四川大学理论力学第十二章

MIC=∑MC(FIi) =∑ri×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ– mi a) = – (∑ mi ri)×a = – mrC×a = 0
■ 定轴转动
仅考虑工程中常见的具有垂直于转轴z的质量对 称平面S的简单情况。首先将惯性力系简化为对称 平面S内的平面力系,然后再向z轴与S的交点O简化。 因为
∑Mz(FIin) = 0
mi
上式表明, 无论刚体作什么运动,惯性力系的主矢 都等于刚体质量与质心加速度的乘积, 方向与质 心加速度方向相反。
二、 惯性力系的主矩
一般说来,刚体惯性力系的主矩既与刚体的运 动形式有关,又与简化中心的位置有关。下面仅 就最常见的三种刚体运动形式进行讨论。
■ 平动
向质心简化。设刚体的平动加速度为a , 质元 mi 相对于质心的矢径为ri , 于是可得
14.2 质点系的动静法
考虑由n个质点组成的质点系,对其中每个质点 应用达朗贝尔原理得
Fi +FNi +FIi = 0
式中
i=1,2, …,n
FIi =－miai
将这样n个形式上的平衡力系加在一起仍然是一 个平衡力系,根据平衡条件可得
∑(Fi +FNi +FIi) = 0 ∑MO(Fi) +∑MO(FNi) +∑MO(FIi) = 0
理论力学
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第12章
动静法
动静法提供了一个研究非自由质点系动力学 问题的普遍方法,在工程力学中有极其广泛的应 用。
该方法的特点是在引入虚加惯性力之后 , 用 静力学中研究平衡问题的方法来处理动力学中 不平衡的问题，故称动静法。
12.1 质点的动静法
由牛顿第二定律有 F +FN = ma FI = ma 令 ——惯性力 则上式可写成 F +FN +FI = 0 上式表明，如果在质点上除作用有主动力及约束力 外,再假想地加上惯性力,则这些力在形式上构成平 衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。 这种在加速运动的质点上虚加一个惯性力,而把动 力学问题在形式上转化为静力学问题的方法称为动 静法。
×
×
×
×
×
2. 直角形刚性杆OAB中均质杆AB的质量为m, OA的 质量不计, AB=2R, OA=R。图示瞬时绕O轴转动的角 速度与角加速度分别为ω与, 试求AB的惯性力系向 O点简化的结果。
FIR maC
n n
MIO
F IR
F IR
M IO
t
a Cn
n

2mR
t
2
a Ct
FIR maC
FI M F a
FR
FN
动静法的优点在单个质点的动力学问题中是难于 体现的,它主要表现在非自由质点系特别是刚体的动 力学问题中。 F = -ma
■ 关于惯性力的慨念
F' = -F = -ma
F F' a FI
I
关于惯性力的慨念
如果就研究对象本身而言,惯性力显得是虚加的, 但确有方向与a相反，大小等于ma的力存在，它作 用在使质点运动状态（速度v）发生改变的物体上。
ai = aC + aiCn + aiCt
对应的惯性力可表示为

t
FIi =
显然
FIiC
+
FIin
+ FIi
C
F Ii F Ii
C t
aC
aiCn
mi
F Ii
n
S
aC
∑MC(FIin) = 0
aiCt
而
∑MC(FIiC ) = ∑ri×(– mi aC) = – (∑ miri )×aC = – mrC×aC = 0 MIC =∑MC(FIit) = –∑ri (miaiCt ) = = – (∑mi ri2) = – JC
a O

