四川大学理论力学第十三章

合集下载

理论力学习题解答(8-13章)

理论力学习题解答(8-13章)
力的平衡条件
对于一个物体,如果受到的合力为零,则该物体处于力的平衡状态。
力的平衡与运动状态
力的平衡状态下,物体的运动状态保持不变,即速度和方向都不发生变化。
力矩是力和力臂的乘积,表示力对物体转动作用的物理量。
力矩概念
力矩的方向
力矩的几何意义
力矩的方向按照右手定则确定,即右手四指从转动轴指向力的方向,大拇指指向转动方向。
动量定理,描述了物体加速度与其所受合外力之间的线性关系。
详细描述
牛顿第二定律,也被称为动量定理,表述为F=ma,其中F代表合外力,m代表质量,a代表加速度。该定律揭示了物体的加速度与作用在物体上的力成正比,与物体的质量成反比。
牛顿第二定律
作用与反作用定律,描述了作用力和反作用力大小相等、方向相反的特性。
伯努利方程
层流与湍流,定常流动与非定常流动,一维、二维、三维流动。
流体流动的分类
流体质量守恒,流量连续,无质量亏损或增加。
连续性方程
流体动力学基础
03
拉格朗日法
追踪流体质点运动的方法,描述流场中质点位置随时间变化。
01
微元体分析法
对流场中微小体积元进行分析,列出流体运动和力的平衡方程。
02
欧拉法
描述流体运动随时间变化的方法,基于流体质点运动观点。
天体运动的计算方法
天体运动的计算方法通常涉及到对万有引力定律的应用,以及运用运动学和动力学原理。
总结词
在计算天体运动时,首先需要确定天体的质量、位置和速度等参数,然后根据万有引力定律计算出天体之间的相互作用力。接着,运用牛顿第二定律和运动学原理,可以求解出天体的加速度、速度和位移等参数。最后,通过比较理论计算结果和观测数据,可以对天体运动的规律进行验证和预测。

理论力学第十三章达朗贝尔原理

理论力学第十三章达朗贝尔原理

aIN第十三章 达朗贝尔原理[习题13-1] 一卡车运载质量为1000kg 的货物以速度h km v /54=行驶。

设刹车时货车作匀减速运动,货物与板间的摩擦因数3.0=s f 。

试求使货物既不倾拿倒又不滑动的刹车时间。

解:以货物为研究对象,其受力如图所示。

图中, 虚加惯性力之后,重物在形式上“平衡”。

货物不滑动的条件是:即货物不滑动的条件是:)(1.5s t ≥…………(1) 货物不倾倒(不向前倾倒)的条件是:)(06.38.93030s g t ==≥…………(2) (1)(2)的通解是)(1.5s t ≥。

即,使货物既不倾拿倒又不滑动的刹车时间是)(1.5s t ≥。

[习题13-2] 放在光滑斜面上的物体A ,质量kg m A 40=,置于A 上的物体B ,质量kg m B 15=;力kN F 500=,其作用线平行于斜面。

为使A 、B 两物体不发生相对滑动,试求它们之间的静摩擦因素s f 的最小值。

解:以A 、B 构成的质点和系为研究对象,其受力如图所示。

在质心加上惯性力后,在形式上构成平面一般“平衡”力系。

以B 为研究对象,其受力如图所示。

由达朗伯原理得:305.05.0191.48.9866.0191.430sin 30cos 00=⨯+⨯=+≥a g a f s ,即: [习题13-3] 匀质杆AB 的质量kg m 4=,置于光滑的水平面上。

