混沌动力学初步A陈关荣吕金虎
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一个新的分数阶混沌系统及其异结构同步
第２ ５卷
第 ２期
郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
ＪＵ Ｎ Ｌ Ｆ Ｈ Ｎ Ｚ Ｏ ＮＶ Ｒ ＩＹＯ Ｇ ＴＩＤ ＳＲ ［ ａ ｒ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ Ｅ Ｇ Ｈ ＵＵ ＩＥ Ｓ Ｆ ＩＨ ＵＴ Ｙ Ｎｔ ａＳｉ ｃ｝ ０Ｚ Ｔ Ｌ Ｎ ｕｌ ｅ
＜１ Ｔｏ ｒ ａｉｅ ｔ ｅ ｔ ｒ ｅ ｄｍｅ ｓｏ ａ ｈ ｏｉ ｙ ｔｍ ｎ ｔ ｙ ｃ ｒ ｎｉａ ｉｎ ｏ ｉ ｅ ｅ ｔｓ ｓｅ ． ． ｅ ｚ ｈ ｅ — ｉ ｎ ｉ ｎ ｌｃ ａ ｔ ｓ ｓｅ ａ ｄ ｉｓｓ ｎ ｈ ｌ ｈ ｃ ｏ ｚ ｔ ｆｄ ｆ ｒ ｎ ｙ ｔｍｓ ｏ
与陈关 荣进 一步 发现 了 Ｌ 统 Ｊ不 久 ， 们 又 提 ｖ系 ， 他 出一个 统一 系统 ． 】并且 ， 量研 究 表 明 当混 沌 系 大 统 的 阶数为分 数 时仍 然 出现 混沌 现 象 ， 更 能 反 映 且
收 稿 日期 ：０ ９—１ ２０ ２—１ ０
１ 分数 阶微分及其逼近
摘要 ： 构造 了一 个新 的三 维混沌 系统 ， 系统与 Ｃ ｅ 该 ｈｎ系统 、ｏｅｚ系统等各 类 经典 的混 沌 系统 都 是 Ｌｒｎ 拓扑 不等价 的． 通过理 论分析 、 数值 仿 真研 究 了该 系统 的混 沌特 性 ， 且发 现 新 系统在 低 于 ３阶 时仍 然 呈现 丰 富的混 沌现 象． 实现 了该 分数 阶 系统 与其响 应 系统的异 结构 同步 ． 关键词 ： 沌 系统 ； 引子 ； 结构 同步 混 吸 异
的研 究具 有重 要意 义．
未停止对混沌信号产生和建模的研究 ， 的混沌系 新
统也 不断被 提 出．９９年 陈关 荣 在混 沌 系 统反 控 制 １９ 中发 现 了一 个 与 著 名 的 Ｌ ｒ ｚ系 统 相 似 但 不 拓 扑 ｏｅ ｎ
第 ２期
郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
ＪＵ Ｎ Ｌ Ｆ Ｈ Ｎ Ｚ Ｏ ＮＶ Ｒ ＩＹＯ Ｇ ＴＩＤ ＳＲ ［ ａ ｒ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ Ｅ Ｇ Ｈ ＵＵ ＩＥ Ｓ Ｆ ＩＨ ＵＴ Ｙ Ｎｔ ａＳｉ ｃ｝ ０Ｚ Ｔ Ｌ Ｎ ｕｌ ｅ
＜１ Ｔｏ ｒ ａｉｅ ｔ ｅ ｔ ｒ ｅ ｄｍｅ ｓｏ ａ ｈ ｏｉ ｙ ｔｍ ｎ ｔ ｙ ｃ ｒ ｎｉａ ｉｎ ｏ ｉ ｅ ｅ ｔｓ ｓｅ ． ． ｅ ｚ ｈ ｅ — ｉ ｎ ｉ ｎ ｌｃ ａ ｔ ｓ ｓｅ ａ ｄ ｉｓｓ ｎ ｈ ｌ ｈ ｃ ｏ ｚ ｔ ｆｄ ｆ ｒ ｎ ｙ ｔｍｓ ｏ
