12 大学物理动量矩定理
O
φ
化简即得单摆的运动微分方程
g 微幅摆动时，sin , 并令 n 2
d 2 g sin 0 2 dt l
v
A
0
2 n
l
0 0) 则运动方程 解微分方程,并代入初始条件 (t 0, 0 ,
0 cos
g t ，摆动周期 l
第十二章 §12–1
动量矩定理
质点与质点系的动量矩
§12–2
§12–3 §12–4 §12–5 §12–6
动量矩定理
刚体定轴转动微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
1
质点 动量定理： 质点系 动量的改变
外力（外力系主矢）
质心运动定理：质心的运动外力（外力系主矢） 物体在移动时运动与受力之间的关系 －动量定理。
将表达式 (b) 和 (c) 代入方程 (a)，即得
(c)
PA 2 PB 2 d (JO r r ) ( PA PB )r g g dt
从而求出定滑轮的角加速度
d dt
方向为逆钟向。
PA PB r PA 2 PA 2 JO r r g g
21
例题
动量矩定理
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 若 若
M O (F ) 0
(M z ( F ) 0).
则 则
M O (mv ) 常矢量
(M z (mv ) 常量)
称为质点的动量矩守恒。
左边交换求和与导数运算的顺序: L O M O ( mi vi ), 而:
(e) dLO (e) M O ( Fi ) M O 一质点系对固定点的动量矩定理 则: dt
(i ) M O ( Fi ) 0,
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系 上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
由于动量矩和力矩分别是 和 从而可得
dLOz M Oz dt
v
A
2
d LOz mvl m(l )l ml dt M Oz mgl sin d 2 d (ml ) mgl sin dt dt
11
例题
动量矩定理
例 题 2
d d (ml 2 ) mgl sin dt dt
T 2
l g
12
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致 （本题规定逆时针转向为正）
质点动量矩定理的应用：
在质点受有心力的作用时。 质点绕某心（轴）转动的问题。
13
二．质点系的动量矩定理
(i ) (e) d 对质点Mi ： M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ). (i 1,2,3, , n) dt n n n (i ) (e) d 对质点系，有 M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) i 1 dt i 1 i 1
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 (e) (e) (e) dLy dLx dLz (e) M x ( Fi ) M x , M y ( Fi ), M z ( Fi ) dt dt dt
14
(e) (e) (e) dLy dLx dLz (e) M x ( Fi ) M x , M y ( Fi ), M z ( Fi ) dt dt dt 上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即
M O (mv ) r mv
质点的动量对点O之矩在z轴上的投影：
z
M O (mv )
A
[ M O ( mv )] z xmv y ymv x
mv
Q r
y
o x
M z (mv ) xmvy ymvx 代数量 M z (mv ) [M O (mv )]z
9
例题
动量矩定理
例 题 2
试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。已知 单摆 m，l，t = 0 时 = 0，从静止开始释放。
O
φ
v
A
10
例题
动量矩定理
例 题 2
O
φ
把单摆看成一个在圆弧上运动的质点 A，。 解： 又设在任一瞬时质点 A 具有速度 v ，摆线 OA
与铅垂线的夹角是 。 对通过悬点 O 而垂直于运动平面的固定轴 z 作为矩轴，应用质点的动量矩定理
d (mv ) d dr r (r mv ) mv dt dt dt
d [ M O (mv d )] M O ( F ). (r mv ) r F , 故： dt dt 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。
3．平面运动刚体 Lz M z (mvC ) J C
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于 刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转 动时的动量矩之和。 6
例题
动量矩定理
例 题 1
A
F
C
