网络系统可靠性概要

P A4 P4 P3 0.76
且
P A1 A2 P 1P 2P 3P 5 0.3024
P A1 A3 P 1P 2P 4P 5 0.3591
P A1 A4 P 1P 2P 3P 4 0.4788
P A2 A3 P 1P 2P 3P 4P 5 0.28728
x2
x5
ห้องสมุดไป่ตู้x4
2
x3
图5-2 桥形网络系统
4
解 此系统共有4个最小通路 T1{x1，x2}
T2{x1，x5，x3} T3{x4，x5，x2}
T4{x4，x3}
则各最小通路的可靠度分别为：
P A1 P 1P 2 0.63
P A2 P 1P 5P 3 0.336
P A3 P4 P5 P2 0.513

2．最小割集法
若在网络上去掉某一部分弧后， 发点与收点之间便无路可通， 则称这部分弧构成一个割集 若在割集中随意去掉一个弧就 不再成为割集，则称此割集为 最小割集。
最小割集和最小路集的求法
割集是通过画一条经过系统各方框的线，显示出可能导 致系统失效的最小数量的失效方框。合集、或路集则是通过 画一条经过各方框的线，当这些方框全部都在工作时，才会 使系统工作。
当m=3时，则
R P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
P( A1 A2 ) P( A1 A3 ) P( A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
可以归纳出一般公式为：
P( Ai ) (1)i 1
i 1 i 1
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第五章 网络系统可靠性
第一节 网络的基本概念 第二节 网络可靠性计算 第三节 单调关联系统 习题
第一节 网络的基本概念
网络系统是比较复杂的系统。图5-1所示的桥 形系统就是一个网络
3
x1
1
x2
2
x4
m
m
1 j1 ... ji n
P( A
j1
Aj2 ...Aji )
（5-3）
例5-1 如图5-2所示的网络系统S，各弧的可 靠度分别为 p1 0.7 ， p2 0.9 ， p3 0.8 ， p4 0.95 p5 0.6 ,试求此网络系统S的可靠度R。
3
x1
1
P A2 A4 P 1P 3P 4P 5 0.3192
P A3 A4 P2 P 3P 4P 5 0.4104
P A1 A2 A3 P( A1 A2 A4 ) P( A1 A3 A4 ) P( A2 A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 ) P 1P 2P 3P 4P 5 0.28728
容易看出，发点与收点之间和每条最小 路集都至少包含割集中的一个弧。
3
x2
4
x3
5
x1
1
x10 x9
9
x11
x12 x22
10
x13
x4 x14
2
x8
x21
x20
x18
11
x17
x15 x5 x16 x6
6
x19
8
x75-3 网络系统 7 图
最小割集法的基本思想是；若最小割集失 效，即割集中所有弧全部失效，则网络失 效。因此，可由各个最小割集的不可靠度， 求得网络的不可靠度，从而求得网络的可 靠度。 设网络S，其中 l 个最小割集为Bi i 1,2,, l ， 当任一割集Bi 的所有弧全发生失效的事件 也记为 Bi 。其概率记为Q(Bi )(i 1,2,, l )；又 设系统S失效事件记为B，其概率为Q( B)。则
当 l =3时，则
Q( B) P( B1 ) P( B2 ) P( B3 ) P( B1B2 ) P( B1B3 ) P( B2 B3 ) P( B1B2 B3 )
（5-1） 从而,求网络系统可靠度R的问题就可归为两步。 第一步：求出网络s的最小通路 A1， Am ； A2 ，…，
i 1
S
A
m
i
第二步：计算概率
R P( S ) P( Ai )
i 1 m
(5-2)
当m=2时，则
R P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 A2 )
第二节
网络可靠性计算
从可靠性的角度分析，往往可 以将一个系统化为一个网络来 研究。 为了讨论方便，假定： （1）弧或系统只有正常或失效 两种状态，而节点不失效； （2）弧之间的失效是独立的。
一、计算网络可靠性的两种方法 1．最小通路法 由系统的最小通路出发，由最小通路的可靠度 去求系统的可靠度，这就是最小通路法。 设网络s所有的最小通路为 A1， A2，…， Am，且用 Ai （i=1, 2, …,m）也表示“第i条路中所有弧正常” 事件，则网络s正常事件为：
x3
4
图5-1 桥形网络
有向弧 : 有方向的弧
无向弧: 无方向的弧
输出节点 : 只有流出弧而没有流入弧的节点 输入节点: 只有流入弧而没有流出弧的节点 最小通路: 若从连接两节点间的一条路中去掉任 一条弧后，就不再是连接此两节点间的路
对网络系统的理解： 可以将弧理解为分系统或 者设备，能量和物质从起 点经过这些设备加工后到 达终点。
B Bi
i 1
l
从而求网络系统可靠性R的问题就可归纳为 以下3步。 B1 , B2 ,, Bl ； （1）求出网络S的所有最小割集 l （2）计算概率 Q( B) P( Bi ) ； i 1 当 l =2时，则
Q( B) P( B1 ) P( B2 ) P( B1B2 )

R P( Ai )
i 1
从而得： m
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A1 A2 ) P( A1 A3 ) P( A1 A4 ) P( A2 A3 ) P( A2 A4 ) P( A3 A4 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A3 A4 ) P( A1 A2 A3 ) P( A2 A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 ) 0.94366