管理类联考数学核心考点精讲丨整式分式恒等变形求解
五年级下册分式的恒等变形的技巧
五年级下册分式的恒等变形的技巧
分式恒等变形的技巧：
1、两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。
2、两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。
3、两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。
分式恒等变形的定义：
分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。
它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性。
分式恒等变形的主要内容：
分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明。
分式恒等变形的例题：
已知x 、y、z为3个互不相等的实数，且
x+(1/y)=y+(1/z)=z+(1/x)
求证：x²，y²，z²=1
由已知可得x-y=1/y+1/z=（y-z）/yz 所以yz=（y-z）/（x-y）其余的也一样按此方法推最后可得原式=xy*yz*zx=1。
整式乘法中的恒等变形技巧有哪些
整式乘法中的恒等变形技巧有哪些整式乘法中的恒等变形技巧，那可是数学学习中的一把神奇钥匙！咱们一起来瞧瞧都有哪些好用的技巧。
先来说说“提取公因式法”。
这就好比从一堆水果中挑出大家都有的那个共同特点，比如式子“3x ＋6”，这里 3 就是公因式，咱们一提出来，就变成 3(x ＋ 2)啦。
我记得有一次给学生们讲这个，有个小调皮一直搞不明白，我就拿他们爱吃的糖果举例，说假如有 3 颗红色糖果和 6 颗蓝色糖果，咱们可以先把 3 颗这个共同的数量提出来，就相当于把这些糖果分成了 3 份，一份是 1 颗红色和 2 颗蓝色。
这么一说，那小调皮恍然大悟，眼睛都亮了起来。
再讲讲“公式法”，这里面最常用的就是平方差公式和完全平方公式。
平方差公式(a ＋ b)（a b) ＝ a² b²，就像两个人比赛跑步，速度快的和速度慢的一比较，差距就出来了。
完全平方公式(a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋b²呢，就像是给一个小房子搭建框架，长、宽和面积的关系一目了然。
还有“分组分解法”，这招有点像整理书包，把不同类的东西先分分组，再分别处理。
比如说对于式子“ax ＋ ay ＋ bx ＋by”，咱们可以把含 x 的放一组，含 y 的放一组，即 a(x ＋ y) ＋ b(x ＋ y)，然后再提取公因式(x ＋ y)，就变成了（a ＋ b)（x ＋ y)。
“十字相乘法”也是个厉害的角色。
这就像是拼图游戏，要找到合适的数字组合。
比如对于式子“x² ＋ 5x ＋6”，咱们要找到两个数，它们相加等于 5，相乘等于 6，那就是 2 和 3，所以就可以分解为（x ＋ 2)（x ＋ 3)。
在实际解题中，这些技巧往往不是单独使用的，而是要灵活组合，就像炒菜要放各种调料一样，搭配好了才能做出美味的“数学大餐”。
我曾经碰到过一道题，式子长得那叫一个复杂“4x² 12xy ＋9y² 25”，一开始好多同学都被吓住了。
分式的恒等变形精讲精练
一、化分式为部分分式的和【例1】 （4级）(第10届华罗庚金杯决赛)下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B .【例2】 （4级）若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则p 的最大值是 .【例3】 （5级）若213111a M Na a a -=+--+，求M 、N 的值.【例4】 （3级）(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a ，b .【例5】 （4级）(2004年第15届培训题)已知正整数,a b 满足1114a b +=，则a b +的最大值是 ．【例6】 （4级）若对于3±以外的一切数，28339m n xx x x -=+--均成立，求mn .【例7】 （5级）若关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx Nx x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N .【例8】 （4级）将269x -化为部分分式.分式恒等变形（竞赛部分）【例9】 （4级）化21(1)(2)x x x ---为部分分式．【例10】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：2342x x x +--.【例11】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：32222361(1)(3)x x x x x -++++.