函数与向量
§1.2、向量函数
特别的当m 1 时，f 退化为数量函数： y f ( x ) f ( x1 , , x n )
例1、设I {t | t 0 t T } ，则函数：
3 f :I R
则函数是实数t为自变量的向量函数，每个t映射为三维空
间中的一点，连续的有限区间t映射为三维空间上的一条曲
线：
x x (t ) f : y y (t ) , z z (t ) t [t0 , T ]
例2、设E R 2 ，定义于E上的函数：
3 f :E R
则函数是以二维向量为自变量的向量函数，E平面空
间上的一点映射为三维空间上的一点，而E空间中的 一个区域映射为三维空间中的三维空间曲面：
k z h ( x ), x D, z R 为 z f ( y ), y g ( x ) 复合而成的复合函数，记为： h ( x ) f ( g ( x )) xD h(x) f g(x)
or
例3、设 f , g 是线性向量函数，即： g ( x ) Bmn x f ( y ) Ak m y 则由 f , g 复合而成的函数为： f ( g ( x )) A k m y
Ak m B m n x
内积运算将两个矢量函数变为一个数量函数。
④、复合
设 D R n ， 1 , D 2 是 R m 的子集，且 D1 D 2，若 D
x D, y D2 , y D1 k zR
有向量函数：
y g ( x )数：
可以表示为矩阵形式：
y 1 f 1 ( x ) f 1 ( x1 , , x n ) y2 f2 ( x ) f 2 ( x1 , , x n ) y y m f m ( x ) f m ( x1 , , x n )
三角函数公式以及向量公式
氧化剂
奇
变
偶
诱
不
导
变
公
符
式
号
看
象
限
sin(2κπ＋α)＝sinα
cos(2κπ＋α)＝cosα
tan(2κπ＋α)＝tanα
sin(π2＋α)＝cosα cos(π2＋α)＝－sinα tan(π2＋α)＝－ta1nα
sin(π＋α)＝－sinα
cos(π＋α)＝－cosα
tan(π＋α)＝tanα
3.已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1, y2－y1) {记法：终点坐标减始点坐标}
4.向量坐标加减法运算：→a ±→b ＝(x1±x2, y1±y2) {记法：横坐标相加(相减)为横坐标，纵坐标相加(相减)为纵坐标}
5.向量的数乘：λ→a ＝(λx1，λy1) (其中λ为实数)
和
差 正
cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ
弦
cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ
余
弦 tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ
正
1－tanα·tanβ
切
公 式
tan(α－β)＝ tanα－tanβ
1＋tanα·tanβ
(sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα
{注释：λ＞0 时同向共线，λ＜0 时反向共线}
正
a:b:c＝sinA:sinB:sinC
弦 定
(角化边公式)
理 变 形
sinA＝2aR sinB＝2bR sinC＝2cR
式
(边化角公式)
a＝2RsinA, b＝2RsinB, c＝2RsinC
三角函数与平面向量-精选教学文档
三角函数与平面向量简介：三角函数与平面向量三角函数的图象与性质1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质.2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现.因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等).3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易.这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练.1. 函数y=2sin2-1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数.2.函数f(x)=-cosx在[0，+∞)内的零点个数为________.3.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________.4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)=sinx，则f的值为________.【例1】设函数f(θ)=sinθ+cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.(1) 若点P的坐标是，求f(θ)的值;(2) 若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值.【例2】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示.(1) 求f(0)的值;(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围.【例3】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<& phi;<π，ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1) 求f的值;(2) 将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间.【例4】已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1，x∈R.