2023年上海中学自主招生数学试卷
2019年上海中学自招数学试卷
2019上海中学自主招生试卷及答案1、已知0a ≠，求2323a a a a a a++=___________ 【答案】3或1-【解析】①0a >时，23231113a a a a a a++=++=； ②0a <时，23231111a a a a a a++=-+-=-； 2、因式分解：332x x -+【答案】()()212x x -+【解析】拆项()()3323222121x x x x x x x x -+=--+=--- ()()()()()()()2211211212x x x x x x x x x =+---=-+-=-+ 3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与20ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________【答案】3【解析】设m ，n 分别为20ax ax b ++=与20ax bx b ++=的两个实数根，1m n ⋅=，1n m ∴=，由题意得20am an b ++=①与20an bn b ++=②，将1n m=代入到20an bn b ++=有2110a b b m m++=，变形得20bm bm a ++=③，由①③联立得()()()20b a m b a m a b -+-+-=，讨论：1）0b a -=，0b a =≠时，m ，n 为210x x ++=的实数根，22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立，所以此种情况无解；2）0b a -≠时，有210m m +-=，有11m m -=-，且222221123m n m m m m ⎛⎫+=+=-+= ⎪⎝⎭4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个【答案】372【解析】设较小的两边为x 、y ，且x y ≤，则最大边为15的三角形有如下情况：15x y ≤≤，15x y +>①1x =时，15y =；②2x =时，15y =，14y =；③3x =时，15y =，14y =，13y =；④4x =时，15y =，14y =，13y =，12y =；⑤5x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =；⑥6x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =；⑦7x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =；⑧8x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =，8y =； ⑨9x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =； ……共有12345678765432164++++++++++++++=种同理：最大边为14的有1234567+765432156++++++++++++=种 最大边为13的有123456765432149++++++++++++=最大边为12的有12345665432142+++++++++++=最大边为11的有1234565432136++++++++++=最大边为10的有123455432130+++++++++=最大边为9的有12345432125++++++++=最大边为8的有1234432120+++++++=最大边为7的有123432116++++++=最大边为6的有12332112+++++=最大边为5的有123219++++=最大边为4的有12216+++=最大边为3的有1214++=最大边为2的有112+=最大边为1的有1综合共有：1246912162025303642495664=372++++++++++++++种5、已知点()3,5C ，()0,1D ，A 、B 两点在x 轴上且2AB =,已知点A 在x 轴右侧，求ABCD C 的最小值为_________ 【答案】737+6、如图，正方形ABCD 边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 中点，AF 分别交线段DE ，DB 于点M 、N ，求DMN S =__________【答案】815【解析】利用比例，延长AF 、DC 交于点G ，//AB CD ,::1:4AM MG AE DG ∴== ::1:2AN NG AB DG ∴==:3:2AM NM ∴=，:3:2AM NM ∴=且::2:1DN NB AD BF ==，2224825531515DMN DAN ABD S S S ==⨯=⨯= 7、已知1a >a a x x -+=143a -+- 【解析】8、已知：()11,2,3,,i x i n <=⋅⋅⋅，且12121000n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（ ）A 、999B 、1000C 、1001D 、1002 【答案】D9、已知：在ABC 中，8AB =，6AC =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且2AD =，当ADEACB 时，AE =_________ 【答案】32或83【解析】进行分类，按照斜A 形分为两类，画图计算可得32或83 10、如图，在ABC ，AB AC =，过点B 在ABC ∠内部作任一射线，作AH ⊥射线于点H ，在图上任取一点P ，使得//HP BC ，且12HP BC =，联结AP 、CP ，求证：AP CP ⊥【答案】见解析【解析】延长BH ，CP 交于点M ，联结AM ，借用垂直平分线求证AB AM AC ==，从而易得AP CP ⊥11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？