九年级数学切线长定理教案
初三数学切线长定理教学案
初三数学切线长定理教学案 【】初三数学切线长定理教学案使学生学会运用切线长定理解有关问题.通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想.教学目的：1.使学生理解切线长的概念，掌握切线长定理.2.使学生学会运用切线长定理解有关问题.3.通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想.教学重点和难点：切线长定理是教学的重点.切线长定理的灵活运用是教学的难点.教学过程：【一】复习提间：1.背诵切线的判定定理和性质定理.2.过圆上一点可作圆的几条切线?过圆外一点呢?过圆内一点呢?【二】讲授新课：1.切线长的概念(教师强调指出：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量;切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.).教师先画出图形，图1，然后板书：P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点.接着，直接告诉学生：切线PA、PB是直线，但在研究切线的一些特性时，需要用到线段PA、PB或者它们的长度(同学们在以后做题时将体会到)所以给图中的线段PA、PB的长起个名字叫做切线长.切线长的定义是：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.2.切线长定理(讲清定理的条件和结论、证明方法，并要求学生课上基本记住).教师引导学生继续观察，直观判断，猜想图中PA是否等于PB.学生容易想到PA=PB.图形可能存在着什么关系(线段PA=PB)，能不能证明出线段PA=PB呢?我们先从条件考虑：由PA、PB是⊙O 的切线，A、B是切点可以得出什么?(连结OA、OB那么OAP=Rt，OBP=Rt，且OA=OB).再想一想能否证出PA=PB(连结OP 得△OAP≌△OBP).通过三角形全等，不但证明了PA=PB，而且证出了OPA=OPB.教师板书证明过程证明：连结OA、OB、OP.PA、PB切⊙O于A、B引导学生用文字语言表达出切线长定理的具体内容：切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.3.切线长定理的应用.(1)例1 ，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点.直线OP交⊙O于点D，E，交AB于C.(1)写出所有的垂直关系;(2)写出所有的全等三角形;(3)写出所有的相似三角形;(4)写出所有的等腰三角形.。
切线长定理教案(优秀教案)-(含多款)
切线长定理教案(优秀教案)-(含多款)教案切线长定理教案一、教学目标1.让学生理解切线长定理的概念和意义，掌握切线长定理的证明和应用方法。
2.培养学生的几何思维能力，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
3.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。
二、教学内容1.切线长定理的概念和意义2.切线长定理的证明方法3.切线长定理的应用三、教学重点与难点1.教学重点：切线长定理的概念、证明和应用。
2.教学难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
四、教学方法1.采用启发式教学方法，引导学生自主探究切线长定理的证明和应用。
2.利用多媒体教学手段，展示切线长定理的直观图形，帮助学生理解定理。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在实践操作中掌握切线长定理的应用。
五、教学过程1.导入新课通过生活中的实例，如圆规作图等，引出切线长定理的概念，激发学生的学习兴趣。
2.讲解切线长定理的概念和意义（1）切线的定义：与圆相切，且与圆的半径垂直的直线。
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
3.证明切线长定理（1）构造图形，连接圆心与切点，利用圆的半径相等，证明切线长相等。
（2）通过几何画板演示证明过程，让学生直观感受定理的正确性。
4.切线长定理的应用（1）讲解切线长定理在几何作图中的应用，如求圆的切线、等分弦等。
（2）讲解切线长定理在解决实际问题中的应用，如求圆的直径、周长等。
5.课堂练习设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固切线长定理的应用。
6.总结与拓展（1）总结切线长定理的概念、证明和应用方法。
（2）拓展切线长定理的相关知识，如圆的切线方程、切线长定理的推广等。
7.课后作业布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和讨论情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2.作业完成情况：检查学生的作业，了解学生对切线长定理的掌握程度。
人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理教案
在难点解析部分，我发现通证明过程有了更清晰的认识。但仍有学生反映在理解证明思路时感到困难。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助手段，如动画演示或实物模型，来帮助学生们更好地理解几何证明的思路。
-证明思路：证明过程中涉及到的几何变换和逻辑推理对学生来说是难点。
-举例：在证明过程中，如何通过构造全等三角形和使用圆的性质来推导切线长定理。
-问题解决：学生在应用切线长定理解决具体问题时，往往难以找到合适的解题切入点。
-举例：在求解切线长或证明线段相等的问题时，学生可能不知道如何利用切线长定理来简化问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够观察和理解几何图形，发展空间想象力，提高解决几何问题的能力。
2.提升学生的逻辑推理与证明能力：引导学生探索切线长定理的证明过程，训练学生运用逻辑推理、几何论证的方法，培养严谨的数学思维。
3.增强学生的解决问题能力：通过切线长定理在具体题目中的应用，让学生掌握解决问题的方法和策略，提高解题效率，形成良好的数学解题习惯。
切线长定理(教案、课后反思、导学案)