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若h(x)=f(x+t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值;(3) 当x∈时，不等式|f(x)-m|<3恒成立，求实数m的取值范围.1. (2019·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ=-，则y=________.2.(2019·全国)函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是________.3.(2009·全国)函数y=sincos的最大值为________.4.(2019·广东)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________.(2019·四川)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).(1) 求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;(2) 若f(x0)=，x0∈，求cos2x0的值.5.(2009·福建)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<.(1) 若coscosφ-sinπsinφ=0，求φ的值;(2) 在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.(2009·重庆)(本小题满分13分)设函数f(x)=sin-2cos2+1.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，求当x∈时，y=g(x)的最大值.解：(1) f(x)=sinxcos-cosxsin-cosx=sinx-cosx(3分)=sin，(5分)故f(x)的最小正周期为T ==8.(7分)(2) (解法1)在y=g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x=1的对称点为(2-x，g(x)).由题设条件，点(2-x，g(x))在y=f(x)的图象上，从而g(x)=f(2-x)=sin=sin=cos.(10分)当0≤x≤时，≤x+≤，因此y=g(x)在区间上的最大值为g(x)max=cos=.(13分)(解法2)因区间关于x=1的对称区间为，且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=1对称，故y=g(x)在上的最大值为y=f(x)在上的最大值，由(1)知f(x)=sin，当≤x≤2时，-≤x-≤，因此y=g(x)在上的最大值为g(x)max=sin=.(13分)第7讲三角函数的图象与性质1. 若【答案】-8 解析：令tanx=t∈(1，+∞)，y=，y′(t)=得t=时y取最大值-8.2. 已知函数f(x)=2cos2x+sin2x.(1) 求f的值;(2) 求f(x)的最大值和最小值.解：(1) f=2cos+sin2=-1+=-.(2) f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1，x∈R.因为cosx∈[-1,1]，所以当cosx=±1时，f(x)取最大值2;当cosx=0时，f(x)取最小值-1.基础训练1. π 奇解析：y=-cos=-sin2x.2. 1 解析：在[0，+∞)内作出函数y=，y=cosx的图象，可得到答案.3. -+1 解析：f(x)=2cos2x+sin2x=sin+1.4. - 解析：f=f=f=sin=-.例题选讲例1 解：(1) 根据三角函数定义得sinθ=，cosθ=，∴ f(θ)=2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ=，从而求出 f(θ)=2).(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，f(θ)=sinθ+cosθ=2sin，∴θ=0，f(θ)min=1;θ=，f(θ)max=2.(注：注意条件，使用三角函数的定义; 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y=Asin(ωx+φ)的形式) 例2 解：(1)由题图可知：A=，=π-=，ω=2，2×+φ=2kπ+，φ=2kπ+，k∈Z，f(0)=sin=.(2) φ=，f(x)=sin.因为0≤x≤，所以≤2x+≤π，所以0≤sin≤1.即f(x)的取值范围为[0，].(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y=Asin(ωx+φ)的图像与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)变式训练已知A为△ABC的内角，求y=cos2A+cos2的取值范围.解： y=cos2A+cos2=+=1++=1+=1+cos.∵ A为三角形内角，∴ 0∴ y=cos2A+cos2的取值范围是.例3 解：(1)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) =2=2sin.因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(-x)=f(x)恒成立，因此sin=sin.即-sinωxcos+cosωxsin=sinωxcos+cosωxsin，整理得sinωxcos=0.因为ω>0，且x∈R，所以cos=0.又因为0<φ<π，故φ-=.所以f(x)=2sin=2cosωx.由题意得=2×，所以ω=2.故f(x)=2cos2x.因此f=2cos=.(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g(x)=f=2cos=2cos.当2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z)，即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).例4 解：(1)函数可化为f(x)=-cos-cos2x=2sin，故f(x)的最小正周期为π.