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苏教版高中数学必修二秋1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台+1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球同步练测.docx
1.1 空间几何体1.1.1 棱柱、棱锥和棱台1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共40分）1．下列命题正确的有个.①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；③用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台；④侧面都是矩形的棱柱是长方体.2. 水平放置的正方体六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是 .3．下列各图中，可以是一个正方体的表面展开图的是 .4．长方体ABCD-的各顶点都在球的球面上，其中∶=1∶1∶，过,两点的大圆中，，两点间的劣弧长记为，过，两点的大圆中，，两点间的劣弧长记为，则的值为 .5.下列命题中，正确的序号是 .①直角三角形绕一边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥；②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台.6.连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于，，M，N 分别为的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦可能相交于点；②弦，可能相交于点；③的最大值为5；④的最小值为1.其中真命题的个数为 .7. 如图所示的几何体，是否是棱锥，并说明原因：，某些部分能否为棱锥，举例说明： .8.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形（体）的4个顶点，这些几何形（体）是 .（写出所有正确结论的编号）①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体二、解答题（共60分）9.（20分）根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.（1）由八个面围成，其中两个面是相互平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；（2）一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的几何体；（3）一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.10.（20分）多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体？11.（20分）判断下列各命题是否正确：（1）三棱柱有6个顶点，三棱锥有4个顶点；（2）圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；（3）圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面.圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形一、填空题1．02．93．（3）解析：（1）中出现“田”字型，（2）为“7”字型，（4）中有“凹”字型，因此（1）（2）（4）应排除，故填（3）.4．解析: 由题意知，球心为长方体的中心，设==1，=，连结，，，.设球的半径为，= ===1.所以=.在△中，=，＝＝１，所以＝.所以＝，＝，所以.5.③6.3 解析：设球心为，由球的弦长知，＝3，＝2.令在线段上，则24；令在线段上，则34.所以可能在线段上，但不能在线段上，所以①正确，②错误.又由三角形性质，若，，三点不共线，则|ON|＝5，＝1，若在线段上，则＝5，若在的延长线上，则＝1，所以1，故③④都正确.7.不是棱锥，因为其形状结构不符合棱锥的定义；连结，，则为三棱锥，为三棱锥.（答案不唯一）8.①③④⑤解析：本题借助正方体的结构特征解答，画图可知①③④⑤正确.二、解答题9.解：（1）该几何体满足有两个面平行且全等，其余六个面都是矩形，可使每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是正六棱柱.（2）等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个全等的直角梯形，每个直角梯形旋转形成半个圆台，故该几何体为圆台.（3）由梯形较短底边的非直角顶点引一条垂直于较长底边的直线，可将梯形分为一个直角三角形和一个矩形，绕较长的底边所在的直线旋转一周形成一个组合体，该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.10.解：多面体至少有四个面，这个多面体是三棱锥.11分析：利用几何体的定义及有关概念解答问题.解：（1）错.由棱锥的顶点定义知，棱锥只有一个顶点.（2）错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于旋转轴.（3）正确.。
高中数学必修二《空间几何体》第1章 1.2.1-1.2.2课时作业与单元检测(含答案)
§1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图【课时目标】1．知道空间几何体的三视图的概念，初步认识简单几何体的三视图．2．会画出空间几何体的三视图并会由空间几何体的三视图画出空间几何体．1．平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是____________，而中心投影的投影线________________．2．三视图包括____________、____________和____________，其中几何体的____________和____________高度一样，____________与____________长度一样，____________与____________宽度一样．一、选择题1．下列命题正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图()3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()5．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是()6．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是()二、填空题7．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．8．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．9．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的正视图和侧视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．三、解答题10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出侧视图(尺寸不作严格要求)．11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．能力提升12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．13．用小立方体搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？在绘制三视图时，要注意以下三点：1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度和正视图一样．侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．§1．2空间几何体的三视图和直观图1．2．1中心投影与平行投影1．2．2空间几何体的三视图答案知识梳理1．平行的交于一点2．正视图侧视图俯视图侧视图正视图俯视图正视图侧视图俯视图作业设计1．D[因为当平面图形与投射线平行时，所得投影是线段，故A，B错．又因为点的平行投影仍是点，所以相交直线的投影不可能平行，故C错．由排除法可知，选项D正确．] 2．C3．D[在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．]4．C[由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C．]5．D6．A7．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B8．2 4解析三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4．9．710．解图(a)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．11．解该图形的三视图如图所示．12．解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．13．解由于正视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．。
高中数学空间几何体单元检测新人教A版必修2
3V
3 190000
h
75
SS' S'
3600 2400 1600
3. 解：设底面边长为 a，侧棱长为 l ，两对角线分别为 c，d.
c l Q1 (1) 则
d l Q2 (2)
2
1 c
2
2
1 d
2
a 2 ( 3)
消去 c， d 由（ 1）得
，代入（ 3）得
2
1 Q1 2l
2
1 Q2
a2
2l
Q1 2 Q2 2 4l 2a 2
Ｂ． 6
Ｃ． 5
Ｄ． 3
5．棱台上、下底面面积之比为 1: 9 , 则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是 ( )
A． 1: 7
Ｂ． 2: 7
Ｃ． 7:19
Ｄ． 5:16
6．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知平面 ABCD 是边
E
F
长为 3的正方形， EF // AB , EF 3 , 且 EF 与平 2
2la
Q1 2 Q2 2
S侧 4al 2 Q12 Q2 2
4. 解：设 A1B1C1D1 是正棱台 ABCD－A2B2C2D2 的中截面，延长各侧棱交于
P点.