【答案】216个附：无答案试卷题目1、已知0a ≠，求2323a a a a a a++=___________ 2、因式分解：332x x -+3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与20ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个5、已知点()3,5C ，()0,1D ，A 、B 两点在x 轴上且2AB =,已知点A 在x 轴右侧，求ABCD C 的最小值为_________6、如图，正方形ABCD 边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 中点，AF 分别交线段DE ，DB 于点M 、N ，求DMN S =__________7、已知1a >，解方程：a a x x -+= 8、已知：()11,2,3,,i x i n <=⋅⋅⋅，且12121000n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（ ）A 、999B 、1000C 、1001D 、10029、已知：在ABC 中，8AB =，6AC =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且2AD =，当ADE ACB 时，AE =_________10、如图，在ABC ，AB AC =，过点B 在ABC ∠内部作任一射线，作AH ⊥射线于点H ，在图上任取一点P ，使得//HP BC ，且12HP BC =，联结AP 、CP ，求证：AP CP ⊥11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？。
2019年上海中学自主招生数学试卷-附答案详解
2019年上海中学自主招生数学试卷1.已知a≠0，求a|a|+a2|a2|+a3|a3|=______．2.因式分解：x3−3x+2=______．3.已知两二次方程ax2+ax+b=0与ax2+bx+b=0各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为______．4.求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为______个．5.已知点C(3,5)，D(0,1)，A、B两点在x轴上且AB=2.已知点A在x轴右侧，求C ABCD的最小值为______．6.如图，正方形ABCD边长为2，点E、F分别为边AB、BC中点，AF分别交线段DE、DB于点M、N，则S△DMN=______．7.已知a>1，解方程：√a−√a+x=x．8.已知：|x i|<1(i=1,2,3,…,n)，且|x1|+|x2|+⋯+|x n|=1000+|x1+x2+⋯+x n|，则n的最小值为()A. 999B. 1000C. 1001D. 10029.已知，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D、E分别在边AC、AB上，且AD=2.当△ADE∽△ACB时，AE=______．10.如图，在△ABC中，AB=AC，过点B在∠ABC内部作任一射线，作AH⊥射线于点H，在图上取一点P，使得HP//BC，且HP=12BC.联结AP、CP，求证：AP⊥CP．11.一个正方形上每条边上有三个四等分点，由这些四等分点，最多可组成多少个三角形？答案和解析1.【答案】3或−1【解析】解：当a>0时，|a|=a，∴a|a|+a2|a2|+a3|a3|=1+1+1=3，当a<0时，|a|=−a，a |a|+a2|a2|+a3|a3|=−1+1−1=−1，∴，a|a|+a2|a2|+a3|a3|的值为3或−1，故答案为3或−1．分两种情况求：当a>0时，|a|=a，当a<0时，|a|=−a，即可求解．本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．2.【答案】(x−1)2(x+2)【解析】解：原式=x3+2x2−2x2−4x+x+2=x2(x+2)−2x(x+2)+(x+2)=(x2−2x+1)+(x+2)=(x−1)2(x+2)．故答案为：(x−1)2(x+2)．根据分组分解法的法则原则将x3−3x+2分组，再利用提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可．本题考查分组分解法分解因式，掌握分组分解法的分组原则，即因式分解在组内能进行，在组与组之间也能进行，是正确解答的关键．3.【答案】3【解析】解：设方程两根分别为：m、1m ，则{am2+am+b=0bm2+bm+a=0相减可得：(a−b)(m2+m−1)=0，若a≠b，则m2+m−1=0，得m−1m=−1，∴m2+1m2=(m−1m)2+2=3，故答案为3．设方程两根分别为：m、1m ，则{am2+am+b=0bm2+bm+a=0，两式相减得到(a−b)(m2+m−1)=0，即可得到m2+m−1=0，得m−1m =−1，进而得到m2+1m2=(m−1m)2+2=3．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系的应用，用到的知识点：x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．4.【答案】372【解析】解：设较小的两边长为x、y且x≤y，则x≤y<16，x、y∈N∗．