线性定常连续系统状态方程的解
现代控制理论_控制系统状态空间表达式的解
2.1.线性定常连续系统状态方程的解
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状 态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t ) 故称其 为状态转移矩阵.一般用 ( t ) e At 来表示。 A( t t ) ( t t0 ) e 3.求齐次状态解的关键是求转移矩阵 eAt
At
x( t ) e
x(t0 ) e A Bu( )d
t0
t t0
t
x( t ) e
A( t t0 )
x(t0 ) e A( t ) Bu( )d
t
也就是 x(t ) (t t0 ) x(t0 ) t (t )Bu( )d
d At At e x ( t ) e Bu dt
e At Ax x
在区间[t0,t]上积分
e
At
x( t )
t t0
e A Bu( )d
t0
t
e
即
e
At
x( t )
t t0
e A Bu( )d
t0
At0
t
s 3 1 1 2 s s s 3 2
s 1 s 2 s s 1 s 2 1
s3 s 1 s 2 2 s 1 s 2
s 1 ( sI A) 1 s 2
Φ(t ) L
1
sI A
1
(1 t )e t t te
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解-离散化
0 1 0 x x u 0 2 1
近似离散化方法(4/6)—例3-12
解 由近似离散化法计算公式,对本例有
T 1 G(T ) I AT 0 1 2 T
于是该连续系统的离散化状态方程为
0 H (T ) BT T
x(( k 1)T ) Φ(T )x(kT )
( k 1)T
kT
Φ[( k 1)T τ ]dτ Bu(kT )
对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ(t )dtBu(kT )
0
T
将上式与线性定常离散系统的状态方程 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)
线性定常连续系统的离散化(2/3)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采 样周期T下,将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du 变换成离散系统的如下状态空间模型:
x(( k 1)T ) G (T )x(kT ) H (T )u(kT ) y (kT ) C (T )x(kT ) D(T )u(kT )
近似离散化方法(2/6)
将上式代入连续系统的状态方程,有 [x((k+1)T)-x(kT)]/T=Ax(kT)+Bx(kT) 即 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT) 将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比 较,则可得如下近似离散化的计算公式: G(T)=I+AT H(T)=BT 将上述近似离散法和精确离散法比较知,
精确法、
连续系统的状态变量方程求解
连续系统的状态变量方程求解连续系统的状态变量方程求解通常采用数值方法，例如龙格-库塔法（Runge-Kutta）等。
在这个过程中，需要将连续系统的状态方程离散化，即将连续时间步长的微分方程转化为离散时间步长的离散方程。
求解离散方程可采用递推的方式，根据系统的初始条件和上一时刻的状态变量值，计算出当前时刻的状态变量值。
以下是一个求解连续系统状态变量方程的步骤：1. 确定连续系统的状态变量方程。
例如，给定线性定常系统dx/dt = Ax + Bu，其中x为状态变量，A和B为系统矩阵。
2. 离散化。
将状态变量方程转化为离散方程。
常见的离散化方法有前项差分变换、后项差分变换和Tustin变换。
具体变换方法取决于系统的特性以及所需的数值稳定性和精度。
例如，使用Tustin变换将连续系统离散化，得到离散状态方程x[k+1] = A*x[k] + B*u[k]。
3. 初始化。
给定初始条件，如x[0] 和u[0]，初始化状态变量值。
4. 数值求解。
使用数值方法（如龙格-库塔法）递推计算离散方程，得到一系列状态变量值x[1], x[2], ...，以及对应的输出值y[1], y[2], ...。
5. 分析结果。
根据求解得到的状态变量值和输出值，分析系统的性能，如稳定性、收敛速度等。
在MATLAB中，可以使用ode45等函数求解连续系统的状态变量方程。
以下是一个简单的示例：```MATLAB定义系统矩阵A、B和输入信号uA = [1 0; -1 1];B = [0 1];u = [1; 0.5];定义初始条件x0 = [1; 2];设置求解参数tspan = [0, 10];options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-6);求解状态变量方程[x, u] = ode45(@(t, x) A*x + B*u, tspan, x0, options);绘制状态变量曲线figure;plot(t, x(:, 1), 'b', 'LineWidth', 2);hold on;plot(t, x(:, 2), 'r', 'LineWidth', 2);xlabel('Time');ylabel('State Variables');legend('x1', 'x2');```这个示例中，我们使用ode45函数求解了一个线性定常系统在给定输入信号下的状态变量演化。
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解
7
小结：
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状
态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其
为状态转移矩阵.一般用
x
(t) eAt (t t0) eA(tt0)
来表示。 x 0
2 ! 3 !
