理论力学 12 动量矩定理解析

平面的 z 轴的转动惯量为：
2rdrr2 2 r3dr
dr
圆盘对z轴的转动惯量为：
Or
J z = JO
圆盘质量：
R 2 r3dr
0
m R2 Jz
1 R4
2 JO
1 2
mR 2
图
R 12-3
12.1.3 平行轴定理
定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于 通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质 量与两轴间距离平方的乘积，即：
转动惯量单位是千克·米2 ( k g ·m 2 )。
刚体对某轴 z 的转动惯量 J z 与其质量 M 的比值 的平方根为一个当量长度，称为刚体对该轴的回转半 径( Radius of gyration )，即：
z
Jz , M
Jz
M
2 z
（12-3）
注意：回转半径是在计算物体转动惯量时，假想
地把物体全部质量集中到距轴为回转半径的某一质点
r 2
例12-2 计算均质正圆锥体 对其底
圆直径的转动惯量。已知圆锥体质量为
z
M ，底圆半径为 R ，高为 h ，如图12-6所
h z dz
示。
r
解：把圆锥体分成许多厚度为 d z
的薄圆片，该薄圆片的质量为
d m r2d z
O
y
R
x
为圆锥体的密度，r为薄圆片的半径。
图 12-6
圆锥体的质量为 M 1 R 2 h
O
y
对于 z 轴转动惯量，则摆对于 z 轴的转 z
l
动惯量为两者之和，即：
A
J z J z1 J z2
r
均质细杆对于 均质圆球对于
z z
轴转动惯量为：J 轴转动惯量为：
z1
1 3
m1l
2
x 图 12-5
Jz2
JC
m2d 2
2 5
m2 r 2
m2
1
r 2
Jz
1 3
m1l
2
2 5
m2
r
2
m2 1
m i 与它到该轴的垂直距离 rzi 的平方的乘积之和，记作
J z。
J z mr 2
（12-1）
若刚体的质量是连续分布，则式（12-1）可用积
分表示为：
J z M r 2 d m
（12-2）
积分号下标 M 表示积分范围遍及整个刚体。
可见，转动惯量恒为正值，它的大小不仅和整个
刚体的质量大小有关，而且还和刚体各部分的质量相 对于转轴的分布情况有关。它是由刚体的质量，质量 分布以及转轴位置这三个因素共同决定的，与刚体的 运动状态无关。
12.1 转动惯量、平行轴定理 12.1.1 转动惯量
质点系的运动，不仅与作用在质点系上的力有关，
还与质点系各质点的质量其及分布情况有关。质心是 描述质点系质量分布的一个特征量，转动惯量(Moment of inertia)则是描述质点系质量分布的另一个特征量。
刚体对轴 z 的转动惯量，是刚体内各质点的质量
上，且其转动惯量与物体的转动惯量相等。
12.1.2 简单形状均质刚体的转动惯量
（1）均质细直杆： 如图12-1所 y 示均质细直杆，质量为m，长为l，建 O
Ax
立坐标系如图。在直杆上取长为 d x
x dx
的微段，作为质点看待，其质量
dm
：
m
d
x
l 图 12-1
l
根据式（12-2），则 O A杆对 z 轴、y 轴的转动惯量为 ：
1 4
R4 h4
h
z
4
R2 h2
h
z
Hale Waihona Puke Baidu
2
z
2
d
z
R2
3
h
3 R2 20
h2 10
M 20
3R 2 2h 2
12.2 质点和质点系的动量矩
如同力矩一样，质点和质点系的动量也可以取 矩，描述质点和质点系的转动特征。动量矩 (Moment of momentum) 和动量一样，也是度量物体机械运动 的一种物理量。
J z' J zC M d 2
（12-4）
证明：设有一刚体，质量为 M ，z 轴通过质心 C ，
z 轴与 z 轴平行且相距为 d ，取 x 、y 轴如图12-4所示。
刚体内任一点 M i 的质量 m i ， 它到 z 轴和 z轴的距离分别为
r i 和 ri 。由转动惯量的定义
知，刚体对于 z轴的转动惯量 可表示为：
Jx
h 2
h 2
m y2dy 1 m h2
h
12
同理均质矩形薄板对 y 轴的转动惯量为：
Jy
1 mb2 12
（3）均质等厚圆盘：质量为 m ，半径为 R 均质等
厚薄圆盘，如图12-3所示。将圆盘分为很多同心细圆
环 ，其中某细圆环的半径为 r ，宽度为 d r。令圆盘单
位面积的质量为，则细圆环对过圆心O 且垂直于圆盘
由质心坐标公式 ：
因为
yC0
mi yi M yC
mi yi 0
J z J zC M d 2
例12-1 复摆由一均质细杆及一均质圆球刚连而成，
如图12-5所示。均质细杆质量为 m1，均质圆球质量为 m 2 ，半径为 r 。试计算摆对于通过 O 点并垂直于杆的 z 轴 的转动惯量。
解：以 J z 1 和 J z 2 分别表示杆与球
3
薄圆片对自身直径的转动惯量为
由几何关系知： r R h z
h 薄圆片对 y 轴转动惯量 d J y 为：
1 r2 dm 4
dJ y
1 4
r 2dm
z 2dm
1 4
r2
z2
r 2dz
1
4
R4 h4
h
z 4
R2 h2
h
z 2
z2
dz
整个圆锥体对于 y 轴的转动惯量为：
J y
h 0
12 动量矩定理
动量定理建立了作用力与动量变化之间的关系， 揭示了质点系机械运动规律的一个侧面，而不是全貌。 例如，圆轮绕质心转动时，无论它怎样转动，圆轮的 动量始终是零，动量定理不能说明这种运动的规律。 动量矩定理则是从另一个侧面，揭示出质点系相对于 某一固定点或质心的运动规律。本章将推导动量矩定 理并阐明其应用。
12.2.1 质点的动量矩
设质点某瞬时的动量 m v ，对 固定点 O 的矢径为 r ，如图12-7所 示。质点的动量对固定点O的矩为 一矢量，定义为质点对固定点O 的 动量矩 (Moment of momentum of a
x
z
z
d
ri
ri
C
Mi
O O x yi
zi
y ( y )
xi
图 12-4
J z mi ri2
mi
xi2
yi
d
2
mi xi2 yi2 2 yid d 2
J z mi xi2 yi2 2d mi yi mi d 2
mi xi2 yi2 JzC
mid 2 Md 2
J z
Jy
m l
l x2dx 1 ml2
0
3
y
（2）均质矩形薄板：质量为 m ，
h y dy
边长分别为 b 和 h 的均质矩形薄板，O
为形心，如图12-2所示。取一平行 x轴
O
x
之细条，其宽度为 d y 。该细条对 x 轴
的转动惯量为：
d
J
x=
y2
m h
d
y
b 图 12-2
均质矩形薄板对 x 轴的转动惯量为：