数学建模案例之多变量有约束最优化
数学建模最优化模型
或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f (x) x1 x x2
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)
（3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…） （5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（…）
1、无约束极值问题的求解
例1：求函数y=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最 大值与最小值。
解：令f(x)=y=2x3+3x2-12x+14
f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1) 解方程f’(x)=0，得到x1= -2，x2=1，又 由于f(-3)=23，f(-2)=34，f(1)=7，f(4)=142， 综上得， 函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）
例 用fminsearch函数求解 输入命令:
f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2'; [x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.2 2])
数学建模案例之多变量无约束最优化
数学建模案例之多变量无约束最优化多变量无约束最优化问题是指在变量间没有限制条件的情况下，求解目标函数的最优值。
这类问题在数学建模中非常常见，实际应用非常广泛。
下面以一个实际案例说明多变量无约束最优化的建模过程。
假设地有几个旅游景点，现在需要制定一个旅游路线，使得游客的游玩时间最长，同时经济成本最低。
已知每个旅游景点之间的距离和游玩时间，以及游客每次游玩每公里所需的成本。
目标是找到一条旅游路线，使得游客在游览所有景点后，花费的经济成本最少。
首先，我们需要定义问题的数学模型。
假设有n个旅游景点，用x1, x2, ..., xn表示每个景点的游玩时间（单位：小时），用dij表示第i个景点和第j个景点之间的距离（单位：公里），用c表示游客游玩每公里所需的成本。
为了定义问题的数学模型，我们需要明确如下几个关键部分：1. 决策变量：定义一个n维向量X，其中每一个分量xi表示游客在第i个景点的游玩时间。
2. 目标函数：定义一个目标函数f(X)，表示游客花费的经济成本。
在本例中，目标函数可以定义为：f(X) = ∑dij * xi * c。
3.约束条件：由于是无约束最优化问题，这里没有额外的约束条件。
有了以上几个关键部分，我们可以将问题的数学模型表达为如下形式：最小化：f(X) = ∑dij * xi * c其中，i=1,2,...,n下一步是求解这个最优化问题。
可以使用各种数值优化算法，比如梯度下降法、牛顿法、遗传算法等。
具体的求解过程会涉及到算法的具体细节，这里不再详述。
最后，根据求解结果，我们可以得到游玩时间最长且经济成本最低的旅游路线。
这条路线就是我们需要制定的旅游路线。
总结起来，多变量无约束最优化问题在数学建模中的应用非常广泛。
通过定义合适的决策变量、目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为数学模型，并通过数值优化算法求解这个模型，得到最优解。
在实际应用中，对于复杂的问题，可能需要结合多种算法和技巧来求解。
数学建模最优化模型
数学建模最优化模型随着科学与技术的不断发展，数学建模已经成为解决复杂实际问题的一种重要方法。
在众多的数学建模方法中，最优化模型是一种常用的方法。
最优化模型的目标是找到最佳解决方案，使得一些目标函数取得最大或最小值。
最优化模型的基本思想是将实际问题抽象为一个数学模型，该模型包含了决策变量、约束条件和目标函数。
决策变量是需要优化的变量，约束条件是对决策变量的限制条件，目标函数是优化的目标。
最优化模型的求解方法可以分为线性规划、非线性规划和整数规划等。
线性规划是最优化模型中最基本的一种方法，其数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t.Ax<=bx>=0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右边向量。
线性规划的目标是找到最优的决策变量向量x，使得目标函数的值最大或最小。
非线性规划是最优化模型中更为复杂的一种方法，其数学模型可以表示为：max/min f(x)s.t.g_i(x)<=0,i=1,2,...,mh_i(x)=0,i=1,2,...,p其中，f(x)是目标函数，g_i(x)是不等式约束条件，h_i(x)是等式约束条件。
非线性规划的求解过程通常需要使用迭代的方法，如牛顿法、拟牛顿法等。
整数规划是最优化模型中另一种重要的方法，其数学模型在线性规划的基础上增加了决策变量的整数限制。
max/min c^T xs.t.Ax<=bx>=0x是整数整数规划的求解通常更为困难，需要使用特殊的算法，如分支定界法、割平面法等。
最优化模型在实际问题中有着广泛的应用，如资源调度、生产计划、路线选择、金融投资等。
通过建立数学模型并求解，可以得到最优的决策方案，提高效益和效率。
总结起来，最优化模型是数学建模的重要方法之一、通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，再通过求解方法找到最佳解决方案。
最优化模型包括线性规划、非线性规划和整数规划等方法，应用广泛且效果显著。
数学建模～最优化模型(课件ppt)
总利润 (88700) （元） 运输问题 供应点
物资
需求点
供需平衡或不平衡
某货机有三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个货舱所能装载的获取 的最大重量和体积都要限制，如表1所示，并且，为了保持飞机的 平衡，三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比 例。 表1三个货舱装载货物的最大容许量和体积
10 丙(10;20)
引水管理费 (24400 )(元) 利润=总收入-其他费用 - 引 水 管 理 费 =(47600) （元）
X24
X31 X32 X33
10.0
40.0 0.00 10.0
0.00
0.00 10.0 0.00
问题讨论
每个水库最大供水量都提高一倍
总供水量(320) > 总需求量(300) 确定送水方案使利润最大 利润 = 收入(900) –其他费用(450) –引水管理费
1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值 z=629，与LP最优值632.2581相差不大. 2 ）试探：如取 x1=65 ， x2=167 ； x1=64 ， x2=168 等， 计算函数值z，通过比较可能得到更优的解. • 但必须检验它们是否满足约束条件. 为什么？ 3）模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解.