B
C
FIB k
FIA = m2a FIB = m1a
FIA a
A α
M IC 1 2 m1r
2
a r

1 2
m1ra
8. 图示飞轮由于安装的误差,其质心不在转动轴 上。若飞轮质量为m,偏心距为e,飞轮以匀转速ω 转动,试求轴承A处的附加动反力。
l
l
解: 飞轮静止时,由静载荷引起的轴承的反力称为 静反力,即
14.3 刚体惯性力系的简化
将质点系的动静法用于刚体时 , 由于惯性力是 体积力 , 在每个质点上虚加惯性力实际上是不可 行的。为此 , 需要研究刚体惯性力系的简化。用 惯性力系的主矢和向某一点简化的主矩来代替与 之等效的惯性力系。
一、 惯性力系的主矢 FIR=∑FIi =－∑miai ∑miai = maC FIR=－maC
静平衡的刚体在转动时,是否还可能产生附 加动反力呢?
FI2
FNA FNB FI1
为了消除附加动反力,除了要求静平衡之外, 还要求惯性力系在通过转轴的平面内的惯性力 系的主矩(惯性力偶矩)也等于零,即惯性力系自 成平衡力系。这种现象称为动平衡。
怎样才能使旋转的物体达到动平衡呢？
研究表明，当旋转轴为刚体（或质点系）质 量的对称轴，轴承的动反力为零；这样的轴被 称为中心惯性主轴。所以动反力为零的充分与 必要条件是：刚体的转轴是中心惯性主轴。 动平衡的刚体一定是静平衡的，静平衡的刚 体不一定是动平衡的。 工程中为消除高速旋转刚体的附加动反力， 必须先使其静平衡，即把质心调整到转轴上， 然后再通过增加或减少某些部位的质量使其动 平衡，动平衡一般在动平衡机上进行。
习题: P.349 12-2, 12- 4, 12- 5
F'NA = F'NB = mg / 2
当飞轮匀速转动时,虚加惯性力如图示,其大小为
FIR = maC = meω2
由惯性力所引起的 轴承附加反力称为 动反力:
FIR aC FNA
l
F''NA=F''NB = meω2/2
mg
l
FNB
在高速转动的情况下,那怕是极小的偏心距, 也可能产生相当大的附加动反力,造成各种严重 的后果。 为了消除轴承的附加动反力, 首先应当消除 转动刚体的偏心现象,使刚体的质心位于转轴的 轴线上。这样,因为惯性力系的主矢等于零,由它 所引起的附加动反力也将等于零。没有偏心距 的刚体,若仅受重力作用,则不论刚体转到什么位 置,它都能保持静止。这种情况称为静平衡。
由此可见, 当一非自由质点系运动时, 作用于质 点系的主动力系、约束力系和质点系的惯性力系, 每一瞬时在形式上构成一个平衡力系。上述结论 称为质点系的达朗贝尔原理。在使用中应注意以 下几点: 1. 主动力系和约束力系中的内力不要计入; 2. 这里所谓的平衡仅仅是形式上的, 实质上动静法中 的平衡方程仍然表示质点系的运动和受力之间的 关系; 3. 实际应用中, 矢量方程可投影于直角坐标系或自然 轴系,类似于静力学中平衡方程的应用。
FIR
刚体定轴转动的几种特殊情况：
（1）点O与点C重合， 0 因 aC 0 所以
F IR Ma M
Iz
质量对称平面

aC C MIz
C
0
J C
（2）点O与点C不重合，
n
0
2
O
FIR
F IR M a C M a C mr C n
故有

C
F Ii F Ii
C t
aC aC
aiCn
mi
F Ii
n
S
式中JC是刚体对于通过质心C 且⊥质量对称平面S的轴的转 动惯量。
aiCt
三、 刚体惯性力系的简化结果
■ 平动
FIR=－maC
■ 定轴转动 FIR=－maC
作用线通过转轴O。
作用于质心C
质量对称平面

aC C
O
MIz=－JZ
MIz
O
MIz =∑Mz (FIit) = –∑ri (miait ) (∑mi ri2) = – Jz
F Ii
t
ain
n

S
=–
F Ii
ait
负号表示主矩MIz与角加速度的转向相反。
■ 平面运动
只考虑平面图形S为质量对称平面的情况。首 先将惯性力系简化为对称平面S内的平面力系,然 后再向质心C简化。取C为基点,则质元mi的加速 度可表示为
t

2mR
7 1 2 2 2 J O m(2 R) m( 2 R) mR 3 12
3. 如图示, 半径为r, 质量为m1的均质圆盘B沿水 平面纯滚;重物A质量为m2, 加速度为a, 滑轮质量 不计。试求A和B的惯性力系简化结果,并在图中 画出。
MIC
M
Iz
0
（3）点O与点C重合， 0
F IR M a C 0
M
Iz
0
■ 平面运动
FIR=－maC
作用线通过质心C。
质量对称平面
MIC
C
MIC =－JC
FIR
aC
S
1. 均质杆OA绕O轴在 铅垂平面内作定轴转动其 角速度为ω,角加速度为, 如图所示。在下面所画的 刚体惯性力系简化图中, 哪一个是正确的?