AA2t1A3t2L 2!
A(I At 1 A2t2 L ) 2!
AeAt eAt A
13
所以当 Φ(t)=eAt时， &(t)A(t) 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t)
（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元 素均为时间函数.
sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)
即
X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)]
其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。
对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有
x ( t ) L 1 ( s A ) I 1 x 0 L 1 ( s A ) I 1 B ( s )U
1 0 3x1u
试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。
解：1.求 eAt ： 由前例得：
eAt
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t et 2e2t
25
2. 求x(t)
x(t)eA tx00 teA (t )B u ()d
t2 e (t )e 2 (t ) e (t ) e 2 (t ) 0
由于状态空间表达式由两部分组成,即 x& Ax Bu y Cx Du
(哈工大)2.线性定常系统齐次状态方程的解 gai
对于1 -1 ，有 AP1 -P1 1 0 P11 0 P11 0 P P 0 1 21 21 6 11 6 P31 P31 P21 P11 P31 P21 - 6P 11P 6P P 21 31 31 11 解得
L (sI - A)
1
-1
te t t (1 t )e
1 s2 t 2 2 ( 1 t ) e (s 1) 1 (s 1) L t 1 s te 2 2 (s 1) (s 1) 1 -1 x(t) L (sI - A) x(0)
3.两种方法的关系
I A A2 Ak （sI - A)( 2 3 k 1 ) I s s s s 2 k I A A A -1 (sI - A) 2 3 k 1 s s s s 1 2 2 1 k k 1 -1 L (sI - A) I At A t A t 2! k! e At L1 (sI - A)-1
s - 1 sI A 1 s 2
sI A
Page 11
-1
s2 adj( sI A) (s 1)2 det(sI A) - 1 2 (s 1)
1 2 (s 1) s 2 (s 1)
t x ( t ) 1 (1 t )e x (t ) t 2 te
Page 12
x1 (0) te t (1 t )e x 2 (0)
t
MATLAB
>>a=[0 1;-1 -2] >> s=sym(‘s’) >>sa=inv(s*eye(2)-a) >>ilaplace(sa)
现代控制理论-状态方程的解
e
At
Te JtT1
1
0
2
0
et
0
2
3
1 1 4 0 0 e 2 t 1 2
Iinv(A)
2
1
1
作业：p.536;9-9;9-10;9-11
2tete2t 3tet2et2e2t tetete2t
0 1 0
2(e2ttetet) 3tet5et4e2t tet2et2e2tA
iPi1APi1Pi
..................................
参见 现代控制论
教材p.490 刘豹 p.28
Matla 中，矩阵求逆 b 命令为
1 1 0
et tet 0
J
T1AT=
0
1
0
0 0 2
e Jt
0
0
et
0
0 e 2 t
1 1 1 e t te t 0 2 5
T
2 2
1 2
特征 向量 问题
Api i pi
T 1
1
1 2
1 1
T1AT
1 0
0 2
e At
TetT1
2 2
1 et
2
0
2et e2t 2et 2e2t
e
0
2
t
1
1
1 2 1
et e2t et 2e2t
利用拉氏变换的方法参见书 p.458 例9-4，9-5
证明→
1
0
0
2
1
，
n
2
...
