哈密顿定理
哈密顿回路
2算法的依据定理1图中任何不同的H回路至少有两个不同的边。
证明令H1是图G的一个H回路。
任取一个边(vi,vj),删去后,再加上任何其它一个边,必然使vi或vj的度数1。
此时,该回路不是H回路。
故,任何不同的H回路至少有两条不同的边。
定理2令Kn中所有哈密顿回路为HCn=(e1,e2,…,ek),回路数为k,Kn的结点为v1,v2,v3,…,vn,每个et(t=1,2,…,n)有n 条边。
某个ej与vn+1结点生成的H回路为:HCn+1(ej)=∑i,jej {(vn+1,vi),(vn+1,vj),(vi,vj)}={ej1,vj2,…,ejn}共n个,其中,i ≠j,i,j<=n,vi与vj相连。
则HCn+1(ej)是Kn+1的对应ej的H回路,共n个,所有的回路是不同的。
且,所有的HCn+1(e1,…,ek)的H回路也是不同的,故,HCn+1中的所有H回路为k n。
3证明1)由定理知,HC (e) ∑e {(v ,v),(v ,v),1 n+1 j = i,jj n+1 i n+1 j(vi,vj)}是Kn+1的一组对应ejH回路,共n个;ej是一个Kn的H回路,断其边(vi,vj),加入两个边(vn+1,vi),vn+1,vj),去掉(vi,vj),再加上ej的其余的边,得一个n+1个结点的回路,令为H1,边数为n+1,且每个结点的度数为2,则H1是图1Kn+1的哈密顿回路。
如图1所示(v1,v2,v3,v4)是K4的一个H回路,再加入一个点V5,删去边(v2,v3)加入边(v5,v2)和(v5,v3),组成{v5,v2,v1,v4,v3,v5}则是K5的一个回路。
2)HCn+1(ej)中的所有H回路是不同的。
因为由ej有n条边,HCn+1(ej)=i,jej{(vn+1,vi),(vn+1,vj),(vi,vj)}是断其每一条边生成的H回路,共有n个回路,每个回路都有在另一个H回路中被删去的边,故HCn+1(ej)中的所有H回路是不同的。
哈密顿凯莱定理求eat
哈密顿凯莱定理求eat
哈密顿-凯莱定理是解决微分方程周期解的重要工具。
它的基本
思想是将相空间划分成若干个等面积的区域，称为“相空间的单元格”，周期解会沿着这些单元格运动。
哈密顿-凯莱定理的一个重要结论是：对于有限维的哈密顿系统，其相空间中任何一条封闭轨迹的围成面积都是普朗克常量的整数倍。
那么，如何求一个哈密顿系统的封闭轨迹呢？我们可以使用哈密顿动力学方程进行求解。
具体的，我们可以通过求解哈密顿系统的能量函数，确定其在相空间的轨迹。
而对于哈密顿系统的能量函数，通常采用广义动量和广义坐标的函数形式。
此时，哈密顿动力学方程可以通过勒让德变换得到。
一旦求得封闭轨迹，我们就可以利用哈密顿-凯莱定理求出相应
的普朗克常量。
但是，对于一般的哈密顿系统，封闭轨迹可能非常复杂，甚至无法求解。
因此，针对具体的哈密顿系统，需要采用适当的数值方法来求解。
总之，哈密顿-凯莱定理是求解哈密顿系统周期解的重要工具，
但对于一般的哈密顿系统，求解封闭轨迹可能非常困难，需要采用适当的数值方法。
- 1 -。
36 哈密顿图
离散结构哈密顿图教学目标基本要求（1）哈密顿图的定义（2）哈密顿图的充分条件与必要条件（3）哈密顿图的应用重点难点（1）哈密顿图的判定（2）哈密顿图的应用1859年提出一个名叫“周游世界”的游戏，问题是：能否遍历正12面体的每个顶点一次且仅一次后回到原地。
