哈密顿定理
哈密顿积分原理
哈密顿积分原理
哈密顿积分原理是力学中的一个基本原理，它指出在不受外力作用的保守系统中，真实运动满足的作用量取驻值。
这个原理可以用来求解各种力学问题，包括质点和刚体的运动、弹性力学、流体力学等。
哈密顿原理的表述为：在N+1维空间中，任两点之间连线上动
势L的时间积分以真实运动路线上的值为驻值。
这个原理可以表述为数学形式，即对于一个完整系统，其运动满足以下条件：
(H(q,p) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i \left(\frac{d^2
q_i}{dt^2}\right)^2 + V(q) = E)
其中(H(q,p))是拉格朗日函数，(q)和(p)分别是系统的广义坐标和广义动量，(m_i)是质点的质量，(V(q))是势能函数，(E)是常数。
哈密顿原理的应用非常广泛，它不仅可以用来求解各种力学问题，还可以用于电动力学、相对论力学等领域。
此外，哈密顿原理在量子力学中也有重要的应用，例如在薛定谔方程的推导中就使用了哈密顿原理。
凯莱-哈密顿定理
n −1
A n = An
Bn − 2 An −1 − Bn −1 An = an −1 An −1 M B0 A − B1 A2 = a1 A
⑤
− B0 A = a0 I
A n , A n −1 , L , A , A 0
将⑤组式子两边同时相加，得 组式子两边同时相加， 左边=0 左边
2 = (an−1 − an−2 ) An−1 + (an−1an−2 − an−3 ) An−2 + L+ (an−1a1 − a0 ) A + an−1a0 I
令 αm
= an −1am − am −1 , a−1 = 0
则
A = ∑ α m Am
k m =0
n −1
（K≥n） ）
更大时（ ），亦依次类推 当K更大时（K≥n），亦依次类推，故推论成立。 更大时 ），亦依次类推，故推论成立。
则
e At = α 0 (t ) I + α1 (t ) A + α 2 (t ) A2 + L + α n −1 (t ) An −1 = ∑ α m (t ) Am
m=0
n −1
同理可证： 同理可证：
e
− At
′ = ∑ α m (t ) A m
m =0
n −1
推论2： 可表示为A的 阶多项式。 推论 ： At 可表示为 的n-1阶多项式。 阶多项式 e
e
证：
At
= ∑ α m (t ) A
m =0
n −1
m
′ e − At = ∑ α m (t ) A m
m =0
n −1
e At = I + At +
卡莱—哈密顿定理
卡莱—哈密顿定理
卡莱—哈密顿定理（Cayley-Hamilton Theorem）是一个数学定理，它表明在一个方阵中，该矩阵的零化多项式（或特征多项式）可以表示为矩阵的幂的线性组合。
换句话说，该定理可以写作：Ch(A)=det(A)=a1*A^n+a2*A^(n-1)+a3*A^(n-2)+...+an
其中Ch(A)是矩阵A的零化多项式，a1,a2,...,an是由矩阵A决定的系数。
这个定理最早是由英国数学家康拉德·卡莱哈密顿在1835年提出的。
在图论中，卡莱哈密顿定理可以用来解决一些极端问题，例如在一个飞线图上最多可以经过节点的次数不超过它的节点数的两倍减一。
在计算机视觉和图像处理中，卡莱哈密顿定理也可以被用来解决图像建模问题。
凯莱哈密顿定理
凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定理说的是：对方阵A的特征多项式ϕA(λ)，将λ置换为A，则ϕA(A)一定等于零矩阵O。
其中特征多项式的定义不妨再重申一下，对方阵A，λ是对A的特征值，特征多项式ϕA(λ)为det(λI−A)。
det()为行列式。
