《理论力学》第十三章 达朗贝尔原理
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理论力学第十三章达朗贝尔原理
aIN第十三章 达朗贝尔原理[习题13-1] 一卡车运载质量为1000kg 的货物以速度h km v /54=行驶。
设刹车时货车作匀减速运动，货物与板间的摩擦因数3.0=s f 。
试求使货物既不倾拿倒又不滑动的刹车时间。
解：以货物为研究对象，其受力如图所示。
图中， 虚加惯性力之后，重物在形式上“平衡”。
货物不滑动的条件是：即货物不滑动的条件是：)(1.5s t ≥…………(1) 货物不倾倒（不向前倾倒）的条件是：)(06.38.93030s g t ==≥…………(2) （1）（2）的通解是)(1.5s t ≥。
即，使货物既不倾拿倒又不滑动的刹车时间是)(1.5s t ≥。
[习题13-2] 放在光滑斜面上的物体A ，质量kg m A 40=，置于A 上的物体B ，质量kg m B 15=；力kN F 500=，其作用线平行于斜面。
为使A 、B 两物体不发生相对滑动，试求它们之间的静摩擦因素s f 的最小值。
解：以A 、B 构成的质点和系为研究对象，其受力如图所示。
在质心加上惯性力后，在形式上构成平面一般“平衡”力系。
以B 为研究对象，其受力如图所示。
由达朗伯原理得：305.05.0191.48.9866.0191.430sin 30cos 00=⨯+⨯=+≥a g a f s ，即： [习题13-3] 匀质杆AB 的质量kg m 4=，置于光滑的水平面上。
在杆的B 端作用一水平推力N F 60=，使杆AB 沿F 力方向作直线平动。
试求AB 杆的加速度a 和角θ的值。
解：以AB 杆为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
由达朗伯原理得：[习题13-4] 重为1P 的重物A ，沿光滑斜面D 下降，同时借一绕过滑轮C 的绳子而使重为2P 的重物B 运动，斜面与水平成θ角。
试求斜面D 给凸出部分E 的水平压力。
解：以A 为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
由达朗伯原理得：EN D0sin 11=--a gP T P B θ………(1) 以B 为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
理论力学 第十三章达朗贝尔原理
二、质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
《理论力学》--第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
例13-7 已知：如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg, 转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm. 当轮盘以均转速 转动. n 12000 r min 求：轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 2 an e m s 158 m s 2 1000 30
2
FI man 3160 N 1 FNA FNB mg FI 2
1 20 9.8 3160N 1680N 2
(e) Fi 为作用于第i个质点上质点系外部物体的作用力. (i) Fi 为作用于第i个质点上质点系内部的力. (e) (i) Fi Fi Fi 0 i 1,2,, n
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘 上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
例13-1 已知: 求:
m 0.1kg , l 0.3m , 60
v, FT .
