【人教版】数学必修三《几何概型》课后练习(含答案)
高中数学必修三3.3.1几何概型习题新人教A版必修3
A′，连接 AA′，它是一条弦，
1
31 1
A. B. C. D.
2
23 4答案： C3．已知事件“在矩形 ABCD的边 CD上随机取一点
1 AD
为 2，则 AB＝ (
)
P，使△ APB的最大边是
AB”发生的概率
1 13
7
A. B. C. D.
2 42
4
答案： D
几何概型
1．如图所示，在一个边长分别为
A 组 基础巩固 a， b( a>b>0) 的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分
aa 别为 3， 2，且高为 b. 现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是
()
7
5
A. 10 B. 7
55 C. D.
12 8
答案： C
2. 如图， A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点
所以
P( A) ＝
r ， a] 的长度 [0 ， a] 的长度
＝
a－ a
r
.
10．在长度为 10 cm 的线段 AD上任取两点 B， C在 B， C处折此线段而得一折线，求此折线
能构成三角形的概率．
解：设 AB， AC的长度分别为 x， y，由于 B， C在线段 AD上，因而应有 0≤ x，y≤10，
1 所以 GS∥ CD， GS＝ 2CD.
又 AB∥ CD， AB＝ CD，
1 所以 GS∥ AB，且 GS＝ 2AB，
又 M为 AB中点，所以 GS＝ AM， 所以四边形 AGSM为平行四边形． 所以 AG∥ MS， 又 MS? 平面 FMC， AG?平面 FMC， 所以 AG∥平面 FMC， 即 GP∥平面 FMC.
最新人教版高中数学必修3第三章《几何概型》课后训练1
3．3.1 几何概型练习1．面积为S 的△ABC ，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为( )A ．13B ．12C ．14D ．162．某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．453．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长度都不小于2 m 的概率是( )A ．12B ．15C ．13D ．不能确定4．(2011·北京东城二模，文3)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32 5．在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，则事件“0≤sin x ≤1”发生的概率为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．236．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为__________．7．如图所示，圆盘中阴影部分扇形的圆心角为60°，若向圆盘内投镖，如果某人每次都能随机投入圆盘中，那么他投中阴影部分的概率为______．8．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，倍的概率为__________．9．在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏石油，假设在这个海域里随意选定一点钻探，则钻到油层面的概率是多少？10．已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥MABCD 的体积小于16的概率．参考答案1. 答案：B 向△ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD 内为事件M ，则P (M )＝ABD ABC -△的面积△的面积＝12. 2. 答案：C 把汽车到站的间隔时间分为[0,5]上的实数，其中乘客候车时间不超过3分钟时应在[0,3]内取值，所以发生的概率为35. 3．答案：B 如图所示，拉直后的绳子看成线段AB ，且C ，D 是线段AB 上的点，AC ＝2 m ，BD ＝2 m ，由于剪断绳子的位置是等可能的且有无限个位置，属于几何概型．设剪得两段的长度都不小于2 m 为事件E ，设M 是事件E 的一个剪断点，则M ∈CD ，则事件E 构成线段CD ，则P (E )＝CD AB ＝5225--＝15. 4. 答案：C 矩形的面积S ＝6×4＝24，设椭圆的面积为S 1，在矩形内随机地撒黄豆，黄豆落在椭圆内为事件A ，则P (A )＝1S S ＝124S ＝30096300-，解得S 1＝16.32. 5. 答案：C 由于x ∈ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，若0≤sin x ≤1, 则0≤x ≤π2，设“0≤sin x ≤1”为事件A ， 则P (A )＝π02ππ()22---＝π2π＝12. 6. 答案：0.005 大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005. 7. 答案：16 设圆盘的半径为r ，投中阴影部分为事件A ，阴影部分面积为S ′＝260π360r ＝21π6r ， 故P (A )＝221π6πr r ＝16. 8. 答案：12如图，圆O 上一定点A ，过圆心O 作与OA 垂直的直径BC ，则|AB |＝|AC |.要使圆周上点与点A 所连弦长超过半径r则所取动点范围在上 ，故BDCO的长度圆的周长＝π2πrr＝12.9.分析：石油在1万平方千米的海域大陆架中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作事件的区域面积，由几何概型公式可求得概率．解：记事件C＝{钻到油层面}，在这1万平方千米的海域中任意一点钻探的结果有无限个，故属于几何概型．事件C构成的区域面积是40平方千米，全部试验结果构成的区域面积是1万平方千米，则P(C)＝贮藏石油的大陆架面积所有海域大陆的面积＝4010000＝0.004.10分析：由题目可获取以下主要信息：①正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M为其内一点；②求四棱锥M－ABCD的体积小于16的概率．解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．解：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，设M－ABCD的高为h，则13×S四边形ABCD×h＜16，又S四边形ABCD＝1，则h＜12，即点M在正方体的下半部分．故所求概率P＝12VV正方体正方体＝12.。
高中人教A版数学必修3学案：3.3.1-几何概型-3.3.2-均匀随机数的产生-【含答案】
