计算方法-特征值1
6.1.1 特征值和特征向量的概念
6.1.1 特征值和特征向量的概念
小结 (1) 特征值、特征向量、特征子空间、特征多 项式的概念 (2) 计算特征值和特征向量的方法
即是对应于特征值 λ0 的全部特征向量,
其中ci为F上不全为零的常数.
6.1.1 特征值和特征向量的概念
−2
例1
设
A
=
0
−4
1 1
2
0
,
求A的特征值与特征向量．
1 3
λ 2 1 1
解 det( λE A) 0 λ 2 0
4 1 λ 3
( λ+1)λ 22 ,
从而 A的特征值为 λ1 1, λ2 λ3 2.
6.1.1 特征值和特征向量的概念
对于特征值λ1= − 1, 解线性方程组(− E − A)X =0,
即求解
1
0
−1 −3
−1 0
x1 x2
0 = 0
4 −1 −4 x3 0
得到一个基础解系 X1=(1, 0,1)T .
所以属于λ1 1的全部特征向量为
c1 X1 , 其中c1为F中非零常数.
得到一个基础解系X1 =(1, i)T .
所以属于λ1 2i 的全部特征向量为
c1 X1 , 其中c1为非零复数.
6.1.1 特征值和特征向量的概念
对于特征值λ2 = − 2i, 解线性方程组(−2iE − A)X = 0,
得到一个基础解系 X2 =(1,i)T . 所以属于λ2 = 2i 的全部特征向量为 c2 X2 (其中c2是非零复数).
6.1.1 特征值和特征向量的概念
定义 设 λ0是 A 的一个特征值, 则 Vλ0 = { X ∈ F n | AX = λ0 X }
1线性代数 4.2方阵的特征值与特征向量
0 1
00,
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 0,
1
所以k(0, 0,1)T (k 0)是对应于1 2的全部特征向量.
当2 3 1时,解方程(E A)x 0.由
~ 2 1 0
EA 4 2 0
1 0 1 0 1 2,
1 0 1 0 0 0
得基础解系
1 2 ,
1
x1 x2
,
E
x
1
x
x3
定义1的等价定义
Ax x (E A)x 0
这是n个未知数 n个方程的齐次线性方程 组，
它有非零解 x的充要条件是系数行列 式
a11 a12
| E A |
a21
a22
a1n
a2n
0.
an1 an2 ann
上式是以为未知数的一元n次方程，称为方阵A的
Ax 1x, Ax 2 x 1 x 2 x
1 2 x 0,
由于1 2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
四、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 det AE;
2. 求特征方程detE A 0的全部根1,2,
, n,就是A的全部特征值;
3. 对于特征值i ,求齐次方程组
1 A E 0
1 3
1 0
~
1 0
0 1
1 0 ,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
(k 0).
当2 3 2时,解方程2E Ax 0.由
~ 4 1 1
2E A 0 0 0
1 1 1 4 4 0 0 0 ,
求矩阵特征值及特征向量的一种梯度逼近法
求矩阵特征值及特征向量的一种梯度逼近法
矩阵特征值及特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
在实际应用中，求解矩阵特征值及特征向量是一个非常困难的问题，因为它需要对矩阵进行复杂的计算。
为了解决这个问题，人们提出了许多求解矩阵特征值及特征向量的方法，其中一种重要的方法是梯度逼近法。
梯度逼近法是一种基于梯度下降的优化算法，它通过迭代的方式逼近矩阵的特征值及特征向量。
具体来说，梯度逼近法的步骤如下：
1. 首先，选择一个初始矩阵A和一个初始向量x0。
2. 计算矩阵A的梯度G，即G=A*x0-x0*λ0，其中λ0是x0的特征值。
3. 通过梯度下降的方式更新向量x0，即x1=x0-α*G，其中α是学习率。
4. 计算新的特征值λ1和特征向量x1。
5. 如果新的特征值λ1与旧的特征值λ0之间的差异小于一个预设的阈值，或者迭代次数达到了预设的上限，那么停止迭代，输出λ1和x1作为矩阵A的特征值和特征向量；否则，返回第2步。
梯度逼近法的优点是可以处理大规模的矩阵，并且可以在迭代过程中动态调整学习率，以提高收敛速度。
但是，它也存在一些缺点，比如容易陷入局部最优解，需要进行多次试验来选择合适的初始矩阵和学习率等参数。
总之，梯度逼近法是一种有效的求解矩阵特征值及特征向量的方法，它在实际应用中具有广泛的应用前景。
1、矩阵的特征值与特征向量及方阵的相似
A)x 0的一个基础解系:
4 x1 2 x2 4 x3 0,
2
x1
x2
2
x3
0,
4 x1 2 x2 4 x3 0,
求解得此方程组的一个基础解系:
2
1 0 1
,
1
2 2.
