高考数学-立体几何知识点与例题讲解-题型方法

立体几何知识点例题讲解

一、知识点 <一>常用结论

1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交

点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）

转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化

为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.

7.夹角公式 ：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉

=

.

8．异面直线所成角：cos |cos ,|a b θ=r r

=||||||

a b a b ⋅=

⋅r r

r r （其中θ（090θ<≤o o

）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b

,的方向向量）

9.直线AB 与平面所成角：sin ||||

AB m

arc AB m β⋅=u u u r u r

u u u r u r (m u r 为平面α的法向量). 10、空间四点A 、B 、C 、P 共面OC z OB y OA x OP ++=⇔，且 x + y + z = 1 11.二面角l αβ--的平面角

cos ||||m n arc m n θ⋅=u r r u r r 或cos ||||

m n

arc m n π⋅-u r r

u r r （m u r ，n r 为平面α，β的法向量）. 12.三余弦定理：设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.

13.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则

,A B d =||AB AB AB =⋅u u u r u u u r u u u r

222212121()()()x x y y z z =-+-+-.

14.异面直线间的距离： ||

||

CD n d n ⋅=u u u r u u r

r (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n r ，

C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).

15.点B 到平面α的距离：||

||

AB n d n ⋅=u u u r u u r

r （n r 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）.

16.三个向量和的平方公式：2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅r r r r r r r r r r r r

2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅r r r r r r r r r r r r r r r 17. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为

123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有

2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

18. 面积射影定理 '

cos S S θ

=

.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，

它们所在平面所成锐二面角的θ).

19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长

方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体

的组合体: 棱长为a 的正四面体的内切球的半径为6

a ,外接球的半径为

6

a . 20. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法） 21. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 〈二〉温馨提示：

1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你

是否注意到它们各自的取值范围及义？

① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次

.

② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是

．

③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．

〈三〉解题思路：

1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面

判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面

←→−←→−−→−−←→−←→−←−

−−←→−←→−

线面平行的判定： a b b a a ∥，面，∥面⊂⊄⇒ααα a

b

α

线面平行的性质：

αααβαβ∥面，面，∥⊂=⇒I b a b

三垂线定理（及逆定理）：

P A A O P O ⊥面，为在内射影，面，则αααa ⊂

a OA a PO a PO a AO

⊥⊥；⊥⊥⇒⇒

α

a

P

O

线面垂直：

a b a c b c b c O a ⊥，⊥，，，⊥⊂=⇒αα

I a

O α b c

面面垂直：

a a ⊥面，面⊥αββα

⊂⇒ 面⊥面，，，⊥⊥αβαβαβ

I =⊂⇒l l aaa

α a

l

β

a b a b ⊥面，⊥面∥αα⇒

面⊥，面⊥∥αβαβ

a a ⇒ a b

α