【例12】 （5级）将下列分式写成部分分式的和的形式：32241338(1)(2)(1)x x x x x x -+++--.【例13】 （4级）计算：2132x x x -++262x x ---2104x x ---．【例14】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：4322231(1)(1)x x x x x ++-+-.二、分式的恒等证明【例15】 （4级）（1994广东潮州市初中数学竞赛）求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭【例16】 （5级）已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z =.【例17】 （5级）已知：a c b d=，求证：22222222a b c d a b c d abcd ----++++++=.【例18】 （5级）若a b x a b -=+，b c y b c -=+，c az c a-=+，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y z +++=---【例19】 （5级）若1abc =，求证：1111a b ca ab b bc c ca++=++++++.【例20】 （5级）(2003年第1届“创新杯”数学邀请赛初中二年级第二试试题)已知1111a b ca ab b bc c ca++=++++++，求证：1abc =.【例21】 （6级）(1986年中国数学奥林匹克竞赛赛前培训试题) 已知2220a b cbc a ca b ab c ++=---，求证：()()()2222220a b cbc a ca b ab c ++=---.【例22】 （6级）已知0a b cb c c a a b++=---，求证：2220()()()a b c b c c a a b ++=---.【例23】 (5级)(2002年北京市中学生数学竞赛初二复赛题二)已知0abc ≠，证明：下列四个数3333()()()(),,,a b c b c a c a b a b c abc abc abc abc++------中至少有一个不小于6．【例24】 （5级）已知223344371642a b a b a b a b x y x y x x x y +=+=+=+=，，，，求证：5520a bx y+=。
第二讲：整式与分式
第1个
第2个
第3个
考点2 代数式的求值 例2 (2010年江苏宿迁)若2a-b=2,6+8a-4b= 14 。
先对所求代数式变形，得6+8a-4b=6+4(2a-b), 再将2a-b=2整体代入即可求值 。
解：∵2a-b=2, ∴6+8a-4b=6+4(2a-b)=6+4×2=6+8=14 .
跟踪练习 1.(2010年浙江金华)如果a-3b=-3，那么 代数式5-a+3b的值是（ D ）。 A.0 B.2 C.5 D.8
2.去括号法则：（1）括号前是“+”号，把括号和它 前的“+”号去掉后，原括号里的各项的符号 不变 ；
（2）括号里面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉 后，原括号里的各项的符号都 变号 。
当括号前的系数不是1时，一定要注意不要漏乘 括号内的每一项。
3.整式加减的步骤：若有 括号 ，先去 括号 ， 再 合并同类项 。整式加减的结果仍是整式。
x 有意义， 2x 1
1 A.x≥ 2 1 C.x ＞ 2
1 B.x≤ 2 1 D.x≠ 2
3x 6 (2) (2010年浙江嘉兴) 若分式 2 x 1 的值为0，则
（D） A.x=-2
1 C.x= 2
1 B. x=2
D.x=2
跟踪练习 a2 1.(2010年安徽芜湖) 要使式子 有意义，a的 a 取值范围是（D） A.a≠0 B.a＞-2且a≠0 C.a＞-2或a≠0 D.a≥-2且a≠0
三、思想方法 1.归纳的思想：在研究一般性问题之前，先研究几 个简单的、个别的、特殊的情况，从而探索得到 隐含其间的规律和性质，最后归纳出一般的规律 和性质，如“考点透视”中考点1的跟踪练习的1题 和3题。 2.整体思想：在解决某些特殊问题时，可以从整体 的角度思考，即将局部放在整体中去观察和分析， 探索问题的解决方法，从而使问题得以简捷巧妙 的解决，如“考点透视”中的例2。
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在考研路上，金程考研与你并肩前行！第一部分：算数1．整数：注意概念的联系和区别及综合使用，【小整数用穷举法、大整数用质因数分解】（1）整数及其运算：（2）整除、公倍数、公约数：整除、余数问题用带余除法传化为等式；最小公倍数、最大公约数定义、求法、两者数量上关系、〖最小公倍数、最大公约数应用〗（3）奇数、偶数：奇偶性判定（4）质数、合数：定义，1既不是质数也不是合数，质数中只有2是偶数，质因数分解2.分数、小数、百分数：有理数无理数的区别，无理数运算（开方、分母有理化）3．比与比例：分子分母变化，正反比，〖联比（用最小公倍数统一）〗4．