适用。
该微分方程描述了刚体在力矩作用下的动态行为，是刚体动力学中的基本方程之 一。
达朗贝尔原理的积分方程形式
达朗贝尔原理的积分方程形式为：M(t2)-M(t1)=∫t1t2F·dr， 其中M(t2)和M(t1)分别表示刚体在时刻t2和t1的动量矩， ∫t1t2F·dr表示在时间t1到t2之间力矩的积分。
船舶工程
用于分析船舶的运动特性和稳定性。
02
达朗贝尔原理的数学表达
达朗贝尔原理的公式表达
达朗贝尔原理的公式表达为： M=∫F·dr，其中M表示刚体绕固定 点O转动的动量矩，F表示刚体上任 一点的速度矢量，dr表示矢径。
该公式描述了刚体在力矩作用下的运 动规律，是刚体动力学中的基本原理 之一。
达朗贝尔原理的微分方程形式
限制条件
达朗贝尔原理在处理复杂系统时，可能无法考虑所有 相互作用力和能量转换，导致预测精度下降。
与其他物理定律的互补性
与牛顿第三定律互补
达朗贝尔原理与牛顿第三定律互补，强调了 力和运动的相互关系。
与能量守恒定律的互补性
达朗贝尔原理在处理保守系统时，与能量守 恒定律相一致，但在非保守系统中存在差异
。
详细描述
在弹性力学中，达朗贝尔原理可以用来分析 各种复杂的力学问题，如梁的弯曲、板的变 形等。通过应用该原理，我们可以建立各种 弹性力学问题的数学模型，并进一步求解其 解析解或近似解。
05
达朗贝尔原理的局限性
适用范围和限制条件
适用范围
达朗贝尔原理主要适用于线性、保守的力学系统。对 于非线性、非保守系统，达朗贝尔原理可能不适用。
理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)
讨论：1）脱离角α与滚筒的角速度和滚筒半径有关，而与钢球质量无关。
2）
筒壁。此时转筒
的转速称为临界转速，对球磨机而言，要求n小于nL，否则球磨机就不能工作。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化
当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬 时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为m的质点 的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。 刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平 行力系可简化为过质心的合力，即
式中，Fgτ=-maτ，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）
负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点系的动静法
对由n个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量 为mi,某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力F，约束反力 Fni，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝 尔原理，则
=－ maC
该力偶的力偶矩等于惯性力系对刚体惯性力系的简化
结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴 转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速 度方向相反，且力的作用线通过转轴；
该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结 果如图b)所示。
Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
理论力学PPT课件第7章 达郎贝尔原理
第7章 达朗贝尔原理
• 分析力学两个基本原理之一 • 提供研究约束动力系统的普遍方法—动静法
2020年5月19日
1
❖ 惯性力的概念 ❖ 达朗贝尔原理 ❖ 刚体惯性力系的简化 ❖ 达朗贝尔原理的应用
2020年5月19日
2
工程实例
问题：汽车底盘距路面的高度为什么不同？
2020年5月19日
3
底盘可升降的轿车
2 sin2
h
mg
B
FB
当角速度0时，情况怎样？
2020年5月19日
13
§7.3 惯性力系的简化
一、主矢与主矩
1.主矢: FIR maC 与质系运动形式无关
2.主矩:
e
QM OF Ii M OF i
故 同且 理 M M IIOC M O ddF ddiLO eC L ttdd L t,O 与质系运动形式相关
O
C
B
A
2020年5月19日
24
解：点C为系统的质心，且此瞬时角速度为零。
根据运动分析虚加惯性力、惯性力偶
FIy
I C
A
acxao r
acy
a CO
r
2020年5月19日
25
acxao r
acy
a CO
r
FIxmacxmr
FIy
a0 O
FIy macy mr
MICJC167mr2 Ff
FIx A
C
acy
acx M 2mg
IC
B
MA 0 M ICF IxrF Iyr2m grF N0
12g 29r
2020年5月19日
26
2020年5月19日
4
• 分析力学两个基本原理之一 • 提供研究约束动力系统的普遍方法—动静法
2020年5月19日
1
❖ 惯性力的概念 ❖ 达朗贝尔原理 ❖ 刚体惯性力系的简化 ❖ 达朗贝尔原理的应用
2020年5月19日
2
工程实例
问题：汽车底盘距路面的高度为什么不同？
2020年5月19日
3
底盘可升降的轿车
2 sin2
h
mg
B
FB
当角速度0时，情况怎样？
2020年5月19日
13
§7.3 惯性力系的简化
一、主矢与主矩
1.主矢: FIR maC 与质系运动形式无关
2.主矩:
e
QM OF Ii M OF i