n
e At
矩阵指数
的求法
现代控制理论经典习题
第一周绪论1、我国人民哪些发明属于在经典控制理论萌芽阶段的发明？（AB）A指南车B水运仪象台C指南针D印刷术2、经典控制理论也可以称为（BD）A现代控制理论B自动控制理论C近代控制理论D古典控制理论3、以下哪些内容属于现代控制理论基础的内容？（AB）A李雅普诺夫稳定性理论B极小值原理C频率响应法D根轨迹法4、传递函数模型假设模型初值不为零。
（X）5、传递函数描述的是单输入单输出的外部描述模型。
（X）6、线性系统理论属于现代控制理论的知识体系中数学模型部分。
（，）7、最优控制理论属于现代控制理论的知识体系中估计方法部分。
（X）8、控制科学的意义下，现代控制理论主要研究（数学建模）和（控制理论方法）的科学问题。
9、现代控制理论在整个控制理论发展中起到了（承上启下）的作用。
10、除了稳定性外，现代控制理论基础还考虑系统（能控性）和（能观测性）两个内部特性。
一、现代控制理论作为一门科学技术，已经得到了广泛的运用。
你还知道现代控制理论具体应用到哪些具体实际的例子么？第二周状态空间描述下的动态方程1、关于输出方程，下列哪些说法是正确的？（BD）A输出方程中状态变量必须是一阶的B输出方程中不含输入的任何阶倒数C输出方程中输入变量可以是任意阶的D输出方程中不含状态变量的任何阶倒数2、关于系统的动态方程，下列哪些说法是正确的？（AB）A系统的状态方程的状态变量的个数是惟一的B系统输出方程的输入输出变量是惟一的C系统输出方程的输入输出变量是不惟一的D系统的状态方程的状态变量是惟一的3、对于一个有多个动态方程表示的系统，下列说法正确的是？（AC）A这些动态方程一定是等价的B这些动态方程经过线性变化后，不能转化为一个动态方程C这些动态方程经过线性变化后，可以转化为一个动态方程D这些动态方程不一定是等价的4、选取的状态向量是线性相关的（X）5、状态向量的选取是不唯一的（/）6、状态向量的个数是不唯一的（X）7、输出方程的选取是不唯一的（/）8、（系统的输出量与状态变量、输入变量关系的数学表达式）称为输出方程。
线性系统理论大作业
《线性系统理论》大作业报告引言：研究线性定常连续系统状态方程的解时，求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础，是进行定量分析的主要方法。
而线性定常连续系统状态方程的解由两个部分相加组成。
第一个部分是由初始状态所引起的自由运动，即状态的零输入响；第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动,其值为输入函数与矩阵指数函数的卷积，即状态的零状态响应。
由于这两部分中都包含有状态转移矩阵，因此状态转移矩阵的计算是线性定常连续系统状态方程求解的关键。
本文先总结了的计算方法，并运用matlab命令求解证明各方法的正确性及给出相应的零输入响应仿真结果。
然后推导了脉冲响应的公式，希望通过飞机模型的例子来研究其系统的脉冲响应。
最后推广研究了任意输入的零状态响应。
第一部分的计算方法及零输入响应的仿真证明一．的计算方法1.根据的定义直接计算定义式是一个无穷级数，故在计算中必须考虑级数的收敛条件和计算收敛速度问题。
类似于标量指数函数，对所有有限的常数矩阵A和有限的时间t来说，矩阵指数函数这个无穷级数都是收敛的。
显然用此方法计算一般不能写成封闭的解析形式，只能得到数值计算的结果。
2.变换A为约旦标准型因为任何都可经线性变换成为对角矩阵或约旦矩阵，因此下面将利用对角矩阵和约旦矩阵的矩阵指数函数计算的简便性质，通过线性变换将一般形式的系统矩阵变换成对角矩阵或约旦矩阵计算其矩阵指数函数。
对于矩阵A，若经过非奇异变换（相似变换）矩阵Ｐ作变换后，有则3. 利用拉氏反变换求已知齐次方程两边取拉氏变换即对上式两边取拉氏反变换得齐次微分方程的解：而由定义法求得的齐次微分方程的解为比较两式得4. 应用凯莱—哈密顿定理求（1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A 满足其自身的特征方程，即()1110 0n n n fA A a A a A a I--=++++=故121210...n n n n n A a A a A a A a I ----=-----它是的线性组合。
状态方程的解
Chapter2状态方程的解我们要解决的问题是：在系统初始时刻0t t =时，初始状态为00)(x t x =的条件下，对该系统施加控制)(t u ，求出系统状态)(t x 的变化，即求解非齐次方程（0)(≠t u ）初值问题的解：000)()()()()()(t t x t x t u t B t x t A t x≥=+=或者在系统不加控制)(t u ，（0)(=t u 称为自由系统）的条件下，求出初值)(0t x 对系统状态)(t x 的影响，即求解齐次方程初值问题的解：000)(),()()(t t x t x t x t A t x≥==⇒⎩⎨⎧离散连续线性定常⇒⎩⎨⎧离散连续线性时变⎩⎨⎧⨯∆⇒⎩⎨⎧⨯∆数值解解析解非齐次数值解解析解齐次 2.1 线性定常系统状态方程的解2.1.1n 阶、线性、定常（无关与时间t A ）连续系统齐次状态方程的解我们知道：常系数线性微分方程（标量方程）)()(t ax t x= ，0)0(x x =，0≥t 其解为 000!)(x k t a x e t x k kk at∑∞===对齐次状态方程（矩阵方程）)()(t Ax t x= ，0)0(x x =，0≥t 很自然，仿照常系数线性微分方程，可得到n 阶线性、定常、连续系统齐次（0)(=t u ）状态方程的解000!)(x k t A x e t x k kk At∑∞=== 定义矩阵指数：k k k k k Att A k t A At I k t A e!121!220++++=≡∑∞= ，它仍是一个矩阵。
