三角函数在数学建模中的应用
数学建模：从铺垫到拓展——《三角函数的应用》教学设计
数学建模:从铺垫到拓展—《三角函数的应用》教学设计朱威(江苏省苏州中学校，215:007):在高中数学教学中，学生对数学建模的 感受常常是一个字难”。
其原因有很多，而 主要的是教师在教学中以直接灌输解题方法 为主，没有能让学生自然获得思路，深人展开 探究。
其实，数学建模并不是“面目狰狞”的；它源于实际、有法可依，是亲切的、好懂的。
我们可以通过合理的教学设计，让数学键模 变得有趣、简易。
下面，以笔者执教的公开课 《三角函数的应用》(教学内容是苏教版高中 数学教材必修4第一攀第三大节第四小节) 的教学设计为例加以说明。
_、教学设计及思考(一):源于生活，兴趣为上数学建模其实就是在现实事物的基础上 建立数学模型。
因此，教师可以通过实物原 形来引人，给学生真实的感受与体验，激发学 生的好奇.启发学生的思考，R而缩短具体与 抽象的距离。
三角函数的应用相当广泛，因面教材提 供了三个不同领域的典型问题。
考虑到教学 容量与学习深度的问题以及转动的轮子与学 生的生活关系'更为密切，笔者选择例2作为 本节课的主要内容，并亂为此设计了如下引 人内容：数学与现实生活是密不可分的，數学在现实生活的应用也是非常广泛的。
这节课，我们要通过数学建模来解决一类实际问题…在生活中，我们会与轮子打交道，比如车轮、水车轮、摩天轮等_等、。
.现以水轮为例：水轮上 一动点到水面的矩离与时间的变化关系如何用数学樓塑来刻画？这将是我们今天学习的主题。
接下来，使讲述“轮的数学故事'上述简短的开场白，能使学生兗即产生学习兴趣，也很容易进人本节课的探究情境。
(:二)精巧铺垫，遂步渗透教材中的倒.2是一个包含两_间的斑用题，对于初次接触这类问题的孪生来说，有点复杂，信息量偏太，转化过程偏多，不易理解和解决A为了life学生'餐裏接受廉貪.动探.究，笔者设计了三组、每组三个晨次不同的铺垫练习，作为学生理解和解决例题的基础：1. 如图l,.O P=r，且O P与:c轴正半轴所成的角为6_〇_°，则点P的坐标为________。
数学建模案例教学课题—《三角函数模型的简单应用》教学设计
高中数学高中数学新课程中数学建模教学案例—《三角函数模型的简单应用》教学设计常德市第六中学卢杰一、教学分析教材分析：本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.学情分析：本节课是在学习学习了第一章函数的应用和三角函数的性质和图象的基础上来习三角函数模型的简单应用，学生已经有了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该顺理成章，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题的能力，提高应用所学知识的能力.二、教学目标1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.三、教学重点、难点教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.四．教学过程设计四、教学反思1、三角应用题的一般步骤是：①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．②建模：根据已知条件与求解目标，数学模型．③求解：利用三角形，求得数学模型的解．④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2、通过已知三角函数图象求三角函数解析式，构建三角函数模型解决实际问题．在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界, 是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器, 同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力．增进了他们对数学的理解和应用数学的信心．作者姓名：卢杰单位名称：常德市六中地址：湖南省常德市第六中学，415000手机：137****3283邮箱：*******************。
211272509_从核心素养的视角_再谈高中数学建模——以“三角函数的应用”教学片段为例