与陈关 荣进 一步 发现 了 Ｌ 统 Ｊ不 久 ， 们 又 提 ｖ系 ， 他 出一个 统一 系统 ． 】并且 ， 量研 究 表 明 当混 沌 系 大 统 的 阶数为分 数 时仍 然 出现 混沌 现 象 ， 更 能 反 映 且
收 稿 日期 ：０ ９—１ ２０ ２—１ ０
１ 分数 阶微分及其逼近
摘要 ： 构造 了一 个新 的三 维混沌 系统 ， 系统与 Ｃ ｅ 该 ｈｎ系统 、ｏｅｚ系统等各 类 经典 的混 沌 系统 都 是 Ｌｒｎ 拓扑 不等价 的． 通过理 论分析 、 数值 仿 真研 究 了该 系统 的混 沌特 性 ， 且发 现 新 系统在 低 于 ３阶 时仍 然 呈现 丰 富的混 沌现 象． 实现 了该 分数 阶 系统 与其响 应 系统的异 结构 同步 ． 关键词 ： 沌 系统 ； 引子 ； 结构 同步 混 吸 异
的研 究具 有重 要意 义．
未停止对混沌信号产生和建模的研究 ， 的混沌系 新
统也 不断被 提 出．９９年 陈关 荣 在混 沌 系 统反 控 制 １９ 中发 现 了一 个 与 著 名 的 Ｌ ｒ ｚ系 统 相 似 但 不 拓 扑 ｏｅ ｎ
一个新混沌系统的自适应同步
Ｖｏ ．０ １２ Ｎｏ３ ． Ｓｅ ｐ．２ ０ ０７
一
个新混沌 系统的 自适应同步
赵 德 勤 ， 莲花 熊
（ 合肥 工业 大 学理 学院 ， 安徽 合 肥 ２００ ） ３０ ９
摘 要 ： 用 自适应 控 制的 方 法 ， 出 了一 个新 混 沌 系统 的 同步控 制 器和 参 数 自适 应 律 。 利 给 使
同步． 面我 们通 过一 个例 子说 明． 下 对 于 系统 （ ） 我 们令 。＝８ ｂ＝４ ， １， ， ０ ｃ＝１／ ， ０３ ｄ＝１ ｇ＝４ ｋ＝１ 则 系统 （ ） ， ， ， １ 的混 沌 吸 引 子 的三 维 图像如 图 １ 示 ， 混沌 吸 引子 在 一 平 面上 的相 图 如图 ２所 示 ， 所 此 在相 图 中其 特定 吸引域 内具有 遍历 性 ． ０ 我 们构造 响应 系统 如 下 ： 互 ＝８ｚ １ ， １＝４ ｘ ， １＝ Ｙ 一，１一 １＋ｋ （ １ ， １ （１一 ） 夕 ０ １一 三 １１ ） ， １ 一 ） 其 中反馈 增益 ｋ 取 为 １０ ， ０． （） ５
函数． 系统 （ ．） 给 ４２ 右侧 加一 个 反馈项 ｅ ｅ：Ｙ— ｋ为反馈 增 益． 能 找到 一个 合适 的控 制律 ， ， 若
ｂ＝ （，） ｇｘＹ ， （．） ４ ３ 使得当 ∞时 ， 满足ｌ ｌ （ 一ｙ ｔ ｌ＝０ 则系统（．） ４ ） 自适应控制律 （．） ｉ ｌ ｔ ｍ ） （） ｘ ， ４１ 和（． 在 ２ ４ 的控制下达到 了 ３
自从 １ ９ ９ ０年 Ｐ Ｃ混 沌 同步 方法 …被 提 出后 ， 多年 来 ， 沌 同 步研 究 不 断深 入 ． 究 发 现 。 沌 同 步 十 混 研 混 在 保 密通信 等领 域 中有 着广 阔 的应用 前景 ， 同步控 制 已成为 混沌 研究 中的一个 热 点． 年人 们还 提 出 了激 近 活控 制 ］非线 性耦 合 同步 、 性耦 合 同步 ］ 自适 应 同步 等 多种 同 步方法 ． 、 线 、