数轴与绝对值：【优先考虑绝对值几何意义】，〖零点分段讨论去绝对值〗，非负性，绝对值三角不等式，绝对值方程与不等式第二部分：代数1．整式：因式分解、【配方】、恒等（1）整式及其运算：条件等式化简基本定理（因式分解与配方运算）与常用结论，多项式相等，整式竖式除法（2）整式的因式与因式分解：常见因式分解（双十字相乘）、多项式整除，（一次）因式定理、〖余数定理〗2．分式及其运算：分式条件等式化简，齐次分式，对称分式，x+1/x型问题，分式联比，分式方程3．函数：注意定义域、〖函数建模〗、〖函数值域（最值）〗（1）集合：互异性、无序性，元素个数，集合关系，〖利用集合形式考查方程不等式〗（2）一元二次函数及其图像：【最值应用（注意顶点是否去得到）】，〖数形结合图像应用〗（3）指数函数、对数函数：图像（过定点），【单调性应用】4．代数方程：（1）一元一次方程：解的讨论（2）一元二次方程：（可变形）求解，判别式、韦达定理，【根的定性、定量讨论】（利用二次函数研究根的分布问题）（3）二元一次方程组：方程组的含义、应用题、解析几何联系5．不等式：（1）不等式的性质：等价、放缩、变形（2）均值不等式：【最值应用】（3）不等式求解：一元一次不等式（组）：解的情况讨论；一元二次不等式：解的情况，解集与根的关系，二次三项式符号的判定；简单绝对值不等式：【零点分段或利用几何意义】，简单分式不等式：注意结合分式性质6.数列、等差数列、等比数列：【优先考虑特殊数列验证法】，数列定义，sn与an的关系，等差、等比数列的定义、判断、核心元素、中项，〖等差数列性质与求和公式综合使用、sn最值与变号问题〗，求和方法（转化为等差或等比，分式裂项，错位相减法）第三部分：几何1．平面图形：【与角度、边长有关的问题直接丈量，与圆有关的阴影部分面积问题直接蒙猜】〖不规则图形面积计算利用割补法、对称折叠旋转找全等、平行直角找相似，特别注意重叠元素，多个图形综合找共性元素〗（1）三角形：边、角关系，四心，面积灵活计算（等面积法，同底等高），特殊三角形（直角，等腰，等边），全等相似（2）四边形：矩形（正方形）；平行四边形：对角线互相平分；梯形：【注意添高】，等腰、直角梯形（3）圆与扇形：面积与弧长，圆的性质，【注意添半径】2．空间几何体：〖注意各几何体的内切球与外接球半径，等体积问题〗（1）长方体：体积、全面积、体对角线、全棱长及其关系（2）柱体：体积、侧面积、全面积，〖由矩形卷成或旋转成柱体、密封圆柱水面高度〗（3）球体：体积、表面积3．平面解析几何：【利用坐标系画草图，先定性判断再定量计算，复杂问题可用验证法】〖5种对称问题、3种解析几何最值问题，轨迹问题〗（1）平面直角坐标系：中点，截距，投影、斜率（2）直线方程：求直线方程，注意漏解情况，两直线位置关系；圆的方程：配方利用标准方程（3）两点间距离公式：两圆位置关系；点到直线的距离公式：【直线与圆的位置关系】第四部分：数据分析1.计数原理（1）加法原理、乘法原理：（2）排列与排列数（3）组合与组合数：排列组合解题按照方法来分，常用的方法有①区分排列与组合；②准确分类合理分步；③特殊条件优先解决；④正面复杂反面来解；⑤【有限问题穷举归纳】等.常见的类型有〖摸球问题〗、〖分房问题〗、〖涂色问题〗、定序问题、排队问题（相邻、等间隔、小团体问题、不相邻问题）、〖分组分派问题〗、配对问题、相同指标分配问题等.2．数据描述（1）平均值（2）方差与标准差：定义，计算、意义，线性变换，〖由统计意义快速计算〗，两组数据比较（3）数据的图表表示：【直方图（频数直方图，频率直方图）】，饼图，数表3．概率（1）事件及其简单运算：复杂事件的表示，事件的概率意义，概率性质（2）加法公式：【两事件独立、互斥、对立情况下加法公式】，三事件加法公式（3）乘法公式：【利用独立性计算概率】（4）古典概型：定义（等可能+有限），【用穷举法计算古典概型】，摸球问题（逐次（有放回与无放回）、一次取样；抽签与次序无关）、〖分房问题（生日问题）〗、随机取样（5）伯努利概型:【伯努利概型定义及条件，分段伯努利】第五部分：应用题考点1：列方程解应用题+不定方程求解〖整数解不定方程用穷举法〗考点2：比、百分比、比例应用题考点3：【价格问题、分段计价】考点4：【平均问题】考点5：浓度问题考点6：工程问题考点7：行程问题考点8：容斥原理〖（两个饼、三个饼集合计数）〗考点9：〖不等式应用、整数解线性规划用图像法+穷举法〗考点10：〖函数图形+分段函数〗考点11：【最值应用题（均值不等式、二次函数求最值）】考点12：数列应用题〖等差等比应用题（区别通项还是求和，注意项数），注意单利与复利问题〗考点13：抽屉原理〖至少至多问题，平均与极端思想〗来源：本文信息来自学长学姐投稿，由金程考研江澈整理发布，转载请联系（qq：）。
分式恒等变形公式
分式恒等变形公式分式恒等变形公式可是数学里的一个重要“武器”，它就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多数学难题的大门。
咱先来说说啥是分式恒等变形。
简单来讲，就是把一个分式通过各种操作，变成跟它完全等价，但形式不同的另一个分式。
这就好比你有一块橡皮泥，你可以把它捏成各种形状，但本质上还是那块橡皮泥。