从核心素养的视角㊀再谈高中数学建模以 三角函数的应用 教学片段为例徐德云(江苏省南菁高级中学ꎬ江苏江阴２１４４３７)摘㊀要:数学建模要立足于学生已有的知识与能力ꎬ以学生为本ꎬ以核心素养的培养为目标组织和实施课堂教学.要引导学生积极参与ꎬ通过观察分析ꎬ主动发现情景的本质属性和规律ꎬ要在模型的分析与建立ꎬ以及模型的应用与反思的教学过程中ꎬ引导学生会用数学的眼光观察和发现问题ꎬ会用数学的思维思考和分析问题ꎬ会用数学的语言表达和解决问题.关键词:数学核心素养ꎻ数学建模ꎻ三角函数的应用ꎻ教学设计中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０９－０００２－０３收稿日期:２０２２－１２－２５作者简介:徐德云(１９８８－)ꎬ女ꎬ江苏省连云港人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀数学建模一般包括问题分析㊁模型假设㊁模型建立㊁模型求解㊁模型分析㊁模型检验㊁模型应用七个步骤.数学建模的教学能更好地发挥数学的育人功能ꎬ在引导和培养 学生会用数学的眼光观察世界㊁会用数学的思维思考世界㊁会用数学的语言表达世界 上意义更加深远.本文拟结合高中数学(人教Ａ版)第一册第五章中的«三角函数的应用»的几个教学片断和大家交流这方面的实践与思考ꎬ不当之处还请批评指正[１].１模型的分析与建立首先从学生生活中熟悉的情景出发ꎬ引出要解决的问题ꎬ引导学生观察思考ꎬ教师结合前面学习过的三角函数知识来揭示探究的方向.教学片断１师:生活处处皆数学ꎬ数学无处不生活.正如法国著名的雕刻家奥古斯特罗丹所说: 生活中从不缺少美ꎬ而是缺少发现美的眼睛ꎬ数学亦是如此. 在我们的生活中有许多这样的现象:日出日落㊁春夏秋冬㊁潮汐潮落㊁天体运动等等ꎬ这些现象的共性是都具有周期性ꎬ我们已经知道三角函数是刻画周期性现象的一个重要模型ꎬ这不由得让我们产生这样的思考:可否借助于三角函数去研究这些周期现象ꎬ并进一步对现实中的一些实际问题做出决策㊁给出有参考价值的建议.师:同学们先来看一个动画(课件演示弹簧振子的运动).暂停动画后ꎬ大家想想ꎬ现在开始计时ꎬ怎样可以得出１０秒后弹簧振子离开平衡位置的距离?师:开始动画演示ꎬ继续观察一下这个弹簧振子的运动ꎬ发现有什么特点?生１:来回摆动.师:对ꎬ经过一段时间振子又回到原来的位置了ꎬ这种运动的特点是循环往复ꎬ具有周期性特征.师:既然这样ꎬ我们要解决刚刚提出的问题ꎬ同学们说说看要先解决什么问题?生２:先求出振子离开平衡位置与时间的关系式就好了.师:很好ꎬ我们要抓住其运动规律ꎬ也就是 函数关系式 ꎬ利用其规律来解决问题.师:(追问)你能求出这个函数关系式吗?还记２得函数的表示方法有哪些吗?生２:可以从演示开始ꎬ先采集一些数据ꎬ然后列表㊁描点ꎬ连线ꎬ师:好ꎬ我们一起来采集一些数据(呈现教材中提供的数据ꎬ如表１).表１大家观察一下ꎬ这些数据的变化有什么特征?生３:有正有负ꎬ先是随时间变化变大(增)ꎬ然后再变小(减)ꎬ再变大ꎬ生４:数据会重复的出现ꎬｔ＝０时位移是－２０ꎬｔ＝０.６秒时又变成－２０了ꎬ还有ｔ＝０.１５和ｔ＝０.４５的位移也是一样的ꎬ师:很好ꎬ接下来我们借助计算机ꎬ将其对应的散点图绘制出来.(师演示绘制散点图)师:通过散点图ꎬ我们能较为直观地感受到其运动变化的特点ꎬ现在把这些散点用线连起来ꎬ大家有什么发现?生５:与我们前面学习的三角函数图像 雷同 !师:散点图可以让我们直观地感知到位移和时间的变化特点ꎬ将这些点连线后可以观察到质点运动的一般规律ꎬ从而便于找到合适的模型来解决问题.设计意图㊀立足核心素养的培养目标ꎬ引导学生观察生活现象ꎬ观察数据㊁表格ꎬ观察散点图ꎬ让学生在观察中思考ꎬ在思考中观察ꎬ运用所学的知识去分析问题ꎬ运用所学的方法去探究问题.教学片断２师:实际上ꎬ这个运动在物理中叫简谐运动ꎬ我们来看一下物理中简谐运动的原理.教师播放动画 简谐运动的运动原理 和 单摆沙漏 .师:这些弹簧振动ꎬ单摆沙漏都是简谐运动ꎬ根据我们所学的物理知识ꎬ我们正是用三角函数来刻画其运动的位移和时间的关系.设计意图㊀借助情境中相关的物理知识ꎬ从理论和运动图像上简短地加以说明和验证用三角函数模型刻画周期性现象的可行性ꎬ从而验证了数学思维的正确性.师:物理中也给出其位移和时间的关系式是ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｔ＋φ)ꎬ这里我们要做一点说明ꎬ在数学中ꎬ三角函数更一般地形式是ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｔ＋φ)＋ｂꎬ因为我们这里的ｘ轴就是平衡位置ꎬ所以ｂ＝０ꎬ那么如何根据我们的数据来确定另外三个待定的系数呢?生６:观察知ꎬ最大的位移是２０ꎬ所以Ａ＝２０.师:那ω呢?求ω就要先求什么?生７:周期.师:对!那周期是多少呢?你是怎么得到的?生８:周期等于０.６ꎬ相邻两个最小值之间就是一个周期ꎬ所以ω＝１０３π.师:好ꎬ到这里就得到了解析式ｙ＝２０ｓｉｎ(１０３πｔ＋φ)ꎬ现在还有一个φ没有确定ꎬ同学们有办法吗?生９:选择一个点的坐标代入解析式.师:这样可以得到一个关于φ的三角方程ꎬ再通过解方程就可以求出φꎬ那么你选择了哪个点呢?生９:ｔ＝０时ｙ＝－２０.师:(板书过程)化简得ｓｉｎφ＝－１.我们知道这样的φ有很多个ꎬ可以统一表示为φ＝２ｋπ＋３２π(ｋɪＺ).为方便起见ꎬ我们可以在前面引入三角函数模型的时候ꎬ对其中的系数进行适当的规定ꎬ如｜φ｜<π.这里我们要做两点说明:第一点ｔ>０ꎬ因为我们是用函数模型去刻画实际问题ꎬ所以函数模型的定义域要受到实际问题限制ꎻ第二点求φ时ꎬ是将初始位置的数据代入得到的ꎬ这个点是函数的最小值点.