第3课时切线长定理【知识与技能】理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.【过程与方法】利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念.【情感态度】经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.【教学重点】切线长定理及其应用.【教学难点】内切圆、内心的概念及运用.一、情境导入，初步认识探究如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？学生动手实验，观察分析，合作交流后，教师抽取几位学生回答问题.分析：OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.二、思考探究，获取新知1.切线长的定义及性质切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线.如右图中，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.由此我们得到切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【教学说明】这个定理要让学生分清题设和结论.题设：过圆外一点作圆的切线.结论：①过圆外的这一点可作该圆的两条切线.②两条切线长相等.③这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.猜想：在上图中连接AB，则OP与AB有怎样的关系？分析：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点.∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴OP⊥AB，且OP平分AB.2.三角形的内切圆思考如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？【教学说明】引导学生分析作图的关键，假设圆已经作出，圆心应满足什么条件，怎样根据这些条件确定圆心？圆心确定后，如何确定半径？教师引导，学生要互相讨论来解决这些问题.假设符合条件的圆已作出，那么这个圆与△ABC的三边都相切，这个圆的圆心到△ABC三边的距离都等于半径.又因为我们在角平分线这节中学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等.因此，在△ABC 中，作∠B，∠C的角平分线BM和CN，它们相交于点I，则点I到AB、BC、AC的距离相等.∴以I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC 三边相切.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形三边的距离相等.【教学说明】要让学生对照图形理解三角形的内切圆的概念，并与三角形的外接圆进行比较.“接”和“切”是说明多边形的顶点和边与圆的关系；多边形的顶点都在圆上叫“接”，多边形的边都与圆相切叫“切”.三、典例精析，掌握新知例1 教材第100页，例2（本题较简单，教师指点，可由学生自主完成）例2 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接OP，交⊙O于C，若PA=6.PC=23.求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角.分析：连接OA，设AO=x，在Rt△AOP中利用勾股定理求出x，由切线长定理知∠APO=12∠APB.求出∠APO就可得∠APB.解：连接AO，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，△PAO为直角三角形.设OA=x，则OC=x，在Rt△PAO中，OA2+PA2=OP2，∴x2+6232，解得3.∴33AOP=60°，∠APO=30°.∴∠APB=2∠APO=2×30°=60°.∴⊙O的半径OA为3PA、PB的夹角为60°.【教学说明】例1、例2是利用切线长定理进行计算，在解题过程中，我们常常用方程来解决几何问题.例3如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC=100°，则∠A=____.分析：∵I是内心.∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线.∴∠ABC+∠ACB=2（∠IBC+∠ICB）.又∵∠BIC=100°，∴∠IBC+∠ICB=80°.∴∠ABC+∠ACB=160°.∴∠A=180°-160°=20°.【教学说明】指导学生利用三角形内心的性质解决问题.四、运用新知，深化理解课本第100页练习1、2题.【教学说明】教师引导学生完成课本练习.五、师生互动，课堂小结这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？【教学说明】学生自主交流并发言总结，教师予以补充和点评，让学生完整地领会本堂课的知识要点.1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.24.2.2直线和圆的位置关系第3课时切线长定理一、新课导入1.导入课题：情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B.问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题).2.学习目标：（1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.（2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.（3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.3.学习重、难点：重点：切线长定理及其运用.难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”之前的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？能作两条.②在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长，如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长.③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而得出结论.④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理.文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B.∴PA = PB,OP平分∠APB .2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明.②差异指导：根据学情确定指导方案.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：（1）切线长定理及它的证明.（2）交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB交OP于点C，则图中有哪些垂直关系？哪些全等三角形？若设线段OP与⊙O的交点为D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O 的半径长吗？解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.设⊙O 的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2.解得r=3. 即⊙O的半径长为3.1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”到第100页的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：阅读，画图，推理，猜想.(4)自学参考提纲：①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I.