就拿一个简单的例子来说，比如说分式$\frac{a}{b}$，给分子分母同时乘以一个数 c ，就变成了$\frac{ac}{bc}$，这就是一种恒等变形。
在分式恒等变形中，有几个特别重要的公式。
比如说，通分，这可是个常用的手段。
假设咱们有两个分式，$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$，要把它们相加，就得先通分，通分后的结果就是$\frac{ad}{bd} +\frac{bc}{bd} = \frac{ad + bc}{bd}$。
这就像是把两条不同粗细的绳子，搓成一股更粗的绳子。
还有约分，这就像是把一个复杂的图形简化，只留下最关键的部分。
比如$\frac{ac}{bc}$，分子分母同时除以 c ，就变成了$\frac{a}{b}$。
我记得有一次给学生讲这个知识点的时候，有个学生特别迷糊，怎么都搞不明白为啥要通分约分。
我就拿分蛋糕来给他打比方。
我说，假如有一块大蛋糕要分给 b 个人，每个人能分到的就是$\frac{1}{b}$。
现在有 a 块这样的蛋糕，那总共不就是$\frac{a}{b}$嘛。
然后又来 c 块小一点的蛋糕，要分给 d 个人，每个人能分到$\frac{1}{d}$，那这 c 块蛋糕总共就是$\frac{c}{d}$。
现在要把这两种蛋糕合在一起分给大家，那不得先把它们变成一样大小的份额，才能好分嘛，这就是通分的道理。
这孩子一听，恍然大悟，眼睛都亮了。
再说说分式的乘法和除法。
分式相乘，就是分子乘分子，分母乘分母。
比如$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$。
代数式的变形(整式与分式)
[文件] sxjsck0009 .doc[科目] 数学[关键词] 初一/代数式/整式/分式[标题] 代数式的变形（整式与分式）[内容]代数式的变形（整式与分式）在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.1． 配方在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.例1 （1986年全国初中竞赛题）设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.解mn=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+2abcd+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn 的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd ）2+(ad+bc)2.例2（1984年重庆初中竞赛题）设x 、y 、z 为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求)1)(1)(1()1)(1)(1(222++++++z y x xy zx yz 的值. 解 将条件化简成2x 2+2y 2+2z 2-2xy-2x 2-2yz=0∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0∴x=y=z,∴原式=1.2.因式分解前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.例3(1987年北京初二数学竞赛题)如果a 是x 2-3x+1=0的根,试求1825222345+-+-a a a a a 的值. 解 ∵a 为x 2-3x+1=0的根,∴ a 2-3a+1=0,,且132+a a =1. 原式.11313)32)(13(22232-=+-=+-+++-=a a a a a a a a a 说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.3.换元换元使复杂的问题变得简洁明了.例4 设a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.证明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c 则p+q+r=0.P 3+q 3+r 3-3pqr=(p+q+r)(p 2+q 2+r 2-pq-qr-rp)=0∴p 3+q 3+r 3-3pqr=0即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0例5 (民主德国竞赛试题) 若67890123475678901235,67890123455678901234==B A ,试比较A 、B 的大小.解 设 ,y x A =则,21++=y x B)2(2)2()1()2(21+-=++-+=++-y y yx y y x y y x y x y x .∵2x ＞y ∴2x-y ＞0, 又y ＞0, 可知.021++-y x y x∴A ＞B.4.设参当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.