㊀师:根据上述求解过程ꎬ你能总结一下由函数ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｔ＋φ)的图像求解析式的基本思路吗?学生尝试总结后ꎬ教师总结基本思路:先观察得Ａꎻ再由周期得ωꎻ最后代入初始位置解三角方程得φ.师:现在再请同学们思考一个问题ꎬ能不能用ｙ＝Ａｃｏｓ(ωｔ＋φ)表示位移和时间的关系式?生１０:可以.师:为什么呢?３生１０:因为余弦函数和正弦函数的图像变化规律是一样的ꎬ它可以由ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｔ＋φ)经过左㊁右平移得到.设计意图㊀立足核心素养:用数学的语言去表达世界.培养学生对已有知识和方法的运用能力ꎬ提升学生的数据分析与数学运算能力[２].２模型的应用与反思教学片断３师:(面向全体学生)现在同学们能不能回答本节课开始提出的问题?学生齐声回答可以.师:根据我们得到的位移和时间的变化关系ꎬ代入时间ｔ就可求解出相应的位移ꎬ即可以得到任何一个时刻的物体的近似位移.为什么说得到的是近似位移呢?请同学们思考ꎬ然后分组交流㊁讨论.教师可加入学生小组ꎬ聆听学生的讨论ꎬ根据讨论情况对预设的教学过程做出调整.师:(小结学生的发言)因为我们得到的函数模型是在遵循其特征的前提下的 理想模型 ꎬ由于受到诸多因素(如重力作用㊁数据采集误差)的影响ꎬ两者之间通常还有一定的误差ꎬ所以我们即使选择合适的㊁正确的数学模型ꎬ也只能近似地刻画实际问题ꎬ并不是完全地吻合ꎬ同学们会不会有这样的想法:这样的结果有实际应用价值吗?下一节课的学习会帮大家找到答案.师:一旦确定好适合的函数模型ꎬ我们就可以将问题放大ꎬ解决任何一个时刻的位移.这就是我们数学工具的作用ꎬ来源于生活ꎬ又回归应用于生活.师:大家来回忆一下我们解决这个周期性现象ꎬ经历了怎样的过程?学生齐声回答:观察ꎬ描点ꎬ画图ꎬ计算.师:一个物理运动ꎬ动态感知ꎬ收集数据ꎬ绘制图像ꎬ函数模型ꎬ解决实际.设计意图㊀数学建模的意义不仅仅是要让学生应用所学的数学知识和方法去刻画和解决生活中的实际问题ꎬ也不仅仅是要让学生感受数学来源于生活ꎬ又服务于生活的学科价值.我认为更重要的是将新课标的 三会 落实到我们的课堂中ꎬ这样才能更好地激发学生学习的潜能ꎬ才能让学生更爱数学ꎬ学好数学.师:三角函数模型中的系数实际上都有一定的物理意义.我们一起来看一下:Ａ就是这个简谐运动的振幅ꎬ它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离ꎻ这个简谐运动的周期是Ｔ＝２πωꎬ它是做简谐运功的物体往复运动一次所需要的时间ꎻ这个简谐运动的频率由公式ｆ＝１Ｔ＝ω２π给出ꎬ它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数ꎻωｘ＋φ称为相位ꎬｘ＝０的相位φ称为初相.师:了解了三角函数模型系数的相关物理意义之后我们就可以把它用于处理物理相关问题了.给出实例:交变电流问题.师:你们能不能解决这个问题呢?(让学生自己组织研究ꎬ并将解答的过程在黑板上呈现)设计意图㊀凸显应用问题来源于实际ꎬ最后回归于实际ꎬ真正体会建模的价值.从上面教学的过程中我们不难发现ꎬ在新课程标准明确要求转变教育理念ꎬ培养学生核心素养为教育目标的指引下ꎬ做为数学核心素养之一的数学建模ꎬ能够引导学生在实际情境中从数学的视角提出问题ꎬ用数学的思维思考分析问题ꎬ用数学的语言揭示表达问题ꎬ从而有效地培养和发展了学生的核心素养[３].参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１８.[２]徐梦园ꎬ初晓琳ꎬ赵宝江.浅谈中学生数学建模核心素养的培养[Ｊ].中外企业家ꎬ２０１９(１３):１８６－１８７.[３]陈凯.培养学生建模思想发展数学核心素养摭探[Ｊ].成才之路ꎬ２０１９(０６):４１.[责任编辑:李㊀璟]４。
1616三角函数模型的简单应用2
1.6 三角函数模型的简单应用教材分析本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.课时分配本节内容用2课时的时间完成，本教案为第2课时，主要通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法，体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程并体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.教学目标重点:精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质．难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．知识点：通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法．能力点：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.