在杆的B 端作用一水平推力N F 60=,使杆AB 沿F 力方向作直线平动。

试求AB 杆的加速度a 和角θ的值。

解:以AB 杆为研究对象,其受力与运动分析如图所示。

由达朗伯原理得:[习题13-4] 重为1P 的重物A ,沿光滑斜面D 下降,同时借一绕过滑轮C 的绳子而使重为2P 的重物B 运动,斜面与水平成θ角。

试求斜面D 给凸出部分E 的水平压力。

解:以A 为研究对象,其受力与运动分析如图所示。

由达朗伯原理得:EN D0sin 11=--a gP T P B θ………(1) 以B 为研究对象,其受力与运动分析如图所示。

第13章理论力学

第13章理论力学

第十三章达朗贝尔原理(动静法)达朗贝尔原理:用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题,因此又称为动静法。

第四篇分析力学基础包含第十三章达朗贝尔原理(动静法)和第十四章虚位移原理()e C i ma F ⎧=∑⎪⎨⎪⎩ ()()e C CJ M F α=∑ 应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理------刚体平面运动微分方程:()()()()00e i Ii e c i c Ii F M F M F ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩∑∑∑∑ 这是外力系的主矢这是外力系的主矩()()()00e i Ce cc iF ma dL M F dt ⎧∑-=⎪⎨-=⎪⎩∑ IR C F ma ⎧=-⎪⎨⎪⎩Ic c M J α=-称为惯性力系的主矢称为惯性力系的主矩()()()00e i IR e c i Ic F F M F M ⎧-=⎪⎨-=⎪∑∑这就是达朗贝尔原理N§13-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理N ma F F =+N F F ma +-=I F ma =-→令称为惯性力。

N I F F F ++= 有:质点的达朗贝尔原理:作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡汇交力系。

由牛顿第二定律,有F a =--∑ 为合力,方向与相同这是合成方程形式这是平衡方程形式mamFN F I F非平衡的刚体,产生加速度,产生惯性力。

将惯性力看作外力,加到非平衡力系中,使非平衡力系变成平衡力系.例13-1:已知:60,m 3.0,kg 1.0===θl m 求:, .Tv Fθsin 2l vmma F n n I==0T I mg F F ++= 0,0,b n F F ⎧=⎪⎨=⎪⎩∑∑解得:N96.1cos ==θmgF T s m1.2sin 2==ml F v T θ解:小球作均匀速圆周运动,只有法向惯性力:重力、绳拉力、惯性力形式上组成平衡力系。

列平衡方程:1cos 0sin 0nT I F mg F F θθ-=⎧⎨-=⎩TF IF 就是离心力。

四川大学理论力学时PPT课件

四川大学理论力学时PPT课件

面内落下。点C的初始高度为h。开始时杆系静
止,求铰链C与地面相碰时的速度v。
A
解:取杆AC,当铰链 C 与地面相碰时,速度 瞬心 D 与 A 重合。根据对称性,由动能定理得
2TAC
0
2mg
h 2
2
1
1
ml2
vC
2
mgh
2 3 l
1 k
m2 g2 2kmgh
由于弹簧的变形量是正值,因此取正号,即
δmax
mg k
1 k
m2 g2 2kmgh
第33页/共52页
例2、链条长l,质量m,展开放在光滑的桌面 上,如图所示。开始时链条静止,并有长度为a的 一段下垂。求链条离开桌面时的速度。
解:将链条分为两段考虑,下垂段重力作功为
桌面段重力作功为 由动能定理得
W12 (mzC1 mzC2 )g mg(zC1 zC2 )
即质点系重力的功等于质点系的总重量与其重心 高度差之乘积,重心降低为正,重心升高为负。
重力的功与路径无关,仅取决于重心的始末位置。
第6页/共52页
(2)弹性力的功
设弹簧刚性系数为k,弹簧变形为,则弹力为
弹性力的功为
F k
W
动惯量为2mr2/5 )。
C
JO
1 3
ml2
2 5
mr2
m(l
r)2
m 20l 2 21r2 30lr 15
T
1 2
J
O
2
m 30
20l 2 21r 2 30lr
2
第24页/共52页
例4. 己知长l的杆和半径为r的均质圆盘质量均为m, 均质圆盘沿水平面纯滚,质心速度为u,试求图示位 置时系统的动能。