因为⊙I与BA,BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上；因为⊙I与CA,CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上；所以点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点.a.作∠ABC的平分线，∠ACB的平分线，交于点I；b.过I作ID⊥BC于D，以I 为圆心，ID为半径画圆，则⊙I即为所求.②三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫三角形的内心.它是三角形三条角平分线的交点，它到各条边的距离都相等.③已知：如图，在△ABC中，AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长.设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得x=4.因此AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生是否清楚三角形内切圆的作图思路.②差异指导：注意帮助学生理清前后知识间的联系.（2）生助生：生生互动，交流，研讨.4.强化：(1)三角形内切圆的作图和内心的概念和性质.(2)如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12∠ABC+12∠ACB=12×（50°+75°）＝62.5°.∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB＝117.5°.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题方法？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习的方法、效果及存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分) 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为（C）A.3cmB.4cmC.5cmD.9cm2.(10分) 如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=（C）A.172°B.130°C.133°D.100°3.(10分)如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P、Q为切点，若VP=3cm，则VQ=3cm.3.若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝cm4.(20分)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.解：∵PA是⊙O的切线.∴∠OAP=90°.∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.∵OA＝OB,∴∠OBA=∠OAB=25°.∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP=90°,∴∠ABP=65°.∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.5.(20分)如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=1.65m, 并且x Y⊥WY,这个油桶底面半径是多少?解：设圆心为O，连接OW,O x.∵YW,Y x均是⊙O的切线，∴OW⊥WY,O x⊥x Y，又∵x Y ⊥WY ,∴∠OWY ＝∠O x Y ＝∠WY x ＝90°，∴四边形OWY x 是矩形，又∵OW=O x .∴四边形OWY x 是正方形.∴OW=WY=1.65m.即这个油桶底面半径是1.65m.二、综合应用（15分）6.(15分)△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的周长为l ，求△ABC 的面积.（提示：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ）解：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC.则ABC AOB BOC AOC S S S S =++ ()AB r BC r AC r AB BC AC r lr =++=++=1111122222. 三、拓展延伸（15分）7.(15分)如图，AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，且AB ∥CD ，BO ＝6cm ，CO ＝8cm ，求BC 的长.解：∵AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切，则OB 平分∠EBF ，DC 平分∠FCG .∵AB ∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF=180°-12(∠EBF+∠GCF)=90°.∴在Rt △BOC 中，BC=OB2+OC2=62+82=10（cm ）.。
九年级数学初三下册：7 切线长定理教案
一、选择题 1. 如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，根据图形得出四个结论：① PA＝PB；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④AB被OP垂直平分．其中正确结论 的个数为( D) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 一个钢管放在 V 形架内，如图是其截面图，O 为钢管的圆心，如果钢 管的半径为 25 cm，∠MPN＝60°，则 OP 等于( A )
AD＝ 23OA＝ 23，∴PD＝32，∴PC＝3，AB＝ 3，∴菱形 ACBP 的面积＝12 AB·PC＝
解：(1)连接 OA.∵PA 为⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°.在 Rt△AOP 中，∠ AOP＝90°－∠APO＝90°－30°＝60°，∴∠ACP＝12∠AOP＝12×60°＝30 °，∴∠ACP＝∠APO，∴AC＝AP，∴△ACP 是等腰三角形
8. (遵义中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°， 连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC. (1)求证：四边形ACBP是菱形； (2)若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．
5. 如图，PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC的 度数是____2_0_°___．
6. 如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H.若AB＝4 cm， AD＝3 cm，BC＝3.6 cm，则CD＝_________2_.6cm.