线性规划 模型(LP)
x1 , x2 , x3 0
模型 求解
结果为小数， 怎么办？
Objective Value: 632.2581 Variable Value Reduced Cost X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 Row Slack or Surplus Dual Price 2 0.000000 0.731183 3 0.000000 0.003226
数学建模最优化模型
或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
41m外点法sutm内点法障碍罚函数法1罚函数法2近似规划法罚函数法罚函数法基本思想是通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题进而用无约束最优化方法去求解这类方法称为序列无约束最小化方法简称为sumt法其一为sumt外点法其二为sumt内点法其中txm称为罚函数m称为罚因子带m的项称为罚项这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚
曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
y
平方和作为这种“偏差”的度量.即
2
x
S
m i 1
yi
a1
1 a3
a2 ln 1 exp
xi a4 a5
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而 我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
一下是否达到了最优。 （比如基金人投资）
• 在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会 经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件 下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。
（比如保险）
数学家对最优化问题的研究已经有很多年的 历史。
以前解决最优化问题的数学方法只限于古典 求导方法和变分法（求无约束极值问题），拉格 朗日（Lagrange）乘数法解决等式约束下的条件 极值问题。
数学建模的最优化方法(20191126001752)
2.多元函数无约束优化问题
标准型为： min F ( X )
（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或 x=fminsearch（fun,X0 ） （2）x= fminunc（fun,X0 ，options）；
或x=fminsearch（ fun,X0 ，options） （3）[x，fval]= fminunc（...）；
线性规划
某豆腐店用黄豆制作两种不同口感的豆腐出售。 制作口感较鲜嫩的豆腐每千克需要 0.3 千克一级 黄豆及 0.5 千克二级黄豆，售价 10元；制作口感 较厚实的豆腐每千克需要 0.4 千克一级黄豆及 0.2 千克二级黄豆，售价 5元。现小店购入 9千克一级 黄豆和 8千克二级黄豆。
问：应如何安排制作计划才能获得最大收益。
16kg
4
12kg
该工厂每生产一件产品 I 可获利 2元，每生产一件产品 II 可获利 3元。问应如何安排计划使该工厂获利最多？
I x1 件，生产产品 II x2 件， 我们可建立如下数学模型：
max z 2x1 3x2
x1 2x2 8
4x1
16
s.t.
4x2 12
பைடு நூலகம்x1, x2 0
某厂每日 8小时的产量不低于 1800件.为了进行质量 控制，计划聘请两种不同水平的检验员 .一级检验员的标准为： 速度 25件/小时，正确率 98% ，计时工资 4元/小时；二级检验员 的标准为：速度 15件/小时，正确率 95% ，计时工资 3元/小时 .检 验员每错检一次，工厂要损失 2元.为使总检验费用最省，该工 厂应聘一级、二级检验员各几名？
如果线性规划中的所有变量均为整数时，称 这类问题为线性整数规划问题。
整数规划可分为线性整数规划和非线性整数 规划 ，以及混合整数规划等。
多目标最优化数学模型
多目标最优化数学模型第六章最优化数学模型§1 最优化问题1、１最优化问题概念１、2 最优化问题分类1、3 最优化问题数学模型§2经典最优化方法２、１无约束条件极值2、2 等式约束条件极值2、３不等式约束条件极值§３线性规划3、１线性规划3、2整数规划§4 最优化问题数值算法4、1 直接搜索法4、２梯度法4、３罚函数法§5 多目标优化问题5、1 多目标优化问题5、2 单目标化解法5、3 多重优化解法5、4目标关联函数解法5、5 投资收益风险问题第六章最优化问题数学模型§1 最优化问题1、1 最优化问题概念(1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域得实际工作中,我们经常会遇到求函数得极值或最大值最小值问题,这一类问题我们称之为最优化问题。
而求解最优化问题得数学方法被称为最优化方法。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。
最优化问题得目得有两个:①求出满足一定条件下,函数得极值或最大值最小值;②求出取得极值时变量得取值。