解:
v2 FI man m l sin mg FT FI 0
Fb Fn
0, FT cos mg 0 0, FT sin FI 0
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D
§ 13-4
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
F
x
0 FA x FB x FR x FI x 0
F
y
0 FA y FB y FR y FI y 0
13第十三章-达朗贝尔原理(动静法)解析
常见的刚体运动有平动、定轴转动和平面运动。
13
一、刚体作平动
刚体内各点的加速度都与质心C的加速度 aC相等，任一
质点的惯性力 FIi mi aC ，组成一同向的平行力系。
这个惯性力系简化为通过质心C的合力：
FIR FIi miaC ( mi )aC FIR mac
FI1 aC
FI2
附加动约束力）； 2 推出消除附加动约束力的条件。
定轴转动刚体，角速度 ，角加速度 。
坐标系oxyz如图示，o点为转轴上的一点。
取简化中心：转轴上一点O。
z
所有主动力向O点简化的结果： 主矢：FR 主矩：M O
A FAx
惯性力系向O点简化的结果：
主矢：FIR
主矩：M IO
MO O
惯性力没有Z方向的分量（Z方向无加
第九章 质点动力学的基本方程 第十章 动量定理 第十一章 动量矩定理 第十二章 动能定理 ★ 第十三章 达朗贝尔原理 第十四章 虚位移原理
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原 理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化 为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。 这种用静力学解答动力学问题的方法，也称为动静 法。
FOx
(m1 m2 )g (m1 m2 )a
FIB
B
a 在本题中不计滑轮的质量，如果要
考虑滑轮的质量，则如何计算？
A
a
m2g
m1g
加上滑轮的惯性力和重力。
FIA
§13-3 刚体惯性力系的简化
应用达朗贝尔原理求解质点系动力学问题必须给各质点虚 加上它的惯性力。对于运动的刚体每个质点加上它的惯性力， 这些惯性力组成一惯性力系。因为刚体有无限个质点，在每个 质点上加惯性力是不可能的，为了应用方便，按照静力学中力 系的简化方法将刚体的惯性力系加以简化，这样在解题时就可 以直接施加其简化结果，使动静法切实可行。
13
一、刚体作平动
刚体内各点的加速度都与质心C的加速度 aC相等，任一
质点的惯性力 FIi mi aC ，组成一同向的平行力系。
这个惯性力系简化为通过质心C的合力：
FIR FIi miaC ( mi )aC FIR mac
FI1 aC
FI2
附加动约束力）； 2 推出消除附加动约束力的条件。
定轴转动刚体，角速度 ，角加速度 。
坐标系oxyz如图示，o点为转轴上的一点。
取简化中心：转轴上一点O。
z
所有主动力向O点简化的结果： 主矢：FR 主矩：M O
A FAx
惯性力系向O点简化的结果：
主矢：FIR
主矩：M IO
MO O
惯性力没有Z方向的分量（Z方向无加
第九章 质点动力学的基本方程 第十章 动量定理 第十一章 动量矩定理 第十二章 动能定理 ★ 第十三章 达朗贝尔原理 第十四章 虚位移原理
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原 理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化 为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。 这种用静力学解答动力学问题的方法，也称为动静 法。
FOx
(m1 m2 )g (m1 m2 )a
FIB
B
a 在本题中不计滑轮的质量，如果要
考虑滑轮的质量，则如何计算？
A
a
m2g
m1g
加上滑轮的惯性力和重力。
FIA
§13-3 刚体惯性力系的简化
应用达朗贝尔原理求解质点系动力学问题必须给各质点虚 加上它的惯性力。对于运动的刚体每个质点加上它的惯性力， 这些惯性力组成一惯性力系。因为刚体有无限个质点，在每个 质点上加惯性力是不可能的，为了应用方便，按照静力学中力 系的简化方法将刚体的惯性力系加以简化，这样在解题时就可 以直接施加其简化结果，使动静法切实可行。
理论力学课件 第十三章 达朗贝尔原理
MO(F) 0
FΙC
r
l 2
MΙC
MΙO
M
0
联立求解，可得
1 7.9rad / s2 2 4.44rad / s2
由ΣFx=0 解得轴承O 水平方向的约束反力
FOy
O
FOx M mg
A
FΙ C
M ΙO
C
M ΙC
m1 g
B
FOx
FC
m1( r1
l 2
2
)
8.91N
由ΣFy=0 解得轴承O 铅垂方向的约束反力
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
由于质点系的内力总是成对出现的，且等值反向共线，它们相互抵消，这样， 上面两式可简化为
Fie FIi 0
MO (Fie )
MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每一个质点上的惯性力 在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理的又一表述形式。
解得
FI mgtan
由于
FI
man
m
v2 lsin
FN
an
v
mg FI
解得
v gl tan sin
【例13-2】 如图所示的列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，摆锤的
质量为m。当车厢向右做匀加速运动时，单摆向左偏转的角度为 ，求车厢
的加速度a。
解：选摆锤为研究对象，受力分析 如图所示。由达朗贝尔原理，列x方向 的平衡方程
解得
FAx FBx 0
FAy 200kN
FBy 200kN
FAz 20kN
z
B FBx
理论力学13—达朗贝尔原理
FI
l Pw2 sin x d x P lw2 sin
0 gl
2g
A
an
FAy FAx
A
dFI B
x
FI
PB x
设力FI 的作用点到点A的距离为d, 由合力矩定理, 有
l
FI (d cos ) 0 (x cos ) d FI
即
l Pw2 sin x 2 dx
d 0 gl
2l
P lw2 sin
积, 方向与质点加速度的方向相反。
13.1 质点的达朗贝尔原理
uur uuur uur
则有
F FN FI 0
即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动力、 约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平 衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。
应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样 做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。 达朗贝尔原理与虚位移原理构成了分析力学的基础。
13.1 质点的达朗贝尔原理
设一质点质量为m, 加速度为a, 作用于质点的主
动力为F, 约束反力为FN 。由牛顿第二定律，有
r uur uuur
ma F FN
FI
将上式改写成
uur uuur r
m F
F FN ma 0
令
uur r
FI ma
FN
a
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点 的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘
代入MIB 和FIC解得
FIC P
FAy
W
G
P
2(M rP) r(G 2P)
P
W
(M rP)
rG 2M
mA
l(
13 达朗贝尔原理
M IC J C
FIC
第十三章 达朗贝尔
例题13-2 均质杆长 l ，质量m，与水平面铰接，杆由与
平面成角位置静止落下，求初始瞬时OA杆的角
加速度及O点支座反力
A
C
O
mg
第十三章 达朗贝尔
例题13-3
绕线轮重为P，半径分别为R 和r ，对质心O的 转动惯量为JO ，在与水平成角的常力T 作用下 作纯滚动，不计滚阻力偶，求轮心O的加速度并
第十三章 达朗贝尔
若将作用于每个质点的力分为内力和外力，则： e i Fi Fi FIi 0 由空间任意力系平衡条件： e i Fi Fi FIi 0 e i M O Fi M O Fi M O FIi 0
它主动力时不论位置如何总能平衡，这叫静平衡 动平衡
若转轴过中心惯性主轴，则刚体转动时不出
现附加约束力，这叫动平衡
•第十三章 达朗贝尔
如图(a)、(b)、(c)、(d)所示定轴转动情形， 哪些情况满足静平衡，哪些情况满足动平衡?
m m
r
r
r
m
2m
r
r
2r
r
m
m m
r
(b)
m
(a )
(c)
(d )
静约束力 附加动约束力
FBz FRz
•第十三章 达朗贝尔
要使附加动约束力为零，则必须有：
FIx FIy 0
M Ix M Iy 0
由定轴转动刚体惯性力计算公式：
FIx maCx FIy maCy 0
M Ix J xz J yz 2 0 M Iy J yz J xz 2 0
理论力学——达郎贝尔原理
力和一个力偶，这个力等于刚体质量与质心的加速度的 乘积，方向与加速度方向相反，作用线通过转轴；这个 力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积， 转向与角加速度相反。
（e） FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
度，标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶， 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB
1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB
1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