例6 若,a c zc b yb a x-=-=-求x+y+z 的值.解 令,k a c zc b yb a x=-=-=-则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.例7 已知a 、b 、c 为非负实数，且a 2+b 2+c 2=1,3111111-=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+b a c a c b c b a ,求a+b+c 的值.解 设 a+b+c=k则a+b=k-c ，b+c=k-a,a+c=k-b. 由条件知,3-=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+ab b a c ac c a b bc c b a即 .3222-=-+-+-ab c ck ac b bk bc a ak∴a 2k-a 3+b 2k-b 3+c 2k-c 3=-3abc,∴(a 2+b 2+c 2)k+3abc=a 3+b 3+c 3.∵a 2+b 2+c 2=1,∴k=a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b)3-3a 2b-3ab 2+c 3-3abc=(a+b+c)[(a+b)2+c 2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca),∴k=k(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac),∴k(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca-1)=0,∴k(-ab-bc-ac)=0.若K=0, 就是a+b+c=0.若-ab-bc-ac=0,即 (a+b+c)2-(a 2+b 2+c 2)=0,∴(a+b+c)2=1,∴a+b+c=±1综上知a+b+c=0或a+b+c=±15.“拆”、“并”和通分下面重点介绍分式的变形：（1） 分离分式 为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.例8（第1届国际数学竞赛试题）证明对于任意自然数n ，分数314421++n n 皆不可约., 证明 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约. ,314171314421+++=++n n n n 而 ,171217314++=++n n n 显然171+n 不可通约，故17314++n n 不可通约，从而314421++n n 也不可通约. （2） 表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.例9 设n 为正整数，求证：21)12)(12(1531311 +-++∙+∙n n 证明 令1212)12)(12(1+--=+-k B k A k k 通分，,)12)(12()()(21212+-++-=+--k k B A k B A k B k A 比较①、②两式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=21. ∴),121121(21)12)(12(1+--=+-k k k k 令k=1,2,…,n 得)12)(12(1531311+-++⋅+⋅n n ① ②.21121121121121513131121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n(3)通分 通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.例10(1986年冬令营赛前训练题) 已知.0222=-+-+-cab c b ac b a bc a 求证:0)()()(222222=-+-+-c ab c b ac b a bc a . 证明 .))((222222222c ab b ac c b ac bc ab c ab c b ac b a bc a --+-+-=---=- .0))()(()()()(.))()(()(.))()(()(.))()(()(222222222222222222222222222222222222222222222222=---+-+-+-+++-+-=-+-+-∴---+-+-=----+-+-=-----++-=-∴c ab b ac a bc b a c b ab c a c a bc ac b a c b ac bc ab c ab c b ac b a bc a c ab b ac a bc c a c b ab c a c ab c c ab a bc b ac c a bc ac ab b ac b c ab b ac a bc c b ac bc ab a bc a 同理6.其他变形例11 (1985年全国初中竞赛题)已知x(x ≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x 2.