一个新混沌系统的动力学分析
［ 关键 词 ］ 混沌吸 引子 ； 岔 ；ｙｐ ｎｖ指数 分 Ｌ ａｕ ｏ ［ 中图 分类 号 ］ １ ４ ［ ０ ９ 文献标 志码 ］ ［ Ａ 文章 编号 ］ ６ ３—８ １ （ ０ １ ０ ０ １ ０ １７ ０ ２ ２ １ ） ２— ０ ３ １— 混 沌是 国 内 外学 术 界对 非 线性 系 统领 域 研 究 非 常 活跃 的前 沿 课 题 ．９ ３年 ， ｏｅ ｚ 分 析 １６ Ｌ ｒｎ 在
由图 ６可知 ： 系统 由一 周期 运 动 状态 阵 发 过
［ ］ ｈｎＧ， ｅ ．Ｙ ｔ ｎ ｔ ｒｃａｔ ｔａｔｒ Ｊ ．ｎ ２ Ｃ ｅ Ｕ ｔ Ｔ ｅ ａ ｏ ｅ ｈｏｃａｒｃ ［ ］ Ｉ— ａ ｈ ｉ ｔ ｏ
ｔｒ ａｉ ｎ ｌ ｏ ｒ ａ ｆＢｉ ｒ ａｉｎ ａ ｄ Ｃ ａ ｓ ，１ ９ 。 ｅ ｎ ｔ ａ ｕ ｎ ｌｏ ｆ ｃ ｔ ｎ ｈ ｏ ｏ Ｊ ｕ ｏ ９ ９ ９
Ｎ
； ｉ ｝。 ；ｍ
Ｌ
／ ＿
。 － ８ Ｏ
图 ２ 系统 的 典 型 混 沌 吸 引 子
从 三维 空 间 中的 相 图及 在 不 同平 面上 的投 影 可 以看 出 ， 系统 的混 沌吸 引子具 有 复杂 的折 叠 和拉伸轨 线和复杂 的几何 形状 ， 统 的轨线 是有 系 界的， 有很 强 的吸引性 ．
座 桥梁 ， 此 拉 开 了混 沌 研 究 的 帷 幕 从
． 本
文 以三维 混沌 系统 为 例 ｊ 画 出了处 于混 沌 状态 ， 时 的时 间 响 应 图 和 相 图 ， 用 系 统 的分 岔 图 和 利 Ｌａｕｏ ｙ ｐ ｎｖ指数 图 ， 明了 系统状 态 随参 数 变 化表 说 现 出丰 富的动 力学 行为 ．
－ － －
１／ ０ ３厂＝４时 ， 用数值模 拟方法计算 得到混沌 系统 的 吸 引 子 的 ３个 Ｌａ ｕ ｏ ｙｐ ｎｖ指 数 分 别 为 Ａ ＝
由图 ６可知 ： 系统 由一 周期 运 动 状态 阵 发 过
［ ］ ｈｎＧ， ｅ ．Ｙ ｔ ｎ ｔ ｒｃａｔ ｔａｔｒ Ｊ ．ｎ ２ Ｃ ｅ Ｕ ｔ Ｔ ｅ ａ ｏ ｅ ｈｏｃａｒｃ ［ ］ Ｉ— ａ ｈ ｉ ｔ ｏ
ｔｒ ａｉ ｎ ｌ ｏ ｒ ａ ｆＢｉ ｒ ａｉｎ ａ ｄ Ｃ ａ ｓ ，１ ９ 。 ｅ ｎ ｔ ａ ｕ ｎ ｌｏ ｆ ｃ ｔ ｎ ｈ ｏ ｏ Ｊ ｕ ｏ ９ ９ ９
Ｎ
； ｉ ｝。 ；ｍ
Ｌ
／ ＿
。 － ８ Ｏ
图 ２ 系统 的 典 型 混 沌 吸 引 子
从 三维 空 间 中的 相 图及 在 不 同平 面上 的投 影 可 以看 出 ， 系统 的混 沌吸 引子具 有 复杂 的折 叠 和拉伸轨 线和复杂 的几何 形状 ， 统 的轨线 是有 系 界的， 有很 强 的吸引性 ．
座 桥梁 ， 此 拉 开 了混 沌 研 究 的 帷 幕 从
． 本
文 以三维 混沌 系统 为 例 ｊ 画 出了处 于混 沌 状态 ， 时 的时 间 响 应 图 和 相 图 ， 用 系 统 的分 岔 图 和 利 Ｌａｕｏ ｙ ｐ ｎｖ指数 图 ， 明了 系统状 态 随参 数 变 化表 说 现 出丰 富的动 力学 行为 ．
