理论力学-动量矩定理2
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第十三章动量矩定理_理论力学
式中
分别为作用于质点上的内力和外力。求 n 个方程的矢量和有
式中
，
于 点的主矩。交换左端求和及求导的次序，有
为作用于系统上的外力系对
令 （13-3）
为质系中各质点的动量对 点之矩的矢量和，或质系动量对于 点的主矩，称为质系对 点的动量矩。由此得
（13-4） 式（13-4）为质系动量矩定理，即：质系对固定点 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。
设 Q 为体积流量， 为密度， 和 分别为水流进口处和出口处的绝对速度， 和 分别为涡轮外圆和内圆的半径， 为 与涡轮外圆切线的夹角， 为 与涡轮内圆切线的
夹角，则
由动量矩定理 得
为叶片作用于水流上的力矩。若水涡轮共有 个叶片，则水流作用于涡轮的转动力矩为
方向与图示方向相反。 §13-2 刚体绕定轴转动微分方程
解：取两叶片间的水流为研究对象（图 13-4 中的兰色部分）。作用于质系上的的外力有 重力和叶片的约束力，重力平行于 z 轴，对转动轴之矩为零。所以外力主矩为叶片对水流
的约束力对 z 轴之矩 。
计算 时间间隔内动量矩的增量 。设 t 瞬时占据 ABCD 的水流，经过 时间间隔
后，运动至占据
，设流动是稳定的，则
有
式中
得
（13-8）
或
（13-9）
此式称为刚体绕定轴转动的微分方程。
为刚体绕定轴转动的角加速度，所以上式
可写为
（13-10）
1．由于约束力对 z 轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。 2．比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即
与
形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。 转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动
理论力学动量矩定理
四. 平行移轴定理
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行 的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
J z ' J zC m d 2
证明：设刚体的质量为m，质心为C。
O ' z '//Cz
J zC mi ri 2 mi ( xi 2 yi 2 )
J z ' mi ri ' 2 mi ( xi ' 2 yi ' 2 )
xi xi ', yi ' yi d
J z ' mi [ xi 2 ( yi d )2 ]
mi ( xi 2 yi 2 ) ( mi )d 2 2d mi yi
质点对O点的动量矩与对 z 轴的动量矩之间的关系：
M O (mv )
注意：要求 z 轴通过O点。
z
M z (mv )
二．质点系的动量矩
质点系对O点动量矩： LO 质点系对 z 轴动量矩： 同样有关系式： 例：平动刚体的动量矩。
M
O
Lz M z (mi vi )
(mv i i ) r i mv i i
( e)
PA PB d g ( d t r PA PB P / 2
）
[例4] 已知猴子A重=猴子B重，初始静止，后猴B以相对绳 速度 v 上爬，猴A相对绳不动。问猴B向上爬时，猴A将如何 动？动的速度多大？（轮重不计）
解： 设猴A向上的绝对速度为 vA，则
猴B向上的绝对速度为 vB= vvA 。
平动刚体对固定点（轴）的动量矩就等于刚体质心的动量 对该点（轴）的动量矩。
理论力学-动量矩定理
d rC d vC vC , aC , dt dt
n d LC ri Fi e dt i
vC vC 0 ,
m a C Fie
n dLC M C (Fie ) dt i
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
n n d LC e e ri Fi M C ( Fi ) i dt i
m v
i
i
m vC
LO rC m vC LC
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
根据上式和质点系对固定点的动量矩定理，
n d LO d ( rC m vC LC ) ri Fi e dt dt i
ri rC rr
n n d rC d vC d LC e rC Fi ri Fi e m vC rC m dt dt dt i i
即有
LC ri mi vir
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩 之间存在确定的关系。 质点系相对固定点的动量矩为