a ∵ BC=a， B2C2=b∴ B1C1=
b ∵ BC∥ B1C1∴
S PBC
2
S PB1C1
a2
(a b)2 2
S ∴
PB1 C1
(a b)2
⑧金字塔；⑨三棱镜；⑩滤纸卷成的漏斗；○ 11 量筒；○12 量杯；○13 十字架．
（ 1）具有棱柱结构特征的有
；（ 2）具有棱锥结构特征的有
；
（ 3）具有圆柱结构特征的有
高中数学必修2 空间几何体的表面积与体积最全试题及答案
空间几何体的表面积与体积一．相关知识点1．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和。
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。
(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱＝2πr2＋2πrl，S锥＝πr2＋πrl。
(4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为S＝π(r21＋r22)＋π(r1＋r2)l。
(5)球的表面积为4πR2(球半径是R)。
2．几何体的体积(1)V柱体＝Sh。
(2)V锥体＝13Sh。
(3)V台体V圆台＝13π(r21＋r1r2＋r22)h，V球＝43πR3(球半径是R)。
一、细品教材1．(必修2P28A组T3改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________。
2．(必修2P36A组T10改编)一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________。
细品教材答案：1．1∶47； 2.3365π cm2二、基础自测1．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20π B．24πC．28π D．32π2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A．12π B．36πC．72π D．108π3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为__________。
4．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________。
5．(2016·赤峰模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为________。
基础自测答案1．C；2．B；3．2；4．32；5．94三．直击考点考点一空间几何体的表面积【典例1】(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋22C．14＋2 2 D．15(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。
高一数学必修2《1.2 空间几何体的三视图和直观图》单元测试题(含答案)
空间几何体的三视图和直观图1.2 中心投影与平行投影1.2.1）、下列几种关于投影的说法不正确的是（1的影投行平．A 的直垂相互是线影投的影投心中．B 的行平相互是线影投中影投心中在线直的行平．D 上段线在然仍下影投心中在点的上段线．C 行平不】有下列说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点；②空间图形经过中心投影后，直1【变式线变成直线，但平行线可能变成了相交直线；③几何体在平行投影和中心投影下有不同的表现形式，其中正确命题有）（个0．A 个2．C 个1．B 个3．D ）、下列光线所形成的投影不是中心投影的是（2阳太．A 线光的筒电手．C 线光的灯台．B 线光线光的灯路．D ）】哪个实例不是中心投影（2【变式工．A 片相．C像成孔小．B 纸图程觉视的人．D ）、有一边与平面平行的矩形在此平面内的射影是（3行平．A 段线条一或形矩．C 形矩．B 形边四对不都案答上以．D ）、两条不平行的直线，其平行投影不可能是（4条两．A线直交相条两．C 线直条一和点一．B 线直行平点个两．D ）、给下列几种关于投影的说法，正确的是（5的形．矩A线直行平是仍影投行平的线直行．平B 形矩是定一影投行平影投心中．D 点是影投正的段线或线直的面影投于直垂．C 的行平相互是线影投的）、如果一个三角形的平行投影仍然是一个三角形，则下列结论正确的是（6三原．A 心内的形角三影投是还影投行平的心内的形角B 心重的形角三影投是还影投行平的心重的形角三原．心垂的形角三影投是还影投行平的心垂的形角三原．C角三影投是还影投行平的心外的形角三原．D 心外的形的三视图空间几何体1.2.2）．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（1柱棱三．D 柱体面四．C 圆锥圆．B ．A①长、则其俯视图不可能为侧视图如图所示，一个简单几何体的主视图、．2 ）宽不相等的矩形；②正方形；③圆；④三角形．其中正确的是（②①．A ④①．D ④③．C ③②．B）．下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（3②①．A ④①．C ③①．B ④②．D ）．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（4球．A 体方正．C 锥棱三．B 柱圆．D ）．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（5．A ．D ．C ．B）．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（6．C ．B ．A ．D 为其主视图（或正视图），若这个几何体2为其俯视图，图1的小正方体码放成一个几何体，图1cm．用一些棱长是73），则其左视图为（7cm的体积为．C ．B ．A ．D两点，此时AC，把一根拉紧的细绳两端分别系在DCBABCD-A．如图正方体811111）这个正方体的正视图可能是（③②．B ②①．A ④③．D ④②．C ）的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（1．已知三棱锥的底面是边长为9 ．A1．D．C．B．将正方体截去一个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图是（10 ）B ．A ．．C ．D 的中点，BB为棱E的交点，AC与CA对角线BDCABCD-A是正方体O．如图所示，111111111 ）是（在正方体各面上的正投影不可能DOEC则空间四边形11．B A ．．D ．C ．如图是一个三棱锥的三视图，那么这个三棱锥的四个面中直角三角形的个数有12 ）（个1．A 个4．D 个3．C 个2．B ）．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（13锥圆．A 锥棱三．B 柱棱三．C台棱三．D）．空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（14 ．B ．A．D ．C ，俯视图是．圆柱的正视图和侧视图都是15 ；；，俯视图是圆锥的正视图和侧视图都是；，俯视图是圆台的正视图和侧视图都是．球的三视图都是的中心，则空间BBCC是正方形G的中点，DC，AA分别为F，E中，若DCBABCD-A的正方体1．棱长为16111111111 ．在该正方体的面上的正投影的面积最大值为AEFG四边形米的椭圆，则这个广告气5的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为45°．如图，一个广告气球被一束入射角为17 米．球直径是．如18图，在正方体ABCD的主视图与左视图的面积的比值P-ABC内一动点，则三棱锥DCBA是上底面P中，点D-ACB11111111 ．为空间几何体的直观图1.2.3 ）．下列说法正确的是（1观直的线直条两的直垂相互．A 线直条两的直垂相互是定一图行形平边四是能可图观直的形梯．B 形梯是能可图观直的形矩．C图观直的形方正．D 形边四行平是能可）是一个（ABC△，那么原A′O′=，B′O′=C′O′=1中的直观图如图，其ABC△．水平放置的2形角三边等．A 形角三角直．B 边两有只中边三．C 形角三腰等的等相形角三的等相不互边三．D 是（ABCD．如图所示的直观图的平面图形3 ）形梯角直．B 形梯意任．A任．C 形边四行平．D 形边四意）．在斜二测画法中，与坐标轴不垂直的线段的长度在直观图中（4．A 变改定一．D 变不能可．C 小变．B 大变。
人教A版高中必修二试题立体几何.doc
立体几何复习易做易错题选如皋市教育局教研室一、选择题：1．（石庄中学）设ABCD 是空间四边形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则BC AD EF ,,满足（ ）A 共线B 共面C 不共面D 可作为空间基向量正确答案：B 错因：学生把向量看为直线。
2．（石庄中学）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM( )A 是AC 和MN 的公垂线B 垂直于AC 但不垂直于MNC 垂直于MN ，但不垂直于ACD 与AC 、MN 都不垂直正确答案：A 错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影。
3．（石庄中学）已知平面α∥平面β，直线L ⊂平面α,点P ∈直线L,平面α、β间的距离为8，则在β内到点P 的距离为10，且到L 的距离为9的点的轨迹是（ ）A 一个圆B 四个点C 两条直线D 两个点正确答案：B 错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系不能灵活掌握。
4．（石庄中学）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持A P ⊥BD 1,则动点P 的轨迹（ ）A 线段B 1C B BB 1的中点与CC 1中点连成的线段C 线段BC 1D CB 中点与B 1C 1中点连成的线段正确答案：A 错因：学生观察能力较差，对三垂线定理逆定理不能灵活应用。
5． （石庄中学）下列命题中：① 若向量a 、b 与空间任意向量不能构成基底，则a ∥b 。
② 若a ∥b ， b ∥c ，则c ∥a .③ 若 OA 、OB 、OC 是空间一个基底，且 OD =31OA ＋31 OB ＋31OC ,则A 、B 、C 、D 四点共面。