教育点：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.考试点：将实际问题抽象为三角函数模型问题.拓展点：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课（情景展示，多媒体显示）1．情景展示，新课导入经过前面的学习，大家知道，在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型.这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用.在山海关孟姜女庙有一副对联：“海水朝，朝朝朝，朝朝朝落；浮云长，长长长，长长长消.”其中描绘了海潮涨落，浮云长消的自然景象，显示了自然界变幻多姿的景色，这其中对海潮的描述也是感性的.今天我们将从数学的视角理性地研究有关潮水涨落的一些实际问题.2．问题提出，探究解决情景设置：若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于该港口的一些什么情况？问题探究1：阅读课本P62：例4给出某港口在某年某个季节每天的时间与水深的关系表，思考并回答：①你能够从表格中的数据中得到一些什么信息？②水的深度变化有什么特点吗？③为了更直观明了地观察出水的深度变化规律，我们可以怎么做？具体操作是：④若用平滑的曲线将所描各点连起来，所得图象形状跟我们前面所学过哪个函数类型非常相似？并尝试求出该函数模型.⑤有了这个模型，我们要制定一张一天24内整时刻的水深表，就是件非常容易的事情了.如何计算在4时的水深？在任一时刻的水深怎么计算？问题探究2：针对课本P62：例4（2）问，思考：①货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？②怎样用数学语言描述这一条件呢？③在[0，24]的范围内，该怎么求解？④你能说清楚解的实际意义吗？问题探究3：货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，现在它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？针对课本P62：例4（3）问，思考：①“必须停止卸货”，是在货船即将面临什么危险的时候？②反过来，“货船安全”需要满足的条件是用数学式子表示为③对于上式，如何求解呢？④尝试说说解的实际意义.二、典例剖析研究典型例题，总结解题规律例4根据相关数据进行三角函数拟合【背景材料】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：思考1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规律性？思考2：设想水深y 是时间x 的函数，作出表中的数据对应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？思考3: 用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象，该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？思考4：用函数sin()y A x h ωϕ=++ 来刻画水深和时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？思考5：这个港口的水深与时间的关系可用函数________________________________________近似描述，你能根据这个函数模型，求出各整点时水深的近似值吗？（精确到0.001）思考6：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？思考7：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？思考8：右图中，设点00(,)p x y 有人认为，由于P 点是两个图象的交点，说明在0x 时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向较深水域就可以了，你认为对吗 [设计意图]使学生体将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．练习1：如图所示，是一个缆车示意图，缆车半径为4.8m,圆上最低点与地面的距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB,设B 点与地面距离是h. (1) 求h 与θ间的函数关系；(2) 设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ， 求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车第一次 到达最高点时用的最少的时间是多少?2.