现代控制理论3-1线性系统的状态空间描述

第一步：选择状态变量，n阶系统，一般选择n个状态变量
x1 , x 2 , ⋯⋯, x n
x1 = y ɺ x2 = y x3 = ɺɺ y ⋮ xn = y ( n −1)
第二步：求各个状态一阶导数，并代入原微分方程，有
ɺ x1 = x2 x = x ɺ 3 2 ⋮ x = x ɺ n−1 n xn = −a0 x1 − a1 x2 − ⋯⋯ − an−1 xn + β 0u ɺ
di 1 + Ri(t ) + ∫ i (t )dt = u (t ) dt C 1 u c (t ) = ∫ i (t )dt C L
(1)取流过电感L的电流i(t)和电容C两端电压uc(t) 作为系统的两个状态变量，分别记作 x1=i1和x2=uc,则有
dx1 L dt + Rx1 + x 2 = u (t ) dx 2 = 1 x 1 dt C y = x2
电路如图1.1所示 系统的控制输入量为u(t)，系统输出为u 例1.2 RLC电路如图 所示 系统的控制输入量为 电路如图 所示,系统的控制输入量为 ，系统输出为 c(t) ，建立 系统的状态空间表达式。 系统的状态空间表达式。
解：该RLC电路有两个独立的储能元件L和C， 设回路电流为i(t)，根据基尔霍夫电压定律和R、 L、C元件的电压电流关系，可得下列方程
n
x1 = y − β 0 u ɺ xi = xi −1 − β i −1u， i = 2,3, ⋯ , n
其中 β 0 , β 1 , ⋯ , β n −1 是n个待定系数。
根据上述定义有
x1 = y − β 0 u ɺ x 2 = x1 − β1u ɺ xi = xi −1 − β i −1u ɺ x n −1 = x n − 2 − β n − 2 u ɺ x n = x n −1 − β n −1u
• • • • • •
ɺ y ɺ 由 x i及 u , u , , ⋯ u ( n −1) 求出y, ɺɺ, ⋯ y ( n −1) ，即：
x1 = y − β 0 u → y = x1 + β 0 u
ɺ ɺ ɺ ɺ x 2 = y − β 0 u − β 1u → y = x 2 + β 0 u + β 1u ɺɺ ɺ x3 = ɺɺ − β 0 u − β 1u − β 2 u y
例1.3 机械运动系统如图1.4所示， M为物体的质量，K为弹簧系数， B为阻尼器，f为外加的力，y为受力后物体的位移，v为物体的运动 速度。试写出该机械系统的状态方程
ɺ ɺ x2 = v 根据牛顿第二定律可写出该系统的运动方程
dv f − Bv − Ky = M dt K B 1 ɺ2 = − x x1 − x2 + u M M M
⋮
β i = bn −i − a n −1 β i −1 − a n − 2 β i − 2 − ⋯ − a n −i β 0
⋮
n 令上式中u的系数为 β，则：
β n −1 = b1 − a n −1 β n − 2 − a n − 2 β n −3 − ⋯ − a1 β 0
x1 y = [0 1] x2
(2)取两个状态变量 x1 = i, x2 = i (t ) dt , 则可得
1 dx1 + Rx1 + x 2 = u L dt C dx 2 = x 1 dt 1 y = uc = x2 C
R 1 1 ɺ x2 + u x1 = − x1 − L LC L x 2 = x1 ɺ 1 y = uc = x2 C
1 1 R 1 R 1 R ɺ x1 = x1 − x2 + (u − x1 ) = ( − ) x1 − x2 + u RC RC L RC L RC L x = 1 x − 1 x ɺ 2 RC 1 RC 2 y = x2
1 1 uc , ∫ i(t )dt + Ri(t ), x2 = C ∫ i(t )dt = 则可得 C
c = [1 0 0 ⋯ 0]
例1.7 已知系统的输入输出微分方程为
ɺyɺ + 6 ɺɺ + 11 y + 6 y = 3u ɺ ɺ y
试列写其状态空间表达式。 解：取状态变量 x1
ɺ = y, x2 = y, x3 = ɺɺ y
可得
ɺ ɺ x1 = y = x2 ɺ x2 = ɺɺ = x3 y ɺ ɺ x3 = ɺyɺ = −6 x1 − 11x2 − 6 x3 + 3u y = x1
图1.4弹簧质量阻尼器系统
1.3从微分方程模型推导状态空间表达式 从微分方程模型推导状态空间表达式
1.3.1由微分方程求状态空间表达式 由微分方程求状态空间表达式 1）没有输入变量导数项的情形 ） 单输入单输出（SISO）线性定常连续系统微分方程的一般形式为