④ 若向量 a + b ， b + c ， c + a 是空间一个基底，则 a 、 b 、 c 也是空间的一个基底。
其中正确的命题有（ ）个。
A 1B 2C 3D 4正确答案：C 错因：学生对空间向量的基本概念理解不够深刻。
高中数学必修二立体几何面面垂直与二面角专题练习(含答案)
面面垂直与二面角一．选择题（共12小题）1．如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD：BC：AB=2：3：4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为（）A．1B．2C．3D．42．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为MC的中点，则下列结论不正确的是（）A．平面BCE⊥平面ABNB．MC⊥ANC．平面CMN⊥平面AMND．平面BDE∥平面AMN3．下列命题中错误的是（）A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ4．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论中正确的个数为（）①DC1⊥D1P ②平面D1A1P⊥平面A1AP③∠APD1的最大值为90°④AP+PD1的最小值为⑤C1P与平面A1B1B所成角正弦值的取值范围是[，]A．1B．2C．3D．45．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与平面ABC1D1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=2，AC=3，BD=4，CD=，则该二面角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°7．正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，，AA1=1，则二面角C﹣B1D﹣C1的大小的余弦值为（）A．B．C．D．10．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）A．B．7C．2D．911．如图，M，N是圆锥底面圆O上不同两点，且M，N，O不共线，设AN与底面所成角为α，二面角A﹣MN﹣O的平面角为β，ON与平面AMN所成角为γ，则（）A．β＞α＞γB．β＞γ＞αC．α＞β＞γD．α＞γ＞β12．如图，P是△ABC边AB上一点，将△ACP沿CP折成直二面角A'﹣CP﹣B，要使|A'B|最短，则CP是（）A．△ABC中AB边上的中线B．△ABC中AB边上的高线C．△ABC中∠ACB的平分线D．要视△ABC的具体情况而定二．解答题（共18小题）13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAD为等边三角形，E，M分别是AD，PD的中点，PB=2．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点P到平面ACM的距离．14．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB=BC，D为线段AC的中点，E为线段PC 上一点．〔Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．15．如图，BD是圆O的直径，C是圆周上不同于B，D的任意一点，AB⊥平面BCD，E为AB 的中点．（1）求证：OE∥平面ACD；（2）求证：平面ACD⊥平面ABC．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为CC1的中点．（1）求证：平面AA1CC1⊥平面BDB1D1；（2）求直线BE与平面ACC1A1所成角的余弦值．17．如图1，梯形ABCD满足：AB∥CD，AD⊥AB，AD=DC=2AB=2，E是BA延长线上一点，AE=2．现将△EDA沿直线DA翻折，记翻折后的点E为点P．若PC=2，M为PC的中点，如图2．（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PBD；（Ⅱ）求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值．18．已知三棱锥A﹣BCD中，△BCD是等腰直角三角形，且BC⊥CD，BC=4，AD⊥平面BCD，AD=2．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ADC（Ⅱ）若E为AB的中点，求点A到平面CDE的距离．19．如图（1）在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AB∥CD，CD=2AB=2AD=4，E为CD中点，现将△CEB沿BE折起，使得AC=4，得到如图（2）几何体，记线段CB的中点为F．（1）求证：平面CED⊥平面ABED（2）求点F到平面ACD的距离．20．如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．（1）求证：FH∥平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面ACF．21．如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AA1=2，点Q为BC的中点．（Ⅰ）求证：平面AQC1⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）求点B到平面AQC1的距离．22．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都是4，D是CC1的中点，求：（1）三棱锥D﹣ABC的体积；（2）二面角D﹣AB﹣C的大小．23．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）求二面角P﹣AB﹣D的大小．24．三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等边三角形，BC的中点为O，A1O⊥底面ABC，AA1与底面ABC所成的角为，点D在棱AA1上，且AD=，AB=2．（1）求证：OD⊥平面BB1C1C；（2）求二面角B﹣B1C﹣A1的平面角的余弦值．25．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形且∠ABC=120°，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：EF∥CD；（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求锐二面角P﹣AF﹣E的余弦值．26．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BC=2AB，∠ABC=60°，PA=PB，点M为AB 的中点．（Ⅰ）在棱PD上作点N，使得AN∥平面PMC（Ⅱ）若PB⊥AC，且直线PC与平面PAB所成的角是45°，求二面角M﹣PC﹣A的余弦值27．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F分别为A1C1、BC的中点AB=BC=2，C1F⊥AB．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）若直线C1F和平面ACC1A1所成角的正弦值等于，求二面角A﹣BE﹣C的平面角的正弦值．28．已知PA⊥菱形ABCD所在平面，PA=，G为线段PC的中点，E为线段PD上一点，且=2．（1）求证：BG∥平面AEC；（2）若AB=2，∠ADC=60°，求二面角G﹣AE﹣C的余弦值．29．在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，AB=AD=1，CD=2，AC=EC=．（1）求证：平面EBC⊥平面EBD；（2）设M为线段EC上一点，3=，求二面角M﹣BD﹣E的平面角的余弦值．30．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是边长为的正方形，，PC=4，点E为PA中点，AC与BD交于点O．（Ⅰ）求证：OE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的余弦值．参考答案一．选择题（共12小题）1．解：因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则①错误；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD：BC：AB=2：3：4，可使条件满足，所以②正确；当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；因为点D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误．故选：B．2．解：分别过A，C作平面ABCD的垂线AP，CQ，使得AP=CQ=1，连接PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱长为1的正方体．∵BC⊥平面ABN，BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面ABN，故A正确；连接PB，则PB∥MC，显然PB⊥AN，∴MC⊥AN，故B正确；取MN的中点F，连接AF，CF，AC．∵△AMN和△CMN都是边长为的等边三角形，∴AF⊥MN，CF⊥MN，∴∠AFC为二面角A﹣MN﹣C的平面角，∵AF=CF=，AC=，∴AF2+CF2≠AC2，即∠AFC≠，∴平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误；∵DE∥AN，MN∥BD，∴平面BDE∥平面AMN，故D正确．故选：C．3．解：如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．故选：B．4．