最优化问题所涉及得内容种类繁多,有得十分复杂,但就就是它们都有共同得关键因素：变量，约束条件与目标函数。
(２)变量变量就就是指最优化问题中所涉及得与约束条件与目标函数有关得待确定得量。
一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件),与目标函数紧密关联。
设问题中涉及得变量为;我们常常也用表示。
(３)约束条件在最优化问题中,求目标函数得极值时,变量必须满足得限制称为约束条件。
例如,许多实际问题变量要求必须非负，这就就是一种限制;在研究电路优化设计问题时,变量必须服从电路基本定律,这也就就是一种限制等等。
在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。
用数学语言描述约束条件一般来说有两种:等式约束条件不等式约束条件或注:在最优化问题研究中,由于解得存在性十分复杂,一般来说,我们不考虑不等式约束条件或。
数学的最优化问题
数学的最优化问题数学的最优化问题是数学领域中一个重要的研究方向，它旨在寻找某个函数的最大值或最小值，同时满足一定的约束条件。
最优化问题在现实生活中有着广泛的应用，涉及到经济学、工程学、物理学等众多领域。
本文将从最优化问题的定义、数学建模、优化算法和应用实例四个方面来探讨数学的最优化问题。
一、最优化问题的定义最优化问题的目标是寻找一个函数的最大值或最小值，以使得函数值达到最好的状态。
最优化问题的数学表示可以用如下形式表示：\[\begin{align*}\text{maximize } & f(x) \\\text{subject to } & g_i(x) \leq 0, i = 1,2,\ldots,m \\& h_j(x) = 0, j = 1,2,\ldots,p\end{align*}\]其中，$f(x)$是目标函数，$g_i(x) \leq 0$是不等式约束条件，$h_j(x) = 0$是等式约束条件，$x$是自变量。
最优化问题可以是单目标或多目标的，约束条件可以是线性或非线性的。
最优化问题的求解目标是找到满足约束条件下使目标函数取得最优结果的解$x^*$。
二、数学建模数学建模是最优化问题求解的关键环节。
在数学建模中，我们需要将实际问题转化为数学模型，以便能够用数学方法进行求解。
数学建模主要包括定义目标函数和约束条件，选择自变量和确定问题的求解方法等步骤。
首先，我们需要明确最优化问题的目标。
目标函数可以是任何能够量化实际问题的指标，例如最大化利润、最小化成本等。
其次，我们需要考虑问题的约束条件。
约束条件可以包括一些限制条件，例如资源的有限性、技术限制等。
约束条件的设计对最优解的求解有着重要的影响。
然后，我们需要选择适当的自变量。
自变量是我们在问题中可以灵活操作和调整的变量，通过调整自变量的取值，我们可以探索最优化问题的解空间。
最后，我们需要确定问题的求解方法。
常见的最优化求解方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。
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数学建模案例之多变量有约束最优化多变量有约束最优化是数学建模中常见的问题之一，其目标是在多个变量的约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的变量取值。
举个例子，假设我们有一块草地，现在要在上面建设一个矩形花坛，花坛的周长为20米。
我们想要最大化花坛的面积。
如何确定花坛的尺寸才能使得面积最大呢？
我们可以设花坛的长为x，宽为y，则花坛的面积为S=xy。
又因为花坛的周长为20米，所以有2x+2y=20。
我们的目标是最大化S。
这是一个多变量有约束最优化问题。
我们可以将其转化为单变量无约束优化问题，通过消元的方式求得一个变量的表达式，然后将其代入目标函数中求解。
具体步骤如下：
1.将约束条件与目标函数联立，得到一个包含约束条件和目标函数的方程组。
2x+2y=20
S=xy
2.将方程组中的一个变量用另一个变量表示，然后代入目标函数中，得到一个只含一个变量的函数。
2x+2y=20 可以化简为 x=10-y，将其代入目标函数S=xy，得到
S=y(10-y)=10y-y^2
3.求解这个只含一个变量的函数的最大值或最小值。
对函数S(y)=10y-y^2求导，得到S'(y)=10-2y。
令导函数为0，即求解方程10-2y=0，得到y=5
4.将求解得到的变量值代入约束条件中，得到另一个变量的值。
将y=5代入方程x=10-y，得到x=10-5=5
5.将求解得到的变量值代入目标函数中，得到目标函数的最大值或最小值。
将x=5，y=5代入S=y(10-y)，得到S=5(10-5)=25
综上所述，在花坛的周长为20米的约束条件下，使得花坛的面积最大时，花坛的尺寸为5米×5米，面积为25平方米。
多变量有约束最优化问题的解法方法不仅仅局限于上述步骤，还可以利用拉格朗日乘子法、KKT条件等进行求解。
通过适当选择合适的方法，可以高效地解决实际问题中的多变量有约束最优化问题。
总结起来，多变量有约束最优化问题是数学建模中常见的问题之一，通过转化为单变量无约束问题，可以找到目标函数的最大值或最小值。
同时，还可以利用其他方法如拉格朗日乘子法进行求解。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的解法方法。