例：匀质圆盘，质心 C 在转轴上。 vC 0, 动量： p MvC 0, 质心无运动 (e) 而：F 0, 所以，动量不能反应转动的问题。
动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴） 的动量矩的改变与外力对同一点轴）之矩两者之间的关系。 物体在转动中运动的量与受力之间的关系－动量矩定理
2
§12-1 质点与质点系的动量矩
一．质点的动量矩
复习：力对点O之矩 M O (F ) r F M O ( F ) ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
z
M O ( F ) [ M O ( F )] x i [ M O ( F )] y j [ M O ( F )] z k
2 1 2 1
0
(a)
(b)
22
例题
动量矩定理
例 题 4
参见动画：动量矩定理－例题4
23
例题
动量矩定理
例 题 4
取轴 1 和轴 2 组成的系统作为研究对象。接合时作用在两轴的外力对 解：
公共转轴的矩都等于零。故系统对转轴的总动量矩不变。接合前，系统 的动量矩是 (J1 0+ J2 0) 。
质点对点O动量矩在z轴上的投影， 等于对z轴的动量矩：
质点对轴 z 的动量矩：
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。
单位：kg· ｍ2/s。
4
二．质点系的动量矩
质点系对点O动量矩：各质点对点O动量矩的矢量和。
L O M O (mi vi ) ri mi vi
M O (F )
F
B
力对点O之矩在z轴上的投影： [ M O ( F )] z xF y yFx
o x
A r
y
力对轴 z 的之矩：
M z (F ) [M O (F )]z
3
M z ( F ) xFy yFx
代数量
质点对点O动量矩： 质点的动量对点O之矩
质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在 质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴 的主矩）。 动量矩定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力 才能改变质点系的动量矩。质点系的动量矩守恒 Nhomakorabea当 M O
(e)
0 时， LO 常矢量。
当 M z ( e ) 0 时，Lz 常量。
8
d [ M O (mv )] M O ( F ). dt 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d d d M x (mv ) M x ( F ), M y (mv ) M y ( F ), M z (mv ) mz ( F ) dt dt dt
19
例题
动量矩定理
例 题 3
解: 取定滑轮，重物 A , B 和绳索为研究对象。
对定滑轮的转轴 z (垂直于图面向外)应用动量矩定理，有
dLOz M Oz dt
系统的动量矩由三部分组成，等于
(a )
LO
PA P v r B v r J O g g
PA 2 PB 2 r r ) g g (b)
离合器接合后，系统的动量矩是 (J1 + J2) 。故由动量矩守恒定律得
J10 ( J1 J 2 )
从而求得结合后的共同角速度
显然 的转向与 0 相同。
2
1 2
J1 0 J1 J 2
1
0
(a)
(b)
24
例题
动量矩定理
例 题 5
z a θ l B l
a
z a
a
小球 A，B 以细绳相连。 质 量 皆 为 m， 其 余 构 件 质
逆时针
7
J1 J2 2 LO ( 2 2 m2 m3 ) R2 1 R2 R2
§12-2 动量矩定理
一．质点的动量矩定理
d (mv ) F dt
d (mv ) r F ,有r dt
两边叉乘矢径 r 左边可写成
dr 而 mv v mv 0 , r F M O ( F ) , dt
φ
化简即得单摆的运动微分方程
g 微幅摆动时，sin , 并令 n 2
d 2 g sin 0 2 dt l
v
A
0
2 n
l
0 0) 则运动方程 解微分方程,并代入初始条件 (t 0, 0 ,
0 cos
g t ，摆动周期 l
第十二章 §12–1
动量矩定理
质点与质点系的动量矩
§12–2
§12–3 §12–4 §12–5 §12–6
动量矩定理
刚体定轴转动微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
1
质点 动量定理： 质点系 动量的改变
外力（外力系主矢）
质心运动定理：质心的运动外力（外力系主矢） 物体在移动时运动与受力之间的关系 －动量定理。
将表达式 (b) 和 (c) 代入方程 (a)，即得
(c)
PA 2 PB 2 d (JO r r ) ( PA PB )r g g dt
从而求出定滑轮的角加速度
d dt
方向为逆钟向。
PA PB r PA 2 PA 2 JO r r g g
21
例题
动量矩定理
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 若 若
M O (F ) 0
(M z ( F ) 0).