解：对于①，∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，①正确对于②，∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴②正确；对于③，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴③错；对于④，将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，即AP+PD1≥，∴④不正确．对于⑤，C1P与平面A1B1B所成角正弦值为，∵，∴C1P与平面A1B1B所成角正弦值的取值范围是[，]，故⑤正确．故选：C．5．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，D（0，0，0），E（1，2，1），A（2，0，0），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（1，2，1），=（0，2，0），=（﹣2，2，2），设平面ABC1D1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设DE与平面ABC1D1所成角为θ，则sinθ===，∴DE与平面ABC1D1所成角的正弦值为．故选：D．6．解：由已知可得：，，，∴=+2=32+22+42+2×3×4cos＜，＞=，∴cos＜＞=﹣，即＜＞=120°，∴二面角的大小为60°，故选：C．7．解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα==，则二面角等于60°，故选：C．8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：以A为坐标原点，、的方向分别为y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系．设底面边长为2a，侧棱长为2b，则A（0，0，0），C（0，2a，0），D（0，a，0），B（a，a，0），C1（0，2a，2b），B1（a，a，2b）．=（），=（﹣，a，2b），=（，0，0），=（0，a，2b），由AB1⊥BC1，得•=2a2﹣4b2=0，即2b2=a2．设=（x，y，z）为平面DBC1的一个法向量，则•=0，•=0．即，又2b2=a2，令z=1，解得=（0，﹣，1）．同理可求得平面CBC1的一个法向量为=（1，，0）．设平面DBC1与平面CBC1所成的角为θ，则cos θ==，解得θ=45°．∴平面DBC1与平面CBC1所成的角为45°．故选：B．9．解：建立空间直角坐标系，如图所示；长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，，AA1=1，∴A（0，0，0），C（2，，0），D（0，，0），B1（2，0，1），C1（2，，1）；∴=（﹣2，，﹣1），=（﹣2，0，0），=（0，，0）；设平面CB1D的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1得=（0，1，）；同理，设平面C1B1D的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1，则=（1，0，﹣2）；∴cos＜，＞===﹣，∴二面角C﹣B1D﹣C1的余弦值为﹣cos＜，＞=．故选：A．10．解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴，．∵，∴=+++2+2+2═62+42+82+2×6×8cos120°=68，∴CD=2故选：C．11．解：连接OA，OM，取MN的中点H，连接OH，AH，过O作OD⊥AH，垂足为D，连接ND，由AO⊥底面，可得∠ANO=α，由OH⊥MN，AO⊥底面，由三垂线定理可得MN⊥AH，可得∠AHO=β，由OD⊥AH，MN⊥平面AHO，可得OD⊥MN，OD⊥平面AMN，可得∠OND=γ，且α，β，γ均为锐角，则sinα=，sinβ=＞=sinα，即β＞α；=•=＞1，即有β＞γ，tanα=，tanγ=，设AO=h，ON=r，OH=d，可得OD=，DN=，则tanα=，tanγ=，tan2α﹣tan2γ=＞0，可得tanα＞tanγ，即有α＞γ，即为β＞α＞γ．故选：A．12．解：如图所示，作A′E⊥CP，垂足为E．∵直二面角A'﹣CP﹣B，∴A′E⊥平面BCP．时AC=b，BC=a，∠ACB=α．设∠ACP=θ．则A′E=bsinθ，CE=bcosθ．BE2=b2cos2θ+a2﹣2abcosθcos（α﹣θ），∴A′B2=（A′E）2+BE2=b2sin2θ+b2cos2θ+a2﹣2abcosθcos（α﹣θ）=b2+a2﹣2abcosθcos（α﹣θ），∵cosθcos（α﹣θ）=cosθ（cosαcosθ+sinαsinθ）=cosαcos2θ+sinαsin2θ=c osα+sinαsin2θ=+cos（α﹣2θ）．∴A′B2=b2+a2﹣abcosα﹣abcos（α﹣2θ），当且仅当cos（α﹣2θ）=1时，即α=2θ时，即CP为∠ACB的平分线时，|A'B|最短．故选：C．二．解答题（共18小题）13．（Ⅰ）证明：由题意知，正△PAD边长为2，∵E为AD的中点，∴PE⊥AD，PE=，在正方形ABCD中，E为AD的中点，边长为2，则BE=，在△PBE中，BE2+PE2=8=PB2，∴PE⊥BE，又BE∩AD=E，∴PE⊥平面ABCD，∵PE⊂P平面ABCDM，∴平面PBE⊥平面ABCD；（Ⅱ）由题意知V P﹣ACM=V C﹣APM，△PAD为等边三角形，则AM=，∴S△APM=，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥CD，∵CD⊥AD．∴CD⊥平面PAD，故CD为三棱锥C﹣PAB的高，∴CD⊥PD，在正方形ABCD中，AC=2，则在△ACM中，满足8=AC2=AM2+CM2，∴△ACM为直角三角形，∴AM⊥MC，∴S△ACM=|AM|•|CM|=，设点P到平面ACM的距离为d，由V P﹣ACM=V C﹣APM，得×d×S△ACM=×CD×S△APM，解得d=14．证明：（Ⅰ）∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC=B，∴PA⊥平面ABC，∵D为线段AC的中点，∴BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD．（Ⅱ）∵AB=BC，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，∵PA⊥BD，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC．15．．证明：（1）∵BD是圆O的直径，E为AB的中点，∴OE∥AD，∵OE⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴OE∥平面ACD．（2）∵BD是圆O的直径，∴BC⊥DC，∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵AB∩BC=B，∴平面ACD⊥平面ABC．16．证明：（1）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有AA1⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，又由正方形ABCD，可知AC⊥BD，AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，又BD⊂平面BDD1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BDD1B1．（6分）解：（2）记AC与BD交点为O，连接OE，∵BD⊥平面ACC1A1，∴∠OEB即为直线BE与平面ACC1A1所成角，设正方体棱长AB=2，则OB=，BE=，OE=，则有cos=，直线BE与平面ACC1A1所成角的余弦值为．（12分）17．（Ⅰ）证明：在△ADE中，AD=AE=2，得DE=2，即PD=．在△PDC中，DC=2，PC=2，可得PC2=PD2+DC2，∴∠CDP=90°，即CD⊥PD．又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD．取PD中点N，则MN是△PCD的中位线，∴MN∥CD，MN=．又AB∥CD，AB=，∴AB∥MN，AB=MN，即四边形ABMN为平行四边形．又AN是等腰直角三角形PAD斜边PD的中线，∴PD⊥AN，又CD⊥平面PAD，∴AB⊥平面PAD，AB⊥PD．∴PD⊥平面ABM，又PD⊂平面PBD，∴平面ABM⊥平面PBD；（Ⅱ）解：在△MNB中，作MH⊥NB于H，则MH⊥平面PBD，由已知可得MN=1，MB=，又NB=，∴，即点M到平面PDB的距离为．又由于M是PC的中点，∴点C到平面PBD的距离h=．求得BC=，设直线BC与平面PBD所成的角为θ，则s inθ=．18．（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AD⊥BC，又∵BC⊥CD，CD∩AD=D，∴BC⊥平面ACD，又BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD．…（5分）（Ⅱ）解：由已知可得，取CD中点为F，连结EF，∵，∴△ECD为等腰三角形，∴，，…（8分）由（Ⅰ）知BC⊥平面ACD，∴E到平面ACD的距离为：，∴S△ACD=4，…（10分）设A到平面CED的距离为d，有，解得，∴A到平面CDE的距离是．…（12分）19．（1）证明：由条件可知BA=DE，BA∥DE，∠BAD=90°，∴四边形ABED为正方形，∴BE⊥EC，BE⊥ED，EC⊥ED=E，⇒BE⊥平面DEC．又BE⊂平面ABCD，所以平面CED⊥平面ABCD．（2）AD∥BE，∴AD⊥平面DEC，∴∠ADC=90°，∴∠CED=120°，△CED为等腰三角形．过点E作EM⊥CD，∴M为CD中点⇒ME=1 ∴ME⊥CD，ME⊥AD⇒ME⊥平ACD．又F为BC的中点，∴．20．证明：（1）设BD与AC交于点O，连接OE、OH．∵O、H分别为AC，BC中点，∴OH∥AB，OH=AB，∴EF∥AB，EF=AB，∴OH=EF，OH∥EF，∴四边形OEFH为平行四边形，∴FH∥OE，又∴FH⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴FH∥平面BDE．（2）∵EF∥AB，EF⊥FB，AB∩FB=B，∴EF⊥平面ABF，∵FB⊂平面ABF，∴AB⊥FB，∵AB⊥BC，BC∩FB=B，∴AB⊥平面BCF，∵FH⊂BCF，∴AB⊥FH，∵FH⊥BC，AB∩BC=B，∴FH⊥平面ABCD，又FH∥OE，∴OE⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴OE⊥AC，∵AC⊥BD，AC∩BD=O，∴AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ACF，∴平面BDE⊥平面ACF．21．解：（I）证明：由题意知，AB=AC，Q为BC的中点，∴AQ⊥BC；由B1B⊥平面ABC，得B1B⊥AQ；∵BC，B1B⊂平面B1BCC1，且BC∩B1B=B，∴AQ⊥平面B1BCC1，又∵AQ⊂平面AC1Q，∴平面AC1Q⊥平面B1BCC1；……（6分）（II）设点B到平面AQC1的距离为d，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABQ，∴CC1为三棱锥C1﹣ABQ的高；由（I）知，AQ⊥平面B1BCC1，则AQ⊥QC1，∴；∴，；又，∴，即，解得．……（12分）22．解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，且底面边长和侧棱长都是4，D是CC1的中点，∴，三棱锥D﹣ABC的高为DC=2．∴三棱锥D﹣ABC的体积V=；（2）取AB中点G，连接DG，CG，则AB⊥平面DGC，∴∠DGC为二面角D﹣AB﹣C的平面角，在Rt△DCG中，DC=2，CG=，∴tan∠DGC=，则．即二面角D﹣AB﹣C的大小为．23．证明：（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．∴AB⊥AD，AB⊥PD，又AD∩PD=D，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设PD=DC=DP=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），=（﹣2，0，2），=（0，2，0），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），平面ABD的法向量=（0，0，1），设二面角P﹣AB﹣D的大小为θ，则cosθ===，θ=45°，∴二面角P﹣AB﹣D的大小为45°．24．（1）证明：连接AO，∵A1O⊥底面ABC，AO，BC⊂底面ABC，∴BC⊥A1O，A1O⊥AO，且AA1与底面ABC 所成的角为∠A1AO，即．在等边三角形ABC中，易求得AO=．在△AOD中，由余弦定理，得，∴OD2+AD2=3=OA2，即OD⊥AA1．又∵AA1∥BB1，∴OD⊥BB1．∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，又∵BC⊥A1O，AO∩A1O=O，∴BC⊥平面AA1O，又∵OD⊂平面AA1O，∴OD⊥BC，又BC∩BB1=B，∴OD⊥平面BB1C1C．（2）如下图所示，以O为原点，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则故由（1）可知，∴可得点D的坐标为，∴平面BB1C1C的一个法向量是．设平面A1B1C的法向量=（x，y，z），由得，令，则y=3，z=﹣1，则，∴，易知所求的二面角为钝二面角，∴二面角B﹣B1C﹣A1的平面角的余弦角值是．25．解：（1）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD，…（2分）又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF，即可得EF∥CD…（5分）（2）取AD中点G，连接PG，GB，∵PA=PD，∴PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，∴AD⊥GB，…（6分）如图，建立空间直角坐标系G﹣xyz，设PA=PD=AD=2，则G（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，）又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，E（﹣1，，），F（﹣，0，），，，设平面AFE的法向量为=（x，y，z），则有⇒，不妨令x=3，则平面AFE的一个法向量为．∵BG⊥平面PAD，∴是平面PAF的一个法向量，cos==∴锐二面角P﹣AF﹣E的余弦值为．．…（12分）26．解：（Ⅰ）：点N为PD中点．下证：取PD中点N，PC中点Q，连结AN，QN，MQ，在△PCD中，N，Q分别是所在边PD，PC的中点，则NQ∥CD且．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）因为点M为AB中点，AB=CD，所以NQ∥AM且NQ=AM．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以四边形AMQN是平行四边形，所以AN∥MQ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又因为AN⊄平面PMC，MQ⊂平面PMC，所以AN∥平面PMC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）在△ABC中，BC=2AB，∠ABC=60°，设AB=a，则BC=2a，由余弦定理有：，则BC2=AB2+AC2，由勾股定理的逆定理可得：AC⊥AB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）又因为PB⊥AC，PB∩AB=B，PB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB．因为PM⊂平面PAB，所以AC⊥PM．因为PA=PB，点M为线段AB的中点，所以PM⊥AB，因此PM，AB，AC两两垂直．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）以A为原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系．因为直线PC与平面PAB的所成角是45°，所以∠CPA=45°，所以Rt△CAP是等腰直角三角形，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）则A（0，0，0），，，，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）设平面PMC的一个法向量为=（x，y，z），则即得，同理可得，平面PAC的一个法向量为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）由图可得所求二面角的平面角为锐角，所以二面角M﹣PC﹣A的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）27．（1）证明：在直三棱柱中，CC1⊥AB，又C1F⊥AB，且CC1∩C1F=C1，∴AB⊥平面B1BCC1，又∵AB⊂平面EBA，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）解：由（1）可知，AB⊥BC，以B点为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立坐标系．设AA1=a，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），B1（0，0，a），C1（2，0，a），A1（0，2，a），E （1，1，a），F（1，0，0）．直线FC1的方向向量，平面ACC1A1的法向量．可知||=，∴a=2．，，，设平面ABE的法向量，由，取z=﹣1，可得．设平面CBE的法向量，由，取z=﹣1，可得．记二面角A﹣BE﹣C的平面角为θ，∴|cosθ|=||=，则sin．故二面角A﹣BE﹣C的平面角的正弦值为．28．（1）证明：取PE的中点F，连接GF，BF，∵G为PC的中点，∴GF∥CE，∴GF∥平面AEC．连接BD交AC与点O，连接OE．∵E为DF的中点，∴BF∥OE，∴BF∥平面AEC．∵BF∩GF=F，∴平面BGF∥平面AEC．又BG⊄平面BGF，∴BG∥平面AEC；（2）解：如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则则O（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，0，0），P（﹣1，0，），D（0，，0），E（，，），G（0，0，2），∴=（，，），=（2，0，0），=（1，0，），设平面AEC的法向量为，则，∴，即，不妨设得=（0，，），设平面AEG的法向量为，则，∴，即，不妨设z2=1得=（，0，1），∴=．由图可知，二面角G﹣AE﹣C为锐角，则二面角G﹣AE﹣C的余弦值为．29．证明：（1）∵AD=1，CD=2，AC=，∴AD2+CD2=AC2，∴△ADC为直角三角形，且AD⊥DC，同理∵ED=1，CD=2，EC=，∴ED2+CD2=EC2，∴△EDC为直角三角形，且ED⊥DC，又四边形ADEF是正方形，∴AD⊥DE，又∵AB∥DC，∴DA⊥AB．在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，∴四边形ABHD是正方形，∴∠ADB=45°．在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°．BC=，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．∵ED⊥AD，ED⊥DC，AD∩DC=D．AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD．∴BD⊥平面ABCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC，因为BD∩ED=D，BD⊂平面EBD，ED⊂平面EBD．∴BC⊥平面EBD，BC⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面EBD．解：（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，D（0，0，0），E（0，0，1），B（1，1，0），C（0，2，0）．令M（0，y0，z0），则=（0，y0，z0﹣1），=（0，2，﹣1），∵3=，∴（0，3y0，3z0﹣3a）=（0，2，﹣1），∴M（0，，）．=（1，1，0），=（0，），∵BC⊥平面EBD，∴=（﹣1，1，0）是平面EBD的一个法向量．设平面MBD的法向量为=（x，y，z）．则．令y=1，得=（﹣1，1，1），∴cos＜＞===，∴二面角M﹣BD﹣E的平面角的余弦值为．30．证明：（I）底面四边形ABCD是边长为的正方形，，PC=4，在△PBC中，∵PB2=PC2+BC2，∴PC⊥BC，同理可得BC⊥CD，而BC∩CD=C，BC、CD⊂平面ABCD，∴PC⊥平面ABCD，在△PAC中，由题意知O、E分别为AC、PA中点，则OE∥PC，而PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．解：（II）由（I）知：OE⊥平面ABCD，故可建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），P（﹣1，0，4），∴=（﹣2，0，4），=（﹣1，1，0），=（﹣1，﹣1，0），设、=（a，b，c）分别为平面PAB和平面PAD的一个法向量，则，，∴，，不妨设z=c=1，则=（2，2，1），=（2，﹣2，1），∴cos＜＞===，由图知二面角B﹣PA﹣D为钝二面角，∴二面角的B﹣PA﹣D的余弦值为﹣．。