0
于是A的属于 2 3 1的全部特征向量为 k2 2 k3 3,
k 2 , k 3是不全为零的实数.
三、特征值与特征向量的求法
第一步 计算 A 的特征多项式；
第二步 求出特征多项式的全部根，即得 A 的全部 特征值； 第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量．
例3
计算3阶实矩阵A
3 2
2 0
4 2
的 计算A 的特征多项式
的一个基础解系.
5 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 8 x2 2 x3 0, 4 x1 2 x2 5 x3 0,
化简求得此方程组的一个基础解系
2
1 1.
2
属于 1 8的全部特征向量为k1 1(k1 0为实
数).
同理对 2 3 1,求相应线性方程组( 2 E
3 2 4
f ( ) E A 2 2
4 2 3
( 8)( 1)2.
第二步 求出特征多项式f ( )的全部根,即A
的全部特征值.
令f ( ) 0,解之得1 8, 2 3 1,为A的
全部特征值.
第三步 求出 A 的全部特征向量
对1 8,求相应线性方程组(1 E A)x 0
第五章 矩阵的特征值和特征向量
一、主 要 内 容 1、矩阵的特征值与特征向量及 方阵的相似
６ 方阵的特征值和特征向量
4-1_矩阵的特征值与特征向量
= − x3 = x3
0 1 0 1 0 → 0 1 − 1 − 1 0 0 0
= x3
得(λ1 I − A) x
的全部特征向量为： 所以 A的对应于 λ1 = −2的全部特征向量为： cη1(c ≠ 0),
− 1 = 0的一个基础解系 : η1 = 1 , 1
当λ 2 = 1时, 解方程(λ 2 I − A) x = 0.
− 3 − 6 1 3 6 0 x1 = − 2 x 2 r ( λ 2 I − A) = 1， x2 = x2 x = x 3 3
4 A= −3 4 6 0 − 3 − 6 0 1 2 0 − 3 λ2 I − A = I − − 3 − 5 0 = 3 6 0 → 0 0 0 ,
λ 故 λ −1是矩阵 A −1的特征值 , 且 x是 A −1对应于 λ −1
的特征向量 .
A x=
−1
1
x.
A Ax = A λx ⇒ A Ix = λ( A x) , | A| ∗ AA∗ = A∗ A =| A | I x. ⇒A x=
∗ ∗
∗
故 故 | A|
| A|
λ
λ
是矩阵 A∗的特征值 , 且 x是 A ∗的属于
λ
的特征向量 .
例3
填空
A的一个特征值， 设λ0是n阶方阵 的一个特征值，则
2 的一个特征值， _____________ 是A2的一个特征值， 0
λ
__________ 的一个特征值， k − λ0 ___ 是kI − A的一个特征值， __________ 的一个特征值， 如果A可逆, | A | λ 0 _ 是A∗的一 0 − 6 1 6
5-1-特征值与特征向量
由于 f ( λ )是 λ I − A中不同行不同列元素乘 积的代 数和, 从而f (λ )是以λ为变量的 n阶多项式 , 设为 f (λ ) = λn + b1λn−1 + L + bn−1λ + bn 为待定参数． 其中b1 ,L , bn−1 , bn为待定参数． 注意到 λn−1只能出现在如下乘积项 中 (λ − a11 )(λ − a22 )L(λ − ann ). b1 = − (a11 + a22 + L + ann ), 因此 因此 bn = f (0) =| 0 I − A |= ( −1) n | A | . 此外 另一方面 ,由于λ1 ,L , λn 是f (λ ) = 0的n个根 f (λ ) = ( λ − λ1 )(λ − λ 2 )L(λ − λ n ) n n n −1 n λ − (λ1 + L + λn )λ + L + ( −1) ∏ λ i =