？哈密顿（爱尔兰数学家）定义•哈密顿通路——经过图中所有顶点一次仅一次的通路.•哈密顿回路——经过图中所有顶点一次仅一次的回路.•哈密顿图——具有哈密顿回路的图.•半哈密顿图——具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图.•几点说明：–平凡图是哈密顿图.–哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路.–环与平行边不影响哈密顿性.–哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点排在同一个圈上实例在上图中，•(1),(2) 是哈密顿图;•(3)是半哈密顿图;•(4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？哈密顿图的必要条件•定理设无向图G =<V ,E >是哈密顿图，对于任意V 1⊂V 且V 1≠∅，均有p (G −V 1) ≤|V 1|•推论设无向图G=<V ,E>是半哈密顿图，对于任意的V 1⊂V 且V 1≠∅均有p (G −V 1) ≤|V 1|+1•几点说明–定理中的条件是哈密顿图的必要条件，但不是充分条件（例如彼得松图）–由定理可知，K r ,s 当s ≥r +1时不是哈密顿图. 易知K r ,r （r ≥2）时都是哈密顿图，K r ,r +1都是半哈密顿图.哈密顿图的充分条件•定理设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点v,v j，均有id(v i)+d(v j) ≥n−1则G 中存在哈密顿通路.,v j，均有•推论设G为n(n≥3) 阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的顶点vid(v i)+d(v j) ≥n则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图.•几点说明–定理是半哈密顿图的充分条件，但不是必要条件. 长度为n−1（n≥4）的路径构成的图不满足条件，但它显然是半哈密顿图.–推论同样不是哈密顿图的必要条件，G为长为n的圈，不满足条件，但它当然是哈密顿图.例在给出的三个图中哪些是哈密顿图？哪些是半哈密顿图？为什么？例试判断下面在给出的图是欧拉图还是哈密顿图？判断某图是否为哈密顿图至今还是一个难题.哈密尔顿图的应用例：一只蚂蚁可否从立方体的一个顶点出发，沿着棱爬行，它爬过每一个顶点一次且仅一次，最后回到原出发点？试利用图作解释。
哈密顿算符公式
哈密顿算符公式
哈密顿算符公式是一种有用的数学定理，它令人大开眼界，被广泛应用于数学、物理、计算机科学等诸多领域。
它的发现为科学界提供了一种新的衡量工具，推动了科学的发展。
1830年，英国数学家哈密顿（William Rowan Hamilton）提出了哈密顿算符公式，它是一种有限制大小的总求和算法，用来衡量函数的总和，该公式又名“哈密顿-玻尔兹定理”，是一个非常有用的数学定理，用以测量函数的总和。
哈密顿算符公式的最强大之处在于它能够把有限的函数综合到
一起，它允许人们用不同的数学方法来衡量以前很难定量的概念，例如能量，动量和位置。
它的最基本形式如下：
H[f] =_(n∈S) f (x_n)
它的意思是，当函数f的集合S的所有值的总和可以衡量函数f 的大小或深度时，就可以使用这个公式了。
由此可见，哈密顿算符公式给出了一个简单明了的形式，便于人们更好地理解函数。
哈密顿算符公式的发现也推动了现代物理学的发展。
由于它可以用来衡量能量，动量和位置，它可以用来描述物理系统的性质，从而帮助人们更容易地理解物理系统的运行方式。
它也提供了一种新的比较和分析物理系统的方法，推动了现代物理学的发展。
此外，哈密顿算符公式也在计算机科学领域中发挥了重要作用。
它可以用来计算最优化路径，最优化计算任务和优化数据分析，从而提高计算机系统的性能。
因此，哈密顿算符公式是一种有用的数学定理，它令人大开眼界，被广泛应用于数学、物理、计算机科学等诸多领域。
这一技术的研究会促进科学的发展，为世界各国提供应用价值，推动社会的进步。
高等动力学第4章_哈密顿原理
第四章哈密顿原理
4.1 泛函与变分、欧拉方程
4.2 哈密顿原理
4.3 由哈密顿原理推导动力学方程
概述
1. 哈密顿原理是变分原理的一种，是分析力学的基本原理，可以作为整个理论的基础。