LO ri mi vi
i
因为 所以有 因为 所以有
ri rC rr
LO rC mi v i ri mi v i
刚体定轴转动微分方程
例 题 1
图示钟摆简化模型中，已知均质细杆 和均质圆盘的质量分别为m1 、m2 ，杆 长为l，圆盘直径为d。
ϕ
试求：钟摆作小摆动时的周期。 解：摆绕O轴作定轴转动。设ϕ 为任意 时刻转过的角度，规定逆时针为正。根 据定轴转动的微分方程
J z M z
理论力学动量矩定理
12.2 动量矩定理
12.2.1 质点旳动量矩定理
设质点对固定点O旳动 量矩为MO(mv)，作用力F对 同一点旳矩为MO(F) ，如图 所示。
将动量矩对时间取一 次导数，得
d dt
MO
(mv)
d dt
(r
mv)
d r mv r d (mv)
dt
dt
MO(mv) MO(F)
x
z
F mv
Q
r
y
12.2.1 质点旳动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点旳动量矩与对轴 旳动量矩旳关系代入，得
d dt
M
x
(mv)
M
x
(F
)
d dt
M
y
(mv)
M
y
(F
)
d dt
M
z
(mv)
M
z
(F
)
质点对某固定
轴旳动量矩对时间旳 一阶导数等于质点所 受旳力对同一轴旳矩。
12.2.1 质点旳动量矩定理
例12-2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为 l，如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过 O点旳铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时旳运动规律。
例12-1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一 绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O旳转
动惯量为J，半径为r，角速度为，重物A旳
质量为m，并设绳与圆盘间无相对滑动，求系 统对轴O旳动量矩。
解：
LO L块 L盘 mvr J mr 2 J (mr 2 J )
LO旳转向沿逆时针方向。
Or
A mv
LO J m2vR MO (F (e) ) M m2 g sin R
理论力学：动量矩定理
பைடு நூலகம்
y’
2020/12/9
Fe maA aA mg
B
A
FN 1
F1
FN 2
x’
F2
10
理论力学
§6-2 动量矩定理
例：滑块A可在光滑水平面上滑动，为使AB杆以匀角速度 绕
铰链A转动，求作用在AB杆上的力偶M。设：m1 m2 m, AB L
y
FN
解：1、取滑块A和小球B为研究对象
2、受力分析与运动分析
m1 m2
2020/12/9
11
理论力学
§6-2 动量矩定理
y FAy
A
o
FAx aA xA x
3、研究AB杆和小球B，受力分析 4、应用相对动轴A的动量矩定理
dLrA
dt
n
M A (Fi(e) )
i1
rAC (maA )
A
M
杆相对A轴的动量矩
LrA m2L2
B m2xA 外力对A轴之矩
问题：若滑块不脱离地面，试确定AB杆的最大角速度。
2020/12/9
13
理论力学
§6-2 动量矩定理
2020/12/9
14
理论力学
§6-2 动量矩定理
思考题：图示系统中，系统结 构不同，求解方法是否相同？
m1 A
M
m1 A
M
m2
B
2020/12/9
m1 A
M
m2
R
m3 B
m2 B
15
理论力学
§6-2 动量矩定理
mg
B
AB L
2020/12/9
§6-2 动量矩定理
L
3(g 2
y’
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Fe maA aA mg
B
A
FN 1
F1
FN 2
x’
F2
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理论力学
§6-2 动量矩定理
例：滑块A可在光滑水平面上滑动，为使AB杆以匀角速度 绕
铰链A转动，求作用在AB杆上的力偶M。设：m1 m2 m, AB L
y
FN
解：1、取滑块A和小球B为研究对象
2、受力分析与运动分析
m1 m2
2020/12/9
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理论力学
§6-2 动量矩定理
y FAy
A
o
FAx aA xA x
3、研究AB杆和小球B，受力分析 4、应用相对动轴A的动量矩定理
dLrA
dt
n
M A (Fi(e) )
i1
rAC (maA )
A
M
杆相对A轴的动量矩
LrA m2L2
B m2xA 外力对A轴之矩
问题：若滑块不脱离地面，试确定AB杆的最大角速度。