那么计算的表达式是______. 解 x 2=x(x+1)-x .1111)1(11x x x x x x -+-=-+= 或 x 2=x(x-1)+x.1111)1(11x xx x x x +--=+-=例12 （第3届美国中学生数学竞赛题）设a 、b 、c 、d 都是正整数，且a 5=b 4,c 3=d 2,c-a=19,求d-b.解 由质因数分解的唯一性及a 5=b 4,c 3=d 2,可设a=x 4,c=y 2,故19=c-a=(y 2-x 4)=(y-x 2)(y+x 2)⎪⎩⎪⎨⎧=+=-∴.19,122x y x y 解得 x=3. y=10. ∴ d-b=y 3-x 5=757A 2+b 2+c 2=(a+b+c)2 Ab+ac+bc=0(a+b+c)2= A 2+b 2+c 2-2ab-2ac-2bc练 习 七1选择题（1）（第34届美国数学竞赛题）把25321,1,xx x x x +++相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）6 （D ）7 （E ）8（2） 已知,111b a b a +=+则ba ab +的值是（ ）. (A)1 (B)0 (C)-1 (D)3（3）（第37届美国中学数学竞赛题）假定x 和y 是正数并且成反比，若x 增加了p%，则y 减少了（ ）.（A ）p% (B)p p +1% (C)P 100% (D)p p +100% (E)p p +100100% 2填空题（1）（x-3）5=ax 5+bx 4+cx 3+dx 2+ex+f ，则a+b+c+d+e+f=________, b+c+d+e=_______.(2)若yyx x y xy x y x ---+=-2232,311则=_____. (3)已知y 1=2x,y 2=198519862312,,2,2y y y y y == ,21n y -=2x 2n y =1/x 则y 1y 1986=______ 3若（x-z ）2-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z 与y 的关系.x 2 + 2xz + z 2 - 4xy + 4y 2 - 4yz=0(x+z)^2 -4(x+z)y+4y^2 = 0(x+z -2y)^2 = 0x+z = 2y4（1985年宁夏初中数学竞赛题）把a b b a -写成两个因式的积,使它们的和为ab b a +，求这两个式子.5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求22222274253zy x z y x ++++的值. 6.已知x,y,z 为互不相等的三个数,求证.111111222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x z z y y x x z z y 7已知a 2+c 2=2b 2,求证.211ac b a c b +=+++ 8.设有多项式f(x)=4x 4-4px 3+4qx 2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:如果f(x)的系数满足p 2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.练习七1.C.C.E2.(1)-32,210 (2)53 (3)2 3.略. 4..,.,bb a a b a b a a b b b a a b a b b a a b a a b b a -+∴+=-++-⋅+=-两个因式为而 5.118 6.略, 7.略. 8.∵p 2-4q-4(m+1)=0, ∴4q=p 2-4(m+1)=0,∴f(x)=4x 4-4px 3+[p 2-4(m+1)]x 2+2p ·(m+1)x+(m+1)2=4x 4+p 2x 2+(m+1)2-4px 3-4(m+1)x 2+2p(m+1)x=[2x 2-px-(m+1)]2.9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),展开整理得cdp 2-(ac+bd)+pq+abq 2=0,即(cp-bq)(dp-aq)=0.于是cp=bq 或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d).均可得出ac=bd.、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
管理类联考-式的运算1225
= ace+ acf + ade+ adf + bce+ bcf + bde+ bdf
因式分解 1.定义 把一个多项式在一定范围内化为几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个 多项式的因式分解。
因式分解-公式法
1.完全平方式 (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 . (a-b)2 = a2 - 2ab+ b2 .