若初始时间为0t ，则状态方程的解为0000)(!)()(0x k t t A x et x k kk t t A ∑∞=--==∑∞=--=00)(!)(0k kk t t A k t t A e称为定常（连续）系统的状态转移矩阵。
)(0t t A e -物理意义：将系统从初始状态)(0t x 转移到（时刻t 的）状态)(t x 。
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式中, qk (k 1, 2, ...)为待定级数展开系数
级数展开法(2/4)
将所设解代入该微分方程, 可得
q1 2q2t 3q3t 2 kqk t k 1 a(q0 q1t q2t 2 qk t k )
(3) 状态方程的解为
t 2 t 4e 3e At x (t ) e x0 t 2 t 4e 6e
非齐次状态方程的解(1/2)
3.1.2 非齐次状态方程的解
当线性定常连续系统具有输入作用时, 其状态方程为如下非 齐次状态方程: x’ Ax Bu. 该状态方程在初始状态
0
t
拉氏变换法(1/2)
2. 拉氏变换法
将该非齐次状态方程两边取拉氏变换,可得 sX(s) x0 AX(s) BU(s) 即 X(s) (sI A)1[x0 BU(s)] 其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换 对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积积分公式,则有
x (t ) t t x (t0 )
0
下的解 就是由初始状态x(t0)和输入作用u(t)所引起的系统状态 的运动轨迹
非齐次状态方程的解(2/2)
下面用两种求解常微分方程的方法
直接求解法 拉氏变换法 讨论非齐次状态方程的解, 以及 解表达式的意义 输出方程的解
直接求解法(1/2)
a2 2 ak k x(0) eat x(0) x(t ) 1 at t ... t ... 2! k!
级数展开法(3/4)
下面考虑向量状态方程的求解
为此, 设其解为t的向量幂级数, 即 x(t) q0 q1t q2t2 … qktk …
拉氏态方程的解为 x(t) L1[(sIA)1]x0
下面讨论如何求解拉氏反变换L1[(sIA)1]
主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推 广至矩阵函数中 对标量函数, 我们有
1 a a2 a k 1 ( s a) 2 3 ... k ... s s s s 2 2 k k a t a t at e 1 at ... ... L1[( s a)1 ] 2! k!
如果所设解是方程的真实解, 则对任意 t, 上式均成立 因此, 使 t 有相同幂次项的各项系数相等, 即可求得
a q1 q0 , 1! a a2 q2 q1 q0 , 2 2! a ak , qk qk 1 q0 k k!
令x(t)的解表达式中t 0, 可确定 q0 x(0) 因此, x(t)的解表达式可写为
本章内容(2/2)
目录
3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵的性质及计算
3.3 线性定常连续系统的离散化
3.4 线性定常离散系统状态方程的解
线性定常连续系统状态方程的解(1/1)
3.1 线性定常连续系统状态方程的解
先讨论线性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和 状态转移矩阵等概念 所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项 (u(t)0)的作用, 满足方程解的齐次性 研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外 力作用下的自由(自治)运动 所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用, 状态方程解对输入具有非齐次性 研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作 用下的强迫运动
该方程右边括号里的展开式是n×n维矩阵函数
由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式, 所 以称为矩阵指数函数, 且记为
A2 2 Ak k e I At t ... t ... 2! k!