(2) h(x)=2sin.令2×+2t-=kπ，k∈Z.又t∈(0，π)，故t=或.(3) 当x∈时，2x-∈， ∴f(x)∈[1,2].|f(x)-m|<3，即f(x)-3变式训练设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t).(1) 求g(t)的表达式;(2) 讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.解：(1) f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4=sin2x-2tsinx+4t3+t2-3t+3=(sinx-t)2+4t3-3t+3.由于(sinx-t)2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)=4t3-3t+3.(2) g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1)，-1列表如下：tg′(t)g(t)极大值极小值由此可见，g(t)在区间和上单调增，在区间上单调减，极小值为g=2，极大值为g=4.高考回顾1. —8 解析：sinθ==-，解得y=-8或8(舍).2. π 解析：f(x)=sin-2sin2x=sin-.3. 解析： y=cosx=sin+.4. ，k∈Z 解析：f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)=2sin.∵ 周期为π，∴ ω=2，∴f(x)=2sin.2kπ-≤2x+≤2kπ+，即kπ-≤x≤kπ+，k∈Z.5. 解： (1) 由f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1，得f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=sin2x+cos2x=2sin.所以函数的最小正周期为T==π.因为x∈，所以2x+∈.所以2x+∈，即x∈时，函数f(x)为增函数，而在x∈时，函数f(x)为减函数，所以f=2sin=2为最大值，f=2sin=-1为最小值.(2) 由(1)知，f(x0)=2sin.又由已知f(x0)=，则sin=.因为x0∈，则2x0+∈.因此cos<0，所以cos=-，于是cos2x0=cos，=coscos+sinsin=-×+×=.6. 解：(1) 由coscosφ-sinπsinφ=0得coscosφ-sinsinφ=0即cos=0，又|φ|<，∴ φ=.(2) 由(1)得f(x)=sin，依题意，=，又T=，故ω=3，∴ f(x)=sin，函数的图像向左平移m个单位后对应的函数为g(x)=sin，g(x)是偶函数，当且仅当3m+=kπ+(k∈Z)，即m=+(k∈Z)，从而最小正实数m=.。
普通向量和向量值函数的相同点和不同点的关系
普通向量和向量值函数的相同点和不同点的关系1. 引言在数学中，向量是一个具有大小和方向的量，它在许多领域中都有重要的应用。
在向量的研究中，有两种常见的概念：普通向量和向量值函数。
本文将探讨普通向量和向量值函数的相同点与不同点的关系。
2. 普通向量普通向量是指一个具有大小和方向的量，常用箭头表示，如a→。
普通向量可以在几何空间中进行运算，包括加法、减法、数乘和点积等操作。
普通向量包含以下特点：2.1 大小和方向普通向量有大小和方向之分。
大小表示向量的长度，常用模表示，记作||a||。
方向表示向量所指向的方向，通常用单位向量表示。
2.2 加法运算普通向量的加法运算是指两个向量相加得到一个新的向量。
两个向量相加的结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小之和，方向由两个向量之间的夹角决定。
2.3 减法运算普通向量的减法运算是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
两个向量相减的结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小之差，方向由两个向量之间的夹角决定。
2.4 数乘运算普通向量的数乘运算是指一个向量与一个标量的乘积。
数乘的结果是一个新的向量，其大小等于原向量的大小乘以标量的绝对值，方向与原向量的方向相同（如果标量为正数）或相反（如果标量为负数）。
2.5 点积运算普通向量的点积运算是指两个向量之间的乘积。
点积的结果是一个标量，其大小等于两个向量的大小之积乘以它们之间的夹角的余弦值，方向为无。
3. 向量值函数向量值函数是指一个定义域为实数集合的函数，其值为向量。
向量值函数可以将实数映射到向量空间中的向量。
向量值函数包含以下特点：3.1 定义域和值域向量值函数的定义域为实数集合，通常表示为连续的一段区间。
值域为向量空间中的向量。
3.2 图像和轨迹向量值函数的图像是指将定义域中的每个实数映射到值域中的一个向量，从而形成的全部向量。
当定义域为一维时，图像通常可以用曲线表示。
当定义域为二维时，图像通常可以用曲面表示。
向量三角函数知识点归纳
向量三角函数知识点归纳向量和三角函数是高中数学中的重要内容，下面是关于这两个知识点的归纳总结。
一、向量1.向量的定义向量是有大小和方向的量，用箭头在平面或空间中表示。
向量的大小叫做模，用，a，或，a，表示；向量的方向用一个角度或另一向量表示。
2.向量的基本运算-向量的加减：向量的加减使用平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点用直线连接。
- 向量的数量积：向量 a 和 b 的数量积（内积或点积）定义为abcosθ，其中θ 表示 a 和 b 之间的夹角。
-向量的数量积的性质：交换律、结合律、分配律等。
-向量的夹角：可以使用向量的点积公式计算向量之间的夹角。
-向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是一个标量，表示一个向量在另一个向量上的投影长度。
3.向量的应用-分解力的合力：当一个力可以分解为多个力的合力时，可以使用向量的方法表示这个过程。
