子系统对复杂网络系统可靠度的影响研究

R i+ a ( j ) = {R s , R e },
j= 1
由 式 ( 2 ) 知, 若最小割上的所有子系统都失 效, 则亚系统 i 也失效. 即 R i ( j ) = 0. 由式 ( 1 ) 可知, 任何形式的 G 均可看成一个 广义串联结构形式, 即由 S 至 T 的若干亚系统串 联而成的简单网络系统 ( 图 1).
然后, 根据判定规则, 确定 G 中各子系统的 重要程度, 即
R 1 ( 2) R 2 ( 2) R 1R 2 R 8R 9
2222222 R 3 ( 3) R 4 ( 3)
G = R 5 ( 3)
22222222222222
R 1R 3R 6 R 4R 5R 6 R 4R 7R 9
R 1 = {R 1 , R 9 }
第 20 卷第 1 期 2003 年 3 月
华 中 科 技 大 学 学 报 ( 城市科学版)
J. of HU ST. (U rban Science Ed ition)
Vol . 20 N o. 1 M ar. 2003
子系统对复杂网络系统可靠度的影响研究
陆 宁1 史玉芳2 田 敏2
( 1. 长安大学 科研处, 陕西 西安 710064; 2. 长安大学 研究生部, 陕西 西安 710064)
根据结论 2, 由式 ( 10 ) 可知, 等效子系统 R s ′ 比Re 和Re 重要, 由此可得出结论 4. 结论 4 两个同阶亚系统中共同含有的子系 统比其余子系统重要. 结论 2 ～ 4 结合可得出如下重要结论 . 结论 5 同阶亚系统中出现的各子系统, 它 们在 G 中的重要程度主要取决于其出现的频数, 频数越高其重要程度也越高.
第1期
m
陆 宁等: 子系统对复杂网络系统可靠度的影响研究
・35・
R i ( j ) = ∪R ′ i, j ;
j= 1
( 1)
将式 ( 1) 写成代数形式
R i ( j ) = 1-
7
m
(1 - R ′ i, j ).
( 2)
并联. 系统总可靠度为 ( 7) R = 1- ( 1- R 1 ) ( 1- R 2R 3 ). 由 式 ( 7 ) 可看出, 如果以相同增量分别增加 R 1 , R 2 和 R 3 的值 ( 它们的值均小于 1 ) , 则增加 R 1 比增加 R 2 和 R 3 对 G 的总可靠度贡献大, 由此可 推出结论 2. 结论 2 出现在二阶亚系统中的各子系统, 其重要程度主要取决于在该阶亚系统中出现的频 数, 频数越高就越重要. 3. 2. 2 任意 j 阶 ( j > 2) 亚系统 . 设 R i (j ) a. 将 j 阶亚系统转化为二阶亚系统 和 R i+ a ( j ) 分别表示 i 和 i + a 两个同阶 ( j 阶) 亚 系统. 假如 R i ( j ) 和 R i+ a ( j ) 中共同含有一个以上 子系统, 可分别将其分解为由它们共同含有的子 系统和其余子系统两部分组成的广义二阶亚系统 ( 8) R i ( j ) = {R s , R e };
4 子系统对系统可靠度影响程度的
判定
4. 1 判定规则
根据结论 1 ～ 5, 可总结出 G 中处于不同位置 的子系统对于系统可靠度影响程度的判定规则. a. 最小割阶数不同时, 低阶最小割中子系统 比高阶最小割中的子系统重要. b. 最小割阶数相同时, 各子系统的重要程度 主要取决于其在同阶最小割中出现的频数. 频数 越高其重要程度也越高; 反之, 其重要程度就越
1≤ i≤n 1≤ i≤n
根据式 ( 5) 可得结论 1. 结论 1 最小割的阶数最低的亚系统对 G 的 工作状态影响最大. 从对 G 的可靠度提高的灵敏 程度看, 低阶最小割中的子系统比高阶最小割中 的子系统重要 . 3. 2 亚系统的阶数相同时 为研究方便起见, 对含有相同子系统的同阶 亚系统作进一步讨论. 3. 2. 1 二阶亚系统 设两个含有同一子系统的二阶亚系统分别为 集合 R 1 ( 2 ) = {R 1 , R 2 } 和 R 2 ( 2 ) = {R 1 , R 3 }. 根据 前面的引论 1 和引论 2, 可求得这两个亚系统的 逻辑乘为 R 1 ( 2) R 2 ( 2) = (R 1 + R 2 ) (R 1 + R 3 ) = R 1 + R 2R 3. ( 6) 式 ( 6) 右端表示这两个具有同一子系统的二 阶亚系统的结构特征为 R 2 和 R 3 串联后再与 R 1
( 10)
式 ( 4) 中的比值 R R k ( j ) 随 k 的变化而变化. 只有 当 R k ( j ) 为最小割的阶数最低 (R k ( j ) = m in R i
1≤ i≤n
( j ) ) 时, 比值 R R k ( j ) 方为最大值 . 即 R R k ( j ) = R m in R i ( j ) = m ax (R R i ( j ) ) , ( 5)
和 T 的两个分离图 . b. 最小割中的各弧有一个节点在含 S 的分 离图中, 而另一个节点在含 T 的分离图中. c. 如果去掉最小割中的一条弧, G 仍将是连 通的 ( 某最小割只有一条弧者除外). 只有去掉所 有的弧后, G 才被分离, 即处于最小割上的各弧呈 并联形式. 所有最小割的归类集合就称为 G 的从 S 到 . T 的最小割集, 简称为最小割 2. 2 布尔代数定理运用 若视某最小割为系统的一个亚系统, 将布尔 代数定理运用到复杂网络系统中, 可得以下引论 . 引论 1 亚系统中的各子系统逻辑乘之积都 为零. 引论 2 亚系统中的同一子系统自乘结果仍 为自身.