已知某帆船中心比赛场馆内的海面上每天海浪高y （米）可看作是时间t(024t ≤≤,单位：时)的函数，记作()y f t =，经长期观测，()y f t =的曲线可近似的看成是cos y A x B ω=+曲线，下表示某日各时的浪高数据：求能近似的表示表中数据间对应关系的函数解析式.[设计意图] 培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯,巩固所学知识．例2、：一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置 的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t l g s π.（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？[设计意图] 让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.三、课堂小结（1）三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意，设角建立三角函数，分析三角函数性质解决实际问题. 其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，是解决问题的关键.（2）在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活的运用三角函数的图象和性质进行解答.（3）根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域.（4）对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三角函数模型描述其变化规律.先根据相关数据作出散点图，再进行函数拟合，就可获得具体的函数模型，有了这个函数模型就可以解决相应的实际问题.四、布置作业1．阅读教材2.书面作业必做题：已知某帆船中心比赛场馆内的海面上每天海浪高y （米）可看作是时间t(024t ≤≤,单位：时)的函数，记作()y f t =，经长期观测，()y f t =的曲线可近似的看成是cos y A x B ω=+曲线，下表示某日各时的浪高数据：求能近似的表示表中数据间对应关系的函数解析式. 选做题： 一、选择题1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（ ）A.t v y 0=B.2021sin t g t v y ⋅-⋅⋅=θ C.t v y ⋅⋅=θsin 0 D.t v y ⋅⋅=θcos 02. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（ ）A ．2πB.0C.πD.π323.某人向正东方向走x 千米后向右转150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为 （ ）A ．3 B.32 C.332或 D.3二、填空题4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为045，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30，则甲、乙两楼的高度分别为_______5.一树干被台风吹断折成60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____. 三、解答题6、有一长为α的斜坡，它的倾斜角为θ，现在要倾斜角改为2θ，则坡底要伸长多少?[设计意图]设计作业1、2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯，书面作业的布置，是为了让学生能够巩固课堂上所学的知识和方法，培养学生用整体的观点看问题，起到承上启下的作用．七、教后反思1.本教案的亮点是例题及变式训练的编排，既注重了与本堂课内容的联系，又在不知不觉中提高了难度， 提 高了学生的解题能力．2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在根据实际问题的背景材料，建立三 角函数关系，解决实际问题上下功夫.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊 断与分析.八、板书设计本节课的板书主要采取了提纲式、对称型，以讲写结合、主辅相随、语言准确、内容完整为原则，将复习内容及新课引入、概念写在黑板左侧，整齐、准确，将例题、习题及解答过程写在黑板右侧，随意中不失规范.。
人教版数学必修第一册期末复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件
常见误区
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：
!