3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生学习目标核心素养1．通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义．(重点)2．会求一些简单的几何概型的概率．(重点、难点)3．会用随机模拟的方法近似计算事件的概率．(重点)1.通过求简单几何概型的概率，培养数学运算素养．2．借助与面积、体积等有关的几何概型问题，培养直观想象素养.1．几何概型的概念(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)几何概型的特点①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．②每个基本事件出现的可能性相等．2．几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)3．均匀随机数(1)均匀随机数的概念在随机试验中，如果可能出现的结果有无限多个，并且这些结果都是等可能发生的，我们就称每一个结果为试验中全部结果所构成的区域上的均匀随机数．(2)均匀随机数的产生①计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数．②Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”．(3)用模拟的方法近似计算某事件概率的方法①试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．②计算机模拟的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟(注意操作步骤)．(4)[a，b]上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝x1*(b-a)+a就可以得到[a，b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能出现的．1．下列概率模型中，几何概型的个数为()①从区间[－10,10]上任取一个数，求取到的数在[0,1]内的概率；②从区间[－10,10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10,10]上任取一个整数，求取到大于1而小于3的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm的概率．A．1 B．2C．3 D．4C[①②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]上有无数个数，且每个数被取到的机会相等；③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个，是有限的；④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形内有无数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同．]2．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()A.45 B.35C.25 D.15B[区间[－2,3]的区间长度为5，在上面随机取一数X，使X≤1，即－2≤X≤1.其区间长度为3，所以概率为35.] 3.每年新春佳节时，我国许多地区的人们有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．如图是一张“春到福来”的剪纸窗花，为了估计深色部分的面积，将窗花图案放置在边长为20 cm 的正方形内，在该正方形内随机生成1 000个点，恰有535个点落在深色区域内，则此窗花图案中深色区域的面积约为( )A ．168 cm 2B ．214 cm 2C ．248 cm 2D ．336 cm 2B [正方形的面积S ＝20×20＝400 cm 2，则由题意知对应深色区域面积S 满足S 400＝5351 000，得S ＝214 cm 2，故选B.]4．如图AB 是圆O 的直径，OC ⊥AB ，假设你在图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．1π [设圆的半径为R ，则圆的面积为S ＝πR 2，阴影的面积S 阴＝12·2R ·R ＝R 2，故所求概率P ＝S 阴S ＝R 2πR 2＝1π.]与长度、角度有关的几何概型[探究问题]1．几何概型与古典概型的区别是什么？[提示] 几何概型的试验结果是无限的，古典概型的试验结果是有限的．2．解决几何概型问题概率的关键是什么？[提示] 确定所求概率与区域长度、角度、面积、体积中的哪一个有关．3．“P (A )＝0⇔A 是不可能事件”，“P (A )＝1⇔A 是必然事件”，这两种说法是否成立？[提示] (1)无论是古典概型还是几何概型，若A 是不可能事件，则P (A )＝0肯定成立；若A 是必然事件，则P (A )＝1肯定成立．(2)在古典概型中，若事件A 的概率P (A )＝0，则A 为不可能事件；若事件A 的概率P (A )＝1，则A 为必然事件．(3)在几何概型中，若事件A 的概率P (A )＝0，则A 不一定是不可能事件，如：事件A 对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A 并不是不可能事件；同样地，若事件A 的概率P (A )＝1，则A 也不一定是必然事件．【例1】 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率．思路点拨：本例是与哪种区域有关的几何概型问题？[解] 点M 随机地落在线段AB 上，故线段AB 的长度为试验的全部结果所构成的区域长度．在AB 上截取AC ′＝AC ，当点M 位于图中的线段AC ′上(不包括点C ′)时，AM <AC ，故线段AC ′即为构成事件A 的区域长度．于是P (AM <AC )＝P (AM <AC ′)＝AC ′AB ＝AC AB ＝22.即AM 小于AC 的概率为22.1．(变条件)在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与直线AB 交于点M ，求AM 小于AC 的概率．[解] 由题意，应看成射线CM 在∠ACB 内是等可能分布的，在AB 上截取AC ′＝AC (如图)，则∠ACC ′＝67.5°，故满足条件的概率为67.590＝34.2．(变结论)本例条件不变．(1)若求AM不大于AC的概率，结果有无变化？(2)求AM大于AC的概率．[解](1)结果不变．几何概型中，一点在线段上的长度视为0，包含与不包含一点，不改变概率的结果．(2)如图，点M随机地落在线段AB上，故线段AB的长度为试验的全部结果所构成的区域长度，在AB上截取AC′＝AC，当点M位于线段C′B上时，AM>AC，故线段C′B即为构成事件的区域长度．∴P(AM>AC)＝P(AM>AC′)＝C′BAB＝1－22.求解与长度有关的几何概型的关键点在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事件A的概率.与面积、体积有关的几何概型图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3(2)在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π思路点拨：(1)根据几何图形特征．