人教A版必修三 几何概型 学案
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3.3 几何概型
3.3.1几何概型
[目标] 1.了解几何概型与古典概型的区别;2.理解几何概型的定义及其特点;3.会用几何概型的概率计算公式求简单的几何概型的概率.
[重点] 几何概型的特点及概念的理解.
[难点] 应用几何概型的概率公式求概率.
知识点一几何概型的概念
[填一填]
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.
几何概型的特点如下:
(1)无限性,即在一次试验中,基本事件的个数是无限的;
(2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性是均等的.
[答一答]
1.古典概型和几何概型有何异同点?
提示:相同点:古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的.
不同点:古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个;几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的,而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关.2.下面两个事件是几何概型吗?
(1)一个人骑车到路口,恰好红灯;
(2)一个人种一颗花生,发芽.
提示:(1)满足无限性和等可能性,是几何概型;(2)种一颗花生所有可能出现的结果只
有两种,发芽和不发芽,不满足无限性,发芽与不发芽的概率不相等,不满足等可能性,故不是几何概型.
知识点二几何概型的概率公式
[填一填]
在几何概型中,事件A的概率计算公式为P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)
.
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
[答一答]
3.几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关系吗?
提示:几何概型的概率只与构成事件的区域的长度(面积或体积)有关,而与构成事件的区域形状无关.
4.概率为0的事件是否一定是不可能事件?
概率为1的事件是否一定会发生?
提示:在几何概型中,若事件A的概率P(A)=0,则A不一定是不可能事件,如:事件A对应数轴上的一个点,则其长度为0,该点出现的概率为0,但A并不是不可能事件;同样地,若事件A的概率P(A)=1,则A也不一定是必然事件.
类型一几何概型的判断
[例1]判断下列概率模型,为几何概型的是________.
①在区间[-10,10]内任取一个数,求取到1的概率;
②在区间[-10,10]内任取一个数,求取到绝对值不大于1的数的概率;
③在区间[-10,10]内任取一个整数,求取到大于1而小于2的数的概率;
④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P,求点P离中心不超过1 cm的概率.
[解析]①中概率模型是几何概型,因为区间[-10,10]有无限多个点,且区间内每个数被取到的机会相等;②中概率模型是几何概型,因为区间[-10,10]和[-1,1]上有无限多个数可
取(满足无限性),且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性);③中概率模型不是几何概型,因为在区间[-10,10]内的整数只有21个(是有限的),不满足无限性特征;
④中概率模型是几何概型,因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数个点,且这两个区域内的任何一个点被投到的可能性相等,故满足无限性和等可能性.[答案]①②④
判断一个概率模型是否为几何概型,通常只需要考虑所给的试验中基本事件的个数是否是无限的即可,这与古典概型的考查点不一样,同时要注意,基本事件的“等可能性”的判断也是不能忽视的.
[变式训练1]判断下列试验是否为几何概型,并说明理由.
(1)明天某个市区降水的概率;
(2)设A为圆周上一定点,在圆周上等可能地任取一点与之连接,求弦长超过半径的概率.
解:(1)不是几何概型,因为其不具有等可能性;
(2)是几何概型,因为其具有无限性与等可能性,符合几何概型的特征.
类型二几何概型的概率计算
命题视角1:“长度型”几何概型
[例2](1)在区间[-2,4]上随机地取一个数x,若x满足|x|≤m的概率为5
6,则m=
________.
(2)公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过,乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的,求乘客候车时间不超过6分钟的概率.
[分析]乘客在0~10分钟之间的每一时刻到达,都是一个基本事件,基本事件有无穷多个,而每一个基本事件的发生都是等可能的,符合几何概型的条件.
[解析](1)由几何概型知:5
6=
m-(-2)
6⇒m=3.
(2)解:乘客在0~10分钟之间的任何一个时刻到达车站是等可能的,因此本题属于几何概型.设事件A为“乘客候车时间不超过6分钟”,汽车每隔10分钟一趟,若事件A发生,
则乘客必须在[4,10]时间段内到达汽车站,所以P(A)
=10-4
10=
3
5.
[答案](1)3(2)见解析
解答此类问题的关键是将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度,进而求解.此处的“长度”可以是线段的长短,也可以是时间的长短等.
[变式训练2]在区间[-π,π]上随机选取一个实数x,则事件“sin x≥
1
2”发生的概率为1
3.
解析:解三角不等式sin x≥
1
2在区间[-π,π]的解集为:[
π
6,
5π
6],设“在区间[-π,π]上随机选取一个实数x,则事件‘sin x≥
1
2’”事件为A,则此事件为几何概型中的线段型,则P(A)=
5π
6-
π
6
π-(-π)
=
1
3.
命题视角2:“角度型”几何概型
[例3]如图所示,在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M.求AM [解]在AB上取AC′=AC, 则∠ACC′= 180°-45° 2=67.5°. 设A={在∠ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,AM 则所有可能结果的区域角度为90°,事件A的区域角度为67.5°,∴P(A)= 67.5 90= 3 4.