故 同且 理 M M IIOC M O ddF ddiLO eC L ttdd L t,O 与质系运动形式相关
O
C
B
A
2020年5月19日
24
解：点C为系统的质心，且此瞬时角速度为零。
根据运动分析虚加惯性力、惯性力偶
FIy
I C
A
acxao r
acy
a CO
r
2020年5月19日
25
acxao r
acy
a CO
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FIxmacxmr
FIy
a0 O
FIy macy mr
MICJC167mr2 Ff
FIx A
C
acy
acx M 2mg
IC
B
MA 0 M ICF IxrF Iyr2m grF N0
12g 29r
2020年5月19日
26
2020年5月19日
4
理论力学14达朗贝尔原理
质点系惯性力系的主矢量和主矩分别为：
Qi
miaiMaCFra bibliotekd dt
(
mi
vi
)
dp dt
mO
(Qi
)
mO
(mi
ai
)
d dt
mO
(mi
vi
)
dLO dt
12
用动静法求解动力学问题时，
对平面任意力系：
X i(e) Qix 0 Yi(e) Qiy 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
RQ Q ma MaC MQO mO (Q )
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
15
一、刚体作平动
向质心C简化： RQ MaC
MQC mC (Qi )ri (miaC )miri aC 0
翻 页
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
Fi Ni Qi 0 mO (Fi )mO (Ni )mO (Qi )0
注意到
F (i) i
0
,
mO
( Fi (i )
)0
, 将质点系受力按内力、外力
划分, 则
Fi(e) Qi 0
mO (Fi(e) )mO (Qi )0
11
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
厢的加速度 a 。
7
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Q ma ( Q ma ) 由动静法, 有
X 0 , mg sin Qcos 0
解得
a g tg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也 不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
理论力学课件 第十三章 达朗贝尔原理
MO(F) 0
FΙC
r
l 2
MΙC
MΙO
M
0
联立求解，可得
1 7.9rad / s2 2 4.44rad / s2
由ΣFx=0 解得轴承O 水平方向的约束反力
FOy
O
FOx M mg
A
FΙ C
M ΙO
C
M ΙC
m1 g
B
FOx
FC
m1( r1
l 2
2
)
8.91N
由ΣFy=0 解得轴承O 铅垂方向的约束反力
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
由于质点系的内力总是成对出现的，且等值反向共线，它们相互抵消，这样， 上面两式可简化为
Fie FIi 0
MO (Fie )
MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每一个质点上的惯性力 在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理的又一表述形式。
解得
FI mgtan
由于
FI
man
m
v2 lsin
FN
an
v
mg FI
解得
v gl tan sin
【例13-2】 如图所示的列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，摆锤的
质量为m。当车厢向右做匀加速运动时，单摆向左偏转的角度为 ，求车厢
的加速度a。
解：选摆锤为研究对象，受力分析 如图所示。由达朗贝尔原理，列x方向 的平衡方程
解得
FAx FBx 0
FAy 200kN
FBy 200kN
FAz 20kN
z
B FBx
理论力学经典课件第七章达朗贝尔原理
22
cos0.63
7-4-4 动约束力效应及消除方法 题型特点: 非稳定向:复力与加速度变化: 先由支国能定理，求速度和加速度 ，再用 动静法类似法: 习题7-20、7-21、7-31、7-33、7-34
r
m
r
m
r
m
r
2r
2m
r
m
(a)
(b)
静,动
静(c)Biblioteka 静,动mr mrm
(d)
静
7-4-4 动约束力效应及消除方法
1. C 0 Wc=0。
由 TTv W
R
1mvc211m2R22
C
2
23
m g ( 2 R 2 R c o s) + m g R ( 1 c o s) l
而 VC 2R ，
•
又
d
dt
di ωi ωj dt
F1
aC C
F2
rC
Fi
A
M IA y
dj ωj ωi d k 0 x
m aC
dt
dt
故 M IA ( J x α z J y ω z 2 ) i ( J y α z J x ω z 2 ) j J z α k
7-4-3 轴承动约束力
• 设动约束力如图。
z
令 d d F R 2 2 2 8 7 m g 4 8 3 m g c o s θ 4 8 3 m g s in θ 2 1 5 6 m g s in
0
sin 0 或 2 2 8 7m g4 8 3m g c o s 4 8 3 1 1 0 61 1 6 5c o s 0
即 22743 cos43105cos0
2020/3/31
cos0.63
7-4-4 动约束力效应及消除方法 题型特点: 非稳定向:复力与加速度变化: 先由支国能定理，求速度和加速度 ，再用 动静法类似法: 习题7-20、7-21、7-31、7-33、7-34