－ － －
１／ ０ ３厂＝４时 ， 用数值模 拟方法计算 得到混沌 系统 的 吸 引 子 的 ３个 Ｌａ ｕ ｏ ｙｐ ｎｖ指 数 分 别 为 Ａ ＝
混沌讲义(一)
周期轨道。
2.1.3 奇怪吸引子
l 还有另一大类的系统，它在运动时，其相空间容 积收缩到维数低于原来相空间维数的吸引子上， 即运动特征是相空间容积收缩，这类系统就是耗 散系统。在耗散系统中存在一些平衡点（不动点） 或子空间，随着时间的增加，轨道或运动都向它 逼近，它就是吸引子。在相空间中，耗散系统可 能有许多吸引子，向其中某个吸引子趋向的点的 集合称为该吸引子的吸引盆。在某吸引子的吸引 盆中不会有其它吸引子，与吸引子相反的就是排 斥子。通常耗散系统的简单吸引子有不动点、极 限环和环面。简单吸引子又受系统参数的影响， 随着系统的参数的变化，耗散运动也会出现混沌， 这时的吸引子就变为奇怪吸引子。混沌运动表现 为奇怪吸引子是耗散系统独具的性质 。
论使我们认识到，现实的世界中，时间是不可逆的
，系统的演化过程和结果与时间相关。
基于上述分析，可见混沌的主要特征有： 1、敏感初始条件
2、伸长与折叠 3、具有丰富的层次和自相似的结构 4、非线性耗散系统中存在混沌吸引子
2.1.2 混沌的定义
l 1990年，美国著名科幻小说家Michael Crichton推 出一力作《侏罗纪公园》。 小说中的混沌：存在 着另一类物理学难以描述的行为。例如与湍流有 关的问题 ，这种方程很难求解，直至混沌理论的 出现。混沌系统的行为对初始条件的变化十分敏
(1)U是A的一个邻域； (2)对每一初始点 x0U，当t > 0时，应有x(t) U ； 当 t 时，x(t) A ，即A是吸引子；此外
(3)x0U 时，有对x0的敏感性(当初值误差为无穷小 量时，它的像的误差随t按指数增长)，即A是奇怪 吸引子；
(4)对y A，应有x(t) 使 d[ y x(t)] 0 ，而奇怪吸引 子不应分成两个。
2.1.3 奇怪吸引子
l 还有另一大类的系统，它在运动时，其相空间容 积收缩到维数低于原来相空间维数的吸引子上， 即运动特征是相空间容积收缩，这类系统就是耗 散系统。在耗散系统中存在一些平衡点（不动点） 或子空间，随着时间的增加，轨道或运动都向它 逼近，它就是吸引子。在相空间中，耗散系统可 能有许多吸引子，向其中某个吸引子趋向的点的 集合称为该吸引子的吸引盆。在某吸引子的吸引 盆中不会有其它吸引子，与吸引子相反的就是排 斥子。通常耗散系统的简单吸引子有不动点、极 限环和环面。简单吸引子又受系统参数的影响， 随着系统的参数的变化，耗散运动也会出现混沌， 这时的吸引子就变为奇怪吸引子。混沌运动表现 为奇怪吸引子是耗散系统独具的性质 。
论使我们认识到，现实的世界中，时间是不可逆的
，系统的演化过程和结果与时间相关。
基于上述分析，可见混沌的主要特征有： 1、敏感初始条件
2、伸长与折叠 3、具有丰富的层次和自相似的结构 4、非线性耗散系统中存在混沌吸引子
2.1.2 混沌的定义