“左加右减，上加下减”．
(2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：
向左平移 个单位长度而非φ个单位长度．
典例剖析
考点 1 五点法作图及图象变换
[例1] 已知函数f(x)＝ 3 sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
6
f(x)＝2sin [2(x+ ) + ]
2． (变问法) 在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移
________个单位得到y＝f(x)的图象．
6
6
由[例1]知f(x)＝2sin (2x+ ) ，
4
向右平移 个单位长度
y＝2cos 2x
y＝2sin(2x＋ )
6
y＝2sin 2x
2
3
11
12
π
6
2
π
3
2
2π
13
6
1
2
0
－2
0
1
[例1] 已知函数f(x)＝ 3 sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
画图如下．
变式探究
1．(变问法)若将本例中函数f(x)的图象向左平移 个单位长度，把
3
所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)
2
1
点的横坐标缩短到原来的 倍，然后向左平移 个单位长度，得到y＝g(x)的图
2
6
象．则以下结论正确的是(
高中数学知识点：三角函数
高中数学知识点：三角函数三角函数是高中数学中的一个重要知识点，不仅是数学的基础，也是物理和工程学科中必须掌握的知识。
三角函数的概念和应用非常广泛，因此在高中数学中占有重要地位。
本文将为大家详细介绍三角函数的概念、性质、公式和应用，并提供20道以上的练习题，带参考答案供大家练习。
一、概念三角函数指的是正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。
在平面直角坐标系中，设一个角的角度为θ（0 ≤ θ ≤ 360°），对应的终边与x轴的正向相交于点P(x,y)，则① 正弦函数sinθ = y/r② 余弦函数cosθ = x/r③ 正切函数tanθ = y/x④ 余切函数cotθ = x/y其中，r为点P到原点O的距离，即半径。
二、性质1. 周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数都是周期函数，它们的周期分别为360°或2π。
2. 奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数和余切函数是偶函数。
3. 定义域：正弦函数、余弦函数定义域为实数集；正切函数、余切函数定义域为{x | x ≠ kπ/2}(k为整数)。
4. 值域：正弦函数、余弦函数的值域为[-1,1]；正切函数、余切函数的值域为(-∞,∞)。
三、公式1. 和差公式：sin(a±b) = sinacosb ± cosasinb，cos(a±b) = cosacosb ∓ sinasinb2. 倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ，cos2θ = cos²θ - sin²θ，tan2θ = 2tanθ / (1-tan²θ)3. 半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]，cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]，tan(θ/2) = sinθ / (1 + cosθ)4. 万能公式：sinθ/a = sinα/b = sinβ/c，cosθ/b = cosα/a = cosβ/c，tanθ/a = tanα/b = tanβ/c四、应用1. 三角函数在三角形中的应用：利用正弦定理、余弦定理、正切定理求解三角形的边长和角度。
三角形在数学建模中的实际应用案例分析
三角形在数学建模中的实际应用案例分析三角形是几何学中最基本的形状之一，具有广泛的实际应用。
它在数学建模中扮演着至关重要的角色，被用于解决各种实际问题。
本文将详细讨论三角形在数学建模中的实际应用案例，并对其进行深入分析。
首先，三角形常用于测量和观测。
举例来说，在地理学和天文学中，三角测量和三角观测被广泛用于测量和确定地球表面的距离、角度和位置。
通过在三角形中测量各个边长和角度，可以计算出目标物体相对于测量基准的位置和方向。
另外，三角形也在导航和定位系统中发挥着重要作用。
例如，全球定位系统（GPS）利用三角测量原理来确定接收器的位置和高度。
GPS接收器通过接收来自多个卫星的信号，并根据信号传播的时间差和卫星的位置关系，利用三角法计算出接收器的精确位置。
除此之外，三角形还在计算机图形学和计算机模拟中应用广泛。
在图形学中，三角形是最常见的多边形形状之一，用于表示和渲染复杂的图像和物体。
计算机模拟方面，三角形网格被广泛用于模拟和仿真物理现象、流体动力学和结构力学等领域。
利用三角形网格的优点是可以准确地描述和计算几何形状，并通过分割和连接三角形来构建复杂的结构。
在物理学中，三角形也被用于解决动力学问题。
例如，斜面上的运动问题和力的分析通常涉及到三角形的计算和构造。
通过应用三角函数和三角标识，可以确定斜面的角度、力的分解和物体的运动轨迹。