At
利用矩阵指数函数符号, 齐次状态方程的解可写为: x(t) eAtx0
式中, qk (k 1, 2, ...)为待定级数展开系数向量
将所设解代入该向量状态方程x’ Ax, 可得 q1 2q2t 3q3t2 … kqktk-1 …
A(q0 q1t q2t2 … qktk …)
如果所设解是方程的真实解,则对任意t, 上式均成立 因此, 使 t 有相同幂次项的各项系数相等, 即可求得
2 k 1 I A A A 1 1 1 L [( sI A) ] L 2 3 ... k ... s s s s A2t 2 Ak t k I At ... ... 2! k! e At
拉氏变换法(4/8)
因此,基于上述(sIA)1的拉氏反变换, 该齐次方程的解为 x(t) L1[(sIA)1]x0 eAt x0
拉氏变换法(5/8)
为讨论方便, 引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续 系统的状态转移矩阵如下: (t) eAt
因此, 有如下关系式
(t t0 ) e A(t t
0)
x(t) (t)x0 (tt0)x(t0)
由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解, 系统状 态转移矩阵有如下关系 (t) L1[(sIA)1]
拉氏变换法(7/8)
例3-1 试求如下状态方程在初始状态x0下的解
0 1 x x 2 3 1 x0 2
解 (1) 首先计算(sIA)1:
sI A s 2 3s 2 ( s 1)( s 2) s 3 1 adj( sI A) 1 ( sI A) 2 s sI A ( s 1)( s 2) 1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 1 2 2 2 s 1 s 2 s 1 s 2
1
拉氏变换法(3/8)
将上述关系式推广到矩阵函数则有
2 k 1 I A A A ( sI A) 1 2 3 ... k ... s s s s 2 2 k k A t A t e At I At ... ... 2! k!
其中eAt称为时间 t 的矩阵指数函数, 并有
拉氏变换法(1/8)
2．拉氏变换法
若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数, 定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数 和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换, 那么可利用拉氏 变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方程的解. 对该齐次状态方程x’ Ax, 设初始时刻t0 0且初始状态x(0) x0, 对方程两边取拉氏变换, 可得 sX(s) x0 AX(s) 于是可求得该齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换为 X(s) (sIA)1x0
A q1 q0 , 1! A A2 q2 q1 q0 , 2 2! A Ak , qk qk 1 q0 k k!
级数展开法(4/4)
若初始时刻t0 0, 初始状态x(0) x0, 则可确定
q0 x(0) x0 因此, 状态x(t)的解可写为
A2 2 Ak k x (t ) I At t ... t ... x0 2! k!
1
拉氏变换法(8/8)
(2) 计算矩阵指数函数eAt。
e At L1[( sI A) 1 ] 1 1 1 2 1 s 1 s 2 s 1 s 2 L 2 2 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 2e t e 2t e t e 2 t t 2t t 2t 2 e 2 e e 2 e
1. 直接求解法
将状态方程x’ Ax Bu移项,可得 x’ Ax Bu 将上式两边左乘以eAt, 则有 eAt[x’ Ax] eAtBu 即 d(eAtx)/dt eAtBu 在区间[t0, t]内对上式积分, 则有
t
t0
t d A e x ( ) d e A Bu( )d t d
x(t ) e x0 e A(t ) Bu( )d
At 0
t
若用状态转移矩阵来表示,上述非齐次状态方程的解又可 分别记为
x (t ) (t t 0 ) x (t 0 ) (t ) Bu( )d
t0 t
(t ) x 0 (t ) Bu( )d
x (t ) t t x (t0 )
0
的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输 入强迫项(无外力)时的自由运动
级数展开法(1/4)
1. 级数展开法
先观察标量常微分方程
(t ) ax(t ) x
在初始时刻t0 0的解 该方程中x(t)为标量变量, a为常数 由常微分方程理论知, 该方程的解连续可微 因此, 该解经泰勒展开可表征为无穷级数, 即有
Ch.3 线性系统的时域分析
本章内容(1/2)
本章内容
建立了系统的数学描述之后,接着而来的是对系统作定量和 定性的分析
定量分析主要包括研究系统对给定输入的响应问题,也 就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题 定性分析主要包括研究系统的结构性质, 如: 能控性、 能观性和稳定性等 本章讨论线性系统的运动分析 连续系统与离散系统的状态空间模型的求解 状态转移矩阵的性质和计算 连续系统状态方程的离散化
上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法求解 结果一致 若初始时刻t00, 对上述齐次状态方程的解作坐标变换, 则可得解的另一种表述形式:
x(t ) e A(t t0 ) x(t0 )
状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始 状态x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移, 其转移特 性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数 e A(t t0 ) 和初始状态x(t0) 所决定