课件:13理论力学讲义-第十三讲2004.10.27

课件:13理论力学讲义-第十三讲2004.10.27

d
dt
d d dt d
/2
d d
an
0
0
an r
a r
a a 2 an2 a
ωα
a a 2 an2 r 1 2
arctg a arctg 1 17.7
an
§8-4 绕定轴转动刚体的传动问题
14
ω1 α1

o
M1
R1v
M2
ω2α2
O
齿轮传动:

R2
设齿轮Ⅰ:节圆R1、ω1、α1,齿轮Ⅱ:节圆R2、ω2、α2 接触点无滑动,故
O
vM r sin t aM r2 cost
§8-2 刚体的定轴转动
9
定轴转动:
当刚体运动时,刚体内某一直线上的所有各 点始终保持不动,这种运动称为刚体的定轴 转动,简称转动,这条不动的直线称为转轴 转动的度量?
§8-2
10
转动的度量: φ=φ(t) 刚体的定轴转动方程
φ角位移
刚体的定轴转 动y
8 例8-1:曲柄滑块机构中,当曲柄OA在平面上绕定轴O转动时,
通过滑槽连杆中的滑块A的带动,可使连杆在水平槽中沿直线 往复滑动。若曲柄OA的半径为r,曲柄与x轴的夹角为ф=ωt, 其中ω是常数,求此连杆在任一瞬时的速度及加速度。
y
解: (1)取M点代表连杆
A
(2)取坐标系Oxy
r
ф
M
x
xM r cost
12 s r(t) v r a r an r2
a a 2 an2 (r )2 (r2 )2 r 2 4
arctg a
an
arctg 2
结论:
转动刚体内任一点的速度和加速度的 大小都与该点至转轴的距离成正比;

理论力学13Hppt课件-PPT精品文档

理论力学13Hppt课件-PPT精品文档

1 2 T mv C 2
2.定轴转动刚体
vi=ri
ri
mi
vi
2 2 1mv2 1 T ( m r i i i i ) 2 2
2 2 1 m ir i 2




1 T J z 2
2
15
3.平面运动刚体
1 T J P 2 2
(P为速度瞬心
JP JC md2 )
d vd m r F d r d t
r m d v d F d r d t
1 2 将上式沿路径M1M2积分, d ( mv ) W 12
第三篇 《动力学》
第十章 第十一章 第十二章 第十三章 第十四章 第十五章 质点动力学的基本方程 动量定理 动量矩定理 动能定理 达朗伯原理 虚位移原理
1
第十三章
§13–1 §13–2 §13–3 力的功
动能定理
质点和质点系的动能 动能定理
§13–6
动力学普遍定理及综合应用
3
§ 13-1
力的功
一.常力的功
二.变力的功
三.常见力的功 1.重力的功 2.弹性力的功 3.定轴转动刚体上作用力的功,力偶的功
4
一.常力的功 质点作直线运动,路程为S, (M1→M2),力在位移方向
上的投影为Fcos ,力F在路程S 中所作的功为:
W FS cos
FS
力的功是代数量:
2
时,正功;
d r d x i d y j d z k

θ
F d r F d x F d y F d z x y z
W F d x F d y F d z x y z

理论力学(机械工业出版社)第十三章达朗伯原理习题解答

理论力学(机械工业出版社)第十三章达朗伯原理习题解答

习 题13-1 如图13-16所示,一飞机以匀加速度a 沿与水平线成仰角b 的方向作直线运动。

已知装在飞机上的单摆的悬线与铅垂线所成的偏角为f ,摆锤的质量为m 。

试求此时飞机的加速度a 和悬线中的张力F T 。

图13-16ma F =I 0cos sin 0I T =-=∑βϕF F F xϕβsin cos IT F F =0sin cos 0I T =--=∑mg F F F y βϕ0sin cos sin cos I I =--mg F F βϕϕβ0sin )cos(I=-+mg F ϕβϕ mgma=+ϕβϕsin )cos()cos(sin βϕϕ+=g amg maF F )cos(cos sin cos sin cos I T βϕβϕβϕβ+===13-2 球磨机的简图如图13-17所示,滚筒作匀速转动,内装钢球及被粉碎的原料,当钢球随滚筒转到某一角度f 时,将脱离筒壁作抛射运动,由于钢球的撞击,从而破碎与研磨原料。