高中数学必修二第一章《空间几何体》单元测试卷及答案
高中数学必修二第一章 《空间几何体》 单元测试卷及答案 （2套）测试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只 有一个是符合题目要求的）1．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为（）2．如图，△ O ′A ′B ′是水平放置的△ OAB 的直观图，则△ OAB 的面积为（ ）A．6B ． 3 2C ． 62 D．12 3．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为 5， 菱形的对角线的长分别是 9 和 15，则这个棱柱的侧面积是（ ）A． 30 34 B ． 60 34 C ． 30 34 135D．1354． 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 （ ）A．3 R 3B ． 3 R 3C ．5R 3D．53 R2482585．已知圆柱与圆锥的底面积相等， 高也相等， 它们的体积分别为 V 1 和 V 2，则 V 1：V 2＝（A ．圆台B ．四棱锥C ．四棱柱D ．四棱台）6．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）7．一个正方体的体积是 8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．π8．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（ ）11 1 A ．1B ．C ．D ．2 369．《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米 （如图，A ．1：3B ．1：1C ．2：1D ．3：116A米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）A．14 斛B．22斛C．36 斛D．66斛10．正三棱柱有一个半径为 3 cm 的内切球，则此棱柱的体积是（）A．9 3 cm3B．54cm3C．27cm3D．18 3cm3 11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm ，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．17 B．C．10 D．27 2712．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，体积为（ ）500 3 cm 3 33C ．cm D ． cm33二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5 分，共 20分，把正确答案填在题中横线上）13．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______________________________________________________________________________ （填入所有可能的几何体前的编号 ） ．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．14．用斜二测画法画边长为 2 的正三角形的直观图时， 如果在已知图形中取的 x 轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是 ___________________ ．15．棱锥的高为 16，底面积为 512 ，平行于底面的截面面积为 50，则截得的棱台的高为 16．如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的A ． 3B ． cm3三、解答题（本大题共 6 个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10 分）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1: 4 ，母线长为10cm ．求圆锥的母线长．18．（12 分）如图是一个几何体的正视图和俯视图．（1）试判断该几何体是什么几何体？（2）画出其侧视图，并求该平面图形的面积；（3）求出该几何体的体积．19．（12 分）如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇如果冰淇淋融化了，淋，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．求这个几何体的20．（12 分）已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，体积．21．（12 分）如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为7 m ，制造这个塔顶需要多少铁板？22．（12 分）如图，正方体ABCD － A ′B′C ′D ′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：（1）三棱锥A′－BC′D 的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥A′－BC′D 的体积．）答案一、选择题（本大题共12 个小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．【答案】D【解析】由几何体的三视图可得，该几何体为四棱台．故选 D ．2．【答案】D【解析】△OAB 是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠ AOB＝90°，1∴S△OAB 6 4 12 ．故选D ．23．【答案】A22【解析】由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为9 15 3 34，2 2 2 则这个菱柱的侧面积为4 334 5 30 34 ．故选 A ．24．【答案】A【解析】依题意，得圆锥的底面周长为πR，母线长为R，则底面半径为R，高为3R，所22以圆锥的体积1R2 3 R3 R3．故选 A ．322245．【答案】D【解析】V1 :V2 Sh 1Sh 3:1．故选 D ．36．【答案】B【解析】设球半径是R，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为2，侧棱长为1 的正三棱柱，记上，下底面的中心分别是O1，O，易知球心是线段O1O 的中点，2于是2 1于是R23219，因此所求球的表面积是24 R241919，2312123故选 B ．7．【答案】C【解析】设正方体的棱长为a，则a3＝8，所以a＝2，而此正方体内的球直径为2，所以S 表＝4π2r＝4π．故选C．8．【答案】C解析】 该几何体的直观图为如图所示的四棱锥 P － ABCD ，且 PA ＝AB ＝AD ＝ 1，PA ⊥AB ， 1 PA ⊥ AD ，四边形 ABCD 为正方形，则 V 2 12 1 1 1 ，故选 C ． 3 39．【答案】B【解析】 设圆锥底面半径为r ，则 12 3r 8， 16 ∴ r 16 ，所以米堆的体积为 2 43 11 3 16 320 5， 故堆放的米约为 320 1.62 22 ，故选 B ． 43 3 9 910．【答案】 B【解析】 由题意知棱柱的高为 2 3 cm ，底面正三角形的内切圆的半径为 3 cm ， ∴底面正三角形的边长为 6cm ，正三棱柱的底面面积为 9 3 cm 2 ，∴此三棱柱的体积 V 9 3 2 3 54 cm 3 ．故选 B ．11．【答案】 C【解析】 由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示．切削掉部分的体积V 1＝π×23×6 π×22×4 π×23×2＝20π (cm3 )，V 20 10 原来毛坯体积V 2＝π×23×6＝54 π (cm3)．故所求比值为1．故选C．V2 54 2712．【答案】A【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R－2，则R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5．4 53∴球的体积为 4 53500 3 cm ．故选 A ．3二、填空题(本大题共4个小题，每小题 5 分，共20 分，把正确答案填在题中横线上) 13．【答案】①②③⑤【解析】三棱锥的三视图中含有三角形，∴正视图有可能是三角形，满足条件．四棱锥的三视图中含有三角形，满足条件．三棱柱的三视图中含有三角形，满足条件．四棱柱的三视图中都为四边形，不满足条件．圆锥的三视图中含有三角形，满足条件．圆柱的三视图中不含有三角形，不满足条件．故答案为①②③⑤．614．【答案】6415．【答案】1116．