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理论力学
§6-2 动量矩定理
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14
理论力学
§6-2 动量矩定理
思考题：图示系统中，系统结 构不同，求解方法是否相同？
m1 A
M
m1 A
M
m2
B
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m1 A
M
m2
R
m3 B
m2 B
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理论力学
§6-2 动量矩定理
mg
B
AB L
2020/12/9
§6-2 动量矩定理
L
3(g 2
第12章-动量矩定理
它表达为刚体质量 m 与某一长度ρ z 旳平方
旳乘积： J z m z2
细直杆 均质圆环 均质圆板
J z /m 1 / 3 l2 z 0.5774 l
J z /m R2 z R
J z /m 1 / 2 R2 z 0.7071R
z 假如把刚体旳质量全部集中在与 轴相距为ρ z 旳点
上，则此质点对 z 轴旳转动惯量与原刚体相同。
四、平行轴定理
J z J z md 2
定理：刚体对任意轴旳转动惯量，等于刚体对 于经过质心、并与该轴平行旳轴旳转动惯量， 加上刚体旳质量与两轴间距离平方旳乘积。
z
O
z
d
ri
ri
C
O
mi
zi
y( y)
C点为质心；
O z 为质心轴，O z
为与之平行旳任
xi
一轴，距离为 d 。
x d x yi J z mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
d dt
(
J
z
)
Jz
Mz
dω dt
(Fi
)M
M z (Fi )
z
(
FN
i
)
Fi
或
Jz
d2
dt2
M z (Fi )
或 J z M z (Fi )
FNi
与 m a Fi 比较
例：已知滑轮半径为 R ，转动惯量为 J ，带动滑轮
旳皮带拉力分别为 F1 和 F2 。求滑轮旳角加速度 。
F2 解：根据定轴转动微分方程
d(ri
mivi ) dt
ri
F (e) i
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
相加得
旳乘积： J z m z2
细直杆 均质圆环 均质圆板
J z /m 1 / 3 l2 z 0.5774 l
J z /m R2 z R
J z /m 1 / 2 R2 z 0.7071R
z 假如把刚体旳质量全部集中在与 轴相距为ρ z 旳点
上，则此质点对 z 轴旳转动惯量与原刚体相同。
四、平行轴定理
J z J z md 2
定理：刚体对任意轴旳转动惯量，等于刚体对 于经过质心、并与该轴平行旳轴旳转动惯量， 加上刚体旳质量与两轴间距离平方旳乘积。
z
O
z
d
ri
ri
C
O
mi
zi
y( y)
C点为质心；
O z 为质心轴，O z
为与之平行旳任
xi
一轴，距离为 d 。
x d x yi J z mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
d dt
(
J
z
)
Jz
Mz
dω dt
(Fi
)M
M z (Fi )
z
(
FN
i
)
Fi
或
Jz
d2
dt2
M z (Fi )
或 J z M z (Fi )
FNi
与 m a Fi 比较
例：已知滑轮半径为 R ，转动惯量为 J ，带动滑轮
旳皮带拉力分别为 F1 和 F2 。求滑轮旳角加速度 。
F2 解：根据定轴转动微分方程
d(ri
mivi ) dt
ri
F (e) i
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
相加得
动量矩定理公式
动量矩定理公式动量矩定理公式是经典力学中最为重要的定理之一，也是描述质点、力和角动量之间关系的基本公式。
它在物理学和工程学中的应用非常广泛，例如在机械设计中，我们需要利用动量矩定理公式来计算旋转惯量、角加速度等参数，以便进行机器的性能设计和优化。
在本文中，我们将深入探讨动量矩定理公式的含义、意义和应用。
一、动量矩定理的定义动量矩定理公式是描述质点或物体角动量的变化率与施加于物体的力矩之间的关系。
在经典力学中，动量矩定理的形式可以表示为：L = Iω其中，L 表示物体的角动量，I 表示物体的旋转惯量，ω 表示物体的角速度。
动量矩定理的本质是质点或物体的动量守恒定律和角动量守恒定律的延伸和综合。
动量守恒定律和角动量守恒定律分别是描述质点和物体在运动过程中动量和角动量不变的规律。
而动量矩定理则是将它们集成在一起，明确了物体动量和角动量与施加于它的力和力矩之间的关系。
在动量矩定理中，旋转惯量起到了很重要的作用。