-平行四边形法表示速度：当一个物体以两个向量之和的速度在平面内运动时，可以使用平行四边形法则来表示其速度。
二、三角函数1.三角函数的定义三角函数是一组用于描述角和边之间关系的函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
- 正弦函数：sinθ = 对边 / 斜边- 余弦函数：cosθ = 邻边 / 斜边- 正切函数：tanθ = 对边 / 邻边2.三角函数的性质和关系-三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期都为2π，正切函数的周期为π。
-三角函数的奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
-三角函数的和差化积公式：- 正弦函数的和差化积：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB- 余弦函数的和差化积：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB- 正切函数的和差化积：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓tanAtanB)-三角函数的平方和差公式：- 正弦函数的平方和差：sin²A ± sin²B = 2sinAcosA，cos²A ± cos²B = 2cosAcosB- 余弦函数的平方和差：cos²A + cos²B = 2cosAcosB，cos²A - cos²B = -2sinAsinB- 正切函数的平方和差：tan²A ± tan²B = 1 ∓ 2tanAtanB3.三角函数的应用-三角函数的性质可以用于求解各种三角形的边长和角度。
高一数学三角函数与向量公式
两角和公式：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 倍角公式：tan2A=2tanA/(1-tan 2A) cos2a=cos 2a-sin 2a=2cos 2a-1=1-2sin 2a 半角公式：sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) 和差化积：2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB 正弦定理： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理： b 2=a 2+c 2-2accosB 注：角B 是边a 和边c 的夹角弧长公式： l=α*r ，α是圆心角的弧度数，r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 乘法与因式分：a 2-b 2=(a+b)(a-b) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) a 3-b 3=(a-b(a 2+ab+b 2) 一元二次方程的解: X 1=-b+√(b 2-4ac)/2a; X 2=-b-√(b 2-4ac)/2a 根与系数的关系: X 1+X 2=-b/a ；X 1*X 2=c/a （韦达定理） 判别式：b 2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b 2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根b 2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 降幂公式：sin 2x=1-cos2x/2 cos 2x=1-cos2x/2 万能公式：Sin2α=2 tan α/(1+ tan 2α) Cos2α=(1- tan 2α)/(1+ tan 2α) Tan2α=2tan α/(1- tan 2α) 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）＝sinα cos （2kπ＋α）＝cosα tan （2kπ＋α）＝tanα cot （2kπ＋α）＝cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sinα cos （π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanα cot （π＋α）＝cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα cot （－α）＝－cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sinα cos （π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα (以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
1.2 向量函数
v b (t )
cv
v 是常向量，b(t)
cv
v 0.
从而
av(t) av(t)
v 0.
“ ” 由条件知
vv b(t) b(t)
0v，故
v b(t
)
v
(t )b (t )，只需内积
v b (t ).
储亚伟
二、三类特殊向量函数
证明：（3）设 av(t) 与某定方向垂直，则存在单位常向量 ev1 使得
定理2.1
(Leibniz法则)
设
av(t),
v b (t ),
cv(t
)
为可微的向量函数，则
（1）
av(t)
v b (t)
av(t )
v b (t)
av(t )
v b(t );
（2）
av(t
)
v b (t )
av(t)
v b (t )
av(t)
v b(t);
球面曲线
v （2）0
av(t
)
定向当且仅当
av(t
)
av(t
)
v 0;
过原点直线
（3）av(t) 二阶可微，若它垂直于定方向，则
av(t), av(t), av(t)
反之，若上式成立，且处处有
0. av(t)
av(t)
0v，则
av(t
)
必定与
某定方向垂直
过原点平面.