l 1990年，美国著名科幻小说家Michael Crichton推 出一力作《侏罗纪公园》。 小说中的混沌：存在 着另一类物理学难以描述的行为。例如与湍流有 关的问题 ，这种方程很难求解，直至混沌理论的 出现。混沌系统的行为对初始条件的变化十分敏
(1)U是A的一个邻域； (2)对每一初始点 x0U，当t > 0时，应有x(t) U ； 当 t 时，x(t) A ，即A是吸引子；此外
(3)x0U 时，有对x0的敏感性(当初值误差为无穷小 量时，它的像的误差随t按指数增长)，即A是奇怪 吸引子；
(4)对y A，应有x(t) 使 d[ y x(t)] 0 ，而奇怪吸引 子不应分成两个。
一种四螺旋混沌系统仿真研究
２１ ０ ｏ年 ８月 第 ８期
电 子
测 试
ＥＬＥＣＴ ＲＯＮ Ｉ Ｃ Ｔ ＥＳ Ｔ
Ａｕｇ． ２０１ ０ Ｎｏ． ８
一
种 四螺 旋 混 沌 系 统 仿 真 研 究 ★
吴 国增
（ 城 大 学 东 昌学 院 山东 聊 城 ２ ２ ０ 聊 ５０ ０）
摘 要 ：为了改善Ｌｉ系统的混沌特性 ， ｉ 通过在 混沌Ｌ／系 统上添加一维线 性状态反馈控 制器， ３ 构建 了一个新 的四 维连续 自治混沌系统， 了奇异 的四螺旋鲁棒混沌吸 引子 。利用相轨 图 、Ｌ ａｕ ｏ 数谱等数值方法 ， 得到 ｙｐ ｎ ＠￣ 其最大 Ｌ ａｕ ｏ 指数为正值且 几乎恒 定不变， ｙｐ ｎ ｖ 系统具有很好 的鲁棒性． 随控制参数变化 ， 系统能够从 四螺旋 混沌吸引子
ｒ ｓ ｌｓｏｆｓｍ ｕａ ｉ ｎｄ ｎｕ ｅ ｉａ ｅｈｏｄ ｖｅａｇｏ ｏ ｉｔｎｃ ． ｅ ｕｔ ｉ ｌｔｏｎ ａ ｍ ｒｃ ｌｍ ｔ ｓｈａ ｏｄ ｃ ｎｓｓｅ ｙ
Ｋ ｅ ｗ ｏ ｄｓ ｔｒｃ ｏ ； ｃ ｏ ； ｆ ｕｒ—ｃ ｏｌ ｙ ｒ ：ａｔａ ｔ ｒ ｈａ ｓ ｏ —ｓｒ ｌ
Ｗ ｕ Ｇ ｕｏ ｅ ｇ ｚｎ
（ ｎ ｃ ａ ｇＣｏ ｅ ｅ ｆ ｉ ｃ ｅ ｇＵｎｖ ｒ ｔ， ｉ ｃ ｅ ｇ２ ２ ０ Ｄｏ ｇ ｈ ｎ ｌ ｇ ａ ｈ ｎ ｉ ｓｙ Ｌａ ｈ ｎ ， ０ ０） ｌ ｏＬ ｏ ｅｉ ｏ ５
Ａ ｂｓｒ ｔ ｎ ｒ ｒｔ ｍ ｐｒ ｖｅｔ ｅ ｃ ｏｔｃＬ ｓ ｔ ｍ ， ｈａ ｉ ｔ ｙ ｔｍ ｙ ｄｄ ｎ ｉ ａ ｔｔ ｅ ｄｂ ｃ ｏ ｒ ｌｅ ， ｔ ａｃ ：Ｉ ｏ ｄｅ Ｏ ｉ ｏ ｈ ｈａ ｉ ｉ ｙｓｅ ｉ ｃ ｏｔｃＬ ｉ ｓｅ ｂ ａ ｉ ｇ ａｌｎｅ ｒｓａｅ ｆｅ ａ ｋ ｃ ｎｔｏｌ ｒ ｓ
电 子
测 试
ＥＬＥＣＴ ＲＯＮ Ｉ Ｃ Ｔ ＥＳ Ｔ
Ａｕｇ． ２０１ ０ Ｎｏ． ８
一
种 四螺 旋 混 沌 系 统 仿 真 研 究 ★
吴 国增
（ 城 大 学 东 昌学 院 山东 聊 城 ２ ２ ０ 聊 ５０ ０）
摘 要 ：为了改善Ｌｉ系统的混沌特性 ， ｉ 通过在 混沌Ｌ／系 统上添加一维线 性状态反馈控 制器， ３ 构建 了一个新 的四 维连续 自治混沌系统， 了奇异 的四螺旋鲁棒混沌吸 引子 。利用相轨 图 、Ｌ ａｕ ｏ 数谱等数值方法 ， 得到 ｙｐ ｎ ＠￣ 其最大 Ｌ ａｕ ｏ 指数为正值且 几乎恒 定不变， ｙｐ ｎ ｖ 系统具有很好 的鲁棒性． 随控制参数变化 ， 系统能够从 四螺旋 混沌吸引子