（e） FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
度，标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶， 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB
1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB
1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
第13章 达朗贝尔原理(动静法)分析
m2 m 2 g FI 2
解： FI1 m1a, FI 2 m2a
FIti mir mia ,
FIin
mi
v2 r
MO 0, m1g m1a m2g m2ar miar 0
由
FIin
FIti
miar mi ar mar
mi O
FOy
FOx
解得
mg
a
a m1 m2 g m1 m2 m
列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，
当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，
相对于车厢静止。求：车厢的加速度a。
O
FI FT
a
M
mg
解： 选单摆的摆锤为研究对象，虚加惯性力
FI ma (FI ma)
由动静法，得
O
FI FT
a
M
Fx 0 ,
mg x
mg sin FI cos 0
m( l )2 ]
4
7 ml2
48
惯性力系的主矢 惯性力系的主矩
FIR FIi
M IO M 0 FIi
达朗贝尔原理
静力平衡方程解题
Fx 0 Fy 0 MO 0
图示均质杆OA，长度为l ，质量为m。可绕O轴转动， 今用软绳AB悬挂，①试用达朗伯原理求：突然剪断 绳AB瞬间，OA的角加速度及O处的反力；②求杆OA 转至铅直时的角速度。
度 ω、角加速度 绕水平轴O转动。求：惯性
力系向O点的简化结果。
FItO
M IO
FIOn
aCn
aCt
解：
FItO
maCt
1 ml
2
FItO
FIOn
maCn
1 ml 2
第13章 达朗贝尔原理
ml 2α FIn = man = 0 , M IA = J Aα = 3
根据动静法，有
mlα FI = 2
t
∑F = 0 , F ∑F = 0 , F ∑ M (F ) = 0 ,
t n A
n
t n
A
+ mg cos ϕ 0 − FI = 0
t
(1) (2) (3)
A
− mg sin ϕ 0 + FI = 0
达朗贝尔（1717～1783）是法国著名 的物理学家、数学家和天文学家，一生完 成了涉及多个科学领域的论文和专著，其 中最著名的有八卷巨著《数学手册》、力 学专著《动力学》、23卷的《文集》、 《百科全书》的序言等等。他的很多研究 成果记载于《宇宙体系的几个要点研究》 中。 达朗贝尔生前为人类的进步与文明做 出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。但 在他临终时，却因教会的阻挠没有举行任 何形式的葬礼。
Fi + FNi + FIi = 0 ( i = 1,2,...... , n )
质点系中每个质点上作用的主动力、约束反力和 惯性力在形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗 质点系的达朗 贝尔原理。 贝尔原理
Fi + FNi + FIi = 0 ( i = 1,2,...... , n )
将F分为内力和外力，并由空间力系平衡的充要条件： 则有
n
mg cos ϕ 0 ⋅ l / 2 − M IA = 0
由(2)得 : FA = mg sin ϕ 0 ; 3g 由(3)得 : α = cos ϕ 0 ; 2l mg t 代入(1)得 : FA = − cos ϕ 0 。 4
一、质点的达朗贝尔原理
人用手推车时，车在加速 运动过程中，人会感到受到力 的作用，这个力是由于车具有 惯性，力图保持原来的运动状 态对人产生的反抗力，称为惯 惯 性力。 性力
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对于一个质点系，其上每一个质点加上惯性 力后，这些力应与系统所受外力构成平衡力系。 平 Fi FNi FIi 0 解法同静力学一样。 衡 条 M 0 Fi M 0 FNi M 0 FIi 0 件
例1：质量m、长度l的均质杆，以匀角速度ω绕z轴 转动，试求θ角。 z 为简便起见，取杆在yz平面内 解： 1. 受力分析（画上杆所受外力）； 2. 运动分析（画上惯性力）；
FIx mx
FIy m y
采用直角坐标系，
FIz m z
FI m a FIn m a n
采用自然轴系
§1 达朗贝尔原理
FR m a 0 FI ma
FR FI 0
FR m a
1 2 ml 6
3
ml
例2: 约束均质杆（m,l）A端的绳索突然被剪断，试 求此时杆的角加速度α及O处约束力。 FI FOy 解： 1.运动分析 MIC 2.受力分析 注意加惯性力及惯性力偶 惯性力向质心简化
O