旋转惯量是物体绕不同轴旋转时所具有的转动惯性，是物体旋转惯性的度量。
不同形状和密度的物体，其旋转惯量也会有所不同。
例如，某个物体绕它的质心旋转时，它的旋转惯量是最小的。
因为在质心系下，物体的动量为零，只有转动部分的动量和角动量。
二、动量矩定理的应用动量矩定理的具体应用非常广泛。
下面将分别就质点的动量矩定理、刚体的动量矩定理以及动量与角动量的守恒作一些说明。
1. 质点的动量矩定理对于一个质量为 m 的质点，在施加力 F 时，它的动量矩定理为：Ft = Δ(mv)其中，Ft 为施加于物体上的力矩，v 表示质点的速度，Δ(mv) 表示质点动量的变化。
2. 刚体的动量矩定理对于一个刚体在施加力矩 M 时，它的动量矩定理可以表示为：M = Iα其中，M 为施加于刚体上的力矩，I 表示刚体的转动惯量，α 表示刚体的角加速度。
在实际应用中，我们经常需要利用动量矩定理来计算旋转惯量、角加速度等参数。
例如，当我们想设计一个能够快速旋转的机器时，就需要通过动量矩定理来确定机器的转动惯量和角加速度等参数，并根据这些参数来设计机器的各个部分。
理论力学第1节 动量矩定理
i 1
d Lx dt
n
M
x
( Fi ( e )
)
i 1
dM y dt
n
M
y
( Fi ( e )
)
i 1
dLz dt
n
M
z
( Fi ( e )
)
i 1
质点系对某轴的动量矩对时间的导数等于作用于 质点系上的外力对该轴之矩的矢量和。
• 质点系对固定点的动量矩守恒：当作用在质点系的 外力对某固定点之矩的矢量和为零，质点系对该点 的动量矩保持不变。
记 J z miri2
称刚体对z轴 的转动惯量
• 质量连续分布刚体的转动惯量公式
说明
Jz M r2dm
刚体对轴的转动惯量取决于刚体质量的大小、质量 的分布情况及转轴的位置，而与其运动状态无关。
对形状不规则物体的转动惯量常用实验方法测得。
冰上芭蕾 舞演员旋转 时，通过张 开、收拢两 臂来改变自 身质量对垂 直轴的转动 惯量，以达 到改变转动 速度的目的
r O
M
设 v 为物体A、B的瞬时速度，
为圆盘的角速度，两者的关系为：
v r
系统对O轴的动量矩：
LO mAvr mBvr JO 其中
B AJOΒιβλιοθήκη 1 2Mr 2
LO
mA vr
mBvr
1 2
Mr 2
mA
vr
mB
vr
1 2
Mrv
系统外力对O轴的力矩为：
M O mA gr mBgr
质点对 O 点动量矩的矢量和
C mi
d Lx dt
n
M
x
( Fi ( e )
)
i 1
dM y dt
n
M
y
( Fi ( e )
)
i 1
dLz dt
n
M
z
( Fi ( e )
)
i 1
质点系对某轴的动量矩对时间的导数等于作用于 质点系上的外力对该轴之矩的矢量和。
• 质点系对固定点的动量矩守恒：当作用在质点系的 外力对某固定点之矩的矢量和为零，质点系对该点 的动量矩保持不变。
记 J z miri2
称刚体对z轴 的转动惯量
• 质量连续分布刚体的转动惯量公式
说明
Jz M r2dm
刚体对轴的转动惯量取决于刚体质量的大小、质量 的分布情况及转轴的位置，而与其运动状态无关。
对形状不规则物体的转动惯量常用实验方法测得。
冰上芭蕾 舞演员旋转 时，通过张 开、收拢两 臂来改变自 身质量对垂 直轴的转动 惯量，以达 到改变转动 速度的目的
r O
M
设 v 为物体A、B的瞬时速度，
为圆盘的角速度，两者的关系为：
v r
系统对O轴的动量矩：
LO mAvr mBvr JO 其中
B AJOΒιβλιοθήκη 1 2Mr 2
LO
mA vr
mBvr
1 2
Mr 2
mA
vr
mB
vr
1 2
Mrv
系统外力对O轴的力矩为：
M O mA gr mBgr
质点对 O 点动量矩的矢量和
C mi
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LC J C
刚体平面运动微分方程
LC J C
xC yC
其中JC为刚体对通过质心C 且与运动平面垂直的轴的转 动惯量， 为角速度。
当作用于刚体上的力系等价于质量对称面内的一个平面 力系时，对刚体平面运动，应用质心运动定理和相对质心 动量矩定理 ，有 n maC Fie i n J C M C (Fie ) i
刚体平面运动微分方程
C*
vA 相对特殊瞬心的动量矩定理：平面 运动过程中，如果刚体的质心 C 到速 度瞬心 C* 的距离保持不变，则质点 系相对速度瞬心的动量矩对时间的导 vB 数等于质点系外力对同一点的主矩。 即
aC
FN
maC mgsin F
0 mgcos FN
J C Fr
刚体平面运动微分方程
α
F
maC mgsin F
（） 1
0 mgcos FN
（2）
aC
FN
J C Fr
运动学补充关系
（3）
（4）
1 2 aC 1 mr 2 maC 2 2 r