22222222222222 R 3R 6
R 4R 5R 6 R 4R 7
R = {R 2 , R 8 }
a. 最小割中包含的弧将 G 分成分别含有 S
1 符号说明
G 为单源单汇的复杂网络系统; S 为单源单
汇的复杂网络系统的源 ( 始点) ; T 为单源单汇的 复杂网络系统的汇 ( 终点) ; R 为系统的可靠度; R i ( j ) 为第 i 个亚系统的可靠度, 该亚系统中最小割 的阶数为 j , i= 1, 2, …, n , n 为亚系统的个数, j ( j = 1, 2, …, m ) 为最小割的阶数 ( 弧数) ; R ′ i, j 为第 i 个亚系统中第 j 个子系统的可靠度; R k 为任意一 个子系统的可靠度, k = 1, 2, …; R s 为亚系统 R i ( j ) 和 R i+ a ( j ) 中共有的子系统所组成的等效子系 统 ( 其中 a 为任意正整数, 且 i + a ≤n ) ; R e 为亚系 统 R i ( j ) 中除 R s 外的其它子系统所组成的等效子 系统; R ′ e 为亚系统 R i+ a ( j ) 中除 R s 外的其它子系 统所组成的等效子系统; R w 为复杂网络系统中第 w 重要程度, w = 1, 2, …; R (O PT ) 为系统可靠度 的最优配置结果.
作者所指的最小割与图论中割集的概念不 同 . 图论中的割集是指能把系统中任意一些节点 的集合与另一些节点的集合分割成两部分的最少 弧的集合[ 4 ] , 而作者定义的最小割则是针对系统 的源 S 和汇 T 这两个特定节点集合而言的割集, 其性质如下.
收稿日期: 2002211229.
作者简介: 陆 宁 (19532) , 男, 教授; 西安, 长安大学科研处 (710064). 基金项目: 陕西省自然科学基金项目 (2001G06).
3 子系统在复杂网络系统中的重要 2 最小割的定义及布尔代数定理
2. 1 最小割的定义
程度
假定 G 中各子系统分为工作 ( 0< R k < 1 ) 和 失效 (R k = 0) 两种状态, 并且各子系统的失效是随 机独立的. 由最小割定义知, 处于某最小割上的各弧是 广义并联形式. 如果将最小割 i 视为一个由各子 系统并联的亚系统 i, 若使亚系统 i 处于正常工作 状态, 必须有下式成立
2222222 R 6 ( 4)
R 7 ( 4)
22222222222222
R 2R 3R 4R 5 R 5R 6R 7R 8
2222222 R 8 ( 5)
R 9 ( 5)
22222222222222
R 1R 3R 5R 7R 9 R 2R 3R 5R 7R 8
R 2
R8
重要程度. 运用上述判定规则, 按照判定程序, 不仅能够 确定出 G 中各子系统对于系统可靠度的重要程 度, 而且还可根据重要程度对子系统的可靠度进 行排序. 从而使得 G 的可靠度在不同约束条件 下, 按子系统的重要程度进行最优分配. 因此, 运 用最小割来确定各子系统对于 G 的可靠度影响 的重要程度, 是寻求复杂网络系统可靠度最优配 置的一种十分简捷且有效的途径.
b. 根据判定规则, 逐步确定 G 中各子系统的
表 1 最小割集 阶数 2 3 4 5
{R 1R 2 } {R 1R 3R 6 } {R 2R 3R 4R 5 } {R 1R 3R 5R 7R 9 }
最小割 总数 {R 8R 9 } 2 {R 4R 5R 6 } {R 4R 7R 9 } 3 {R 5R 6R 7R 8 } 2 {R 2R 3R 5R 7R 8 } 2
摘 要: 基于最小割的定义, 运用布尔代数的有关原理, 对单源单汇复杂网络系统可靠度中各子系统的重要程 度进行了研究, 得出了处于系统中不同位置的子系统对系统可靠度影响不同的结论, 并给出了各子系统对系 统可靠度影响程度的判定原则, 进而提出了一种较为简捷的方法. 关键词: 复杂网络系统; 可靠度; 最小割; 亚系统; 子系统 中图分类号: TB 11 文献标识码: A 文章编号: 100025730 ( 2003) 0120034204
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