分别计算区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积应用面积型几何概型定义判断．(2)所求概率涉及到体积问题应用与体积有关的几何概型公式求解．(1)A (2)D [(1)法一：设直角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12bc ，区域Ⅱ的面积S 2＝12π×⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋12π×⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222－12bc ＝18π(c 2＋b 2－a 2)＋12bc ＝12bc ，所以S 1＝S 2，由几何概型的知识知p 1＝p 2，故选A.法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×(2)22－2＝π－2，区域Ⅱ的面积S 2＝π×12－(π－2)＝2.根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A. (2)由题意可知这是一个几何概型问题，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.]解与面积(体积)相关的几何概型问题的三个关键点(1)根据题意确认是否是与面积(体积)有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积(体积)；(3)套用公式，从而求得随机事件的概率.[跟进训练]1.(1)七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．(清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.516B.1132C.716D.1332(2)《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”其中“解”字的意思是用一个平面对某几何体进行切割．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，随机在线段AC 1上取一点，过该点作垂直于AC 1的平面α，则平面α“解”正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的大、小两部分体积之比大于5的概率为( )A.16B.13C.12D.23 (1)C (2)D [(1)设正方形边长为a ，则其面积S ＝a 2，阴影部分面积S ′＝12a ·a 2＋a 2·a 4＋12·a 2·a 4＝a 24＋a 28＋a 216＝7a 216，∴所求概率p ＝S ′S ＝716.(2)如图所示，由正方体的性质可知，AC 1垂直于平面A 1BD 和平面CB 1D 1，设P 和Q 分别是平面A 1BD 和平面CB 1D 1与线段AC 1的交点．∵VA 1-ABD ＝VC -C 1B 1D 1＝16VABCD -A 1B 1C 1D 1，当平面α取平面A 1BD 或平面CB 1D 1时，切割得到的大、小两部分体积之比恰好为5，要满足条件，应在线段AP 或QC 1上取点，而AP ＝PQ ＝QC 1，所以所求的概率为AP ＋QC 1AC 1＝23.]均匀随机数与随机模拟方法【例3】 利用随机模拟方法计算由y ＝1和y ＝x 2所围成的图形的面积．[解] 以直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0，y ＝1为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a 1＝RAND ，b ＝RAND ；(2)进行平移和伸缩变换，a ＝2(a 1－0.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数N 1，用几何概型公式计算阴影部分的面积． 例如做1 000次试验，即N ＝1 000，模拟得到N 1＝698，所以P ＝N 1N ＝阴影面积矩形面积＝6981 000，即阴影面积S＝矩形面积×6981 000＝2×6981 000＝1.396.用随机模拟方法估计几何概型的步骤①确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组；②由基本事件空间对应的区域确定产生随机数的范围；③由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式；④统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A 的概率.[跟进训练]2．现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．[解](1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1，b1(共N 组)；(2)经过平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2(b1－0.5)；(3)数出满足不等式b<2a－43，即6a－3b>4的数组数N1.所求概率P≈N1N.可以发现，试验次数越多，概率P越接近25 144.1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型的基本事件有无数多个．()(2)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．()(3)随机数只能用计算器或计算机产生．()(4)x是[0,1]上的均匀随机数，则利用变量代换y＝(b－a)x＋a可得[a，b]上的均匀随机数．() [答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A.110 B.19C.111 D.18A[试验所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1min，故P(A)＝1 10.]3.如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是()- 11 - A.136 B.19 C.16 D.29D [因为大正方形的面积为6×6＝36，而小正方的面积为1×1＝1，大正方形内部有8个小正方形，故在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是8×136＝29.]4．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率．[解] 如图所示，点M 落在线段AB 上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个．设事件A 为“所作正方形面积介于36 cm 2与81 cm 2之间”，它等价于“所作正方形边长介于6 cm 与9 cm 之间”．取AC ＝6 cm ，CD ＝3 cm ，则当M 点落在线段CD 上时，事件A 发生，所以P (A )＝|CD ||AB |＝312＝14.。
最新人教版高中数学必修3第三章《几何概型》课后导练