【答案】 36＋128 π【解析】 由三视图可知该组合几何体下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为1 V 3 4 6 16 8 36 128 2三、解答题（本大题共 6 个大题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）40 17．【答案】 40 cm ．3【解析】 如图，设圆锥母线长为 l ，则 l 10 1 ，所以 l 40 cm ．l 4 3解析】 设棱台的高为 x ，则有16 x 16 50 55102，解之，得 x ＝ 11．其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC 3a，AD 是正六棱锥的高，即AD 3a ，所以该平面图形的面积为1 3a 3a 3a2．22（3）设这个正六棱锥的底面积是S，体积为V，则S 6 3 a2 3 3a2，42所以V1 3 32 a3a33 a．32219．【答案】不会，见解析．【解析】因为V半球14 3 1 4 R343 134 cm23231 V圆锥3r2h14212201 cm 3，134<201，3所以V 半球＜V 圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．20．【答案】V 7．4【解析】由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半2 径为 2 和3的同心圆，故该几何体的体积为V 4 13 1 7．2 2 421．【答案】8 2 m2．【解析】如图所示，连接AC 和BD 交于O，连接SO．作SP⊥AB，连接OP．在Rt△ SOP中，SO 7 m ，OP 1BC 1 m ，所以SP 2 2 m ，2则△ SAB的面积是1 2 2 2 2 2 m2．所以四棱锥的侧面积是 4 2 2 8 2 m2，即 2制造这个塔顶需要8 2 m 铁板．22．【答案】（1）3；（2）a．33 【解析】（1）∵ ABCD －A′B′C′D′是正方体，∴ A B A C A D BC BD C D 2a ，∴三棱锥A′－BC′D 的表面积为 4 1 2a 3 2a 2 3a2．22 而正方体的表面积为6a2，故三棱锥 A ′－BC′D 的表面积与正方体表面积的比值为 2 3a 2 3 ．2．6a2 3（2）三棱锥A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的．故V 三棱锥A′－BC′D＝V 正方体－4V 三棱锥A′－ABD＝a3 4 1 1 a2 a a 3 2 3测试卷二一、选择题（本大题共12 个小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是（）2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．4 B．6 C．8 D ．123．下列命题中，正确的命题是（）A．存在两条异面直线同时平行于同一个平面B．若一个平面内两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行C．底面是矩形的四棱柱是长方体D．棱台的侧面都是等腰梯形4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（）A．0 B．9 C．快D．乐5．如图，△OAB 是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是（）A．6 B．3 26．下列几何图形中，可能不是平面图形的是（ A ．梯形 B ．菱形C ．6 2 D ．12）C ．平行四边形D ．四边形7．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，部分在平面ADD1A1上的正投影为（）M、N分别是BB1、BC 的中点．则图中阴影8．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．12 3 B．36 3 C．27 3 D．69．一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中（）10．若圆台两底面周长的比是1: 4 ，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（）11．如图所示，正四棱锥S ABCD 的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC 作截面SAC，则截面的面积为（）3 2 2 1 2 1 2A．a 2B．a2C．a2D ．a2A．AB∥CD B．AB∥平面CD C．CD ∥GH D ．AB∥GHB．1C．1 D．391292 2 312．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A．①③④B．②③④C．①②④ D ．①②③二、填空题（本大题共4个小题，每小题 5 分，共20 分，把正确答案填在题中横线上）13．已知A、B、C、D 四点在同一个球面上，AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，若AB＝6，AC 2 13，AD＝8，则B、C 两点间的球面距离是 _________ ．14．若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 _________ ．15．下列有关棱柱的说法：①棱柱的所有的面都是平的；②棱柱的所有的棱长都相等；③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等．其中正确的有______ ．（填序号） 16．如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，相对的面分别是三、解答题（本大题共 6 个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）画出如图所示的四边形OABC的直观图．（要求用斜二测画法，并写出画法）18．（12分）已知四棱锥P ABCD ，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．19．（12分）如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M 为AA1的中点，P是BC 上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29 ，设这条最短路线与CC1 的交点为N ．求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；（2）PC 和NC 的长．20．（12 分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为 4 的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为 4 的等腰三角形．求：（1）该几何体的体积V；（2）该几何体的侧面积S．21．（12 分）如图所示，一个封闭的圆锥型容器，当顶点在上面时，放置于锥体内的水面高度11为h1，且水面高是锥体高的1，即h1 1 h ，若将锥顶倒置，底面向上时，水面高为h2，求33h2 的大小．22．（12 分）如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm ，要剪下来一个扇形环ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）．试1）AD 应取多长？（2）容器的容积．答案一、选择题（本大题共12 个小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．【答案】D2．【答案】 A 【解析】由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S ABCD ，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD 为直角梯形．1 1 1 1∠DAB ＝90°，∴ V 1SA 1AB CD AD 1 2 1 2 4 2 4 ，故选A．3 2 3 23．【答案】A【解析】由空间几何体的概念可知，存在两条异面直线同时平行于同一个平面， A 正确；由面面平行的判定定理可知，若一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以 B 不正确；底面是矩形的直四棱柱是长方体，所以 C 不正确；正棱台的侧面都是等腰梯形，所以 D 不正确，故选 A ．4．【答案】B5．【答案】D【解析】△OAB 为直角三角形，两直角边分别为 4 和6，S＝12．故选D．6．【答案】D【解析】四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成 4 个顶点不共面的四边形．故选 D ．7．【答案】A8．【答案】B【解析】由三视图知该直三棱柱高为4，底面正三角形的高为 3 3 ，所以正三角形边长为6，所以V 3 36 4 36 3 ，故选 B ．49．【答案】C【解析】原正方体如图，由图可得CD∥GH，C 正确．故选C．10．【答案】D【解析】设上，下底半径分别为r1，r2，过高中点的圆面半径为r0，由题意得r 2＝4r1，r0 5 r1 ，2 22V上r1 r1r0 r0∴ 2 2V下r2 r2r0 r0 11．【答案】C 39，故选D．129解析】 根据正棱锥的性质，底面 ABCD 是正方形，∴ AC 2a ．在等腰三角形 SAC 中， SA ＝SC ＝a ，又 AC2a ，∴∠ ASC ＝90°，即 S △SAC 1 a 2．故选 C ． 212．【答案】 A 【解析】 当截面平行于正方体的一个侧面时得③； 当截面过正方体的体对角线时可得④； 当 截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得①．但无论如何都不能截得②．故选 A ．二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5 分，共 20分，把正确答案填在题中横线上） 4 13．【答案】 43 【解析】如图所示， 由条件可知 AB ⊥BD ，AC ⊥CD ．由此可知 AD 为该球的直径， 设 AD 的中点为 O ， 则 O 为球心，连接 OB 、 OC ，由 AB ＝6，AD ＝8， AC 2 13 ，得球的半径 OB ＝OC ＝OA15．【答案】 ①④⑤16．