ｒ ｓ ｌｓｏｆｓｍ ｕａ ｉ ｎｄ ｎｕ ｅ ｉａ ｅｈｏｄ ｖｅａｇｏ ｏ ｉｔｎｃ ． ｅ ｕｔ ｉ ｌｔｏｎ ａ ｍ ｒｃ ｌｍ ｔ ｓｈａ ｏｄ ｃ ｎｓｓｅ ｙ
Ｋ ｅ ｗ ｏ ｄｓ ｔｒｃ ｏ ； ｃ ｏ ； ｆ ｕｒ—ｃ ｏｌ ｙ ｒ ：ａｔａ ｔ ｒ ｈａ ｓ ｏ —ｓｒ ｌ
Ｗ ｕ Ｇ ｕｏ ｅ ｇ ｚｎ
（ ｎ ｃ ａ ｇＣｏ ｅ ｅ ｆ ｉ ｃ ｅ ｇＵｎｖ ｒ ｔ， ｉ ｃ ｅ ｇ２ ２ ０ Ｄｏ ｇ ｈ ｎ ｌ ｇ ａ ｈ ｎ ｉ ｓｙ Ｌａ ｈ ｎ ， ０ ０） ｌ ｏＬ ｏ ｅｉ ｏ ５
Ａ ｂｓｒ ｔ ｎ ｒ ｒｔ ｍ ｐｒ ｖｅｔ ｅ ｃ ｏｔｃＬ ｓ ｔ ｍ ， ｈａ ｉ ｔ ｙ ｔｍ ｙ ｄｄ ｎ ｉ ａ ｔｔ ｅ ｄｂ ｃ ｏ ｒ ｌｅ ， ｔ ａｃ ：Ｉ ｏ ｄｅ Ｏ ｉ ｏ ｈ ｈａ ｉ ｉ ｙｓｅ ｉ ｃ ｏｔｃＬ ｉ ｓｅ ｂ ａ ｉ ｇ ａｌｎｅ ｒｓａｅ ｆｅ ａ ｋ ｃ ｎｔｏｌ ｒ ｓ
一个新混沌系统的动力学性质讨论
力 学性质 ．
生 混沌不仅 是混 沌 理 论 研 究 的 需 要 ， 且 已成 为 而
混 沌应用 的关键 问题 ．
３ 系 统 的基 本 动 力 学 分 析
（ ）３ 一 一涡 卷混沌 吸 引子
近几 年来 ， 利用 混沌 反控 制方 法 ， 在三维 微分 系统 中 ， 多 新 的 连 续 混 沌 系 统 陆 续 被 发 许
了Ｌ ｎ系统和 统一 混沌 系 统［ ３ 这 样使 人们 把工 ４ ． 程 中的混沌 现象 从 当初作 为一 种科 学探 索逐 步转
移 到极具潜 力 的工程 应用 上来 ． 因此 ， 目的地产 有
．
当参 数 ｎ ｂ ｃｄ， 一 定 范 围 内变化 时 ， ， ，， 在 这 个 系统 能产 生混 沌 吸 引子 ， 并且 有 一 些 复杂 的动
混 沌吸 引子 ．
［ 键 词 ］ 沌吸 引子 ； 力 学 ； ｙ ｐ ｎ ｖ指 数 关 混 动 Ｌ ａｕ ｏ
［ ｏ］Ｏ ３ ６／．ｓｎ １ ０ —６ ７ ． ０ １０ ． １ ｄ ｉｌ． ９ ９ｊｉ ． ０ ８ ０ ２ ２ １． ３ ０ ２ ｓ
［ 图 分 类 号 ］ ０ ９３ 中 Ｆ １．
［ 收稿 日期］ ０ ｌ ０ －０ ２１－ ４ ６ ［ 基金项 目］ 湖北省教育厅科 学技 术研 究重点项 目（ ０ ０ ０ １ ， 阳师专科研项 目（ ０ ０ ０ ） Ｄ２ １５ ０ ） 郧 ２ １Ｂ ６
［ 者 简 介 ］徐 玉 华 （ ９５ ） 男 ， 北 仙 桃 人 ， 阳 师 范 高等 专科 学校 数 学 与 财 经 系 副教 授 ， 士 。 作 １７－ ， 湖 郧 博 主要 从 事 混 沌 控 制 的
研究．
’
Ｙ 。Ｂ ４ ＿’ ＿ ＿ 。’ Ｙ－。 ’＿ ＾ — ・Ｚ —４ －＿ Ｓ。 ‘Ｘ
生 混沌不仅 是混 沌 理 论 研 究 的 需 要 ， 且 已成 为 而