定义5.2 定义 设λ为方阵A的一个特征值 , 矩阵A所有对 应于特征值 λ的特征向量添加上零向 量后构成的 集合 ,即齐次方程组 (λI − A) x = 0的解空间 V A , λ = { x : ( λ I − A ) x = 0} 被称为 A对应于特征值 λ 的特征向量空间 . 定义5.3 定义 称一元 n 次多项式 f ( λ ) = | λ I − A | 为方阵 称以 λ为未知数的一元 n次方程 A的特征多项式． 的特征多项式． f (λ ) = 0即 | λ I − A |= 0为A的特征方程 . λ − a11 − a12 L − a1n − a21 λ − a22 L − a2 n = 0. λI − A = 0 ⇔ L L L L − an1 − an 2 L λ − ann
秩等于1的矩阵的特征值
秩等于1的矩阵的特征值矩阵的特征值是线性代数中一个重要的概念。
对于一个方阵A，如果存在标量λ和非零向量v，使得Av=λv成立，那么λ就是矩阵A的一个特征值，v就是相应的特征向量。
本文将研究秩等于1的矩阵的特征值。
秩等于1的矩阵是一种非常特殊的矩阵，它的所有行（或列）都是线性相关的。
设A是一个n阶矩阵，且秩等于1、即存在非零向量u和非零向量v，使得A=uv^T，其中^T表示转置运算。
一个重要的性质是，秩等于1的矩阵只有一个非零特征值。
为了证明这个性质，我们可以用反证法。
假设矩阵A有两个不同的非零特征值λ1和λ2，并对应两个不同的特征向量v1和v2、根据特征值和特征向量的定义，有Av1=λ1v1和Av2=λ2v2、我们有：A(v1-v2)=Av1-Av2=λ1v1-λ2v2=(λ1-λ2)v1-(λ1-λ2)v2=(λ1-λ2)(v1-v2)由于λ1-λ2不等于0，所以v1-v2不等于零向量。
但是A(v1-v2)等于零向量，这与矩阵A的秩等于1矛盾。
因此，假设不成立，矩阵A只有一个非零特征值。
接下来，我们来计算这个特征值。
设v是矩阵A的特征向量，我们有：Av=uv^Tv=λv这等价于：(uv^T)v=λv再次展开得到：(u(v^Tv))v=λv由于v^Tv是一个标量，我们可以用α表示，其中α=v^Tv。
上述等式变为：(uα)v=λv两边同时除以v，得到：uα=λ所以特征值λ等于uα，其中α是特征向量v的范数的平方。
综上所述，秩等于1的矩阵只有一个非零特征值，该特征值等于特征向量的范数的平方。
最后，我们举一个具体的例子来说明上述结论。
考虑矩阵A=uv^T，其中u=(1,2)^T，v=(3,4)^T。
我们可以计算出v的范数的平方为5^2+5^2=50，所以特征值λ等于u的范数的平方乘以v的范数的平方，即(1^2+2^2)·50=250。
总结起来，秩等于1的矩阵的特征值只有一个，它等于特征向量的范数的平方。
n阶全1矩阵的特征值
n阶全1矩阵的特征值【实用版】目录1.矩阵的特征值和特征向量的定义2.n 阶全 1 矩阵的特性3.n 阶全 1 矩阵的特征值和特征向量的求解方法4.总结正文一、矩阵的特征值和特征向量的定义在矩阵理论中，一个矩阵的特征值是指该矩阵乘以一个向量后，所得结果是原向量的 k 倍，这个 k 值就是该矩阵的特征值。
相应的，这个向量被称为特征向量。
矩阵的特征值和特征向量在很多实际问题中都有重要的应用，比如求解线性方程组、矩阵对角化等。
二、n 阶全 1 矩阵的特性全 1 矩阵是指主对角线以外的元素都是 1 的方阵。
n 阶全 1 矩阵可以表示为：I = [[1, 0, 0,..., 0],[0, 1, 0,..., 0],[0, 0, 1,..., 0],...[0, 0, 0,..., 1]]容易发现，全 1 矩阵的特征值都是 1，特征向量是单位向量。
三、n 阶全 1 矩阵的特征值和特征向量的求解方法对于全 1 矩阵，特征值和特征向量的求解比较简单。
首先，设特征值 k，那么对应的特征向量 x 就是 (1, 1, 1,..., 1)，因为全 1 矩阵乘以单位向量，结果还是单位向量。
然后，将特征向量 x 和特征值 k 代入特征多项式：det(I - kE) = 0其中，E 是单位矩阵，det() 是行列式。