已知钢球脱离筒壁的最佳位置'4054︒=ϕ,滚筒半径R =0.6m 。

试求使钢球在'4054︒=ϕ处脱离滚筒的滚筒转速。

图13-172n I ωmR ma F == 0cos 0I N n =-+=∑F mg F F ϕ)cos (cos cos 22I N ϕωϕωϕg R m mg mR mg F F -=-=-=令0N =F0cos 2=-ϕωg RR g ϕωcos =min r/35.296.00454cos 8.9π30cos π30π30='︒⨯===R g n ϕω13-3 一质量为m 的物块A 放在匀速转动的水平转台上,如图13-18所示。

已知物块的重心距转轴的距离为r ,物块与台面之间的静摩擦因数为s μ。

试求物块不致因转台旋转而滑出时水平转台的最大转速。

图13-182n I ωmr ma F == 00N =-=∑mg F F ymg F =N00I =-=∑F F F x0N s 2=-F mr μω 0s 2=-mg mr μωrgs μω=rgn s max π30π30μω==13-4 离心调速器的主轴以匀角速度w 转动,如图13-19所示。

第十三章-压杆稳定

第十三章-压杆稳定
2.请读者思考:如果两根槽钢只在两端连接,这时上述稳定计算和强度计算会不会发生变化?
例题13.8图13-8所示正方形桁架结构,由五根圆截面钢杆组成,连接处均为铰链,各杆直径均为d=40 mm,a=1 m。材料的λp=110,λs=60,E=200 GPa,经验公式为 ,nst=1.8。试求结构的许可载荷。
第十三章压杆稳定
1基本概念及知识要点
1.1基本概念
理想受压直杆、理想受压直杆稳定性、屈曲、临界压力。
1.2临界压力
细长压杆(大柔度杆)用欧拉公式计算临界压力(或应力);中柔度杆用经验公式计算临界压力(或应力);小柔度杆发生强度破坏。
1.3稳定计算
为了保证受压构件不发生稳定失效,需要建立如下稳定条件,进行稳定计算:
压杆的柔度
iy=iz=i
由于
所以,λ>λP压杆为大柔度杆
用欧拉公式计算临界压力
例题13.4所示工字钢直杆在温度t1=20℃时安装,此时杆不受力,已知杆长l=6m,材料的λP=132,E= 200GPa,线膨胀系数α=12.5×10-6/℃。试问当温度升高到多少度时杆将失稳。
[解]
随着温度的升高,直杆在杆端受到压力FA=FB,当两端压力达到压杆的临界压力即:FA=FB=Fcr时,压杆将失稳。
由压杆稳定条件
则许用外载荷
FP≤139.2kN
3.计算由AC杆稳定条件确定的许用外载荷
AB杆的柔度
用欧拉公式计算压杆的临界应力:
由压杆稳定条件
则许用外载荷
FP≤240.6kN
4.确定整个结构的许用载荷
由稳定计算结果可知,结构的许用载荷为
[FP]=139.2kN
解题指导:
对于这类题目,所确定的载荷要确保整个结构所有受压杆件匀不失稳。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