(a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2bc+ 2ac .
因式分解-公式法 2.平方差公式
a2 -b2 = (a+ b)(a-b) .
因式分解-公式法 3.立方差（和）公式
式的分类
整式
单项式：只含有数字或者字母的代数式 如 2a ，3x2y 3
多项式：单项式的和， 如5x3y 2z + 2x2y 3
代数式
有理式
分式：设A、B为两整式，B中含有字母，且B ≠ 0，
则代数式 称为分式
无理式：根号内含有字母的代数式，如√x ，√x 2 + 1
整式运算 1.加减运算
去括号，合并同类项. 【注】合并同类项时“系数相加减，指数不变”.
A.
B.
C.
)
D. 1
E.
13
式的运算典型例题
2．设实数a, b 满足ab = 6 ， a+ b + a— b = 6 ，则 a2 + b2 = (
沪教版(五四制)七年级数学上册 第九章整式： 整式的恒等变形讲义(无答案)
第2讲 等式的恒等变形一、代数式的恒等变形：把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形.代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用.整式的恒等变形是是代数式恒等变形的基础，涉及的主要内容有：整式的各种运算性质和法则、各种乘法公式的正逆与变形应用、因式分解的有关知识等.分式的恒等变形以整式的恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，涉及的主要内容有：分式的性质与概念的灵活应用、四则运算、化简求值及恒等证明.二、等式的分类：（1）恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总成立.如：123+=，23x x x +=，()()22a b a b a b +-=-（2）条件等式：只有用某些数值代替等式中的字母时，等式才成立.如：23x +=只有在1x =时才成立.（3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不成立.如：125+=，23x x +=+三、等式的证明：等式的证明分为恒等式的证明和条件等式的证明.恒等式的证明主要是通过恒等变形，从等式的一边 证到另一边，或者证两边等于同一结果.；条件等式的证明要认真分析条件和所证等式之间的关系.（1）等式的证明一般是通过恒等变形把比较复杂的形式转化为比较简单的形式，即“从繁到简”.（2）等式证明的常用方法有：①左右法（即从左端推出右端，或从右端推出左端）;②同一法（左右两端分别变形得到同一结果）;③比较法（即证左右两端的差为零，或左右两端的比为1）.【例题1】 （1）若335,50a b a b +=+=，求22a b +的值。
（2）已知()()2216,9a b a b +=-=，求33a b ab +的值。
（3）已知()()2216,9a b a b +=-=，求44a b ab +的值。
【例题2】（1）已知210,a a +-=求32243a a ++的值。
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管理类联考数学核心考点精讲丨整式分式恒等变形求解
整式分式恒等变形求解问题是管理类联考数学常考的题目，不管是多项式的乘法，还是多项式的因式分解，由于等式恒成立，故此类问题常用的方式特值代入法。
文都考研dudu汇总了典型例题，有需要的同学快来学习下吧。
特值代入法其实也是代数类题目的常见做题方法，特别是在求展开式的系数这类题型中，特值代入法则是更为好用、简便、快捷的方法。
其中心思想是字母为任意数字时，等式均是恒成立的，所以当我们代入特殊的值时，等式是成立的。
希望同学充分理解相关做题方法和步骤，并且在做题的过
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程中不能出现计算失误，否则功亏一篑。
希望同学们能够认真备考，这样才能在真正的考研时从容应对管理类联考。
考研选文都不当陪考族。