当x=1时，y=1～15，三角形有15个；当x=2时，y=2～15，三角形有27个；当x=3时，y=3～15，三角形有36个；当x=4时，y=4～15，三角形有42个；当x=5时，y=5～15，三角形有45个；当x=6时，y=6～15，三角形有45个；当x=7时，y=7～15，三角形有42个；…当x=15时，y=15，三角形有1个．所以不同三角形的个数为15+27+36+42+45+45+42+36+28+21+15+10+6+3+1=372．故答案为：372．根据题意，设较小的两边长为x、y且x≤y，可得关系式x≤y<16，x、y∈N∗；分别令x=1、2、3、4、5、......、15，分别求得y的可取值，由分类计数原理，计算可得答案．本题考查了三角形三边关系，关键是列出约束条件，然后寻找x=1、2、3、4、5、......、15时，y的取值个数的规律，再用分类计数原理求解．5.【答案】7+√37【解析】解：如图：将D沿x轴正方向平移2个单位得D′，再作D′关于x轴的对称点D′′，∵DD′//AB，DD′=AB，∴四边形ABDD′为平行四边形，∴BD=AD′，∵D′关于x轴的对称点为D′′，∴BD=AD′′，∴BD+AC=AD′′+AC≥D′′C，∵C(3,5)，D(0,1)，∴D′′的坐标为(2,−1)，∴D′′C=√(3−2)2+(5+1)2=√37，∵CD=√(3−0)2+(5−1)2=5，∴C ABCD的最小值为AB+CD+D′′C=7+√37．故答案为：7+√37．将D沿x轴正方向平移2个单位得D′，再作D′关于x轴的对称点D′′，先证明四边形ABDD′为平行四边形得BD=AD′，再由D′关于x轴的对称点为D′′得BD=AD′′，从而得BD+AC= AD′′+AC≥D′′C，再由两点距离公式求出D′′C、CD、AB即可．本题主要考查了最短距离问题，将D沿x轴正方向平移2个单位得D′，再作D′关于x轴的对称点D′′，将BD+AC转化为AD′′+AC是解决此题的关键．6.【答案】815【解析】解：∵正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴AD =AB =2，AE =BF =1，∠EAD =∠FBA =90°，∴DE =AF =√22+12=√5，△ADE 和△BAF 中，{AD =AB ∠EAD =∠FBA AE =BF，∴△ADE≌△BAF(SAS)，∴∠ADE =∠BAF ，而∠BAF +∠DAM =90°，∴∠ADM +∠DAM =90°，∴AM ⋅DE =AE ⋅AD ，即AM ×√5=1×2，∴AM =2√55，∴DM =√AD 2−AM 2=√22−(2√55)2=4√55， ∵AD//CB ， ∴AN ：NF =AD ：BF =2：1，∴AN =23AF =2√53， ∴MN =2√53−2√55=4√515， ∴S △DMN =12DM ⋅MN =12×4√55×4√515=815． 故答案为：815． 根据正方形的性质及勾股定理得DE 的长，根据全等三角形的判定与性质得∠ADM +∠DAM =90°，然后由相似三角形的对应边成比例及三角形的面积公式可得答案． 此题考查的是全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握其性质定理是解决此题关键．7.【答案】解：设y =√a +x ，则y 2=a +x①，则原式变形为：√a −y =x ，∴x 2=a −y②，∴(x+y)(x−y+1)=0，∴x+y=0或x−y+1=0，当x+y=0时，∵x≥0，y≥0，∴x=y=0，∴a=0，此种情况不符合题意；当x−y+1=0时，代入①得：(x+1)2=a+x，，解得：x=−1±√4a−32∵x≥0，(a>1)，∴x=−1+√4a−32∴原方程的解为：x=−1+√4a−3(a>1)．2【解析】设y=√a+x，代入原方程可得√a−y=x，两式平方后相减可得x2−y2=−y−x，分解因式可得x+y=0或x−y+1=0，分情况计算可得方程的解．本题考查了解无理方程，利用换元法将原方程变形后进行因式分解可解答．8.【答案】D【解析】解：∵n个有理数x1、x2...x n满足：|x i|<1(i=1,2,3,…,n)，∴|x1|<1，|x2|<1，|x3|<1，...，|x n|<1；∴|x1|+|x2|+⋯+|x n|<1+1+...+1=n，即|x1|+|x2|+⋯+|x n|<n，∵|x1|+|x2|+⋯+|x n|=1000+|x1+x2+⋯+x n|，且|x1+x2+⋯+x n|≥0，∴1000+|x1+x2+⋯+x n|≥1000，即|x1|+|x2|+⋯+|x n|≥1000；∴1000≤|x1|+|x2|+⋯+|x n|<n，∴n>1000，∵n为整数，∴n的最小值为1002．本题利用绝对值和整数问题的相关内容求解即可．本题考查绝对值和整数的相关内容，解题的关键是熟记绝对值的性质．9.【答案】83【解析】解：∵△ADE∽△ABC，∴ADAC =AEAB，即26=AE8，解得AE=83．故答案为：83．根据相似三角形对应边成比例解答即可．本题考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边．10.【答案】证明：如图，延长CP、BH，交点为点Q，连结AQ，∵HP//BC，∴△QHP∽△QBC，∴QHQB =HPBC=QPQC，∵HP=12BC，∴QH=12QB，QP=12QC，∴QH=HB，QP=PC，∵AH⊥QB，∵AB =AC ，∴AC =AQ ，又∵QP =PC ，∴AP ⊥CP ．【解析】延长CP 、BH ，交点为点Q ，连结AQ ，由HP//BC 推出△QHP∽△QBC ，得到QH QB =HP BC =QP QC =12，推出QH =HB ，QP =PC ，再根据等腰三角形的判定与性质求解即可． 此题考查了平行线的性质及等腰三角形的性质，熟记平行线的性质、等腰三角形的性质及作出合理的辅助线是解题的关键．11.【答案】解：根据题意得，C 123−4=216，∴最多可组成216个三角形．【解析】一个正方形上每条边上有3个四等分点，从12个点中无顺序差别地选择3个点进行组合组成一个三角形，但在同一条边上的3个点构不成三角形，由此解答即可． 本题主要考查了排列组合，考虑到在同一条边上的3个点构不成三角形时解决此题的关键．。