【答案】 ①与④，②与⑥，③与⑤【解析】 将展开图还原为正方体，可得①与④相对，②与⑥相对，③与⑤相对．＝OD ＝4，BC = AC 2- AB 22 13 624 ，所以球心角∠ BOC ＝60°，所以 B 、C 两点间的球面距离为 60 R 4 ．180 314．【答案】 27 π【解析】 若正方体的顶点都在同一球面上，则球的直径 d 等于正方体的体对角线的长． ∵棱 长为 3，∴ d 3 32 3 3 R 2∴ S ＝ 4πR 2＝ 27π．三、解答题（本大题共 6 个大题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】 见解析．【解析】 直观图如下图所示．（1）画轴：在直观图中画出 x ′轴， y ′轴，使∠ x ′O ′y ′＝45°．（2）确定 A ′，B ′，C ′三点，在 x ′轴上取 B ′使 O ′B ′＝4．过 （2,0），（4,0）两点作 y ′轴的平行线， 过（0,2） ， 0, 1 两点作 x ′轴的平行线，得交点 A ′，C ′． （3）顺次连接 O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，C ′O ′并擦去辅助线， 就得到四边形 OABC 的直观图 O ′A ′B ′C ′．解析】 由三视图知底面 ABCD 为矩形， AB ＝ 2，BC ＝4．顶点 P 在面 ABCD 内的射影为 BC 中点 E ，即棱锥的高为 2，则体积 V P ABCD 1 S ABCD PE 1 2 4 2 16 ．3 3 319．【答案】（1） 97；（2）PC ＝2， NC 4 ．5【解析】（1）正三棱柱 ABC A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为 9，宽为 4 的矩形，其对角线 的长为 92 4 2 97 ．（2）18．【答案】 16 3如图所示，将平面 BB 1C 1C 绕棱 CC 1旋转 120°使其与侧面 AA 1C 1C 在同一平面上， 点 P 运动 到点 P 1的位置，连接 MP 1，则 MP 1就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC 1到点 M 的最短路线． 设 PC ＝ x ，则 P 1C ＝x ．在 Rt △MAP 1中，22 x 22 29，求得 x ＝2．∴ PC ＝P 1C ＝2． 4 ，∴ NC ． 5 V 64 ；（ 2） S 侧 40 24 2 ．由已知该几何体是一个四棱锥 P －ABCD ，如图所示． 由已知， AB ＝ 8，BC ＝ 6，高 h ＝ 4，由俯视图知底面 ABCD 是矩形，连接 AC 、 BD 交于点 O ，连接 PO ，则 PO ＝4，即为棱锥的 高．作 OM ⊥AB 于 M ，ON ⊥BC 于 N ，连接 PM 、 PN ，则 PM ⊥AB ，PN ⊥BC ．∴在勾股定理得 3∵ NC P 1C 2MA P 1 A 520．【答案】（1） 【解析】PM PO 2 OM 2 42 32 5， PN PO 2 ON 2 42 42 4 2． 18011V Sh 8 6 4 64 ．33 （2） S 侧 2S △ PAB 2S △ PBC AB PM BC PN 8 5 6 4 2 40 24 2 ．21．【答案】 h 2 19 h ．232 1 2 1 2 2 19 V r h r h3 3 3 3 81解析】（1）设圆台上、下底面半径分别为 r 、R ，AD ＝x ，则 OD 72 x ， 2）∵ 2 r 3 OD 3 36，∴ r 6cm ，解析】 当锥顶向上时，设圆锥底面半径为 r ，水的体积为：当锥顶向下时，设水面圆半径为 r ′，则V 13 r'2 h 2．又 r' h h 2r ，此时 V 1322h 2 r h 2 h 2 3h 2 r 23h 232 h2 r 19 r 2h ，∴ 2 r h ，∴ 3h 2 81 h 23139 h ， 即所求 h 2的值为 19 h ．2322．【答案】（ 1） AD 36 cm ；（ 2）V 504 35 cm 3由题意得 2 R 6072 x 3R R 12 ．即 AD 应取 36cm ．x 36圆台的高 h Rr 362 12 6 2 6 35 ．r 2h ．1 6 35 122 12 6 6 2 504 35 cm3 3 3 2 3 3 18．【答案】（ 1）正六棱锥； （2）见解析， 3a 2；（3） 3a 3 ．22 【解析】（1）由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． （2）该几何体的侧视图如图． 1 2 2∴ V h R 2 Rr r 2 3。
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高一数学必修 2 第二章测试题
一、选择题（每小题
5 分，共 60 分）
1、线段
AB 在平面 内，则直线 AB 与平面
的位置关系是
A 、
AB B、 AB
C、由线段
AB 的长短而定
D、以上
都不对
2、下列说法正确的是
A 、三点确定一个平面 B、四边形一定是平面图形
C、梯形一定是平面图形 D、平面 和平面
有不同在一条
直线上的三个交点
3、垂直于同一条直线的两条直线一定
A 、平行 B、相交 C、异面 D、以
上都有可能
4、在正方体
ABCD A1B1C1D1 中，下列几种说法正确的是
A 、AC AD B、D C AB C、
AC
与
DC
o
角
D、
与
B C
1 成 45 AC 1 1 1 1 1 11
成
60
o
角
5、若直线 l ∥平面 ，直线 a ，则 l 与 a 的位置关系是
A 、l ∥ a B、l 与 a 异面 C、l 与 a 相交 D、l 与
a
没有公共点
6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行； （2）、平行于同一平面
的两个平面平行；
（ 3）、垂直于同一直线的两直线平行； （4）、垂直于同一平面的两直线平行
.其中
正确的个数有
A 、1 7、在空间四边形 B、2 C、3 ABCD 各边 AB、 BC、 CD、 DA 上分别取 E、F、G、H D、4
四点，如
果与 EF、GH
能相交于点
P ，那么
A 、点必 P 在直线 C、点 P 必在平面 AC 上 ABC 内 B、点
P 必在直线 BD 上
D、点 P 必在平面
ABC 外
8、a，b，c 表示直线， M 表示平面，给出下列四个命题：①若 a∥M，b∥M，
则 a∥b；②若 b M，
a∥ b，则 a∥M；③若 a⊥ c，b⊥c，则 a∥b；④若 a⊥M，b⊥M，则 a∥b.其
中正确命题的个数有
A 、0 个 B、 1 个 C、2 个 D、
3 个
9、一个棱柱是正四棱柱的条件是
A、底面是正方形，有两个侧面是矩形 B、底面是正方形，有
两个侧面垂直于底面
C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D、每个侧面都是全等
矩形的四棱柱
10、在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,
则截去 8 个三棱锥后 ,剩下的凸多面体的体积是
A、 2 B、 7 C、 4 D、
5
3 6 5 6
11、已知二面角 AB的平面角是锐角 ， 内一点 C 到 的距离为 3，点 C
到棱 AB 的距离为 4，那么 tan
的值等于
A、 3 B、 3 C、 7 D、
3 7
A' C'
P
B'
4 5 7 7
12、如图 :直三棱柱 ABC—A B C 的体积为 V，点 P、Q 分别在侧棱 AA
1
1 1 1
Q
和
A C
CC 上， AP=C 1 Q，则四棱锥 B— APQC 的体积为
B
1
A、 V B、 V C、 V D、
V
2 3 4 5
A 1 D
1
二、填空题（每小题
4 分，共 16 分）
B
1
13、等体积的球和正方体 ,它们的表面积的大小关系是
S球 _____ S
正方
体
C
1
(填 ”大于、小于或等于 ”).
D
C
14、正方体
ABCD
A1B1C1D1 中，平面 AB1D1 和平面 BC1D
的位置关系为
A
15、已知 PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面，若 PC
BD ，平行则四边形
B
ABCD 一定是
.
16、如图，在直四棱柱 A1B1C
1
D1－ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件
_________时，有 A B⊥B 1 D ． (注：填上你认为正确的一种条件即可，不
1 1
必考虑所有可能的情形 .)
三、解答题 ( 共 74 分, 要求写出主要的证明、解答过程 )
17、已知圆台的上下底面半径分别是 2、5,且侧面面积等于两底面面积之和
,求该
圆台的母线长 .(10 分 )
18、已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点，且
ＥＨ ∥ＦＧ．
求证： EH∥ BD. (12 分)
A
E H
B
D
F
G
C
、已知 ABC 中
ACB 90
o
，SA 面 ABC ，AD SC ，求证：AD 面 SBC ．(12
19
S
分 )
D
A B
C
20、一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下 ,然后用余下的四
个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器
,试建立容器的容积
V 与 x 的
函数关系式
,并求出函数的定义域
. (12 分)
10
5
x
E
D C
O
F
A
B
21、已知正方体
ABCD A1B1C1D
1
， O 是底 ABCD 对角线的交点 .
D1 C
1
求证：（１） C O ∥面
AB D
；
A
1
B
1
1 1 1
（2 ）
AC
1 面 AB1 D1
．
(14 分)
D
C
O
A B
22、已知△ BCD 中，∠ BCD=90°， BC=CD=1，AB⊥平面 BCD，
∠ ADB=60 ° ， E 、 F 分 别 是 AC 、 AD
上 的 动 点 ， 且
AE AF
A
AC (01). AD
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面 BEF⊥平面 ABC；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面 BEF⊥平面 ACD？ (14 分)
E
C
F
B
D