质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩 之间存在确定的关系。 质点系相对固定点的动量矩为
LO ri mi vi
i
因为 所以有 因为 所以有
ri Байду номын сангаас rC rr
LO rC mi v i ri mi v i
m v
i
i
m vC
LO rC m vC LC
0 mgcos FN
1 F mgsin FN f s 3 1 f smin tan 3 此即圆轮在斜面上不滑动的最小静摩擦因数。
刚体平面运动微分方程
均质杆 AB长为l，放放置于铅垂 平面内，杆一端A靠在光滑的铅垂 墙上，另一端B放在光滑的水平面 上，与水平面的夹角为 0 。然后 ，令杆由静止状态滑下。 求：杆在任意位置时的角加速度。
第11章 动量矩定理
刚体平面运动微分方程
刚体平面运动微分方程
取质心 C 为基点，其坐标为 xC、yC，设D为刚体上任意一点 ， CD 与 x 轴的夹角为 φ, 则刚体 的位置可由xC、yC和φ确定。
xC
yC
将刚体的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动两部 分。当刚体具有质量对称面、且质量对称面平行于运动平 面时，则在固连于质心的平移参考系中，刚体对质心的动 量矩为
刚体平面运动微分方程
maC Fie i n J C M C (Fie ) i
n
mxC Fxe
或者
e myC Fy J C M c ( Fi e )
这就是刚体平面运动的微分方程。 需要指出的是，如果上述投影方程中各式等号的左侧各项 均恒等于零，则得到静力学中平面力系的平衡方程，即外力 系的主矢、主矩均等于零。因此，质点系动量定理与动量矩 定理，不但完全确定了刚体一般运动的动力学方程，而且还 完成了对刚体平面运动的特例—— 平衡情形的静力学描述。
相对质心的动量矩定理
在质点系相对于惯性参考系中固定点（或固定 轴）的动量矩定理中，动量矩由系统的绝对运动 所确定。 这里讨论质点系相对于质点系的质心或通过质 心的动轴的动量矩定理，一方面是因为它有广泛 的应用价值，另一方面动量矩定理仍保持了简单 的形式。
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
d rC d vC vC , aC , dt dt
n d LC ri Fi e dt i
vC vC 0 ,
m a C Fie
n dLC M C (Fie ) dt i
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
n n d LC e e ri Fi M C ( Fi ) i dt i
这就是质点系相对质心的动量矩定理(theorem of the moment of momentum with respect to the center of mass) ，它表明：质点 系相对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力 对质心的主矩。 需要注意的是，这里所涉及的随质心运动的动坐标系，一定 是平移坐标系。定理只适用于质心这一特殊的动点，对其它动 点，定理将出现附加项。 对于刚体，质心运动定理建立了外力与质心运动的关系；质 点系相对质心的动量矩定理建立了外力与刚体在平移参考系内 绕质心转动的关系。
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
根据上式和质点系对固定点的动量矩定理，
n d LO d ( rC m vC LC ) ri Fi e dt dt i
ri rC rr
n n d rC d vC d LC e rC Fi ri Fi e m vC rC m dt dt dt i i
刚体平面运动微分方程
解：以杆为研究对象，杆作 平面运动，分析其受力 列出平面运动微分方程 mg
maCx FA maCy FB mg J C FB l l cos 0 FA sin 0 2 2
FA
FB
式中有五个未知量 ( aCx , aCy , , FA , FB ) ，如果要 求得全部未知量，还需两个运动学补充方程。显然，这 一方法比较麻烦。
aC r
（4）式代入（3）式，得 代入（1）式，得
F JC
r
aC
2 gsin 3
刚体平面运动微分方程
α
F
解：2．确定圆轮在斜面上不滑动的 最小静摩擦因数
2 aC gsin 3
F JC
r
aC
FN
1 2 aC 1 mr 2 maC 2 2 r
1 F mgsin FN f s 3
刚体平面运动微分方程
半径为 r 的匀质圆盘从静止开 始，沿倾角为θ的斜面无滑动的滚 下。 试求： 1 ．圆轮滚至任意位置时的质心 加速度 aC ； 2 ．圆轮在斜面上不打滑的最小 静摩擦因数。
刚体平面运动微分方程
解：分析圆轮受力
α
F
1．确定圆轮质心的加速度 圆轮作平面运动。根据刚 体平面运动微分方程，有