课后导练基础达标1.小明往下面的靶子上投石子，最容易投中黑色区的是（ ）答案：B2.一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，最终停在条形方砖上的概率是（ ）A.81 B.97 C.92 D.167 解析：小狗在方砖上走来走去可理解为随机，且停在每块小方砖上是等可能的， 所以μΩ=9,μA =2, ∴P=92. 答案：C3.如图，假设你在圆上随机撒一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率为（ ）A.π21 B.π1 C.π2 D.π3 解：设圆的半径为1，则S 圆=π,S 阴影=21×1×1=21，∴P=π21=圆阴影S S . 答案：A4.在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标不小于2的概率是（ ） A.31 B.21 C.32 D.97 答案：A5.取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是（ ） A.21 B.31 C.41D.不确定 解析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点，其基本事件有无限多个，显然不能用古典概型计算，可考虑运用几何概型计算.如图，记剪得两段绳长都不小于1 m 为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31，所以事件A 发生的概率P （A ）=31.（本题在后面还有其他解法） 答案：B6.已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ） A.101 B.91 C.111 D.81解析：准确找出“两长度”，套用相应公式；试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P （A ）=110. 答案：A7.在区间［-1，1］上随机地任取两个数x 、y ，则满足x 2+y 2＜41的概率是（ ） A.16π B.8π C.4π D.2π 解：由条件知：-1≤x≤1,-1≤y≤1,∴点（x ，y)落在边长为2的正方形内部及边界上，即Ω={（x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},∴μΩ=4. 记事件A={(x,y)|x 2+y 2＜41}，则μa =4π,∴P(A)=16πμμ=ΩA . 答案：A8.如下图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是___________.解析：“随机”才具有“等可能性”，属于几何概型；由几何概型的计算公式得P=94=大正方形的面积小正方形的面积.答案：94 9.设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间［0，1］上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间［1，3］上的数字，旋转它，当它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于［23,21］上的概率等于____________.解析：由题意，设事件A=“陀螺停止时，其圆周上触及桌面的刻度位于［23,21］”，它是几何概型，P （A ）=83]3,1[]23,1[21]1,0[]1,21[21=∙+∙. 答案：83 10.如下图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.解析：记F ＝{作射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°}，作射线OD 、OE 使∠AOD=30°，∠AOE=60°.当OC 在∠DOE 内时，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则P(F)=319030=. 综合运用11.如右图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线落在∠xOT 内的概率是____________.解析：根据射线OA 的任意性找出试验的全部结果构成的区域长度；记事件A 为“射线OA 落在∠xOT 内”，因为∠xOT=60°，周角为360°，故P （A ）=6136060=︒︒. 答案：61 12.如图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为21的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为___________.解析：几何概型问题的概率与形状、位置无关，本题只与面积有关；S 正=41)21(2=，S 半圆=21212ππ=⨯,由几何概型的计算公式得P=ππ21241==半圆正S S . 答案：π2113.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭.假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 解析：在该试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.如图所示，记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为41×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.即射中黄心的概率是0.01.拓展探究14.在区间［0，1］上任取三个实数x,y,z ，事件A={(x,y,z)|x 2+y 2+z 2＜1}. （1）构造出此随机事件对应的几何图形； （2）利用该图形求事件A 的概率. 解析：（1）如图所示，构造单位正方体为事件空间Ω，以O 为球心，以1为半径在第一卦限的81球即为事件A.（2）P （A ）=611348133ππ=⨯⨯⨯.。
高中数学人教A版必修三习题：第三章3.3几何概型含答案
第三章3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生-----------------高效演练知能提升------------------A级基础巩固一、选择题1.下列关于几何概型的说法中，错误的是（）A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B.几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析：几何概型和古典概型是两种不同的概率模型.答案：A2-有下列四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A B C D解析：A中奖概率为B中奖概率为C中奖概率为?，D中奖概率对.答案：A3.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜F观察，则发现大肠杆菌的概率为（）A.0.008B.0.004C.0.002D.0.005答案：D4-在2016年春节期间,3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班,在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（）A.