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
结论：平动刚体的惯性力系合成为一个作用在质心
的惯性力
FI maC
一、平动刚体惯性力系的简化 对任意质点i FIi mi a 为同向平行力系
质点系的惯性力
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
FI FIi mi a mi a ma
O
η
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
θ
mg
dFI A y
d 2 d FI ma y m sin l
3. Oxi
l l mg sin cos dFI 0 2 0 3g arccos 2 2 l
设合力通过坐标为x,y，z的点则
FIi xi mi xi a mi xi x xc mi a FIi mi
因此惯性力的合力为过质心、大小为
m a ma
i
C
方向与加速度方向相反
二、刚体定轴转动
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
达朗贝尔原理
(动静法)
动力学问题
形式上
第十三章
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
静力学问题
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
达朗贝尔原理可将动力学问题从形式上转 化为静力学问题，根据平衡的理论来求解。 也称动静法。适用于非自由质点、质点系、 刚体、变形体
ω α
FI C
3.平面运动刚体 （运动平面与刚体对称平面平行）
主矢: FI maC
主矩: M IC J C 注意质心加速度有法向与切向
(二）平面刚体
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
向O点简化
主矢 FI m i a i m aC 主矩 M I O M O ( FI i )
§2 刚体动力学中的达朗贝尔原理
刚体为一个质点系，其上每一个 质点加上惯性力后，成为一个分布力 系，此力系应与刚体所受外力构成平 衡力系。 对于刚体，不必每点列平衡方程， 而是事先将惯性力系简化（主矢、主矩 ），用简化后的惯性力系与外力构成平 衡力系。
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(转轴与刚体质量对称面垂直) 在垂直于对称面任一直线AB上的各点 的加速度相等，它们的惯性力可以合 成为在对称面内的一个力FIi，
n FIi mi a FIi FIi
FIτ FIｎ
Mi是直线AB上所有各点的质量之和。 这样，原来由刚体各质点的惯性力组 成的空间力系，就可简化为在对称面 内的平面力系 刚体质量m,质心加速度aC,角速度 ω,角加速度α
ω
α O
ri i
FIit
FIin
mi ri ri J O
O
若转轴过质心，则惯性力系 简化的结果仅为一力偶，其矩与 角加速度方向相反，MIC=JCα
FI
MIO
三、刚体平面运动
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MIC
aC
α
C
只考虑有对称平面，且对 称平面与运动平面平行的情况
ω α FI O
MIO
2
FIn a
C
FI C
J O m OC ( J O m OC ) J C
主矢和主矩作用在形心位置
2
aC
MIC C FI
三、平面运动刚体惯性力系的简化
（运动平面与刚体对称平面平行） 对质点i 主矢: 主矩:
惯性系中：
0 FR ma FR FI
达朗贝尔原理将动力学加速度问题形 式上转换成静力学中的平衡问题，也 叫动静法
ma a
FW
FI
一、质点的达朗贝尔原理
则有 F FN FI 0
记 FI ma
ma FR F FN F FN ma 0
可将空间惯性力系简化为在对称平面内的力系 （相当于将刚体压扁到对称平面内）
在对称面内向O点简化
主矢 FI FIi mi ai maC
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主矩 M IO
MO mi ii mi ii
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向质心C简化的结果：
O
FI
FI ma C M IC J C
向杆端A简化的结果：
C
MIC
FI A
MIA
aC
FI ma C
M IA M IC
2 l l FI J C m J A 2 2 1 2
一、刚体平动
对任意质点i FI i mi a
合力
z
FI FIi ri mi y
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FI mi a maC
r
o
合力作用位置
x
a
r FI ri FI i ri mi a
ri mi a rC m a rC FI
(一）刚体有与转 轴垂直的对称面
FIjn
l
j FIjt
z
z
结论：可将空间 惯性力系简化为 F i Iit 在对称平面内的 FIin ω 力系（相当于将 l α 刚体压扁到对称 O 平面内）
ω α