三、解答题 7. 如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2 cm，点P为CD的延长线上一点，过点P 作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B. (1)连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形； (2)填空： ①当DP＝___1_cm时，四边形AOBD是菱形； ②当DP＝_____2_－__1____cm时，四边形AOBP是正方形．
九年级数学切线长定理公开课表格版教案
切线长定理及其应用
教学难点
灵活运用切线长定理解决问题
教学方法
合作探究法、演示法、讲授法
课前准备
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
目标导学
1、了解切线长的定义，掌握切线长定理
2、能利用切线长定理解决问题
齐读学习目标
合作
学习
探究
新知
（一）切线长的定义
3、推理证明。
4、师生合作总结
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
5、用几何〔符号〕语言表示切线长定理
6、衔接中考。〔见PPT〕
理解、识记切线长的定义
运用绘图工具，标准作图，观察图形，得出结论。
通过观察图形，能正确区分切线和切线长，记录结论
(1)请写出图中所有相等的线段
(2)请写出图中所有的垂直关系
(3)请写出图中与∠APO相等的角
(4)请写出图中所有的等腰三角形
(5)请写出图中所有的全等三角形
在解决圆的切线长问题时，往往需要我们构建根本图形，添加辅助线.〔1〕连接圆心和切点(2)连接两切点〔3〕连接圆心和圆外一点
在独立完成的前提下，开展小组学习活动，交流自学成果。
小组代表展示学习成果
课堂
小结
本节课你收获了什么？
回忆本节课内容
达标检测
〔见PPT〕
积极完成达标检测，学生进行自评和他评。
作业布置
〔见PPT〕
板书设计
课题
知识要点学生练习小组评价
反思建议
通过观察图形，结合已有知识储藏，进行合理推想
通过测量或对折验证推想结论
调动知识储藏，进行推理证明。
人教版数学九年级上册第24章圆《切线长定理》教学设计
-使用动态图形展示切线与圆的关系，帮助学生形成直观的认识。
-利用信息技术手段，制作互层次的学生设计不同难度的练习和任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
-设计探究活动，鼓励学生提出假设，通过实际操作验证假设。
-组织小组讨论，培养学生的合作意识和交流能力。
2.逻辑推理：运用几何知识和逻辑推理方法证明切线长定理。
-引导学生运用已学的几何知识，如圆的性质、直角三角形的性质等，进行逻辑推理。
-培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
3.应用与实践：将切线长定理应用于解决实际问题，提高学生的应用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将利用学生的生活经验和已有知识，激发他们对新知识的兴趣和好奇心。首先，我会提出一个问题：“在日常生活中，你们有没有见过或听说过道路或铁路在接近圆形交叉路口时，为什么会设计成曲线而非直线呢？”通过这个问题，引导学生思考圆与直线的关系，从而自然过渡到切线的概念。
-注意：要求学生在解题过程中注重逻辑推理的严密性和步骤的完整性。
2.实践应用题：选择一个生活中的实际问题，如道路设计、园林规划等，运用切线长定理进行解决，并将解题过程和结果写成小报告。通过这项作业，学生可以更好地理解数学与实际生活的联系，提高解决实际问题的能力。
-提示：鼓励学生使用图形和图表来辅助说明解题思路，使报告更加清晰易懂。
1.切线与半径的垂直关系：通过动态演示切线与半径的垂直关系，引导学生观察和思考，从而得出切线与半径垂直的结论。
2.切线长定理的证明：利用直角三角形的性质，分步骤引导学生完成切线长定理的证明。在此过程中，强调每一步的逻辑推理和几何依据。
人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计
人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》是九年级数学中的一个重要知识点。
切线长定理是指：圆的切线长等于半径的长度。
这个定理在几何学中有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象力有重要作用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的相关概念和性质有所了解。
但是，对于切线长定理的证明和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解切线长定理的证明过程，并通过例题让学生掌握切线长定理的应用。
三. 教学目标1.让学生理解切线长定理的定义和证明过程。
2.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。
四. 教学重难点1.切线长定理的证明过程。
2.切线长定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过探究问题来理解切线长定理。
2.使用多媒体课件，直观展示切线长定理的证明过程。
3.通过例题和练习题，让学生巩固切线长定理的应用。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.练习题和测试题。
3.黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些与圆和切线有关的图片，引发学生的兴趣。
然后提出问题：“圆的切线长和半径有什么关系？”让学生思考。
2.呈现（10分钟）讲解切线长定理的定义和证明过程。