由于全 1 矩阵的特征值都是 1，所以特征多项式的结果是 0，这就证明了全 1 矩阵的特征值是 1。
四、总结通过以上分析，我们可以知道，n 阶全 1 矩阵的特征值都是 1，特征向量是单位向量。
这个结论对于理解全 1 矩阵的性质和应用有很大的帮助。
5-1矩阵的特征值与特征向量
k ( 1,1, 0 ) , k ≠ 0 。
T
0 −1 1 x1 即 (1E − A) X = 0 −1 2 x2 = 0 ， 0 0 0 x 3
信息系 刘康泽
从而 r ( A + E ) < n ，则方程组 ( A + E ) X = 0 有非零 于是： 解 α ，于是：
Aα = −α ⇒ Aα = ( −1) α ，
的一个特征值。 这说明： −1 是 A 的一个特征值。 说明：
信息系 刘康泽
例 6 若方阵 A 的各行元素之和等于 3，则 A 有特征 值λ = 。
信息系 刘康泽
三重） 故 A 的特征值为 λ1 = λ2 = λ3 = 2 （三重） 。
对于 λ1 = λ2 = λ3 = 2 ，求解齐次线性方程组
−1 −1 0 x1 (2 E − A) X = 0 ，即 1 1 0 x2 = 0 ， 1 1 0 x 3
而言的， 特征向量是相对某个特征值 λ0 而言的，齐次线性方 全部非零解就是 程组 (λ0 E − A) X = 0 的 全部非零解 就是 A 的属于 λ0 的 特征向量， 常称该齐次线性方程组的任意一个基础解系为 特征向量， 常称该 A 的属于 λ0 的极大无关特征向量组。 的极大无关特征向量组。
⇒ ( λ0 E − A ) α = 0 , α ≠ 0 ， 这表明齐次线性 线性方程组 这表明齐次线性方程组 ( λ0 E − A ) α = 0 存在非零解 α ，
特征值与特征向量的两种定义是等价的。 特征值与特征向量的两种定义是等价的。 与特征向量的两种定义是等价的 事实上， 事实上， Aα = λ0α ， α ≠ 0 ，
正定矩阵判定方法(一)
正定矩阵判定方法(一)正定矩阵判定什么是正定矩阵？正定矩阵是指满足对于任意一个非零向量x，都有x^T A x > 0的矩阵，其中x^T表示向量x的转置。
如何判断一个矩阵是否是正定矩阵？判定一个矩阵是否是正定矩阵的方法有以下几种：1. 特征值法正定矩阵的特征值均为正数，因此可以通过计算矩阵的特征值来判断矩阵是否是正定矩阵。
若矩阵A的特征值均为正数，则矩阵A为正定矩阵。
2. 对角线元素法若一个矩阵所有的对角线元素都大于0，而且所有主子式都大于0，则该矩阵是正定矩阵。
主子式是指从矩阵中取出一些行和列，组成的新矩阵的行列式。
3. 矩阵分解法矩阵可以进行Cholesky分解，即将矩阵分解成一个下三角矩阵L和它的转置LT的乘积，即A=LLT。
如果分解成功了，且L的对角线元素都大于0，则矩阵是正定矩阵。
4. 向量内积法考虑向量x和矩阵A的乘积，即x^T A x。
若x^T A x > 0，则矩阵A是正定矩阵。
该方法需要计算x^T A x，计算较为繁琐。
5. Sylvester 判别法Sylvester 判别法是一种递推算法，用于判定是否是正定矩阵。
具体如下：1.定义符号函数sign(x)，当x>0时，sign(x)=1，x<0时，sign(x)=-1，x=0时，sign(x)=0。
2.对于n阶矩阵A，令A1=A[1,1]，A2=⎡⎡⎡⎡A[1,1] A[1,2] A[1,n] A[2,1] A[2,2] A[2,n] A[n,1]A[n,2] A[n,n] ⎡⎡⎡⎡3.递推计算S1,A14.对于k=2,3,…,n，S[k] = |A[k,k]|S[k-1] - S[k-1,k-1]A[k,k]，A[k,k]不为0。
5.当S[n]>0时，矩阵A是正定矩阵。
总结以上是判定一个矩阵是否是正定矩阵的五种方法，其中特征值法和对角线元素法较为简单，Cholesky 分解法和 Sylvester 判别法计算量较大，向量内积法需要逐个计算向量，较为繁琐。