13.4 虚位移原理
一、 虚位移的计算
本节讨论如何确定非自由质点系的虚位移之间的关系, 仅研究定常的完整系统, 常用的方法有几何法和解析法。

几何法 在定常约束的情况下,实位移是虚位移中的一 个, 而质点的实位移是与其速度成正比的, 故可 用求速度的几何法来分析各质点的虚位移之间 的关系, 这就是几何法的主要思路。

x = (x1+ x2 )/2
由题意 • •
y = (y1+ y2)/2
• •


y/ x = (y1-y2)/(x1-x2 )
• •
故非完整约束方程为 (y1+ y2)/(x1+ x2 )= (y1-y2)/(x1-x2 )
13.2 广义坐标及自由度
适当选取的唯一确定质点系位置的一组独立变 量称为广义坐标(generalized coordinate)。对于完 整系统(仅受完整约束的系统),其广义坐标数即为 系统的自由度(degree of freedom)。 z z=b θ r (x,y) y x
球 面 摆
y l
O
x
z
约束方程:
m
x2 + y2 + z2 = l2
■ 单面约束与双面约束
在约束方程中用严格的等号表示的约束称为 双面约束(bilateral constraint),含有不等号表示的 约束称为单面约束(ulilateral constraint) 。例如在 球面上运动的质点,如果规定质点不能离开球面, 则约束是双面的;否则,约束就是单面的。
关于虚功原理与刚体静力学平衡条件的两点说明: (1) 虚功原理常常被认为是更普遍的原理;
(2) 虚功原理的基本思想是一种变分原理的思想。
■ 理想约束
如果质点系所受的约束力在任意虚位移上 的元功总和为零,则该约束称为理想约束(ideal constraint)。 这是理想约束的一般定义,显然,在定常约束 的情况下,它与原有的定义没有区别。但在非 定常约束的情况下,它们是不同的。
的柔 单绳 摆连 接
x
y
l z
单面约束
约束方程:
m
x2 + y2 + z2 ≤ l2
■ 定常约束与非定常约束
约束方程不显含时间t的约束称为定常约束或 稳定约束(scleronomic constraint); 反之, 如果约束 方程显含时间t, 则称为非定常约束或不稳定约束 (rheonomic constraint) 。
B l

r
O
A x

O
y l1

双数学摆
1
xA2 + yA2 = l12
A
(xB-xA )2 +(yB-yA)2 = l22
l2 B

2
x
系统的自由度为2, 可在xA、yA 、 xB 和 yB 中任选2个能唯一确定系 统位形的变量作为广义坐标, 当 然也可以选取θ1和θ2 。
广义坐标不一定是直角坐标,也可以是球坐标、 柱坐标、角度、距离、面积等等,只要它是一组能 唯一确定系统位形的独立变量就行。
的摆 单长 摆可 变
x
y
u
l
z
约束方程:
m
x2 + y2 + z2 ≤ [l(t)]2
u
O
l
x 约束方程:
非定常约 束的例子
m
(ut-x)2 + y2 = l2
R=at2zy来自约束方程:y x
x2 + y2 + z2 ≥ a2t4
■ 完整约束与非完整约束
只限制系统中各质点的 位置的约束称为几何约束 (geometrical constraint),其 约束方程是坐标和时间的 有限方程。 y
13.3 虚位移
本节将引入可能位移、实位移和虚位移的概念,研究它 们之间的关系,以及它们要满足的条件。
■ 可能位移(possible displacement) ——是指约 束所允许的系统的任何一组无限小位移。 dr A dr'

drA
B

drA'
drB
drB'
O
■ 实位移 在无限小时间间隔dt内,系统的真实运动所产生 的位移称为实位移(actual displacement)。 所谓真实运动,是指既满足约束方程又满足运动 微分方程和初始条件的系统运动。因此,在任意时 刻,系统的实位移是唯一的,并且是可能位移之一。 但反过来,任意一组可能位移则不一定是实位移。
O
y l1