±B i C-J-D旦土10%U1110解析：记“乘客到达站台立即乘上车”为事件扇则/所占时间区域长度为1分钟，而整个区域的时间长度为10分钟，故由几何概型的概率公式，得PC4）=佥.答案:A5.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为（）北北刀g氏诟B.石C.J D.万解析：该点到此三角形的直角顶点的距离小于1,则此点落在以宜角顶点为圆心、1为半径的i圆内.所以所求的概率一=喜5x2x2答案：B二、填空题6.在正方体ABCAJ&5内随机抽取一点，则该点在三棱锥A-ABC内的概率是y VA.-ABC_1解"VABCIbA^CJk~^答案:*7.某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率璟，那么该台每小时约有分钟的广告.解析：60乂（1一制=6（分钟）.答案：68.有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是.解析；从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.MHl・—3一4如上图，记“乾得两段的长都不小于1m w为事件4把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件/发生.由于中间一段的长度等于绳长的§于是事件/发生的概率心=§答案：:三、解答题9.-海豚在水池中自由游弋，水池为长30m、宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.解：如下图所示，四边形球是长30m、宽20m的长方形.图中的阴影部分表示事件为“海豚嘴尖离岸边不超过2 m.问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率.因为S长方形g=30X20=600(m)Ss…。
第三节《几何概型》课后练习-高中数学必修三第三章
高中数学-必修三-第三章概率-第三节几何概型-课后练习单选题（选择一个正确的选项）1 、已知正棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得的概率是（）A、B、C、D、2 、一个游戏转盘上有四种颜色:红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6：2：1：4，则指针停在红色或蓝色区域的概率为（）A、B、C、D、3 、已知实数满足，则方程有实数解的概率为（）A、B、C、D、4 、设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A、B、C、D、5、已知Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，A是曲线围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A、B、C、D、6 、在棱长为1的正方体内任取一点P,则点P到点A的距离不大于1的概率为( )A、B、C、D、7、如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A、B、C、D、8 、在区间[0,6]上随机取一个数,的值介于0到2之间的概率为（）A、B、C、D、9 、假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:00~7:00之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上6:30~7:30之间,则你父亲在离开家前能得到报纸的概率是( ) A、B、C、D、10 、某人向一个半径为的圆形标靶射击,假设他每次射击必定会中靶,且射中靶内各点是随机的,则此人射击中靶点与靶心的距离小于的概率为( )A、B、C、D、11 、在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB 的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A、B、C、D、12 、设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A、B、C、D、13、甲、乙两人约定下午两点到三点之间在某地会面，先到的人等另外一个人20分钟方可离开，若他们在限时内到达目的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为（）A、B、C、D、14、在区间[0，10]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0，10]的概率为（）A、B、C、D、15 、甲、乙两人相约在某地见面，没有安排确定的时间，但都要在晚上7点到8点之间到达，先到的人等待10分钟，若没有见到另一人则离开，那么他们能见面的概率是（）A、B、C、D、16 、一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A、B、C、D、17 、如右图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆为96颗,以此实验数据位依据可以估计出椭圆的面积约为( )A、7.68B、8.68C、16.32D、17.3218 、已知直线和与坐标轴围成一个矩形，现向该矩形内随机投一点（该点落在矩形内任何一点是等可能的），则所投的点恰好落在曲线与轴围成的区域内的概率为（）A、B、C、D、19 、利用计算机在区间上产生两个随机数和,则方程有实根的概率为( )A、B、C、D、20、已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）A、B、C、D、参考答案单选题答案1. B2. B3. B4. D5. D6. D7. C8. C9. D10. B11. C12. D13. B14. B15. B16. B17. C18. D19. B20. B点击查看更多试题详细解析：/index/list/1/58#list。
人教版高中数学-必修三训练 3.3.1几何概型