则 则
M O (mv ) 常矢量
(M z (mv ) 常量)
称为质点的动量矩守恒。
左边交换求和与导数运算的顺序: L O M O ( mi vi ), 而:
(e) dLO (e) M O ( Fi ) M O 一质点系对固定点的动量矩定理 则: dt
(i ) M O ( Fi ) 0,
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系 上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
由于动量矩和力矩分别是 和 从而可得
dLOz M Oz dt
v
A
2
d LOz mvl m(l )l ml dt M Oz mgl sin d 2 d (ml ) mgl sin dt dt
11
例题
动量矩定理
例 题 2
d d (ml 2 ) mgl sin dt dt
T 2
l g
12
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致 （本题规定逆时针转向为正）
质点动量矩定理的应用：
在质点受有心力的作用时。 质点绕某心（轴）转动的问题。
13
二．质点系的动量矩定理
(i ) (e) d 对质点Mi ： M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ). (i 1,2,3, , n) dt n n n (i ) (e) d 对质点系，有 M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) i 1 dt i 1 i 1
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 (e) (e) (e) dLy dLx dLz (e) M x ( Fi ) M x , M y ( Fi ), M z ( Fi ) dt dt dt
14
(e) (e) (e) dLy dLx dLz (e) M x ( Fi ) M x , M y ( Fi ), M z ( Fi ) dt dt dt 上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即
M O (mv ) r mv
质点的动量对点O之矩在z轴上的投影：
z
M O (mv )
A
[ M O ( mv )] z xmv y ymv x
mv
Q r
y
o x
M z (mv ) xmvy ymvx 代数量 M z (mv ) [M O (mv )]z
9
例题
动量矩定理
例 题 2
试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。已知 单摆 m，l，t = 0 时 = 0，从静止开始释放。
O
φ
v
A
10
例题
动量矩定理
例 题 2
O
φ
把单摆看成一个在圆弧上运动的质点 A，。 解： 又设在任一瞬时质点 A 具有速度 v ，摆线 OA
与铅垂线的夹角是 。 对通过悬点 O 而垂直于运动平面的固定轴 z 作为矩轴，应用质点的动量矩定理
d (mv ) d dr r (r mv ) mv dt dt dt
d [ M O (mv d )] M O ( F ). (r mv ) r F , 故： dt dt 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。
3．平面运动刚体 Lz M z (mvC ) J C
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于 刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转 动时的动量矩之和。 6
例题
动量矩定理
例 题 1
A
F
C
例：匀质圆盘，质心 C 在转轴上。 vC 0, 动量： p MvC 0, 质心无运动 (e) 而：F 0, 所以，动量不能反应转动的问题。
动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴） 的动量矩的改变与外力对同一点轴）之矩两者之间的关系。 物体在转动中运动的量与受力之间的关系－动量矩定理
2
§12-1 质点与质点系的动量矩
一．质点的动量矩
复习：力对点O之矩 M O (F ) r F M O ( F ) ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
z
M O ( F ) [ M O ( F )] x i [ M O ( F )] y j [ M O ( F )] z k
2 1 2 1
0
(a)
(b)
22
例题
动量矩定理
例 题 4
参见动画：动量矩定理－例题4
23
例题
动量矩定理
例 题 4
