高一物理竞赛讲义第5讲.教师版

截止到目前，我们已经把运动学的主要框架知识都学习完了，但是从学完知识到灵活运用，还有很远的一段路程。大家应该重点从公式和物理量的推导，方法，模型的总结几个方面去反复复习。

运动学思想方法总结：

1．坐标系方法：坐标系是定量研究世界的一个非常重要的工具，利用坐标系可以很容易的定义物理量（比如，位置，位移，轨迹，速度，加速度等等），分析物理量之间的关系（最大，最小，曲率半径等等）． 坐标系方法除了我们学习过的正交分解和斜分解，还有以后会学习到的极坐标等等．要注意根据不同的例题采用不同的方法．

【例1】 如图()a 所示，冰球沿与冰山底边成60β=︒的方向滚上山，上山初速度010m/s v =，它在冰

山上痕迹已部分消失，尚存痕迹如图()b 所示，求冰山与水平面的夹角α（冰球在冰山上加速度为gsin α，方向沿着斜面向下，其中g 为重力加速度，近似取10m/s 2）。

【解析】 冰球在与冰山底边平行方向做匀速直线运动，

0cos x v t β=⋅

① 冰球在与冰山底边垂直方向做匀加速直线运动

21

sin 2

y g t θ=⋅

② 由①②得2

2

20sin 2cos g x y v θβ

=⋅． 代入数据得1

arcsin 302

θ==︒．

【例2】 如图所示，已知在倾角为θ的斜面上，以初速度0v 及与斜面成θ角的方向发射一小球，斜

面与小球发生完全弹性碰撞，即小球的速度会被“镜面反射”．问： ⑴ 小球恰能到原始出发点，问总时间t 总为多少？

例题精讲

知识点睛

温馨寄语

第5讲 运动学综合

⑵ 为了实现这个过程，θ必须满足什么条件？

【解析】 小球若能回到出发点要求整个过程可逆，即在最右端可能有①②两种情况．

①为最后一次与斜面碰撞角度为90︒． ②即在碰后小球进入竖直直线运动． 无论哪种情况，时间都满足：

⑴ 02cos sin v t g θ

θ

=总

⑵ 只看垂直斜面速度00

2sin cos 2sin 212cos v n g t v n g θθθθ⎧⎪⎪

=⎨+⎪⋅⎪⎩总，1234n =，，，……

所以有22cos 21sin 2

n

n θθ⎧⎪

=⎨+⎪

⎩ 时都可以满足．

【例3】 （摆线）一轮胎在水平地面上沿着一直线无滑动地滚动。(这种情况下，轮胎边缘一点相对

于轮胎中心的线速度等于轮胎中心对地的速率)，轮胎中心以恒定的速率0v 向前移动，轮胎

的半径为R ，在0t =时，轮胎边缘上的一点A 正好和地面上的O 点接触，试以O 为坐标原点，在如图的直角坐标系中写出轮胎上A 点的位矢、速度、加速度和时间的函数关系。并写出A 的轨迹方程（可以用参数方程描述，也就是说，可以引入一个新的自变量，x 和y 都随着这个自变量的变化而变化。最常见的参数方程，就是以时间t 为参数的。）

【解析】)sin(

00R

t v R t v x -= )cos(0R

t

v R R y -=

【选讲内容】

白努力家族大斗法：

白努力家族（Bernoulli 家族）总共出过八个伟大的数学、物理、天文等等大师，还有很多画家、艺术家……

白努力兄弟想比较一下谁更聪明。于是就相约解决最速降线问题。

在当时比较牛逼的杂志上公开征集答案，他们各自提出了证明，杂志的主编，莱布尼茨也提出了证明，还有一个陌生人发来了一个有英国邮戳的证明…………肯定是牛顿…… 最后所有的证明中，Johann 的证明是最简洁明了了。如下：

A

A 'O

x

y

0v

Johann Bernoulli's solution约翰白努力的证明

According to Fermat’s principle: The actual path between two points taken by a beam of light is the one which is traversed in the least time.Johann Bernoulli used this principle to derive the brachistochrone curve by considering the trajectory of a beam of light in a medium where the speed of light increases following a constant vertical acceleration (that of gravity g).[2]

The conservation law can be used to express the speed of a body in a constant gravitational field as:

,

where y represents the vertical distance the body has fallen. By conservation of energy the speed of motion of the body along an arbitrary curve does not depend on the horizontal displacement.

Johann Bernoulli noted that the law of refraction gives a constant of the motion for a beam of light in a medium of variable density:

,

where v m is the constant and represents the angle of the trajectory with respect to the vertical.

The equations above allow us to draw two conclusions:

1. At the onset, when the particle speed is nil, the angle must be nil. Hence, the

brachistochrone curve is tangent to the vertical at the origin.

2. The speed reaches a maximum value when the trajectory becomes horizontal and the angle

θ = 90°.

To keep things simple we can assume that the particle (or the beam) with coordinates (x,y) departs from the point (0,0) and reaches maximum speed after a falling a vertical distance D. So,

.

Rearranging terms in the law of refraction and squaring gives:

which can be solved for dx in terms of dy:

.

Substituting from the expressions for v and v m above gives: