第五讲随机向量函数的分布
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第三章-多维随机向量的分布及数字特征
xi x y j y
一般求概率函数 P ( X , Y ) ( xi , y j ) 采用以下公式： P ( X , Y ) ( xi , y j ) PX xi P Y y j X xi 例3.3 整数 X 等可能的取值1,2,3,4，整数Y 等可能的取值 1~ X，求随机向量( X , Y )的概率分布列。 解: 由题目条件随机向量( X , Y )所有可能取值点为 (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) 显然，当 y j xi时，P ( X , Y ) ( xi , y j ) 0 。 当 y j xi时，分别有 P ( X , Y ) (1,1) P X 1 P Y 1 X 1 1 1 1 4 4 P ( X , Y ) (2,1) P X 2 P Y 1 X 2
P x1 X x2 , y1 Y y2
X
pij
0 1
Y
0
1/4 1/4
1
1/4 1/4
0 x 0或y 0 1 / 4 0 x 1且0 y 1 F ( x, y ) PX x, Y y 1 / 2 0 x 1且y 1 1 / 2 x 1且0 y 1 1 x 1且y 1
表达随机试验结果的变量个数从一个增加到两个形成二 维随机向量，概率分布律的描述有了实质的变化，而二维推 广到多维只有形式上的变化并无实质性的困难，我们主要讨 论二维随机向量。 2. 二维随机向量的分布函数 Def 设( X , Y )为二维随机向量，( x, y )为平面内任意一点，则
理学概率统计随机向量
P
(X
xi ,Y
y
j
)
P
X
xi ,
P(X xi
j
,Y
(Y
y yj)
j
)
j
j
pij (i 1, 2,...)
j
此为概率分布表中第i行的概率之和
Y的分布律为:
P（Y
yj)
P(,Y
yj)
P
(X
xi ),Y
yj
P
(X
xi ,Y
yj )
i
P（X xi ,Y y j )
i
i
例4 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
ke(2x3y) , x 0, y 0,
0,
其他.
(1) 确定常数k；（2）求（X，Y）的分布函数；
（3）求P{X<Y}.
解 (1) 1 =
f (x, y)dxdy
ke (2x 3y)dxdy
0
0
= k e2xdx e3ydy
X1
Y
1 0.1 20 3 0.1 40
2
3
0.3
0
0
0.2
0.1
0
0.2
0
求P{X＞1,Y≥3}及P{X=1}. 解: P{X＞1,Y≥3}=P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}
+P{X=3,Y=3}+P{X=3,Y=4} =0.3；
P{X=1}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}
解 （1）圆域x2+y2≤4的面积A=4π，故（X，Y）的概率
密度为
f（x，y）=
概率论随机变量的分布函数ppt课件
因此， A 是不可能事件
P{A} 0.
ppt课件
12
例1: 设随机变量X具有概率密度
ke 3 x
x0
f (x)
0 x0
(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。
解: (1)由于
f (x)dx
ke3xdx k 1
，解得k=3.
0
3
于是X的概率密度为
f
(
x)
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;
(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.
正态分布的分布函数为: F ( x)
ppt课件
1
2
e dt x
(t )2 2 2
28
标准正态分布
当=0, =1时,称X服从标准正态分布,记作X～N(0,1).
例3 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在800欧～1000
欧，求R的概率密度及R落在850欧～950欧的概率.
解: 由题意，R的概率密度为
1 f (r) 1000 800
， 800 r 1000
0
, 其它
950 1
而 P{850 X 950}
dr 0.5
200 ppt课件
850
18
2. 指数分布
注 (4)式及连续性随机变量分布函数的定义表示 了分布函数与概率密度间的两个关系．利用这些 关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推 出另一个．
ppt课件
10
连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：
1. F(x)等于曲线f(x)在(-∞,x]上的曲边梯形的面积。
3.3随机向量函数的分布
e y , y 0 Y ~ f2 ( y) y0 0,
因为 X 和 Y 独立,所以
x y
x 0, y 0
其它
求 Z X Y 的密度函数.
b 0时 0, 1 e b be b , b 0时
e e , ( X , Y ) ~ f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 0,
ln2 0.2 ln 3 0.2 ln4 0.1
E (2 X Y )2 4 0.1 9 0.1 16 0.3 16 0.2 25 0.2 36 0.1 17.9
E ( XY ) 1 0.1 2 0.3 2 0.2 4 0.1 1.5
x yb b x
f ( x, y )dxdy
0
b x
e y dy
b
x yb
e ( e ) 0 dx e x 1 e x b dx 0
b 0
e x e b dx 1 e b be b 0
b
FZ (b) P Z b P X Y b
例 设随机变量 X 与 Y 相互独立， 都服从参数为 p 求 的0 — 1分布， max X ,Y 和 min X ,Y 的数学期望.
解 X
0
P 1 p Y P
1 p 1 p
X
0
Y
0
1
Pi X
(1 p )2 p(1 p) 1 p
0
1 p
1
p(1 p)
Y j
p2
p
E max X ,Y
( X , Y ) ~ f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 要求 Z max X ,Y 的密度函数.
常用连续型随机向量分布PPT课件
(2) P{| X | 2} 1 P{| X | 2} 1 P{2 X 2}
1 [(2) (2)] 1 [(2) (1 (2))]
2 2(2) 2 20.97725 0.0455
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（三）正态分布转换为标准正态分布
对于任意一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量，可作如下的标准化变换，也 称u变换，
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
u X
(u)
1
u2
e2
2
N(, 2)
N (0,1)
-∞＜X＜+∞
-∞＜u＜+∞
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对 X N (，,有2 )
定理3 6 F ( x) ( x ) P( X x)
P{X x} 1 ( x )
P{a X b} (b ) (a )
医学资料中有许多指标如身高、体重、红细胞 数、血红蛋白、收缩压、脉搏数等频数分布都呈正 态分布。
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第4页/共36页
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中间频数多，左右两 侧基本对称的分布。
第6页/共36页
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（一）正态分布的概念
设连续随机变量 X 概率密度为
0 其中 和 都是常数， 任意，
当 x 0 时，( x)可查标准正态分布表求值； 当 x 0 时， ( x) 1 ( x)
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例3-18
设 X ~ N (0,1) ,求
(1)P{0.5 x 1.5};(2)P{| x | 2}.
解：(1) P{0.5 x 1.5} (1.5) (0.5)
0.9332 0.6915 0.2417
第1节 随机向量及其分布
(2)采用无放回取球：
Y 0 X 3 3 0 5 5
1
3 5 2 5 2 5 2 5 2 5
piX
3 5 2 5
Y 0 X 3 2 0 5 4
1
2 5 3 4 3 5
1
3 5 2 5 2 4
piX
3 5 2 5
1
2 5
3 5 3 5
1 4
2 5
pY j
1
pY j
1
三、连续型随机向量及其概率密度
1.定义
2维随机向量( X , Y )称为连续型的, 如果存在非负可 积函数f ( x , y ), 使得( X , Y )的分布函数 F ( x , y ) 表为 F ( x, y)
x
y
f ( u, v )dudv x , y
其中f ( x , y )称为随机向量( X , Y )的概率密度函数 ,简称 概率密度 ,或称为 X 与 Y 的联合概率密度 .
3. 性质
(1) pij 0, i , j 1, 2,
; (2)
p
i j
ij
1.
(3) ( X , Y )在任一指定区域D 内取值的概率
P{( X , Y ) D}
( xi , yi )D
pij
4. 分布表
( X , Y )的概率分布可表为如下形式：
X
Y
y1 p11 p21 pi 1
三、连续型随机向量 概率密度
三、连续型随机向量的概率密度
1.定义
2维随机向量( X , Y )称为连续型的, 如果存在非负可 积函数f ( x , y ), 使得( X , Y )的分布函数 F ( x , y ) 表为 F ( x, y)
随机向量的联合分布函数
若X1,X2独立, X1 ～ N(μ1,σ12), X2 ～ N(μ2,σ22), 则 X1+X2 ～ N(μ1+μ2,σ12+σ22)
相互独立的二项分布、泊松分布、正态分布具有可加性 以上三个结论均可推广到三项及有限项
若Xi~N(μi,σi2), (i=1,2 ···,n), X1,X2, ···, Xn相互独立,实数
(1) 离散型随机变量X1 ,X2 , ···,Xn相互独立等价于联合概率
分布等于边缘概率分布的乘积.
(2) 连续型随机变量X1 ,X2 , ···, Xn相互独立等价于联合概率 密度函数等于边缘概率密度函数的乘积.
可统一为联合概率分布等于边缘概率分布的乘积.
六、随机变量序列独立性的概念
若n个随机变量X1 , X2, ···,Xn相互独立,则它们中的任意 m(1<m≤n)个随机变量也相互独立.
设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),记Z=g(X,Y). (1) 求Z的分布函数
F(z) P(Z z) P(g(X ,Y ) z)
f (x, y)dxdy
g( x,y)z
(2) 对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z).
例2 设随机向量(X,Y)服从区域
定义 二元实函数F( x , y )=P{ X ≤ x , Y ≤ y} (x,y)∈R2 称为二维随机向量(X,Y)的联合分布函数. (1)(X,Y)为离散型随机向量，且联合概率分布为
P( X xi ,Y y j ) pij
则相应的联合分布函数 F( x, y) pij xi x y j y
(2)(X,Y)为连续型随机向量，且联合概率密度为 f ( x, y)
xy
相互独立的二项分布、泊松分布、正态分布具有可加性 以上三个结论均可推广到三项及有限项
若Xi~N(μi,σi2), (i=1,2 ···,n), X1,X2, ···, Xn相互独立,实数
(1) 离散型随机变量X1 ,X2 , ···,Xn相互独立等价于联合概率
分布等于边缘概率分布的乘积.
(2) 连续型随机变量X1 ,X2 , ···, Xn相互独立等价于联合概率 密度函数等于边缘概率密度函数的乘积.
可统一为联合概率分布等于边缘概率分布的乘积.
六、随机变量序列独立性的概念
若n个随机变量X1 , X2, ···,Xn相互独立,则它们中的任意 m(1<m≤n)个随机变量也相互独立.
设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),记Z=g(X,Y). (1) 求Z的分布函数
F(z) P(Z z) P(g(X ,Y ) z)
f (x, y)dxdy
g( x,y)z
(2) 对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z).
例2 设随机向量(X,Y)服从区域
定义 二元实函数F( x , y )=P{ X ≤ x , Y ≤ y} (x,y)∈R2 称为二维随机向量(X,Y)的联合分布函数. (1)(X,Y)为离散型随机向量，且联合概率分布为
P( X xi ,Y y j ) pij
则相应的联合分布函数 F( x, y) pij xi x y j y
(2)(X,Y)为连续型随机向量，且联合概率密度为 f ( x, y)
xy
随机向量及其分布【概率论及数理统计PPT】
n 维随机向量是一维随机变量的推广 一维随机变量及其分布
n 维随机向量及其分布 由于从二维推广到n 维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
二、二维随机向量及其分布函数
设随机试验E的样本空间是Ω。 X=X()和Y=Y()是定义在Ω上的随机变 量,由它们构成的向量(X,Y),称为二维随机向 量。 二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及Y的 性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因 此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究。 为此,首先引入二维随机向量(X,Y)的分 布函数的概念。
说明
由上面的几何解释,易见: 随机点(X,Y)落在矩形区域:
x1<x≤x2,y1<y≤y2 内的概率为：
P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)
其中:
这里我们介绍了二维随机向量的概念、 二维随机向量的分布函数及其性质。
二维随机向量也分为离散型和连续型， 下面我们分别讨论它们。
求:(1)X,Y的边缘分布;
(2)X+Y的概率分布.
解:(1)由分析得:
X -1
0
1
P 0.25 0.4 0.35
Y
0
1
2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,
X+Y -1 0 1 2 3
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
=1
称(X,Y)服从区域D上的均匀分布。
例6. 若(X,Y)～
试求:(1)常数 A；(2) P{ X<2, Y<1}； (3) P(X≤x,Y≤y)； (4)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
n 维随机向量及其分布 由于从二维推广到n 维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
二、二维随机向量及其分布函数
设随机试验E的样本空间是Ω。 X=X()和Y=Y()是定义在Ω上的随机变 量,由它们构成的向量(X,Y),称为二维随机向 量。 二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及Y的 性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因 此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究。 为此,首先引入二维随机向量(X,Y)的分 布函数的概念。
说明
由上面的几何解释,易见: 随机点(X,Y)落在矩形区域:
x1<x≤x2,y1<y≤y2 内的概率为：
P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)
其中:
这里我们介绍了二维随机向量的概念、 二维随机向量的分布函数及其性质。
二维随机向量也分为离散型和连续型， 下面我们分别讨论它们。
求:(1)X,Y的边缘分布;
(2)X+Y的概率分布.
解:(1)由分析得:
X -1
0
1
P 0.25 0.4 0.35
Y
0
1
2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,
X+Y -1 0 1 2 3
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
=1
称(X,Y)服从区域D上的均匀分布。
例6. 若(X,Y)～
试求:(1)常数 A；(2) P{ X<2, Y<1}； (3) P(X≤x,Y≤y)； (4)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
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P ( X Y t ) P ( X Y t | X x ) f ( x )dx
i!
e-2
r
r2-i
(r - i)!
e
( 1 2 )
r!
r! i r -i 12 i 0 i! (r - i)!
e
( 1 2 )
r!
(1 2 ) ,
r
r =0,1，…
即Z服从参数为 1 2 的泊松分布.
例3 设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求 Z=X+Y 的分布.
fZ ( z ) f X ( x ) fY ( z x )dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
0 x 1 0 z x 1
也即
0 x 1 z 1 x z
fZ ( z ) f X ( x ) fY ( z x )dx
一、连续型分布的情形
例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的 密度. 解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)
f ( x, y)dxdy
D
这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面.
FZ ( z )
一、离散型分布的情形
例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求Z=X+Y的概率函数.
解:
P( Z r) P( X Y r)
P ( X i,Y r i )
i 0 r i 0 r
由独立性
此即离散 卷积公式
随机向量函数的分布
阎岩 yy2703@
在第二章中，我们讨论了一 维随机变量函数的分布，现在我 们进一步讨论: 当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布 已知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m 的联合分布?
我们先讨论两个随机变量的函数的分布问 题，然后将其推广到多个随机变量的情形.
我们给出不需要计算的另一种证法: 回忆第二章对服从二项分布的随机变量 所作的直观解释:
若X~ B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试 验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的 概率都为p.
同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现 的次数,每次试验中A出现的概率为p.
故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验 中事件A出现的次数，每次试验中A出现 的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参 数的二项随机变量，即Z ~ B(n1+n2, p).
' Z
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ ( z ) F ( z ) f ( x, z x )dx
' Z
以上两式即是两个随机变量和 的概率密度的一般公式.
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1), 则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).
2 若X和Y 独立, X ~ N ( 1, 12 ), Y ~ N ( 2 , 2 ), 结论又如何呢?
用类似的方法可以证明:
Z X Y ~ N ( 1 2 , )
2 1 2 2
此结论可以推广到n个独立随机变量之 和的情形,请自行写出结论.
更一般地, 可以证明: 有限个独立正态变量的线性组合仍然 服从正态分布.
这一讲，我们介绍了如何求r.v函数的分布. 但有时我们无法精确求出此分布. 例如，想求两个独立连续型r.v 之和X+Y的 分布函数. X的分布函数为F，Y的分布函数为G， 在理论上，可以求得：
G ( t x ) f ( x )dx 其中f (x)是 X 的密度函数. 当这个积分无法精确求出时，一个可取的 方法是采用计算机模拟.
z
交换积分次序
[ f ( u y, y)dy]du
FZ ( z ) [ f ( u y, y)dy]du
z
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y 的概率密度为:
fZ ( z ) F ( z ) f ( z y, y)dy
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 0 x 1 0 x 1 也即 z 1 x z 0 z x 1 如图示: 于是 z dx z, 0 z 1 0 1 f Z ( z ) dx 2 z, 1 z 2 z 1 0, 其它
f Z ( z ) f X ( z y ) fY ( y )dy
f Z ( z ) f X ( x) fY ( z x)dx
这两个公式称为卷积公式 . 下面我们用卷积公式来求 Z=X+Y的概率密度
例5 若X和Y 独立,具有共同的概率密度
1, 0 x 1 f ( x) 求Z=X+Y的概率密度 . 0, 其它 解: 由卷积公式
P ( X i ) P (Y r i )
=a0br+a1br-1+…+arb0 r=0,1,2, …
例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 1, 2 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 1 2 的泊松分布. 解：依题意
i! 2 j e 2 P (Y j ) j! 由卷积公式
x y z
f ( x, y)dxdy
z y
化成累次积分,得
FZ ( z ) [
f ( x, y)dx ]dy
变量代换 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换 , 令x=u-y,得
FZ ( z ) [ f ( u y, y)du]dy
z
r i 0
P ( X i)
e
1i 1i=0,1,2,… j=0,1,2,…
P ( Z r ) P ( X i ,Y r i )
由卷积公式 r P ( Z r ) P ( X i ,Y r i )
e-1
i 0
i 0 r
i 1