首先，解释切线的概念，然后说明切线与半径的关系，最后证明切线长等于半径的长度。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组尝试证明一个圆的切线长等于半径的长度。
每组派代表进行讲解，老师点评并给予指导。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
题目包括判断题、选择题和解答题，涵盖切线长定理的证明和应用。
5.拓展（10分钟）让学生思考：切线长定理在实际生活中有哪些应用？可以举例说明。
鼓励学生发表自己的观点和想法。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行简要回顾，强调切线长定理的定义和证明过程，以及其在实际问题中的应用。
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直线和圆的位置关系姓名切线长定理和弦切角定理学习目标：1．了解切线长概念，探索过圆外一点向圆引的两条切线的切线长之间的关系；2．了解弦切角概念，理解并掌握弦切角定理；本节重点切线长定理的应用和弦切角定理的应用．难点探索圆的切线长定理和弦切角定理。
知识储藏1．切线定义和圆公共点的直线是圆的切线；过的直线是圆的切线。
2.切线的性质：圆的切线过的半径。
3．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于；4.圆周角定理的推论：推论1、或所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的相等；推论2、或所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是。
教材学习1.切线长：过圆上一点可以做条切线，过圆外一点可以做条切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
如图，线段PA、PB的长。
2．切线长定理：如下图，易证Rt△PAO≌Rt△PBO，故有PA=PB，∠APO=∠BPO。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两条切线的夹角。
3.弦切角是指顶点在圆上，一边与圆相交、另一边和圆相切的角；4.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．5.弦切角定理推论：如果两个弦切角所夹弧相等，那么这两个弦切角也相等．典型例题例1．如图，P为⊙0外一点，PA切⊙0于A，PB切⊙0于B，BC为直径，求证：AC//0P. 变式．如图，CB、CD是⊙O的切线，切点分别为B、D,CD的延长线与⊙O的直径BE的延长线交于A点，连OC，ED.(1〕探索OC 与ED的位里关系，并加以证明；(2〕假设OD=4，CD=6，求tan∠ADE的值．例2．如图，PA、PB切⊙0于A、B，PA=PB=4，∠APB=40º，C 是弧AB 上任意一点，过C作⊙0的切线分别交PA、PB于D、E, 求：(1〕△PED的周长；(2〕∠DOE的度数。
例3．：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C,BD⊥PD,垂足为D，与圆相交于E，连接BC。
求证：(1〕点C平分弧AE；(2)BC2自主检测1．如图。
PA、PB切⊙0于A、B。
直线PO交⊙0于点D、E，交AB 于点C。
〔1〕写出图中所有的垂直关系；〔2〕写出图中所有的全等三角形；〔3〕如果PA=4，PD=2，求半径0A的长。
2、：如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B 是切点，BC是直径。
求证：AC//OP3、如图△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。
4、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D。
求证：AC平分∠BAD5、如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OB交⊙O点C，AD⊥OB，垂足为D。
求证：∠1=∠26、：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD 切⊙O于点C，BD⊥PD垂足为D，与圆相交于E，连接BC.求证：〔1〕点C平分弧AE 〔2〕BC2=A B·B D7、如图，AD是⊙O的切线，AC 是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，求△ABC各边的长。
8、如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线交于点C，你能得出哪些结论？为什么？9、如图，过圆内△ABC的顶点A作该圆的切线与BC的延长线交于P，∠APB的平分线分别交AB、AC于D、E.求证：AD=AE拓展如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点C 的切线与AB的延长线相交于点D，A E⊥DC交DC于点E。
〔1〕求证：AC是∠EAB的平分线；〔2〕假设BD=2，DC=4，求AE和BC的长。
直线和圆的位置关系〔四〕M O CBA 学习目标：1．了解相交弦定理及其推论，会用相交弦定理及推论解决相关问题； 2．了解切割线定理及其推论，会用切割线定理及推论解决相关问题。
本节重点 相交弦定理的应用和切割线定理的应用．难点 将有关圆的比例线段问度转化成相交弦问题和切割线问题。
知识储藏1．相似三角形的性质：假设两个三角形相似，则对应角 ，对应边 ； 2．相似三角形的判断方法：1) 2〕 、3) ； 3．圆周角定理的推论或 所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的 相等；4．垂径定理：垂直于弦的直径平分 ； 5．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的 。