取轴 1 和轴 2 组成的系统作为研究对象。接合时作用在两轴的外力对 解：
公共转轴的矩都等于零。故系统对转轴的总动量矩不变。接合前，系统 的动量矩是 (J1 0+ J2 0) 。
质点对点O动量矩在z轴上的投影， 等于对z轴的动量矩：
质点对轴 z 的动量矩：
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。
单位：kg· ｍ2/s。
4
二．质点系的动量矩
质点系对点O动量矩：各质点对点O动量矩的矢量和。
L O M O (mi vi ) ri mi vi
M O (F )
F
B
力对点O之矩在z轴上的投影： [ M O ( F )] z xF y yFx
o x
A r
y
力对轴 z 的之矩：
M z (F ) [M O (F )]z
3
M z ( F ) xFy yFx
代数量
质点对点O动量矩： 质点的动量对点O之矩
质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在 质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴 的主矩）。 动量矩定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力 才能改变质点系的动量矩。质点系的动量矩守恒 Nhomakorabea当 M O
(e)
0 时， LO 常矢量。
当 M z ( e ) 0 时，Lz 常量。
8
d [ M O (mv )] M O ( F ). dt 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d d d M x (mv ) M x ( F ), M y (mv ) M y ( F ), M z (mv ) mz ( F ) dt dt dt
19
例题
动量矩定理
例 题 3
解: 取定滑轮，重物 A , B 和绳索为研究对象。
对定滑轮的转轴 z (垂直于图面向外)应用动量矩定理，有
dLOz M Oz dt
系统的动量矩由三部分组成，等于
(a )
LO
PA P v r B v r J O g g
PA 2 PB 2 r r ) g g (b)
离合器接合后，系统的动量矩是 (J1 + J2) 。故由动量矩守恒定律得
J10 ( J1 J 2 )
从而求得结合后的共同角速度
显然 的转向与 0 相同。
2
1 2
J1 0 J1 J 2
1
0
(a)
(b)
24
例题
动量矩定理
例 题 5
z a θ l B l
a
z a
a
小球 A，B 以细绳相连。 质 量 皆 为 m， 其 余 构 件 质
逆时针
7
J1 J2 2 LO ( 2 2 m2 m3 ) R2 1 R2 R2
§12-2 动量矩定理
一．质点的动量矩定理
d (mv ) F dt
d (mv ) r F ,有r dt
两边叉乘矢径 r 左边可写成
dr 而 mv v mv 0 , r F M O ( F ) , dt
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理论力学 12 动量矩定理
轴转动(zhuàn dòng)。已知均质杆 OA 长为 l ，质 C1 量为 m 1，均质圆盘 C 2 的半径为 r ，质量为 m 2，
试求复摆对 O 轴的动量矩。
A
C2 r
解： J O 的计算(jìsuàn)：
JO
1 12
m1
l
2
m1
l 2
2
1 2 m2
r2
m2
l
r
2
图 12-9
由几何关系知： r R h z
h 薄圆片对 y 轴转动惯量 d J y 为：
1 r2 dm 4
精品资料
dJ y
1 4
r 2dm
z 2dm
1 4
r2
z2
r 2dz
1
4
R4 h4
h
z 4
R2 h2
h
z 2
z2
dz
整个(zhěnggè)圆锥体对于 y 轴的转动惯量为：
J y
h 0
1 4
底圆直径的转动惯量。已知圆锥体质量为 M ，
z
底圆半径为 R ，高为 h ，如图12-6所示。 r
h z dz
解：把圆锥体分成许多(xǔduō)厚度为 d z 的薄圆片，该薄圆片的质量为
d m r2d z
为圆锥体的密度，r为薄圆片的半径。
O
y
R
x
图 12-6
圆锥体的质量为
M 1R2h
3
薄圆片对自身直径的转动惯量为
精品资料
12.1 转动惯量、平行(píngxíng) 轴定1理2.1.1 转动惯量
质点系的运动，不仅(bùjǐn)与作用在质点系上的力有关， 还与质点系各质点的质量其及分布情况有关。质心是描述质 点系质量分布的一个特征量，转动惯量(Moment of inertia)则 是描述质点系质量分布的另一个特征量。
动量矩定理
a
z a
a l
z a
θ B A
θ l
B
A l
l
ω0
ω
运 动 演 示
解: 此系统所受的重力和轴承的 约束反力对于转轴的矩都等于零， 因此系统对于转轴的动量矩守恒。
A