3.3.1 几何概型课时达标训练一、基础过关1．在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数满足17<a <20的概率是( )A.13B.12C.310D.510答案 C解析 a ∈(15,25]，∴P (17<a <20)＝20－1725－15＝310.2．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( )A.925B.1625C.310D.15答案 D解析 以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间．∴所求概率P (A )＝210＝15.3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )A.112B.38C.116D.56答案 C解析 由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2D.π4答案 A解析 由题意得无信号的区域面积为2×1－2×14π×12＝2－π2，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P ＝2－π22＝1－π4.5．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是________． 答案127解析 记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A ，则它位于与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10的区域飞行时是安全的，故P (A )＝103303＝127.6．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －(－2)6＝56，解得m ＝3.即m 的值为3.7．在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率． 解如图所示，把圆弧AB三等分，则∠AOF＝∠BOE＝30°，记A为“在扇形AOB内作一射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC就落在∠EOF内，∴P(A)＝30°90°＝13.二、能力提升8．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y2<1”，则P(A)等于() A.π4 B.π2C．πD．2π答案 A解析如图，集合S＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，则S中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A所对应的事件(x，y)与圆面x2＋y2<1内的点一一对应，∴P(A)＝π4.9．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为()答案 A解析A中P1＝38，B中P2＝26＝13，C中设正方形边长为2，则P3＝4－π×124＝4－π4，D中设圆直径为2，则P4＝12×2×1π＝1π.在P1，P2，P3，P4中，P1最大．10．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________． 答案334π解析设圆面半径为R ，如图所示△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC ＝3·12AC ·OD ＝3·CD ·OD＝3·R sin 60°·R cos 60°＝33R 24，∴P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π.11．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率． 解以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示的平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得：P (A )＝S A S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716.所以，两人能会面的概率是716. 三、探究与拓展12．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为 P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.。
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几何概型课后练习主讲教师：熊丹 北京五中数学教师题一：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm ．运动员在70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．问射中黄心的概率为多少？题二：如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A ．14B ．13C ．12D ．23题三：在体积为V 的三棱锥S -ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥P -SBC 的体积大于3V的概率是 ．题四：一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，在包围该三棱锥的外接球内任取一点，该点落在三棱锥内部的概率为 ．题五：已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB ＋PC ＋2PA ＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．23D ．12题六：在区间(0, 1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于13的概率为( )A ．1718B ．79C ．29D ．118题七：若m ∈(0, 3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________．题八：平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r <a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平等线相碰的概率是( )A ．a －r aB ．a －r 2aC ．2a －r 2aD ．a ＋r 2a题九：在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．题十：若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤xy ≥－x 2x －y －3≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．题十一：在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )．A ．14B ．13C ．427D ．415题十二：在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )．A ．14B ．12C ．34D ．23题十三：设有一个正方形网格，每个小正方形的边长为4，用直径等于1的硬币投掷到此网格上，硬币下落后与网格线没有公共点的概率为 ．题十四：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币，硬币完全落在正方形外的不计，则硬币完全落在正方形内的概率为 ．题十五：设点A 为半径是1的圆O 上一定点，在圆周上等可能地任取一点B ．求弦AB 的长超过圆半径的概率．题十六：已知AB 是圆O 的一条直径，CD 是一条动弦且与AB 垂直，假设CD 与直径AB 的交点在AB 上是等可能的，则弦CD 长大于半径的概率是 ．