我们举个例子：A=(2−143)ϕA(λ)=det(λ−21−4λ−3)=λ2−5λ+10ϕA(A)=A2−5A+10=(2−143)(2−143)−5(2−143)+10(1001)=(0−520 5)+(−105−20−15)+(100010)=O下面我们再看一看凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定理的用途。
用途之一是计算矩阵的乘方。
例如，在根据凯莱-哈密顿定理已知A3−A+2I=O的情况下，我们要求A7。
因为A3=A−2I，所以可得下式：A7=A3A3A=(A−2I)(A−2I)A=−4A2+5A−2I这样一来，麻烦的矩阵乘积只需要计算一次即可，即A2另外一个常见的应用就是用来判断线性系统的可控性。
这里我们考虑带有输入u(t)的系统x(t)=Ax(t−1)+Bu(t)。
这里A是n阶方阵，x(t)是n维向量，简单起见，我们令初始值x(t)=0。
矩阵B表示输入对系统状态的影响。
那么，我们要做的就是巧妙地调节输入u(t)，使得状态x(t)向着目标值w的方向前进。
但是，首先摆在面前的问题是，我们的设想真的可以达成吗？根据w的不同，会不会有无论怎么调整u(t)都没办法做到的时候?通过调整输入u(t)，使得状态x(t)可以达到任何我们希望的目标值w，我们称这种性质为可控性。
关于可控与否，我们可以通过以下方法来判断。
令，Φ(t)=(B,AB,A2B,...,At−1B))，v(t)=(u(t)...u(1))我们来考察x(t)=Φ(t)v(t)。
当u(1),...,u(t)任意取值时(即v(t)任意取值时)，x(t)能取到的所有值正好就是ImΦ(t)（这里ImΦ(t)对应了全空间）。
floquet 定理
Floquet定理1. 引言Floquet定理是量子力学中的一个重要定理，它描述了周期性系统的时间演化。
该定理以法国数学家Gaston Floquet的名字命名，他在1883年首次提出了这个定理。
Floquet定理在许多领域都有广泛的应用，包括量子力学、非线性动力学、凝聚态物理和光学等。
它为我们研究周期性系统的行为提供了有力的工具。
2. 定义Floquet定理是关于周期性哈密顿量的时间演化算符的一个定理。
假设我们有一个形式为H(t)=H(t+T)的周期性哈密顿量，其中T是一个固定时间间隔。
根据Floquet定理，这样一个系统的时间演化算符可以写成以下形式：U(t)=e−iFt其中F被称为Floquet算符或Floquet哈密顿量。
3. Floquet算符和Floquet哈密顿量Floquet算符和Floquet哈密顿量是描述周期性系统时间演化的关键工具。
3.1 Floquet算符根据上面给出的定义，Floquet算符可以通过以下方式计算：F=−iℏ∂∂tln(U(t))Floquet算符是一个厄米算符，它描述了系统在一个周期内的演化。
它决定了系统的能谱和演化动力学。
3.2 Floquet哈密顿量与Floquet算符相对应的是Floquet哈密顿量，它定义为：H F=1T∫HT(t)e iFt dtFloquet哈密顿量是一个与时间无关的厄米算符，它描述了系统在一个周期内的平均行为。
4. Floquet定理的证明Floquet定理可以通过以下方式进行证明：4.1 假设假设我们有一个形式为H(t)=H(t+T)的周期性哈密顿量。
我们希望证明时间演化算符可以写成U(t)=e−iFt的形式。
4.2 哈密顿方程根据量子力学中的哈密顿方程，我们知道：d dt U(t)=−iℏH(t)U(t)4.3 周期性条件由于H(t)是周期性的，我们可以将其展开为傅里叶级数：H(t)=∑H nne inωt其中ω=2πT是角频率。
凯莱哈密顿定理 ppt课件
[1a0 tn an1a0 tn1L]I [ta1 tn an1a1 a0 tn1L]A
n! (n1)!
n! (n1)!
[1t2 a2 tn an1a2 a1 tn1L]A2 L 2! n! (n1)!
[ 1 tn1 an1 tn an21 an2凯tn莱哈1 密顿L定]理An1
(n1)!
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(n1)!