a
z a
a l B l A
z a
θ
θ l
B
当=0时，动量矩
l
Lz1 2 ma 0 a 2 ma 0
2
0
当 θ≠ 0 时，动量矩
第12章 动量矩定理
※ 几个有意义的实际问题 ※ 质点.质点系的动量矩定理 ※ 刚体对定轴的转动惯量 ※ 动量矩定理 ※ 刚体定轴转动的微分方程 ※ 结论与讨论
几个有意义的实际问题
谁最先到 达顶点
？
几个有意义的实际问题
谁最先到 达顶点
？
几个有意义的实际问题
人在走钢 丝时为什 么要手持 平衡杆？ 平衡是怎 样起平衡 作用的？
Lz 3 m2u 2 r4 m r
2 2 4
r3
整个系统的动量矩为
1 1 2 Lz mz mu m3 r3 m4 r42 m1r32 m2 r42 2 2
B A m2g
由动量矩定理
dLz m z Fe dt
，得
m1g
d 1 1 2 2 2 2 m3 r3 m4 r4 m1r3 m2 r4 dt 2 2 m1 gr3 m2 gr4
dLOz (e) M z ( F ) M z ( F (e) ) 0 dt
LOz C
如果作用于质点系的全部外力对于某一轴z之 矩恒等于 0，则质点系对这一轴的动量矩为常数。
动量矩定理
θ 2 = 21°30′ 。设空气密度 ρ = 1.16 kg/m 3 ，求这 1 级叶轮的转矩。
解 取气流进行研究，气流以 v1 速度进入气道，一段时间后以 v2 速度流出，用动量矩定理对转动轴 O 的投影式，有
dLO =M dt
参照教材例 12-2 解的结果得
M =ρ
即
qV ⎛ D2 D ⎞ v2 cosθ 2 − 1 v1 cosθ 1 ⎟ ⎜ 60 ⎝ 2 2 ⎠
2R
2R
vA R
ω0
O
ω0
ωr
O
(c1) 图 12-2
vA
A
A (b1)
ωr
解 （1） 在图 12-2a 中，轮 A 绕 O 定轴转动
1 9 J O = mR 2 + m(2 R) 2 = mR 2 2 2 9 LO = J Oω O = ω O mR 2 = 18 kgm 2 /s 2
（2）在图 12-2b1 中，轮 A 作平面运动
h R
（1）
h m1 gR − M f t12 ⋅ = R J A + m1 R 2 2
160
将第 1 次试验时 m1，t1 替换为第 2 次试验时 m2，t2 得
2 h m2 gR − M f t 2 = ⋅ R J A + m2 R 2 2
（2）
式（1） 、 （2）联立，解得
J A = 1060 kg ⋅ m 2
LO = m ⋅ v A ⋅ 2 R + J Aω a 1 = m ⋅ 2 Rω O ⋅ 2 R + mR 2 ⋅ (ω O + ω r ) = 5ω O mR 2 = 20 kgm 2 /s 2
156
（3）在图 12-2c1 中，轮 A 绕 O 作圆周曲线平移
动量矩定理的三个公式
动量矩定理的三个公式动量矩定理是物理学中的重要概念，它有三个关键公式。
这三个公式在解决许多物理问题时，那可是相当有用的。
咱们先来聊聊第一个公式：对某定点 O，质点的动量矩 L 等于质点对该点的位置矢量 r 与质点的动量 p 的矢量积，即 L = r × p 。
这个公式看似有点复杂，其实你仔细琢磨琢磨，也不难理解。
比如说，你想象一下，有个小球在光滑的平面上滚动。
这个小球的速度很快，质量也不小。
那它的动量就比较大。
如果这个小球距离某个固定的点比较远，那它相对于这个点的动量矩就会更大。
再来说说第二个公式：质点所受的合力 F 对某定点 O 的力矩 M 等于质点对该点 O 的动量矩随时间的变化率，即 M = dL/dt 。
这个公式能帮助我们理解物体在受到外力作用时，它的转动状态是怎么变化的。
就像我们骑自行车的时候，我们蹬脚踏板的力就相当于一个外力。
这个力产生的力矩会让自行车的轮子转动起来，并且改变轮子的转动速度和方向。
最后是第三个公式：质点系对某定点 O 的动量矩 L 等于质点系中各质点对该点动量矩的矢量和，即L = ∑（ri × pi）。
这三个公式在实际应用中可是大显身手。
记得有一次，我在学校的物理实验室里，看到同学们在做一个关于转动惯量的实验。
实验台上有一个可以绕着中心轴旋转的圆盘，圆盘上有不同位置的小孔，可以通过改变小孔的位置来改变圆盘的质量分布。
同学们在圆盘上施加一个恒定的力矩，然后观察圆盘的转动情况。
他们通过测量圆盘的角速度和角加速度，来验证动量矩定理的公式。
当时有个同学怎么都弄不明白为什么改变圆盘的质量分布会影响它的转动状态。
我就用动量矩定理的公式给他解释。
我说，你看啊，质量分布变了，相当于质点的位置变了，那对中心点的动量矩也就跟着变了。
合力矩不变的情况下，动量矩的变化率就不一样了，所以转动状态就不同啦。
这同学听了之后，恍然大悟，那种因为搞懂一个难题而露出的兴奋表情，我到现在都还记得。
12动量矩定理
图12.7 钟摆
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