2. 变分原理提供了将真实运动与在相同条件下的可能运动相区分的准则。
所谓的相同条件由不同的原理所规定。
3. 更加适于发展近似方法。
复合函数：设函数x(t) 是自变量t 的函数，而函数f(x) 是x 的函数，则f[x(t)] 是复合函数。
泛函：如果函数x(t) 的形式可在一定范围内变化，称为自变函数，而F(x) 定义在自变函数x 上，其值随自变函数的形式不同而变化，则称F(x) 为定义在函数集{x} 上的泛函。
自变函数x 的容许集称为泛函F 的定义域。
区别：泛函F 的值依赖于函数x 的形式，而函数f 的取值依赖于自变量t 的值。
上述哈密顿原理具有一个强的约束条件，即系统在有限动力学过程的始末位形给定。
实际的系统运动是一个渐进的动力学过程，其末了的位形是难以事先确定的。
需要放松上述哈密顿原理对于系统始末位形给定的限制，得到哈密顿原理更一般的形式。
kolmogorov-arnold表示定理
Kolmogorov-Arnold表示定理，也称为KAM理论，是数学上一个重要的定理，它描述了在哈密顿系统中定态轨道的稳定性。
Kolmogorov-Arnold表示定理深刻地揭示了动力系统中轨道的性质，对于理解自然界中许多现象具有重要的意义。
本文将从几何、动力学和应用等方面展开对Kolmogorov-Arnold表示定理的介绍和分析。
一、Kolmogorov-Arnold表示定理的历史Kolmogorov-Arnold表示定理的历史可以追溯到20世纪早期，当时著名的数学家Kolmogorov和Arnold在研究动力系统问题时分别提出了一系列理论和概念。
在1954年，Kolmogorov首先提出了该定理的基本概念，描述了在哈密顿系统中由一种奇异性出现的现象，随后在1963年，Arnold对Kolmogorov的理论进行了进一步的深化和完善，提出了一般情况下的Kolmogorov-Arnold表示定理。
此后，Kolmogorov-Arnold表示定理成为动力系统理论中的一个重要支柱，为研究哈密顿系统的轨道稳定性奠定了理论基础。
二、Kolmogorov-Arnold表示定理的基本概念Kolmogorov-Arnold表示定理的核心概念包括奇异性、共振和正则化等。
在哈密顿系统中，当存在一些特殊的非线性病态现象时，轨道将会发生奇异性变化；而当轨道上的某些频率比例满足一定的条件时，将会出现共振现象；通过正则变换的方法，可以将具有奇异性和共振的轨道变换为正则轨道，从而描述系统的稳定性。
这些基本概念构成了Kolmogorov-Arnold表示定理的核心内容，为进一步理解哈密顿系统的动力学行为提供了重要的理论工具。
三、Kolmogorov-Arnold表示定理的几何意义Kolmogorov-Arnold表示定理在动力学系统中有着重要的几何意义。
通过Kolmogorov-Arnold表示定理，我们可以清晰地描述哈密顿系统中定态轨道的稳定性和非线性动力学行为，从而揭示了系统轨道的形态和分布规律。
世界十大数学难题
世界十大数学难题数学是科学中最古老和最重要的学科，它是科学技术进步的基础，更是人类发现和理解自然规律的重要工具。
在各种数学领域中，学者们发现不少难题，它们对现代数学的发展至关重要。
接下来，我们将介绍世界十大数学难题：第一，毕达哥拉斯假设（Pythagorean Hypothesis）：毕达哥拉斯假设指的是被认为是十分重要的几何定理。
该定理认为，任意一个三角形的直角边上的两条边之和，等于对角线的平方。
在古希腊，人们却怀疑这一定理是否成立，故而未能得出证据证明它，而到了现代，也仍未能有效地证明它，因此它被认为是当之无愧的世界十大数学难题之一。
第二，泛函分析中的Riemann猜想（Riemann Hypothesis）：Riemann猜想是一个有关质数的函数的重要问题。
它指的是质数的分布可以用函数ζ(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+……来表示。