O
y x
y
x
二、定轴转动刚体惯性力系的简化
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FOx
O
C
A
mg
α
C A
ac
FI ma C
M I C J C
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3.平衡方程
FI FOy MIC FOx O
C
A
M Oi
Fiy FOy ma C mg 0 （2）
l J C ma C mg 0 （ ） 1 mg 2
M
称为质点的惯性力， 与加速度方向相反
a FN
F
FR
F FN FI 0
在质点运动的每一瞬时，如果在质点上加上惯性力， 则作用于质点的主动力、约束力与惯性力成平衡。此 为达朗贝尔原理
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质点实际上做加速运动，平衡是指数学形式上的平衡。 这样可根据静力学的平衡理论来求解动力学问题。
ω α
MIO
O
FI C
aC
主矢和主矩作用在转动轴与对称平面相交的O点处
在对称面内向质心C简化
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主矢
FI maC
主矩 M Ic M IO MC FI n J O MC FI MC FI 0 J O FI oc J O mac oc
Fix FOx 0 （3）
4.补充方程
FOx 0 ; FOy 3g 2l
1 mg ; 4
aC l / 2
例3: 约束均质杆A端的绳索突然被剪断，试求杆转 到任一位置时的角加速度 、角速度及O处约束力 FOy 解： 1.运动分析 FIτ A FOx O 2.受力分析 C M F ma M J F ma
α
FI
＝
aC
+ FI
MIC
主矢 主矩
FI m i a i ma C M I C J C
另外，定轴转动是平面运动的一个特例，因此 也可以把惯性力系向质心简化，结论同上。
练习：质量为m，长l的均质杆OA该瞬时角速度为零， 角加速度为，试求将杆的惯性力系向A点简化的结 果。
§9-1
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例1：质量m、长度l的均质杆，以匀角速度ω绕z轴 转动，试求θ角。 z 为简便起见，取杆在yz平面内 解： 1. 受力分析（画上杆所受外力）； 2. 运动分析（画上惯性力）；
FIx mx
FIy m y
采用直角坐标系，
FIz m z
FI m a FIn m a n
采用自然轴系
§1 达朗贝尔原理
FR m a 0 FI ma
FR FI 0
FR m a
1 2 ml 6
3
ml
例2: 约束均质杆（m,l）A端的绳索突然被剪断，试 求此时杆的角加速度α及O处约束力。 FI FOy 解： 1.运动分析 MIC 2.受力分析 注意加惯性力及惯性力偶 惯性力向质心简化
O
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结论：平动刚体的惯性力系合成为一个作用在质心
的惯性力
FI maC
一、平动刚体惯性力系的简化 对任意质点i FIi mi a 为同向平行力系
质点系的惯性力
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FI FIi mi a mi a ma
O
η
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θ
mg
dFI A y
d 2 d FI ma y m sin l
3. Oxi
l l mg sin cos dFI 0 2 0 3g arccos 2 2 l
设合力通过坐标为x,y，z的点则
FIi xi mi xi a mi xi x xc mi a FIi mi
因此惯性力的合力为过质心、大小为
m a ma
i
C
方向与加速度方向相反
二、刚体定轴转动
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达朗贝尔原理
(动静法)
动力学问题
形式上
第十三章
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静力学问题
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达朗贝尔原理可将动力学问题从形式上转 化为静力学问题，根据平衡的理论来求解。 也称动静法。适用于非自由质点、质点系、 刚体、变形体
ω α
FI C
3.平面运动刚体 （运动平面与刚体对称平面平行）
主矢: FI maC
主矩: M IC J C 注意质心加速度有法向与切向
(二）平面刚体
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向O点简化
主矢 FI m i a i m aC 主矩 M I O M O ( FI i )
§2 刚体动力学中的达朗贝尔原理
刚体为一个质点系，其上每一个 质点加上惯性力后，成为一个分布力 系，此力系应与刚体所受外力构成平 衡力系。 对于刚体，不必每点列平衡方程， 而是事先将惯性力系简化（主矢、主矩 ），用简化后的惯性力系与外力构成平 衡力系。