当K更大时（K≥n），亦依次类凯推莱哈，密故顿定推理论成立。 m0
推论2：e A t 可表示为A的n-1阶多项式。
n1
eAt m(t)Am m0
n1
eAt m (t)Am m0
证：e A t I A t 1 A 2 t 2 L 1A n 1 t n 1 1 A n t n 1A n 1 t n 1 L
( a n 2 1 a n 2 ) A n 1 ( a n 1 a n 2 a n 3 ) A n 2 L ( a n 1 a 1 a 0 ) A a n 1 a 0 I
n1
令 m a n 1 a m a m 1 ,a 1 0则 Ak m Am （K≥n）
2
( n 1 ) !
n ! ( n 1 ) !
IA t1A 2 t2 L 1 A n 1 tn 1
2
(n 1 )!
n 1 !( a n 1A n 1a n 2A n 2 La 1A a 0I)tn (n 11 )![(a n 2 1a n 2)A n 1(a n 1 a n 2a n 3)A n 2 L(a n 1 a 1a 0)A a n 1 a 0I]tn 1 L
即：A的n次幂可表示为A的n-1阶多项式。
A n a n 1 A n 1 a n 2 A n 2 L a：矩阵A的K次幂（K≥n）可表示为A 的n-1阶多项式。 Ak m Am
凯莱-哈密顿定理
凯莱-哈密顿定理
凯莱-哈密顿定理是关于动力学系统的一个重要定理，它描述了系统中的一些重要属性，比如能量、动量等是如何守恒的。
该定理最初是由法国科学家凯莱和英国数学家哈密顿在19世纪中期独立发现的，因此也被称为凯莱-哈密顿定理或能量守恒定理。
该定理在物理、数学、工程等领域中具有广泛的应用。
凯莱-哈密顿定理指出，对于一个动力学系统，其能量守恒是由其拉格朗日方程导出的哈密顿方程所保证的。
也就是说，当我们解析一个动力学系统时，我们可以使用拉格朗日方程确定系统的运动轨迹，然后使用哈密顿方程计算系统中微小的变化。
这样，我们可以确定系统中能量、动量等守恒量的值。
凯莱-哈密顿定理在多个领域中都有应用。
在物理学中，它被用于解释电磁学、热力学和量子力学等学科中的许多现象。
它也被用于构建量子场论，黑洞物理学以及寻找新的基本粒子等研究。
在数学领域中，其被用于研究拓扑学和非线性动力学等问题。
在工程学中，该定理被用于设计和控制飞行器、机器人和其他复杂系统。
凯莱-哈密顿定理对于研究和描述复杂系统的动力学行为非常重要。
它不仅有助于我们理解基本物理学的本质，而且还有助于我们更好地控制和操纵这些系统以及设计新的工程系统。
哈密顿力学
哈密顿力学哈密尔顿力学是哈密尔顿于1833年建立的经典力学的重新表述。
它由拉格朗日力学演变而来，那是经典力学的另一表述，由拉格朗日于1788年建立。
但它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力学表述。
关于这点请参看其数学表述。
哈密顿力学-简介哈密顿力学是标准的“伽利略加速点运动几何学”的一种力学。
不幸的是，后人将其称作是“新几何力学”，这多多少少显示了后人的数学知识和物理学思想的一种令人遗憾的欠缺。
哈密顿系统可以理解为时间R上的一个纤维丛E,其纤维Et,t∈R是位置空间。
拉格朗日量则是E上的jet丛(射流丛)J上的函数；取拉格朗日量的纤维内的勒让德变换就产生了一个时间上的对偶丛的函数，其在t 的纤维是余切空间T*Et，它有一个自然的辛形式，而这个函数就是哈密顿量。
任何辛流形上的光滑实值函数H可以用来定义一个哈密顿系统。
函数H称为哈密顿量或者能量函数。
该辛流形则称为相空间。
哈密顿量在辛流形上导出一个特殊的向量场，称为辛向量场。
该辛向量场，称为哈密顿向量场，导出一个流形上的哈密顿流。
该向量场的一个积分曲线是一个流形的变换的单参数族；该曲线的参数通常称为时间。