ɺ y ( n ) + a n −1 y ( n −1) + ⋯ + a1 y + a 0 y = β 0 u
ɺ ɺ x n = y ( n ) − β 0 u ( n ) − β 1u ( n −1) − ⋯ − β n −1u
将 y ( n ) = −an−1 y ( n−1) − an−2 y ( n−2) ⋯ − a1 y − a0 y ɺ 代入
ɺ + bn u ( n ) + bn −1u ( n −1) + ⋯ + b1u + b0 u
+ (b0 − a n −1 β n −1 − a n − 2 β n − 2 − ⋯ − a1 β 1 − a 0 β 0 )u
选择β 0 , β 1 , ⋯ , β n −1 ,使得上式中u的各阶导数项的系数 都等于0，即可解得：
β 0 = bn β 1 = bn −1 − a n −1 β 0 β 2 = bn − 2 − a n −1 β1 − a n − 2 β 0 β 3 = bn −3 − a n −1 β 2 − a n − 2 β1 − a n −3 β 0
R 1 − − ɺ x1 RC L x = 1 ɺ2 RC x y = [0 1] 1 x2
1 x1 R RC + u 1 x2 L 0 − RC −
1.2.2 力学系统状态空间描述的列写示例
6.输出方程 y ⇔ x ⇒ 代数方程 输出方程： 输出方程 u
y (t ) = g[ x(t ), u (t ), t ]
7.状态空间表达式 状态空间表达式(动态方程)： {A，B，C，D} {A， 状态空间表达式
1.2线性系统的状态空间描述 线性系统的状态空间描述 实际物理系统状态空间描述建立的原则( 实际物理系统状态空间描述建立的原则 机 理分析法) 理分析法
写成矩阵形式
ɺ x1 0 x = 0 ɺ 2 x3 − 6 ɺ y = [1 0 1 0 x1 0 0 1 x 2 + 0 u − 11 − 6 x 3 3 x1 0] x 2 x3
(1). 根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的物 ). 根据具体系统结构及其研究目的， 理量作为系统的状态变量和输出变量； 理量作为系统的状态变量和输出变量； (2). 根据对象或环节所遵循的物理或化学定律，列写 ). 根据对象或环节所遵循的物理或化学定律， 出描述变化过程的原始方程 原始方程， 出描述变化过程的原始方程，最终建立系统的状 态空间模型。 态空间模型。 1.2.1 电路系统状态空间描述的列写示例
ɺ ɺ x n = y ( n ) − β 0 u ( n ) − β 1u ( n −1) − ⋯ − β n −1u
得：y ( n ) = − a n −1 x n − a n − 2 x n −1 − ⋯ − a1 x 2 − a 0 x1
− a n −1 ( β 0 u ( n −1) + β 1u ( n − 2) + ⋯ + β n −1u )
R 1 1 ɺ x1 = − x1 − x 2 + u L L L x = 1 x ɺ 2 C 1 y = x2
R ɺ1 − L x x = 1 ɺ2 C
1 − x 1 L 1 + u L 0 x2 0
2)系统输入量中含有导数项 系统输入量中含有导数项
如果单输入—单输出系统的微分方程为：
ɺ y ( n) + an−1 y ( n−1) + ⋯+ a1 y + a0 y =
ɺ bnu ( n ) + bn −1u ( n −1) + ⋯ + b1u + b0u
一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n。为了 避免在状态方程中出现u的导数项，可以选择如下的一组状态变 量。 设 b ≠ 0 ，选取：
∫
R ɺ x1 − L x = 1 ɺ2 C
−
1 1 LC x1 + u L x2 0 0
1 x1 y = 0 C x2
(3)设两个状态变量分别为 x1 =
ɺɺ = x3 + β 0 u + β 1u + β 2 u ɺɺ ɺ y ⋮
x n = y ( n −1) − β 0 u ( n −1) − β1u ( n − 2) − ⋯ − β n −1u
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y ( n −1) = x n + β 0 u ( n −1) + β 1u ( n − 2 ) + ⋯ + f ,则有