混 沌应用 的关键 问题 ．
３ 系 统 的基 本 动 力 学 分 析
（ ）３ 一 一涡 卷混沌 吸 引子
近几 年来 ， 利用 混沌 反控 制方 法 ， 在三维 微分 系统 中 ， 多 新 的 连 续 混 沌 系 统 陆 续 被 发 许
了Ｌ ｎ系统和 统一 混沌 系 统［ ３ 这 样使 人们 把工 ４ ． 程 中的混沌 现象 从 当初作 为一 种科 学探 索逐 步转
移 到极具潜 力 的工程 应用 上来 ． 因此 ， 目的地产 有
．
当参 数 ｎ ｂ ｃｄ， 一 定 范 围 内变化 时 ， ， ，， 在 这 个 系统 能产 生混 沌 吸 引子 ， 并且 有 一 些 复杂 的动
混 沌吸 引子 ．
［ 键 词 ］ 沌吸 引子 ； 力 学 ； ｙ ｐ ｎ ｖ指 数 关 混 动 Ｌ ａｕ ｏ
［ ｏ］Ｏ ３ ６／．ｓｎ １ ０ —６ ７ ． ０ １０ ． １ ｄ ｉｌ． ９ ９ｊｉ ． ０ ８ ０ ２ ２ １． ３ ０ ２ ｓ
［ 图 分 类 号 ］ ０ ９３ 中 Ｆ １．
［ 收稿 日期］ ０ ｌ ０ －０ ２１－ ４ ６ ［ 基金项 目］ 湖北省教育厅科 学技 术研 究重点项 目（ ０ ０ ０ １ ， 阳师专科研项 目（ ０ ０ ０ ） Ｄ２ １５ ０ ） 郧 ２ １Ｂ ６
［ 者 简 介 ］徐 玉 华 （ ９５ ） 男 ， 北 仙 桃 人 ， 阳 师 范 高等 专科 学校 数 学 与 财 经 系 副教 授 ， 士 。 作 １７－ ， 湖 郧 博 主要 从 事 混 沌 控 制 的
研究．
’
Ｙ 。Ｂ ４ ＿’ ＿ ＿ 。’ Ｙ－。 ’＿ ＾ — ・Ｚ —４ －＿ Ｓ。 ‘Ｘ
混沌系统最大Lyapunov指数估计新方法研究
大 Lyapunov 指数估计方法 ,该方法通过构造反馈控 制耦合混沌同步系统 ,依据混沌同步理论 ,分析得 出 :满足两耦合系统达到同步的最小控制增益即为 原系统最大 Lyapunov 指数估计 。文末以 Lorenz 混 沌和静摩擦 Duffing 振子为仿真对象 ,仿真结果验证 了理论分析的正确性。与现有许多方法相比 ,本文 的方法简单、有效 ,适合工程实际要求。
静摩擦 Duffing 振子的状态方程
x=y
y = qcos( t) + ax (1 - x2) - hy -
εN
( 1
μ0 + λ1
μ1
|y
|
+ μ0 +λ2 y2) sign y
(13)
当参数 q = 0. 3 , = 1 , a = 1 , h = 0. 25 , N = 1 ,
λ1 = 1. 42 ,λ2 = 0. 005 ,μ0 = 0. 25 ,μ1 = 0. 05 ,ε =
[5 ] Agrawal R , Gehrke J . Gunopolos D ,et al. Automatic Subspace Clustering of High Dimensional Data for Data Mining Applica2 tion[ C] . In ACM SI GMOD Conference ,1998.
