数字信号处理课程设计 ——指数衰减正弦信号的采样与恢复

数字信号处理课程设计

——指数衰减正弦信号的采样与恢复1理论分析

1.1 连续时间信号

连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值，除了有若干个不连续点以外，信号都有确定的值与之对应。严格来说，MATLAB并不能处理连续信号，而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。当取样时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似连续信号。

在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值来表示，并且可以用这些样本值把信号完全恢复过来。这样，抽样定理为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。通过观察采样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，在时域是否也能恢复原信号时，利用频域时域的对称关系，得到了信号。

1.2采样定理

模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。

时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件：

(1)必须是带限信号，其频谱函数在＞各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。）

(2) 取样频率不能过低，必须＞2（或＞2）。（对取样频率的要求，即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）如图1.1所示，给出了信号采样原理图

图1.1 信号采样原理图

由图1可见，)()()(t t f t f s T s δ⋅=，其中，冲激采样信号)(t s T δ的表达式为：∑∞

-∞

=-=

n s

T nT t t s )()(δδ

其傅立叶变换为∑∞-∞

=-n s s n )(ωωδω，其中

s

s T π

ω2=

设)(ωj F ，)(ωj F s 分别为)(t f ，)(t f s

的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得

∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=-=

-=n s

s n s s s n j F T n j F j F )]([1

)(*)(21)(ω

ωωωδωωπω

若设)(t f 是带限信号，带宽为m ω， )(t f 经过采样后的频谱)(ωj F s 就是将)(ωj F 在频率轴上搬移至 ,,,,,02ns s s ωωω±±±处（幅度为原频谱的s T 1倍）。因此，当

m

s

ωω2≥时，频谱不发生混叠；而当m

s

ωω2<时，频谱发生混叠。

一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列)(t T δ的幅值调制器，即理想采样器的输出信号)(*t e ，是连续输入信号)(t e 调制在载波)(t T δ上的结果，如图2所示。

图1.2 信号的采样

用数学表达式描述上述调制过程，则有)()()(*t t e t e T δ=理想单位脉冲序列)(t T δ可以表示为∑∞

=-=0)()(n T nT t t δδ

其中)(nT t -δ是出现在时刻nT t =，强度为1的单位脉冲。由于 的数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设

00

)(<∀=t t e

所以)(*

t e 又可表示为 *0

()()()

n e t e nT t nT δ∞

==

-∑

1.3 信号重构

)

(t e )

(t e

设信号)(t f 被采样后形成的采样信号为)(t f s

，信号的重构是指由)(t f s

经过

插处理后，恢复出原来信号)(t f 的过程,又称为信号恢复。

若设)(t f 是带限信号，带宽为m ω，经采样后的频谱为)(ωj F s 。设采样频率

m

s

ωω2≥，则由式（9）知)(ωj F s

是以s

ω为周期的谱线。现选取一个频率特性

⎪⎩⎪⎨

⎧><=c

c

s

T j H ω

ωωωω0

)(（其中截止频率c ω满足2

s

c m ω

ωω≤

≤）

的理想低通滤波器与)(ωj F s 相乘，得到的频谱即为原信号的频谱)(ωj F 。

)()()(ωωωj H j F j F s =与之对应的时域表达式为 )(*)()(t f t h t f s =

而 ∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=-=-=n s s n s s nT t nT f nT t t f t f )()()()()(δδ

)()]([)(1t Sa T j H F t h c

c

s

ωπω

ω==-

将)(t h 及)(t f s 代入得

∑∞

-∞

=-==n s

c

s

c

s

c

c

s

s

nT t Sa nT f T t Sa T t f t f )]([)()(*)()(ωπ

ω

ωπω 此式即为用)(s nT f 求解)(t f 的表达式，是利用MATLAB 实现信号重构的基本关系式，抽样函数)(t Sa c ω在此起着内插函数的作用。

例：设t

t

t Sa t f sin )()(==，其)(ωj F 为：

⎪⎩⎪⎨

⎧><=101

)(ωωπωj F

即)(t f 的带宽为1=m ω，为了由)(t f 的采样信号)(t f s 不失真地重构)(t f ，由时域采样定理知采样间隔

πω

π

=<

m

s T ，取π7.0=s

T （过采样） 利用MATLAB 的抽样函数

t t t Sinc ππ)sin()(=

来表示)(t Sa ，有)/()(πt Sinc t Sa =。据此可知：

∑∞-∞

=-==n s c

s

c s c c s s nT t Sinc nT f T t Sa T t f t f )]([)()(*)()(π

ωπ

ωωπω 通过以上分析，得到如下的时域采样定理：一个带宽为wm 的带限信号f(t)，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Ts<π/wm, 该取样间隔又称为奈奎斯特间隔。