【例12.5】 匀质圆盘与匀质杆组成的钟摆如图12.7所示。已知圆盘质量m1， 直径d，杆的质量m2，长l，试求钟摆对悬挂轴O的转动惯量J0。
解：钟摆由匀质杆和匀质盘组成，所以有 = JO JO杆 + JO
其中
JO
=J c
+
m1
l
+
d 2
平方的乘积，即
12.7
J=z J zc + md 2
(12.7)
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
证明：如图12.5所示，设刚体总的质量为m，轴zc通过质心C，z与zc平行且 相距为d。不失一般性，可令y与yc重合，在刚体内任取一质量为mi的质点Mi,它 至zc轴和z轴的距离分别为ric和ri。刚体对于z、zc轴的转动惯量分别为
12.9
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
【例12.4】 质量为m，长为l的匀质杆如图12.6所示，求杆对yc的转动惯量。
解：由例12.1知
Jy
=
1 ml2 3
,根据平行轴定理式(12.7)有
J yc
=J y
−
md 2
=1 ml2 3
−
m
l
2
2
=1 12
ml 2
12.10
图12.6 匀质杆
在工程问题上，计算刚体的转动惯量时，常应用下面公式
12.3
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
Jz
=
mρ
2 z
(12.2)
ρ 其中m为整个刚体的质量， z 为刚体对z轴的回转半径，它具有长
12.动量矩定理
例二 . 电动绞车提升一质量为m 的物体 , 在其主动轴上作用有一个力偶其矩 为M . 已知主动轴齿轮和从动轴齿轮各自对其转轴的转动惯量分别为 J1 和 J2 . 传 动比 z2 : z1 = i ; 从动轮上的鼓轮半径为R . 不计绳索的质量和各处摩擦. 求: 重物的加速度.
FAy FN y
A M J1
动量定理描述了物体的运动和力之间的关系, 但并不完整. 在运用动量定理时, 不能求力偶或 力矩,运动量也不能涉及角速度和角加速度. 而动量矩定理描述了质点系或刚体的运动 和力矩之间的关系. 这两个定理一并可完整地 描述外力系与受力体运动之间的定量关系.
§12 – 1 质点和质点系的动量矩
1. 质点的动量矩
v
M
O
解: 取整个系统为研究对象, 受力及运动分析如图
Fy
θ R ω
v
M
O
Fx
m1 g
由对O点的动量矩定理 d ( J O m 2 vR ) m 2 gR sin M dt a J O m 2 R a M m 2 gR sin R MR m 2 gR 2 sin a J O m2 R 2
c VC hC Βιβλιοθήκη R hAR hA vB v A 7.14km / s b
例二. 质量为m 的小球 悬挂在一绳索下端且以匀速率在水平面内作圆周运动. 试分析小球对O, A 两点的动量矩及其守恒问题. A
解 : 取小球分析 M A (m v ) r m v M O (m v ) R m v M A (F ) r mg 而 M O ( F ) R m g R T R (m g T ) 0 M O (m v ) 常矢量。 小球对o点的动量矩守恒 . M A (m v ) 常矢量. 小球对A点的动量矩不守恒 .
理力12(动力学)-动量矩定理
§ 12-2 动量矩定理
动量矩守恒定理
d M O (mv ) M O ( F ) dt
MO (F ) 0
M x (mv ) 恒量 M y (mv ) 恒量 M (mv ) 恒量 z
M O (mv ) 恒矢量
n d LO M O (Fi ( e ) ) dt i 1 n
29
第 十二 章 动量矩定理
§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
n d ( J z ) M z ( Fi ) dt i 1 n d Jz M z (Fi ) dt i 1
J z M z (Fi )
i 1
n d J z 2 M z (Fi ) dt i 1 2
θ W2
FN
例题
第十二章 动量矩定理
例 题 12-1
ω O FN W2t v M FOy
解： 取小车与鼓轮组成质点系，视小车
为质点。以顺时针为正，此质点系对O轴 的动量矩为
FOx W1
LO J m2vR
作用于质点系的外力除力偶M，重力W1 和 W2外，尚有轴承O的反力FOx和FOy ，轨道 对小车的约束力FN 。 其中W1 ，FOx ，FOy 对 O轴力矩为零。将W2 沿轨道及其垂直方向 分解为W2t和W2N， W2N与FN相抵消。
F0
r1
α
r2
LOz J O m1v1r1 m2v2 r2
考虑到 v1 = r1 ， v2 = r2 ，则得 m0g
A B
LOz ( J O m1r1 m2 r2 )
2 2
( b)
v1
外力主矩仅由重力 m1g 和 m2g 产生，有
v2 m2g m1 g