关键词 :最大 Lyapunov 指数 ;混沌同步 ;混沌控制 中图分类号 : TP27 文献标识码 :A
Study on a Ne w Estimation Method of the Largest Lyapunov Exponent
of Chaotic Systems
YAN G Zhi2hong , YAO Qiong2hui
静摩擦 Duffing 振子的状态方程
x=y
y = qcos( t) + ax (1 - x2) - hy -
εN
( 1
μ0 + λ1
μ1
|y
|
+ μ0 +λ2 y2) sign y
(13)
当参数 q = 0. 3 , = 1 , a = 1 , h = 0. 25 , N = 1 ,
λ1 = 1. 42 ,λ2 = 0. 005 ,μ0 = 0. 25 ,μ1 = 0. 05 ,ε =
[5 ] Agrawal R , Gehrke J . Gunopolos D ,et al. Automatic Subspace Clustering of High Dimensional Data for Data Mining Applica2 tion[ C] . In ACM SI GMOD Conference ,1998.
关键词 :最大 Lyapunov 指数 ;混沌同步 ;混沌控制 中图分类号 : TP27 文献标识码 :A
Study on a Ne w Estimation Method of the Largest Lyapunov Exponent
of Chaotic Systems
YAN G Zhi2hong , YAO Qiong2hui
第七章-非线性动力学与混沌
f i ij ( ) 0 x j
11 12 0 21 22
T 11 22 系数矩阵的迹 11 22 12 21 系数行列式的值
特征矩阵
T 0
2
特征根
T T 2 4 1, 2 2
A1 B 1
t
原点 i 0 是渐进稳定的
参考态
xi 0 也是渐进稳定的。
(2) 两特征根中至少有一个实部为正 原点 i 0 是不稳定的 lim i
t
参考态
xi 0 也是不稳定的。
(3) 两特征根中至少有一个实部为零，另一个实部为负
原点 i 0 是Lyapunov稳定的 参考态 xi 0 处于临界情况。
x
x2
t
时空轨迹 相图
x1
小结
非线性动力学系统
决定性系统与不可预测性（初值敏感性）
一阶自治常微分方程组
相空间
§7.2 运动稳定性分析
一. 非线性方程解的各种形式
i fi ( x1 , x2 ,, xn ) x
1. 定态解
i 1,2,, n i 1,2,, n
x2 x1
代入方程
2 02
当阻尼为正阻尼且很小时 0 0
i , 02 2
x1 x Ae t cos(t ) Ae t [ cos(t ) sin(t )] x2 x 2 2 Ae t sin(t 0 )
x1 x, x2 x
3 x3 cost , x4 x
1 x2 x k 3 F x x x x x3 2 1 1 2 m m m m x 3 x4 2 x x3 4