教材学习1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．证明：如图，弦AB 和CD 相交于点P,由 = ； = ； 得：△ ∽△ ,故： = ；即： = 。
如果弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
〔类似于射影定理〕，如图，即： = 。
2． 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
3．如图，PT 切线，PAB 是割线易证：△ ∽△ 故： =即： = .4．切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线， 者点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。
如图， PA.PB=PD.PC=PT 2典型例题例1. ，如图AB 、CD 相交于P,AB=12cm,P 将CD 分成4cm 和5cm 两局部．，求PA 、PB 的长。
例2．(1)如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，P 是BA 延长线上的点，连结PC 交O ⊙ 于F ，如果713PF FC ==，，且::2:4:1PA AE EB =，那么CD 的长是 ．(2)如图，过点P 作O ⊙的两条割线分别交O ⊙于点A B 、和点C D 、，32PA AB PC ===，，则PD 的长是O FEDC BA P(3)如图，BC 是半圆O ⊙的直径，EF BC ⊥于点F ，5BFFC=．点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，且82AB AE ==，，则AD 的长为_____________．例3．：如图⊙0和⊙O ′都经过点A 和B ，PQ 切⊙0于P ，交⊙0′于Q 、M ，交AB 的延长线于N 。
求证：NQ NM PN ⋅=2自主检侧1.AB 、AC 分别切⊙0于B 、C ，BC 交OA 于D ，连结0B 、OC ，则圆中的直角三角形共有〔 〕个. A .3 B 4 C 5 D 6 2．AB 切⊙O 于B ，ACD 是过O 点的割线，且∠A=50º，则BC 弧的度数为〔 ) A .50º B 140º C ．90º D.280º3．过⊙0外一点P 引圆的两切线PA 、PB ，A 、B 是切点，∠P=9O º，OP=4，则⊙0半径的长为〔 〕A .4 B. 8 C 22 D ．24．BC 是⊙0的直径，P 是BC 延长线上一点，且PC=OC ，PA 是⊙0的切线，且PA=3，则⊙0半径为〔 〕A .3 B .6 C 3 D 32 5.：⊙0的半径为3cm ，P 为⊙0外一点，且OP=6cm ，则两条切线所夹的∠CPD= 度和切线长 cm ．6．：AB 为⊙0的弦，D 为AB 的中点，CD ⊥AB 于D ，AB=10cm ，CD=3cm ，则⊙O 的半径= cm ．7．己知：PC 为⊙0的切线，C 为切点，PAB 为⊙0的割线，假设PA=4cm ，AB=5cm ，则PC= cm ． 图，在O ⊙中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM MC =，假设1.54AM BM ==，，则OC 的长为A BCDEF O ODCB AP9．：如图，在△ABC 中，∠BAC=90º，以AB 为直径作⊙0的切线交BC 于E 点，过D 点作⊙O 的切线交AC 于E 点，求证：AE=EC作业A 组1．圆外切四边形ABCD 中，AB=2，BC=3,CD=4，则AD= 2．从圆外一点向圆所作两条切线的夹角为600，切线长是10厘米，则圆的半径长为 厘米，3．PA 、PB 分别切⊙0于A 、B ，DE 切⊙0于C 点，DE 分别交PA 、PB 于E 、D 点，假设⊙0半径长为6cm ，PO=10cm ，则△PED 的周长为 cm 。
4、如图1，AB 、AC 是⊙0的两条切线，切点为B 、C ，D 是优弧BC 上一点，己知∠BAC=80º，那么∠BDC= 度。
5、如图2，AB 和AC 分别切⊙0于B 、C ，AB=50，DE 是⊙O 的切线，与AB 、AC 分别交于D 、E ，则△ADE 的周长为〔 ) A .25 C 75 D 100 6．假设圆外切四边形ABCD 的面积为20平方厘米，AD 边与BC 边的和为10厘米，则该圆半径长为〔 〕 厘米 厘米 B 组7、如图3，在圆的内接四边形ABCD ，AC 平分∠BAD,EF 切⊙0于C 点，那么图中与∠DCF 相等的个数是〔 〕8、在直径为8的圆外有一点P 到圆的最近点的距离为4，经过点P 作圆的两条切线，则切线的长为 ，两切线的夹角为 ；9如图4，PC 是半圆的切线，且PB OB =，过B 的切线交PC 与D ，假设6PC =，则O ⊙半径为 ，:CD DP =__________．O Q P D CBA10如图，正方形ABCD 内接于O ⊙，点P 在劣弧AB 上，连结DP 交AC 于点Q ．假设QP QO =，则QCQA的值为_______.11、如图，AB 是圆的直径，C 是圆上一点，CD ⊥AB ，过C 、B 作圆的切线，它们相交于点E,连接AE ，交CD 于P 。
求证：(1)AB AD BE PD =(2)PC=PD12.如图，同心圆O ，AC DF 、交小圆于B E 、两点，求证：AB AC DE DF ⋅=⋅．13.：AD 切△ABC 的外接圆于A ，交BC 的延长线于D ，DF 平分∠ADB ，分 别交AC 、AB 于E 、F 。
求证：〔1〕DC ︰DB = AC 2︰AB 2 〔2〕AE = AF 〔3〕AE 2 = CE ·BE14.如图4，AD 为⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，过B 的割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，假设AB，求⊙O 的半径。
PD COBAO F ED C B AD A BC E F。