跳高4 1 0 25 13 2 1 04 32 1 m 6 0 n1 0 0 1 1 3（1）求m+n的值；（2）求x=4的概率及x ≥ 3且y = 5的概率．题十八：下表为某学年随机抽出的100名学生的数学及语文成绩，成绩分为1～5个档次，设x、y分别表示数学成绩和语文成绩，例如表中数学成绩为5分的共有2+6+2+0+2=12，语文成绩2分的共有0+10+18+0+2=30人．（1）求x≥3的概率及在x≥3的基础上，y=3的概率；（2）求x=2的概率及m+n的值．几何概型 课后练习参考答案题一： 0.01．详解：如图，记“射中黄心”为事件B ，由于射中靶面随机地落在面积为41×π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率P (B )=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01．题二： C ．详解：点E 为边CD 的中点，故所求的概率P ＝△ABE 的面积矩形ABCD 的面积＝12．题三：2． 详解：如图，由于三棱锥P -SBC 和三棱锥S -PBC 的体积相等，三棱锥S -PBC 与三棱锥S -ABC 等高， 故在体积为V 的三棱锥S -ABC 的棱AB 上任取一点P ，三棱锥P -SBC 的体积大于3V ，即在面积为S 的△ABC的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于等于3S 即可．记事件A ={△PBC 的面积大于3S }，基本事件空间是线段AB 的长度，（如图），因为3S S PBC>∆，则有AD BC PE BC ⋅⨯>⋅213121； 化简记得到：31>AD PE ，因为PE 平行AD 则由三角形的相似性31>AD PE ； 所以，事件A 的几何度量为线段AP 的长度， 因为AB AP 32=，所以△PBC 的面积大于3S 的概率32=AB AP ．题四：427π．详解：由题意可知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生的所有的事件对应着球的体积，满足条件的事件是对应三棱锥的体积，由三视图得到三棱锥的侧棱长度，球的直径641616=++，∴球的体积是ππ363343=⨯，满足条件的事件是对应三棱锥的体积，三棱锥的三条侧棱互相垂直，体积是3162421431=⨯⨯⨯⨯， ∴在三棱锥的外接球内任取一点，该点落在三棱锥内部的概率为ππ27436316=．题五： D ．详解：由题意可知，点P 位于BC 边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC 内为事件D ，则P (D )＝S △PBC S △ABC ＝12．题六： A ．详解：设这两个实数分别为x ，y ，则⎩⎨⎧0<x <10<y <1，满足x ＋y >13的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于 13的概率为1－12×13×13＝1718．题七： 23．详解：直线与两个坐标轴的交点分别为(3m ＋2，0)，(0，33－m)， 又当m ∈(0,3)时，3m ＋2>0，33－m>0，∴12·3m ＋2· 33－m <98，解得0<m <2，∴P ＝2－03－0＝23．题八： A ．详解：∵硬币的半径为r ，∴当硬币的中心到直线的距离d >r 时，硬币与直线不相碰．∴P ＝2(a －r )2a ＝a －r a．题九： 36π．详解：以A 、B 、C 为圆心，以1为半径作圆，与△ABC 交出三个扇形，当P 落在其内时，符合要求．∴P ＝3×(12×π3×12)34×22＝3π6．题十： π12．详解：如图，△AOB 为区域M ，扇形COD 为区域M 内的区域N ，A (3,3)，B (1，－1)，S △AOB ＝12×2×32＝3，S 扇形COD ＝π4，所以豆子落在区域N 内的概率为P ＝S 扇形COD S △AOB ＝π12．题十一： A ．详解：面积为36 cm 2时，边长AM ＝6 cm ；面积为81 cm 2时，边长AM ＝9 cm ． ∴P ＝9－612＝312＝14．题十二： C ．详解：如图，在AB 边上取点P ′，使AP ′AB ＝34，则P 只能在AP ′上(不包括P ′点)运动， 则所求概率为AP ′AB ＝34．题十三：169． 详解：因为硬币的直径是1，所以半径是12，要使硬币下落后与网格线没有公共点，只需硬币下落在正中心的边长为3的正方形的内部∴所求概率为1694322=．题十四：π+324．详解：设硬币的直径为2cm ，正方形线框的边长为4．考虑圆心的运动情况．因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点，所以圆心的最大限度为原正方形向外再扩张1个小圆半径的区域，且四角为四分之圆弧；此时总面积为：4×4+4×4×1+π×12=32+π；完全落在最大的正方形内时，圆心的位置在2为边长的正方形内，其面积为：2×2=4；∴硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为：π+324．题十五：32． 详解：在圆上其他位置任取一点B ，圆半径为1，则B 点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2π，其中满足条件AB 的长度大于等于半径长度的对应的弧长为1232⨯⨯π，则AB 弦的长度大于等于半径长度的概率3221232=⨯⨯=ππP ．题十六：23． 详解：设弦CD 长大于半径的概率是P ，如图所示：E ，F 两点为CD 长恰为半径时的位置，根据几何概型长度类型，可得：232232=⨯==R RABEFP ．题十七： （1）m +n 的值为3；（2）x = 4的概率为409，x ≥ 3且y = 5的概率为101． 详解：（1）表中反映了队员的跳高、跳远的综合成绩，其中各单元格的数字之和等于40 即：1+3+1+0+1+1+0+2+5+1+2+1+0+4+3+1+m +6+0+n +0+0+1+1+3=40． 整理，得m +n +37=40，因此m +n =3．（2）∵x =4的人数为1+0+2+5+1=9，∴x =4的概率为：4091=P ． 又∵x ≥3且y =5的人数为1+1+2=4，∴x ≥3且y =5的概率为1012=P ．答：（1）m +n 的值为3；（2）x =4的概率为409，x ≥3且y =5的概率为101．题十八： （1）710，358；（2）6,51．详解：（1）当x =3时，共有4+2+0+18+6=30人；当x =4时，共有2+0+14+10+2=28人； 当x =5时，共有12人，故当x ≥3时：概率10710070100122830==++=P，在x ≥3的基础上，y =3时有。
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几何概型课后练习
主讲教师：熊丹 北京五中数学教师
题一：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm ．运动员在70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．问射中黄心的概率为多少？
题二：如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )
A ．14
B ．13
C ．12
D ．23
题三：在体积为V 的三棱锥S -ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥P -SBC 的体积大于
3
V
的概率是 ．
题四：一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，在包围该三棱锥的外接球内任取一点，该点落在三棱锥内部的概率为 ．
题五：已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB ＋PC ＋2PA
＝0，
现将一粒黄豆随机撒在△PBC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )
A ．14
B ．13
C ．23
D ．12
题六：在区间(0, 1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于1
3
的概率为( )
A ．1718
B ．79
C ．29
D ．118
题七：若m ∈(0, 3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于9
8
的
概率为________．
题八：平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r <a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平等线相碰的概率是( )
A ．a －r a
B ．a －r 2a
C ．2a －r 2a
D ．a ＋r 2a
题九：在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
题十：若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x
y ≥－x 2x －y －3≤0
表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现
随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．
题十一：在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )．
A ．14
B ．13
C ．427
D ．415
题十二：在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S
4
的概率是( )．
A ．14
B ．12
C ．34
D ．23
题十三：设有一个正方形网格，每个小正方形的边长为4，用直径等于1的硬币投掷到此网格上，硬币下落后与网格线没有公共点的概率为 ．
题十四：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币，硬币完全落在正方形外的不计，则硬币完全落在正方形内的概率为 ．
题十五：设点A 为半径是1的圆O 上一定点，在圆周上等可能地任取一点B ．求弦AB 的长超过圆半径的概率．
题十六：已知AB 是圆O 的一条直径，CD 是一条动弦且与AB 垂直，假设CD 与直径AB 的交点在AB 上是等可能的，则弦CD 长大于半径的概率是 ．
跳
高
4 1 0 2 5
1 3
2 1 0 4
3 2 1 m 6 0 n 1 0 0 1 1 3
（1）求m +n 的值；（2）求x =4的概率及x ≥ 3且y = 5的概率．
题十八：下表为某学年随机抽出的100名学生的数学及语文成绩，成绩分为1～5个档次，设x 、y 分别表示数学成绩和语文成绩，例如表中数学成绩为5分的共有2+6+2+0+2=12，语文成绩2分的共有0+10+18+0+2=30人．
（1）求x ≥3的概率及在x ≥3的基础上，y =3的概率； （2）求x =2的概率及m +n 的值．
几何概型 课后练习参考答案
题一： 0.01．
详解：如图，记“射中黄心”为事件B ，由于射中靶面随机地落在面积为
4
1×π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点
落在面积为4
1
×π×12.22 cm 2的黄心内时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率P (B )=221224
12.124
1⨯⨯⨯⨯ππ=0.01．
题二： C ．
详解：点E 为边CD 的中点，故所求的概率P ＝△ABE 的面积矩形ABCD 的面积＝1
2
．
题三：
2．
件是对应三棱锥的体积，
6=，
题五： D ．
详解：由题意可知，点P 位于BC 边的中线的中点处．
记黄豆落在△PBC 内为事件D ，则P (D )＝S △PBC S △ABC ＝1
2
．
题六： A ．
详解：设这两个实数分别为x ，y ，则⎩⎨⎧
0<x <10<y <1
，满足x ＋y >1
3的部分如图中阴影部分所示．
所以这两个实数的和大于 13的概率为1－12×13×13＝17
18
．
题七： 2
3
．
详解：直线与两个坐标轴的交点分别为(
3m ＋2，0)，(0，33－m
)， 又当m ∈(0,3)时，3m ＋2>0，33－m
>0，∴12·3m ＋2· 33－m <9
8，
解得0<m <2，∴P ＝2－03－0＝2
3
．
题八： A ．
详解：∵硬币的半径为r ，∴当硬币的中心到直线的距离d >r 时，硬币与直线不相碰．
∴P ＝2(a －r )2a ＝a －r a
．
题九： 3
6
π．
详解：以A 、B 、C 为圆心，以1为半径作圆，与△ABC 交出三个扇形，当P 落在其内时，符合要求．∴P ＝3×(12×π3×12)34×22
＝3π
6．
题十： π
12
．
详解：如图，△AOB 为区域M ，扇形COD 为区域M 内的区域N ，A (3,3)，B (1，－1)，S △AOB ＝1
2
×2×32＝3，
S 扇形COD ＝π
4，所以豆子落在区域N 内的概率为P ＝S 扇形COD S △AOB ＝π12．
题十一： A ．
详解：面积为36 cm 2时，边长AM ＝6 cm ；面积为81 cm 2时，边长AM ＝9 cm ． ∴P ＝9－612＝312＝1
4．
题十二： C ．
详解：如图，在AB 边上取点P ′，使AP ′AB ＝3
4
，则P 只能在AP ′上(不包括P ′点)运动， 则所求概率为AP ′AB ＝3
4
．
题十三：
16
9．
，要使硬币下落后与网格线没有公共点，只需硬币下落在正中心的
16
9
=．
题十四：
π
+324
．
详解：设硬币的直径为2cm ，正方形线框的边长为4．考虑圆心的运动情况．
因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点，所以圆心的最大限度为原正方形向外再扩张1个小圆半径的区域，且四角为四分之圆弧；此时总面积为：4×4+4×4×1+π×12=32+π；完全落在最大的正
题十六：
详解：设弦CD 长大于半径的概率是P ，如图所示：E ，F 两点为CD 长恰为半径时的位置，根据几何概型长
度类型，可得：2
32232=
⨯
==
R R
AB
EF
P ．
即：1+3+1+0+1+1+0+2+5+1+2+1+0+4+3+1+m +6+0+n +0+0+1+1+3=40．。