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(转轴与刚体质量对称面垂直) 在垂直于对称面任一直线AB上的各点 的加速度相等，它们的惯性力可以合 成为在对称面内的一个力FIi，
n FIi mi a FIi FIi
FIτ FIｎ
Mi是直线AB上所有各点的质量之和。 这样，原来由刚体各质点的惯性力组 成的空间力系，就可简化为在对称面 内的平面力系 刚体质量m,质心加速度aC,角速度 ω,角加速度α
ω
α O
ri i
FIit
FIin
mi ri ri J O
O
若转轴过质心，则惯性力系 简化的结果仅为一力偶，其矩与 角加速度方向相反，MIC=JCα
FI
MIO
三、刚体平面运动
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MIC
aC
α
C
只考虑有对称平面，且对 称平面与运动平面平行的情况
ω α FI O
MIO
2
FIn a
C
FI C
J O m OC ( J O m OC ) J C
主矢和主矩作用在形心位置
2
aC
MIC C FI
三、平面运动刚体惯性力系的简化
（运动平面与刚体对称平面平行） 对质点i 主矢: 主矩:
惯性系中：
0 FR ma FR FI
达朗贝尔原理将动力学加速度问题形 式上转换成静力学中的平衡问题，也 叫动静法
ma a
FW
FI
一、质点的达朗贝尔原理
则有 F FN FI 0
记 FI ma
ma FR F FN F FN ma 0
可将空间惯性力系简化为在对称平面内的力系 （相当于将刚体压扁到对称平面内）
在对称面内向O点简化
主矢 FI FIi mi ai maC
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主矩 M IO
MO mi ii mi ii
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向质心C简化的结果：
O
FI
FI ma C M IC J C
向杆端A简化的结果：
C
MIC
FI A
MIA
aC
FI ma C
M IA M IC
2 l l FI J C m J A 2 2 1 2
一、刚体平动
对任意质点i FI i mi a
合力
z
FI FIi ri mi y
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FI mi a maC
r
o
合力作用位置
x
a
r FI ri FI i ri mi a
ri mi a rC m a rC FI
(一）刚体有与转 轴垂直的对称面
FIjn
l
j FIjt
z
z
结论：可将空间 惯性力系简化为 F i Iit 在对称平面内的 FIin ω 力系（相当于将 l α 刚体压扁到对称 O 平面内）
ω α
O
y x
y
x
二、定轴转动刚体惯性力系的简化
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FOx
O
C
A
mg
α
C A
ac
FI ma C
M I C J C
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3.平衡方程
FI FOy MIC FOx O
C
A
M Oi
Fiy FOy ma C mg 0 （2）
l J C ma C mg 0 （ ） 1 mg 2
M
称为质点的惯性力， 与加速度方向相反
a FN
F
FR
F FN FI 0
在质点运动的每一瞬时，如果在质点上加上惯性力， 则作用于质点的主动力、约束力与惯性力成平衡。此 为达朗贝尔原理
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质点实际上做加速运动，平衡是指数学形式上的平衡。 这样可根据静力学的平衡理论来求解动力学问题。
ω α
MIO
O
FI C
aC
主矢和主矩作用在转动轴与对称平面相交的O点处
在对称面内向质心C简化
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主矢
FI maC
主矩 M Ic M IO MC FI n J O MC FI MC FI 0 J O FI oc J O mac oc
Fix FOx 0 （3）
4.补充方程
FOx 0 ; FOy 3g 2l
1 mg ; 4
aC l / 2
例3: 约束均质杆A端的绳索突然被剪断，试求杆转 到任一位置时的角加速度 、角速度及O处约束力 FOy 解： 1.运动分析 FIτ A FOx O 2.受力分析 C M F ma M J F ma
α
FI
＝
aC
+ FI
MIC
主矢 主矩
FI m i a i ma C M I C J C
另外，定轴转动是平面运动的一个特例，因此 也可以把惯性力系向质心简化，结论同上。
练习：质量为m，长l的均质杆OA该瞬时角速度为零， 角加速度为，试求将杆的惯性力系向A点简化的结 果。
§9-1
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