Riemann猜想认为，当s=1/2时，该函数为无穷，其图形右半部分具有零点。
至今，这一猜想仍未能令人满意地证明，被认为是数学史上最重要的问题之一，由此也成为世界十大数学难题之一。
第三，卡尔贝-比尔金猜想(Goldbach Conjecture)：卡尔贝-比尔金猜想是指，任意一个大于2的偶数，都可以由两个质数之和构成。
这一猜想已经有约两个世纪的历史，至今仍未能得到证明。
这一猜想的证明将引发数学史上最重大的突破，因此也被认为是当之无愧的世界十大数学难题之一。
第四，维度理论(Dimension Theory)：维度理论是指研究拓扑空间中每一点的特性所组成的理论，这些特性决定了空间的维度，如空间中存在环路则维度为一，存在平面则维度为二，存在立体则维度为三等。
这一理论至今尚未能得到有力的证明，因此也成为世界十大数学难题之一。
第五，米勒假说(Mills Conjecture)：米勒假说指的是，当10的一次幂次数的形式为n+1时，其中n为一个素数，那么n也为一个素数。
泊松定理与哈密顿原理
泊松定理与哈密顿原理泊松定理和哈密顿原理都是关于经典力学中质点运动的重要理论原理，它们分别从不同的角度给出了质点运动的描述和预测方法。
首先，让我们来看看泊松定理。
泊松定理是指在经典力学中，如果一个力场的势能函数对时间的变化率为零，那么该力场对质点所做的功与质点的能量守恒。
这可以用数学表示为：W=ΔT+ΔV=0其中W表示力场对质点所做的功，ΔT表示质点动能的变化，ΔV表示势能的变化。
这个定理的推导基于拉格朗日力学和哈密顿原理，所以它是拉格朗日力学的一种应用。
泊松定理的一个重要应用是描述了在保守力场中质点的机械能守恒。
机械能定义为质点的动能与势能之和，根据泊松定理，质点在保守力场中的总机械能不会发生变化。
这个定理在解决力学问题时非常有用，可以用来推导质点的运动方程或者预测质点的轨迹。
然而，泊松定理仅适用于保守力场，而对于非保守力场，它无法给出准确的描述。
这时就需要使用哈密顿原理来进行分析。
哈密顿原理是由数学家和物理学家威廉·哈密顿提出的，它是经典力学的一个基本原理。
哈密顿原理表明，质点在运动过程中，其路径实际上是使得动作积分（Action）取极小值的路径。
动作积分定义为离散时间下动能积分与势能积分之和。
S = ∫L dt = ∫(T - V) dt其中L为拉格朗日量，T为动能，V为势能。
在哈密顿原理中，质点的运动路径被视为在整个时间段内动作积分取极小值的路径。
通过使用变分法，即对路径进行微小的变动，哈密顿原理可以导出质点运动的运动方程，即哈密顿方程。
哈密顿方程是由哈密顿量H（由拉格朗日量L通过勒让德变换得到）和广义动量p（由拉格朗日动量P通过勒让德变换得到）的偏导数关系所决定：dH/dt = -dV/dqdp/dt = dH/dq其中q表示广义坐标，t表示时间。
哈密顿原理的优点在于它不仅适用于保守力场，也适用于非保守力场，并且可以给出更加准确的描述。
它在量子力学的发展中也发挥了重要作用，为量子力学提供了一个相对统一的描述框架。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
哈密顿定理
一、引言
哈密顿定理是图论中的一个重要定理，它描述了一种图中是否存在哈密顿回路的判断方法。
哈密顿回路是指一条经过每个节点恰好一次的闭合路径。
在实际应用中，哈密顿定理可以用于解决旅行商问题、电路设计等问题。
二、定义
1. 图：由节点和边组成的集合。
2. 路径：从一个节点到另一个节点经过的边的序列。
3. 回路：从一个节点出发，经过若干个节点后返回起点的路径。
4. 哈密顿回路：经过每个节点恰好一次的回路。
三、定理
若图G有n个节点（n≥3），则当且仅当G中任意两个不相邻的节点
之间有至少n/2条边时，G存在哈密顿回路。
四、证明
1. 充分性证明：
假设G满足条件“任意两个不相邻的节点之间有至少n/2条边”，我们需要证明G存在哈密顿回路。
首先，我们考虑图中任意一个点v。