储亚伟
（3）
av(t),
用向量方法求函数值域或最值
用向量方法求函数值域或最值向量的方法在函数求值域或最值中的应用并不是非常广泛，但仍然有一些特殊情况下可以使用向量方法来求解。
以下我们将通过几个具体的例子来说明如何使用向量方法来求解函数值域或最值。
一、向量作为参数的函数在某些情况下，函数的参数可能是一些向量，比如平面向量或三维空间的向量。
此时，我们可以利用向量的性质和运算规则来求解函数的值域或最值。
例如，考虑一个简单的平面向量函数 f(x, y) = (x, y)，其中 x 和 y 是实数。
由于向量的模长是长度函数的正比常数倍，因此该函数的值域就是单位圆及其内部，即|f(x, y)| ≤ 1。
当且仅当 x 和 y 分别等于 0 时，函数取得最小值0；当且仅当 x 和 y 不全为 0 时，函数取得最大值 1。
二、利用向量运算求解函数值域或最值有时候，我们可以利用向量的运算规则来简化函数的表达式，从而更容易地求出函数的值域或最值。
例如，考虑一个二元函数f(x, y) = x² + y² - 2xy，我们可以将其改写为f(x, y) = (x - y)² + y²。
由于 (x - y)² 和y² 都是非负的，因此该函数的值域为非负实数集。
当且仅当 x = y 时，函数取得最小值 0；当且仅当 x 和 y 中有一个为 0、另一个不为 0 时，函数取得最大值+∞。
三、利用向量投影求解函数值域或最值在某些情况下，我们可以通过计算向量在某个方向上的投影来简化函数的表达式，从而更容易地求出函数的值域或最值。
例如，考虑一个二元函数f(x, y) = (2x + 3y)² - 4y²。
如果我们只关注该函数在 x 轴上的投影，则可以将其改写为f(x, y) = (2x + 3y)² - (2y)² = (2x + 3y)² - (2y)²。
由于(2x + 3y)² 和(2y)² 都是非负的，因此该函数的值域为非负实数集。
高考数学复习之三角函数与向量
专题一：三角与向量的交汇及题型分析解题策略【命题趋向】三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考中，主要出现在解答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为12分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇，考查三角函数的对称性与向量平移，考查两角和与差与向量垂直、考查三角函数的求值与向量积、考查正余弦定理与向量数量积等.根据20XX年考纲预计在13年高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线(平行)与垂直的充要条件条件．主要考查题型：(1)考查纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解；(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起.【考试要求】1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．7．了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．8．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式．【考点透视】向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.主要考点如下：1．考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2．考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(ωx+ϕ)的性质和图像及其图像变换.3．考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4．考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5．考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题.6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.【典例分析】题型一 三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.山东 2011（17）（本小题满分12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知 .(1) 求 的值；(2) 若cosB=1/4，三角形ABC 周长为5，求b 的长.本题考察 正弦定理的应用 -----边角的互化解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由cos 2cos 2cos A C c a B b--=及正弦定理可得 cos 2cos 2sin sin cos sin A C C A B B--=， 即sin sin 2cos sin 2sin cos sin cos A B C B C B A B -=-则sin sin sin cos 2sin cos 2cos sin A B A B C B C B +=+sin()2sin()A B C B +=+，而A B C π++=，则sin 2sin C A =， 即sin 2sin C A=。
平面向量与向量函数的关系及向量函数的性质
平面向量与向量函数的关系及向量函数的性质平面向量和向量函数是线性代数中重要的概念，它们在数学和物理等领域中有广泛的应用。
本文将介绍平面向量与向量函数之间的关系，并探讨向量函数的一些性质。
一、平面向量与向量函数的关系在开始讨论平面向量与向量函数的关系之前，我们先回顾一下平面向量的概念。
平面向量是具有大小和方向的箭头，可以表示为有序数对 (a, b)，其中 a 和 b 分别表示向量在 x 和 y 方向上的分量。
平面向量可以进行加法、减法和数乘等运算。
向量函数是一个以向量为自变量并返回向量为函数值的函数。
常见的向量函数包括位移向量函数、速度向量函数和加速度向量函数等。
下面我们将以位移向量函数为例，来说明平面向量与向量函数的关系。
假设有一个位移向量函数 r(t) = (x(t), y(t))，其中 x(t) 和 y(t) 分别表示向量在 x 和 y 方向上的分量。
可以看出，位移向量函数 r(t) 可以表示一个平面向量。
二、平面向量与向量函数的性质1. 加法性质：如果有两个向量函数 r₁(t) = (x₁(t), y₁(t)) 和 r₂(t) = (x₂(t), y₂(t))，则它们的和 r(t) = r₁(t) + r₂(t) 也是一个向量函数。
即两个向量函数的和仍然是一个向量函数。
2. 数乘性质：如果有一个向量函数 r(t) = (x(t), y(t))，则对于任意实数 k，kr(t) = (kx(t), ky(t)) 也是一个向量函数。
即向量函数乘以一个实数后仍然是一个向量函数。
