高中数学选择性必修三 7 1 1 条件概率 导学案

7.1.1 条件概率

1.通过实例,了解条件概率的概念；

2.掌握求条件概率的两种方法；

3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题；

4.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法.

重点：运用条件概率的公式解决简单的问题

难点：条件概率的概念

1.条件概率

一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,

.

称为条件概率,记作P(A|B), 而且P(A|B)=P(A⋂B)

P(B)

2. 概率的乘法公式

由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则

P（AB）=P（A）P（B|A）.

我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）.

3.条件概率的性质

条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.

设P（A）>0，则

（1）P（Ω|A）=1；

（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）；

（3）设B和B̅互为对立事件，则P（B̅|A）=1−P（B|A）.

一、问题探究

在必修“概率” 一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A 与B 同时发生（积事件AB ）的概率的问题，当事件A 与B 相互独立时,有 P(AB )=P （A ）P （B ）

如果事件A 与B 不独立，如何表示积事件AB 的概率呢？下面我们从具体问题入手.

问题1 . 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示， 在班级里随机选一人做代表， （1）选到男生的概率是多大？

（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？

团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30

15

45

问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？

（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？

分析：求P （B|A ）的一般思想

因为已经知道事件A 必然发生，所以只需在A 发生的范围内考虑问题，即现在的 样本空间为A.

因为在事件A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件 B 同时发生，

A A B

即AB发生.所以事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率P（B|A）=n(AB)

n(A)

.为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为W，则有

P（B|A）=n(AB)

n(W)

n(A)

n(W)

=P(AB)

P(A)

.

一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,

称为条件概率,记作P(B|A), 而且P(B|A)=P(AB)

P(A)

.

问题1. 如何判断条件概率?

问题2. P(B|A)与P(A|B)的区别是什么?

条件概率与事件独立性的关系

探究1：在问题1和问题2中，都有P（B|A）≠P（B）.一般地，P（B|A）与P（B）不一定相等。如果P（B|A）与P（B）相等，那么事件A与B应满足什么条件？

探究2：对于任意两个事件A与B，如果已知P（A）与P（B|A），如何计算P（AB）呢？

二、典例解析

例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:

(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.

例2：已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？

例3: 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最后1位数字.求：

（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；

（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。

跟踪训练1.一个盒子中有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每一次取后不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的概率.

1.已知P (AB )=1

2

,P (A )=3

5

,则P (B|A )等于( )

A.5

6

B.9

10

C.3

10

D.1

10

2.下列说法正确的是( )

A.P (A|B )=P (B|A )

B.P (B|A )>1

C.P (A ∩B )=P (A )·P (B|A )

D.P ((A ∩B )|A )=P (B )

3.设A ,B 为两个事件,若事件A 和B 同时发生的概率为3

10,在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率为1

2,则事件A 发生的概率为 .

4.某气象台统计,该地区下雨的概率为415

,刮四级以上风的概率为2

15

,既刮四级以上的风又下雨的概率为

1

10

.设A 为下雨,B 为刮四级以上的风,求P (B|A ).

5.在100件产品中,有95件合格品,5件不合格品,现从中不放回地取两次,每次任取1件产品.试求: (1)第一次取到不合格品的概率;

(2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.

6.在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少答对其中的4道题即可通过;若至少答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.