根据题目条件，与v相邻的点至少有n/2个。
如果我们能够找到一个长度为n-1的简单路径P，使得P 包含了所有与v相邻的点，那么我们就可以将P的起点和终点连接起来，得到一个哈密顿回路。
为了证明这一点，我们可以采用数学归纳法。
假设我们已经找到了一个长度为k的简单路径P，使得P包含了所有与v相邻的点。
现在我们需要证明，如果G中存在一个与P的终点相邻的未被包含在P中的节点x，则一定可以找到一个长度为k+1的简单路径Q，使得Q包含了所有与v相邻的节点。
由于x是与P的终点相邻且未被包含在P中的节点，因此存在一条边e=(y,x)，其中y是P中最后一个包含x相邻节点。
显然，y必须是v 或者是与v相邻的节点之一。
如果y=v，则我们可以将路径P和边e连接起来得到一个长度为k+1
的简单路径Q。
此时Q包含了所有与v相邻的节点。
如果y不等于v，则由于G中任意两个不相邻的节点之间有至少n/2
条边，所以y和v之间至少有n/2条边。
因此，在从y到v之间选择
一条未被包含在P中且不等于e=(y,x) 的边f后，我们就可以将路径P、边e和边f连接起来得到一个长度为k+1的简单路径Q。
此时Q包含了所有与v相邻的节点。
由此可见，我们可以通过数学归纳法得到一个长度为n-1的简单路径P，使得P包含了所有与v相邻的点。
因此，我们可以将P的起点和
终点连接起来，得到一个哈密顿回路。
2. 必要性证明：
假设G存在哈密顿回路，我们需要证明G满足条件“任意两个不相邻的节点之间有至少n/2条边”。
为了证明这一点，我们考虑图中任意两个不相邻的节点u和v。
如果u 和v之间存在一条边，则显然满足条件“任意两个不相邻的节点之间
有至少n/2条边”。
如果u和v之间不存在一条边，则从哈密顿回路中选择任意一个节点w，并沿着哈密顿回路从w开始逆时针遍历图G。
设第一次遇到u和
v之间的路径为P1，第二次遇到u和v之间的路径为P2。
显然，这两条路径都是简单路径。
由于G存在哈密顿回路，所以必然存在一条从w出发经过所有节点恰好一次后返回w的路径C。
由于C经过了w、u、v三个节点，所以必然存在一个子路径D，在D中先经过u，再经过v。
现在我们考虑路径P1和路径P2的关系。
由于P1和P2都是简单路径，所以它们必然不包含D。
因此，从w到u和v之间的任意一个节点x （不包括u和v）都至少有两条路径可以到达，即通过P1或者通过
P2。
由于C经过了所有节点恰好一次，所以从w出发经过所有除了u 和v之外的节点后，必然要走一条边连接u和v。
因此，在从w出发
经过所有节点恰好一次后返回w的路径C中，存在一条从u到v的简单路径Q。
现在我们需要证明，在G中任意两个不相邻的节点之间至少有n/2条边。
根据上述讨论可知，在G中任意两个不相邻的节点之间至少有一
条简单路径（可能是直接相连）。
因此，我们可以将所有这样的简单
路径组成一个集合S。
由于G存在哈密顿回路，所以对于每个点来说，它与哈密顿回路上相
邻的点至少有两个。
因此S中每个简单路径至少与另外一个简单路径共享一个端点。
由于S中每个简单路径都是长度为k（k≥1）的链式结构，所以共享端点数量最多为2k-2。
另一方面，由于G有n个节点，所以S中至少有n/2个简单路径。
因此，共享端点数量至少为(n/2)×(2k-2)=nk-n。
由于每个端点最多被计算一次，所以共享端点数量不超过2m，其中m是边的数量。
因此，nk-n≤2m，即m≥n/2。
因此，在G中任意两个不相邻的节点之间至少有n/2条边。
五、应用
哈密顿定理可以应用于解决旅行商问题、电路设计等问题。
旅行商问题是指一个旅行商要拜访n个城市，并返回起点城市，问他应该按照什么顺序拜访这些城市才能使总路程最短。
电路设计中也经常需要找到一条经过所有节点恰好一次的路径。
六、总结
哈密顿定理是图论中的一个重要定理，它描述了一种图中是否存在哈密顿回路的判断方法。
在实际应用中，哈密顿定理可以用于解决旅行
商问题、电路设计等问题。
通过对哈密顿定理的证明和应用分析，我们可以更好地理解和应用这一定理。