1
A
δ xA l1 sin 1 δ1 δ y A l1 cos1 δ1
2
x
l2 B

δ xB l1 sin 1 δ1 l2 sin 2 δ2 δ yB l1 cos1 δ1 l2 cos2 δ2
二、 虚位移原理
δrD D

δrA A θ+
θ δrB

O
δ r D 2δ r A
δ r Bcos δ r Asin( ) δ r D 2δ r A
δ r B δ r Asin( ) / cos

例2 图示双数学摆,已 知l1和l2, 试确定A 和B 的虚位移之间的关系。 解: 系统的自由度为 2 , 取θ1和θ2为广义坐 标,如图所示有
D 30°
A

F1
E
l F2 60° B
提示: 此题是应用虚功原理求系统的平衡位置, 考虑如何将二主动力的虚功表示为某个独立变 分(例如δ )的函数。
解: 取y轴铅直向上, 由虚功原理有
– F1δyD – F2δyE = 0 因为 yD = AD sin 30°
y
C
D 30°
A

F1
E
l F2 60° B
F1 δrA
+
M
F2
B
A δrB


O
δ
δrB = δrA sin( + )/ cos
F2 sin( ) M ( 2 F1 sin )rA 0 cos R RF2 sin( ) M 2 RF1 sin cos
例2 小球D和E重F1和F2 ,可分别沿固定的光滑金 属丝AC和BC滑动, 二球用一根不可伸长的绳连接, 如图所示,试求平衡时的 角。 C
而 AD = AC – l cos α
yD = (AC – l cos α)/2
同理可得
1 yD l sin 2
3 yE l cos 2
3 yE ( BC l sin ) 2
1 yD l sin 2 3 yE l cos 2
y
A(x1, y1)

v
• M (x, y)

两质点用长为l的刚性轻 杆连接,在水平面上运动,杆 中点M的速度只能沿杆向。 几何约束方程为:
B (x2, y2)
(x1-x2 )2 +(y1-y2)2 = l2 x
杆的中点坐标为:
O
• • •
x = (x1+ x2 )/2
y = (y1+ y2)/2
第13章 虚位移原理
虚位移原理是以分析的方法研究非自由质 点系的平衡问题,该原理不但能简捷地处理非 自由质点系的静力学问题,而且结合达朗贝原 理还能建立普遍形式的动力学微分方程。
13.1 约束及其分类
对质点系运动的限制条件称为约束(constraint), 约束条件的数学表达式称为约束方程或约束不等 式。

虚位移
在定常约束的情况下, 可能位移就是虚位移 (virtual displacement)。在非定常约束的情况下, 虚位移是约束被‘冻结’后的可能位移。
δr
δr'
定 常 约 束
z
dr' dr○ u t+dt
非定常约束
约束方程:
δr

t
y
z-ut = 0 dz = udt
可能位移dr在z方向 的投影等于udt。
沿水平直线纯 滚的圆盘
A
vA
x
dx A d r dt dt
上述约束为运动约束,但其约束方程可积分为 有限形式,从而转化为几何约束。几何约束和可 积分的运动约束称为完整约束(holonomic constraint)。这里‘可积分’的意思是不依赖于 运动方程而单独积分成有限形式。不可积分的运 动约束称为非完整约束(nonholonomic constraint) 。
– F1 δyD – F2 δyE = 0
1 3 ( F1l sin F2l cos ) 0 2 2
3F2 arctan F1
解: D、E的虚位移如图示。由虚功原理可得
rE C
D l 30° rD F1 A
E F2 60° B
F1r D sin 30o F2r E cos30o 0
x
δz=uδt=0 虚位移δr在z方向的投影等于零。
等时变分运算与微分运算相同,但δt≡0。
注意:
(1) 可能位移和虚位移是纯碎的几何概念,它们不涉 及系统的实际运动,与运动方程和初始条件无关。 实位移是系统真实运动产生的位移,是可能位移 中的一个。
(2) 一般说,系统的可能位移和虚位移都不是唯一的, 在不破坏约束的前提下, 具有一定的任意性; 但实 位移却是唯一的。 (3) 在定常约束的情况下,虚位移与可能位移相一致, 实位移是虚位移中的一个。在非定常约束的情况 下,虚位移是约束被‘凝固’后的可能位移,实位 移是可能位移中的一个,但不是虚位移中的一个。
相关文档
最新文档