r
m
r
m
r
m
r
2r
2m
r
m
(a)
(b)
静,动
静(c)Biblioteka 静,动mr mrm
(d)
静
7-4-4 动约束力效应及消除方法
1. C 0 Wc=0。
由 TTv W
R
1mvc211m2R22
C
2
23
m g ( 2 R 2 R c o s) + m g R ( 1 c o s) l
而 VC 2R ，
•
又
d
dt
di ωi ωj dt
F1
aC C
F2
rC
Fi
A
M IA y
dj ωj ωi d k 0 x
m aC
dt
dt
故 M IA ( J x α z J y ω z 2 ) i ( J y α z J x ω z 2 ) j J z α k
7-4-3 轴承动约束力
• 设动约束力如图。
z
令 d d F R 2 2 2 8 7 m g 4 8 3 m g c o s θ 4 8 3 m g s in θ 2 1 5 6 m g s in
0
sin 0 或 2 2 8 7m g4 8 3m g c o s 4 8 3 1 1 0 61 1 6 5c o s 0
即 22743 cos43105cos0
2020/3/31
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3 2
m1g
Fs fs FN fs m1 m2 g
fs
Fs FN
3m1
2m1 m2
D
例13-7
已知：如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg,
转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心
C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm.当轮盘以均转速
n
12000
r转动. min
求：轴承A,B的约束力
M A 0, M m2gesin FI hsin 0
因 t, 得
Fx m2e2 sint
Fy m1 m2 g m2e 2 cost
M m2gesin t m2e 2hsin t
例13-5
已知：如图所示,电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在支座上, 绞车与梁共重为P.绞盘半径为R,与电机转子固结在一 起,转动惯量为J ,质心位于O 处.绞车以加速度a提升质 量为m的重物,其它尺寸如图.
第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
例13-1
已知: m 0.1kg ,l 0.3m, 60
求: v, FT.
解:
FI
man
m v2
l sin
mg FT FI 0
F b 0, FT cos mg 0
F n 0, FT sin FI 0
FT
mg
cos
1.96N
v FTl sin 2 2.1m/s
求:惯性力系向点Ｏ 简化的结果(方向在图上画出).ຫໍສະໝຸດ 解:Ft IOm
l
2
Fn IO
m
l 2
2
M IO
1 3
ml 2
FIOn
FIOt
aCn
M IO aCt
思考：向质心C简化结果如何？
例13-4
已知:如图所示,电动机定子及其外壳总质量为m1,质心位于O
处.转子的质量为m2 ,质心位于Ｃ 处,偏心矩ＯＣ＝e ,
M A 0 m2aRsin 30 m2gR cos30 0
a 3g
研究整体
FIA
m1a,
MIA
1 2
m1R
2
a R
MD 0 FR FIA R MIA FIC Rsin 30 m2gR cos30 0
Fx 0 F Fs m1 m2 a 0
F
3 2
m1
m2
3g
Fs
图示平面为转子的质量对称面.电动机用地角螺钉固定
水平基础上,轴O与水平基础间的距离为h.运动开始时,
转子质心Ｃ位于最低位置,转子以匀角速度 转动.
求:基础与地角螺钉给电动机总的约束力.
解: FI me2
Fx 0, Fx FI sin 0
Fy 0, Fy (m1 m2)g FI cos 0
FIit mir mia ,
FIin
mi
v2 r
MO 0, m1g m1a m2g m2ar miar 0
由 miar mi ar mar
解得 a m1 m2 g m1 m2 m
例133 已知:如图所示均质杆的质量为m ,长为l ,绕定轴O 转动的角
速度为 ,角加速度为 .
l2
l3
l1
a l2
ml1
J R
静约束力
附加约束力为
FA
l1
a
l2
ml2
J R
FB
l1
a l2
ml1
J R
例13-6
已知：均质圆盘 m1,纯R,滚动.均质杆 l 2R, m2.
求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面?纯滚动的条件?
解: 刚好离开地面时,地面约束力为零.
研究 AB 杆
m
应用静力学写平衡方程的方法求解动力学问题，这种 方法称为动静法。
例13-2
已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘
上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量
为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
解: FI1 m1a, FI2 m2a
求：支座A，B受到的附加约束力.
解 : FI ma
M IO
J
J
a R
MB 0 mgl2 FIl2 Pl3 MIO FA l1 l2 0
Fy 0 FA FB mg P FI 0
FA
mgl2 Pl3 l1 l2
l1
a l2
ml2
J R
FB
mgl1
Pl1
l1 l2
解:
an
e 2
0.1 m12000π 1000 30
s
1
2
158 m s2
FI man 3160N
FNA
FNB
1 2
mg FI
1 209.8 3160N 1680N
2