该时间的演变由辛同胚给出。
根据刘维尔定理每个辛同胚保持相空间的体积形式不变。
由哈密顿流到处的辛同胚的族通常称为哈密顿系统的哈密顿力学。
哈密顿向量场也导出一个特殊的操作，泊松括号。
泊松括号作用于辛流形上的函数，给了流形上的函数空间一个李代数的结构。
当余度量是退化的时，它不是可逆的。
在这个情况下，这不是一个黎曼流形，因为它没有一个度量。
但是，哈密顿量依然存在。
这个情况下，在流形Q的每一点q余度量是退化的，因此余度量的阶小于流行Q的维度，因而是一个亚黎曼流形。
这种情况下的哈密顿量称为亚黎曼哈密顿量。
每个这样的哈密顿量唯一的决定余度量，反过来也是一样。
这意味着每个亚黎曼流形由其亚黎曼哈密顿量唯一的决定，而其逆命题也为真：每个亚黎曼流形有唯一的亚黎曼哈密顿量。
亚黎曼测地线的存在性由Chow-Rashevskii定理给出。
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哈密顿定理
引言
哈密顿定理，又称哈密顿-雅可比定理，是经典力学中的一条重要定理，由威
廉·哈密顿于1835年提出。
它是质点力学中的一个基本定理，可以用来描述质点
在势力场中的运动。
哈密顿定理在经典力学、量子力学、统计力学等领域都有广泛的应用。
定理表述
哈密顿定理的表述如下：对于一个系统，其哈密顿函数H、广义坐标q和广义动量
p之间满足以下关系：
∂H/∂p = dq/dt
∂H/∂q = -dp/dt
其中，H是系统的哈密顿函数，q是广义坐标，p是广义动量，t是时间。
定理解释
哈密顿定理可以理解为能量守恒的表述。
在一个力学系统中，系统的哈密顿函数代表系统的总能量。
根据哈密顿定理的第一部分，系统的总能量随时间的变化率与广义动量的变化率相等。
这意味着在系统中，能量的改变取决于动量的改变。
同样地，根据哈密顿定理的第二部分，系统的总能量的变化率与广义坐标的变化率的相反数相等。
这意味着在系统中，能量的改变取决于坐标的改变的相反方向。
这样，哈密顿定理给出了系统能量的变化与坐标和动量的关系，进一步揭示了力学系统内部的运动规律。
哈密顿定理的应用
1. 力学系统的轨迹预测
哈密顿定理可以用来预测力学系统的轨迹。
通过已知的系统的哈密顿函数、广义坐标和广义动量的初值，可以通过哈密顿定理计算出系统在不同时间点上的坐标和动量的数值。
这样，我们就可以通过数值计算的方式得到系统在未来的运动轨迹，从
而对系统的行为进行预测。
这在航天器轨道计算、天体运动预测等领域有广泛的应用。
2. 力学系统的稳定性分析
哈密顿定理还可以用来分析力学系统的稳定性。
通过对系统的哈密顿函数进行分析，可以得到系统在不同状态下的能量。
通过计算能量的变化率，可以了解系统在不同状态下的稳定性。
如果能量变化率始终小于零，系统就是稳定的。
而如果能量变化率大于零，系统就是不稳定的。
这种稳定性分析可以帮助我们理解力学系统的运动特性，进一步用来设计控制系统、优化工程结构等。
3. 非保守系统的分析
哈密顿定理也可以用来分析非保守系统。
在非保守系统中，存在能量的转化和损耗。
通过对系统的哈密顿函数进行分析，可以揭示非保守系统中能量的变化规律。
通过对能量的变化率进行计算，可以了解系统中能量的流动和转化过程。
这对于能源系统、动力学系统等的分析和优化具有重要意义。
总结
哈密顿定理是经典力学中的一条重要定理，它描述了质点在势力场中的运动规律。
哈密顿定理给出了系统能量的变化与坐标和动量的关系，是能量守恒原理在质点力学中的表述。
哈密顿定理不仅可以用于预测力学系统的轨迹，还可以分析系统的稳定性和非保守性。
通过对力学系统的哈密顿函数、广义坐标和广义动量的分析，可以获得关于能量和运动规律的深刻认识。
哈密顿定理在经典力学、量子力学、统计力学等领域都有广泛的应用，对于解决实际问题和推动学科发展有着重要作用。