这对于设计和控制各种机械系统以及解决物体的运动问题至关重要。
三角形还在通信和信号处理领域中扮演着重要角色。
在信号处理中，频谱分析是一种将信号拆解为频率成分的技术。
在频谱分析中，三角函数被广泛用于信号的波形拟合和信号成分的提取。
通过应用傅里叶级数和傅里叶变换，信号可以被分解成一系列三角函数的叠加，从而实现频谱分析和信号处理。
总结起来，三角形在数学建模中具有广泛的实际应用。
它在测量和观测、导航和定位系统、计算机图形学和计算机模拟、物理学、通信和信号处理等领域都扮演着重要角色。
通过运用三角形的原理和相关工具，我们可以解决各种实际问题，并且能够更好地理解和分析复杂的现象和系统。
初二数学中的三角函数解析与应用
初二数学中的三角函数解析与应用三角函数是数学中一个重要的概念，它在初二数学课程中扮演着重要的角色。
本文将就初二数学中的三角函数解析与应用进行详细的探讨和阐述。
一、角度制与弧度制在研究三角函数之前，我们首先需要了解角度制与弧度制。
在角度制中，一个圆分为360度，而在弧度制中，一个圆分为2π弧度。
两者之间的转换关系为：1度= π/180弧度。
初二数学中的三角函数使用角度制来进行计算和表示。
二、正弦函数、余弦函数和正切函数在初二数学中，我们主要学习了三个基本的三角函数，即正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
这三个函数在数学中具有重要的地位和广泛的应用。
正弦函数表示的是一个角的对边与斜边之间的比值，即sinθ = 对边/斜边。
余弦函数表示的是一个角的邻边与斜边之间的比值，即cosθ = 邻边/斜边。
正切函数表示的是一个角的对边与邻边之间的比值，即tanθ = 对边/邻边。
三、基本性质与图像三角函数具有一些基本性质。
例如，正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集，值域在[-1,1]之间；而正切函数的定义域是全体实数除了π/2 + kπ（k为整数）这些点，值域是所有的实数。
此外，正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期为2π；而正切函数是奇函数，即满足tan(-θ) = -tanθ。
关于三角函数的图像，我们可以通过数学软件或者手工绘制来观察。
正弦函数和余弦函数的图像都是波浪曲线，且关于x轴对称；而正切函数的图像则是以斜率为1的直线为中心进行振荡。
四、三角函数的解析与应用在初二数学中，三角函数的解析是一个重要的内容。
通过对三角函数的计算和推导，我们可以解决许多实际问题。
例如，在几何中，我们可以利用正弦定理和余弦定理来计算三角形的各种属性，如边长和角度等。
这些定理的推导都离不开对三角函数的运用。
此外，在物理学中，三角函数的运用也非常广泛。
例如，通过对物体的运动轨迹进行数学建模，我们可以利用三角函数来描述物体的位置、速度和加速度等。
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三角函数在数学建模中的应用
在数学领域中，三角函数是一类重要的函数，广泛应用于各个领域，尤其在数
学建模中起到了重要的作用。
本文将探讨三角函数在数学建模中的应用，并且通过实际案例来说明其在解决实际问题中的价值。
首先，三角函数在几何建模中扮演着重要的角色。
在几何学中，我们经常需要
计算角度、距离和比例等问题。
而三角函数正好提供了解决这些问题的方法。
例如，在测量两个物体之间的距离时，我们可以利用正弦定理和余弦定理来计算。
这两个定理都利用了三角函数的关系，通过已知的角度和边长，可以求解未知的边长。
这种方法在测量工程、地理测量和建筑设计等领域中得到了广泛的应用。
其次，三角函数在物理建模中也有着重要的地位。
物理学中的许多问题都涉及
到角度、周期性和波动等概念。
而三角函数的周期性特点使其成为描述这些问题的理想工具。
例如，在描述振动现象时，我们可以使用正弦函数来表示物体的位移随时间变化的规律。
这种方法在机械振动、电磁波传播和声波传播等领域中被广泛应用。
此外，三角函数还可以用来描述周期性的电流、电压和光强等物理量，为电子工程和光学设计提供了重要的数学工具。
除了几何和物理建模，三角函数还在经济学和金融学中发挥着重要作用。
在金
融市场中，股票价格、汇率和利率等变量往往呈现出周期性的波动。
通过对这些波动进行分析，我们可以使用三角函数来预测未来的趋势和变化。
例如，通过对股票价格的历史数据进行傅里叶分析，可以提取出其中的周期性成分，从而预测未来的价格走势。
这种方法在金融市场的交易策略和风险管理中发挥着重要的作用。
此外，三角函数还在生物学和医学建模中得到了广泛应用。
在生物学研究中，
生物钟、呼吸和心跳等生物现象都具有周期性特征。
通过对这些周期性现象进行分析，可以使用三角函数来描述其变化规律，并从中获取有关生物过程的信息。
在医学领域，心电图信号是对心脏活动进行监测和诊断的重要工具。
通过对心电图信号
进行频谱分析，可以提取出其中的频率成分，从而判断心脏的健康状况。
这种方法在心脏病的诊断和治疗中发挥着重要的作用。
综上所述，三角函数在数学建模中发挥着重要的作用。
无论是几何建模、物理建模、经济学建模还是生物学建模，都离不开三角函数的应用。
通过对三角函数的运用，我们可以解决实际问题，预测未来趋势，提取有关信息，为各个领域的研究和实践提供数学支持。
因此，深入理解和掌握三角函数的原理和应用，对于数学建模的成功至关重要。