3. 导数性质：如果存在函数 x(t) 和 y(t) 的导数 x'(t) 和 y'(t)，则位移向量函数 r(t) 的导数可以表示为 r'(t) = (x'(t), y'(t))。
即位移向量函数的导数可以通过分别对每个分量求导得到。
4. 积分性质：对于位移向量函数 r(t) = (x(t), y(t))，对每个分量进行积分，可以得到一个表示位移向量函数的积分函数 R(t) = (X(t), Y(t))，其中 X(t) 和 Y(t) 分别为 x(t) 和 y(t) 的积分函数。
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一、选择题
1.设函数f(x)(x∈R)是奇函数,21)1(f,f(x+2)＝f(x)+f(2),则f(5)等于( )
A.0 B.1 C.25 D.5
2.设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)＞1,132)2(aaf,则a的取值范
围是( )
A.32a B.32a且a≠1 C.32a或a＜-1 D.321a
4.定义在R上的周期函数f(x),其周期T＝2,直线x＝2是它的图象上的一条对称轴,且f(x)在
［-3,-2］上是减函数,如果A、B是锐角三角形的两个内角,则( )
A.f(sinA)＞f(cosB) B.f(cosB)＞f(sinA) C.f(sinA)＞f(sinB) D.f(cosB)＞f(cosA)
7.f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)＝0,在区间(0,6)内f(x)＝0解的个数的最小
值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.函数f(x)对于任意实数x满足条件)(1)2(xfxf,若f(1)＝-5,则f［f(5)］＝__________.
14.设f(x)是定义在R上的奇函数,且y＝f(x)的图象关于直线21x对称,则
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)＝__________.
16.函数f(x)的定义域为D:{x|x≠0},且满足对于任意x1、x2∈D,有f(x1·x2)＝f(x1)+f(x2).
(1)求f(1);
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)如果f(4)＝1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
解:(1)令x1＝x2＝1得f(1)＝f(1)+f(1),
∴f(1)＝0.
(2)f(x)是偶函数.
4、已知向量(1sin)a，，(1cos)b，，则ab的最大值为__．
5、设向量a，b，c满足0abc，()abc，ab，若｜a｜=1,则
｜a｜22||b+｜c｜2的值是 .
设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a·(a＋b).
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥23成立的x的取值集。
ABC
的三内角,,ABC所对边的长分别为,,abc设向量(,)pacb,
(,)qbaca
,若//pq,则角C的大小为（ ）
A.6 B.3 C. 2 D.23
3．已知向量a＝(2，sin x)，b＝(cos2x,2cos x)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是 ( )
A.π2 B．π C．2π D．4π
4．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，
sin A)．若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为 ( )
A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6 D.π3，π3
5.已知向量OB→＝（2，0），向量OC=(2,2)，向量CA→＝(2cos α，2sin α)，则向量OA→与向量
OB→的夹角的取值范围是 ( )
A.0，π4 B.
π
4，512
π
C.512π，π2 D.
π
12，512
π
6．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝m，m2＋sin α，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，
则λm的取值范围是 ( )
A．[－6,1] B．[4,8] C．(－6,1) D．[－1,6]
11．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值、最小值分别是
__________．
14．(14分)已知函数f(x)＝2(sin x－cos x)cos x＋1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间π8，3π4上的单调区间和最大值与最小值．
若AB→·BC→＋AB→2＝0，则△ABC必定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
1. 若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则AB→·BC→的值
为( )
A．19 B．14
C．－18 D．－19
2. (文)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则AP→·(AB→＋
AC→)( )
A．最大值为8 B．最小值为2
C．是定值6 D．与P的位置有关
3. 如图所示，点P是函数y＝2sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0)的图象的最高
点，M，N是该图象与x轴的交点，若PM→·PN→＝0，则ω的值为( )
A.π8 B.π4
C．4 D．8
4. 已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)．
(1)若a⊥b，求x的值．
(2)若a∥b，求|a－b|.
5. 已知向量a＝(sinx，－1)，b＝(3cosx，－12)，函数f(x)＝(a＋b)·a
－2.
(1)求函数f(x)的最小正周期T；
(2)将函数f(x)的图象向左平移π6上个单位后，再将所得图象上所
有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)
的解析式及其对称中心坐标．
6.
7. 文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向
量m＝(c－a，b－a)，n＝(a＋b，c)，若m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)若sinA＋sinC的取值范围．