理论力学_12.动量矩定理
故：
d dt
(r m v ) r F ,
d dt
[ m O ( m v )] m O ( F )
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
例3 单摆 已知m，l，t =0时= 0，从静止 开始释放。 求单摆的运动规律。 解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。
r
i
i
m iv
C
ri ) m i v
i
rC m i v i
ri m i v i
i
rC m v C
ri m i v
其中 L C ri m i v i 为质点系相对质心C的动量矩。 （注意：vi为质点的绝对速度。） 即 质点系对任意定点O的动量矩，等于质点系对质心的动量矩， 与将质点系的动量集中于质心对于O点动量矩的矢量和。
L z J z m 2 vr 1 2 ( m1r
2
J ，z
1
m1r ；
2
v r
m 2 vr
1 2
m 1 m 2 ) rv
系统所受外力对转轴z的矩为
M z ( Fi
(e)
) M
(e)
O
Fr M
O
f m 2gr
dL dt
z
M z (Fi
)
d 1 ( m m 2 ) rv M 2 1 dt
例如：试计算圆盘对轴O的 动量矩。质点的质量均为m。
O1 B C
vr vr
vr
L O L O 1 rO 1 m v O 1 3 mv r R l 3 m l 0 3m (vr R l 0 )
第12章 动量矩定理
2
r1
z1
α2
W
所以，重物上升 的加速度为
( M i12 mgR ) R a R 2 2 J1i12 J 2 mR 2
思考题
已知均质轮O1，半径R1，质量为m1; 均质 轮O2，半径R2，质量为m2，主动力矩M， 阻力矩Mf，求α1。
M
O2 O1
Mf
α2 Lo1 J 11 J 2 2
对于n个质点，有n个这样的方程，将这些方程求和，
则
n
内力系主矩 = 0
n n d M o (mi vi ) M o ( Fi (i ) ) M o ( Fi ( e ) ) dt i 1 i 1 i 1
所以得
n d n d n Mmi voi(mi v M o ( Fi ( e ) ) dt o ( M ) ii)1 (交换求导数与求和的次序) dt i 1 i 1
Lo ml l ml l 2ml 2
从本例可以知道，系统质心的速度虽然为零，系统对O 轴的动量矩并不等于零。 计算质点系的动量矩不能简单地 用质心的动量对某固定点或固定轴取矩。
例12-2
O ω
已知均质杆m，l，ω， 则杆的动量为
p = mvc = mωl/2
杆对O轴的动量矩为
质点A的动量对固定点O的矩：
z
F
A
B
Mo(mv)= r×mv
i x mv x j y mv y k z mv z
x A'
mv
MO(mv)
o
r
B' y
(mv)xy
大小= mv· sin =2S△OAB r 方位：过O且⊥△OAB；
十二章动量矩定理
F mv
M0(F)
o
Ｑ
y
x
由牛顿第二定律
m
dv dt
F
d dt
(mv)
F
r
d dt
(mv)
r
F
d (r mv) r d(mv) dr mv
dt
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dt dt
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第十二章 动量矩定理
d (r mv) r F dt
M0(mv) m0(F)
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第十二章 动量矩定理
C
m2
IOZ M
式中
M
m1
O
IOZ
1 3
m1L2
1 2
m2
r
2
m2L2
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第十二章 动量矩定理
代入已知值得：
IOZ
1 10 0.32 3
1 40 0.152 2
40 0.32
4.35kg m2
M 20 4.6rad / s2
IOZ 4.35
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第十二章 动量矩定理
dt
M y (mv)]
my (Fe )
d [
dt
M z (mv)]
mz (Fe )
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第十二章 动量矩定理
【典型题精解】
例12-1 滑块Ａ，Ｂ质量分别为２Ｋｇ，0.5Ｋｇ，用长１
米的绳连接，在水平光滑滑竿上滑动，绳和竿的质量不计。
竿绕铅垂轴转动，轴的摩擦也不计。当 rA 0.6m 时，滑块 Ａ以速度０.４ｍ／Ｓ沿竿向外运动，竿的角速度 0.5rad / s
求此时竿的角加速度。
1m
B rB