2023年上海市初中学业水平考试数学试卷25题解答
2023年上海市初中学业水平考试数学试卷25
题解答
题目描述：某小组里有7名同学，小明是其中的一员。
在小组的活动中，每个同学都需要和其他6个同学握手一次。
问：小组中共进行了多少次握手？
解答：
题目中给出了一个小组有7名同学的情况，每个同学都需要和其他6个同学握手一次。
我们需要计算这个小组共进行了多少次握手。
首先，我们可以想象每个同学都需要和其他6个同学握手一次，那么小明需要握手的次数就是6次。
同理，其他每个同学也都需要握手6次。
所以，我们可以先计算出小组中6个同学的握手次数，再加上小明的握手次数。
小组中有6个同学，每个同学都需要握手6次，所以6个同学的握手次数为：6个同学的握手次数 = 6次/个同学 × 6个同学 = 36次握手
接下来，我们需要计算小明的握手次数。
小明需要握手的次数就是和其他6个同学握手的次数，也就是6次握手。
最后，我们将6个同学的握手次数和小明的握手次数相加，就可以得到整个小组进行握手的次数。
小组的握手次数 = 6个同学的握手次数 + 小明的握手次数
= 36次握手 + 6次握手
= 42次握手
所以，这个小组共进行了42次握手。
解答完毕。
这道题目是一个简单的组合问题，通过分析题目中给出的条件，我们可以得出每个同学都需要握手6次，然后将握手次数相加得到最终结果。
这个问题可以帮助学生培养分析问题、计算的能力，同时也可以帮助学生理解组合问题的解决方法。
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上海市2023年初中学业水平考试中考数学真题试卷-含答案答案详解
第4题图上海市2023年中考数学试卷答案详解（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列运算正确的是（）.A 523a a a ；.B 336a a a ；.C 235a a ；.D a ．【参考答案】A ．【解析过程】52523a a aa ，A 选项正确；3332a a a ，B 选项错误； 23326a a a ，C 选a ，D 选项错误；故选A ．2.在分式方程2221521x x x x）.A 2550y y ；.B 25y y .2510y y ．【参考答案】D ．【解析过程】221x y x ，2221510x y y x ；故选D ．3.下列函数中，函数值y 随x 的增大而减小的是（）.A 6y x ；.B 6y x ；.C 6y x；.D 6y x．【参考答案】B ．【解析过程】对于正比例函数6y x ，60k ， 函数值y 随x 的增大而增大，A 选项错误；对于正比例函数6y x ，60k ，函数值y 随x 的增大而减小，B 选项正确；对于反比例函数6y x，60k ， 在每一象限内，函数值y 随x 的增大而减小，C 选项错误；对于反比例函数6y x ，60k ， 在每一象限内，函数值y 随x 的增大而增大，D 选项错误；故选B ．4.某学校的数学兴趣小组统计了不同时间段的车流量如图所示，则下列说法正确的是（）.A 小车的车流量与公车的车流量稳定；.B 小车的车流量的平均数较大；.C 小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；.D 小车与公车车流量的变化趋势相同．【参考答案】B ．【解析过程】观察图像可知：小车的车流量起伏较大不稳定，A 选项错误；小车的车流量每个时间段都比公车大，因此平均数较大，B 选项正确；小车与公车车流量在不同时间段达到最小值，C 选项错误；小车车流量先增大再减小再增大，公车车流量先增大再减小，因此变化趋势不同，D 选项错误；故选B ．5.在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB CD ，下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（）.A //AB CD ；.B AD BC ；.C A B ；.D A D ．【参考答案】C ．【解析过程】//AD BC ，AB CD ， 四边形ABCD 是平行四边形或等腰梯形．若//AB CD ，只能判定四边形ABCD 是平行四边形，A 选项错误；若AD BC ，只能判定四边形ABCD 是平行四边形，B 选项错误；若A B ，//AD BC ，90A B ，又AB CD ，由平行线间的距离处处相等，可知CD AD ，因此6.//DC ，AD ．同学们得出以下两个结论，其中判断正确的是（）①AC .A .C DO ，AD C 7.分解因式：29n．【参考答案】 33n n ．【解析过程】 2229333n n n n ．8.化简：2211xx x的结果为．【参考答案】2．【解析过程】 21222221111x x x x x x x．9.已知关于x 2 ，则x．【参考答案】18．214418x x （经检验，18x 是原方程的解）．10.函数 123f x x的定义域为．【参考答案】23x ．【解析过程】由分式的分母不为零，可得23023x x ．11.已知关于x 的一元二次方程2610ax x 没有实数根，那么a 的取值范围是．【参考答案】9a ．【解析过程】由题意，可得093640a a a．12.在不透明的盒子中装有1个黑球、2个白球、3个红球、4个绿球，这10个球除颜色外完全相同，那么从中随机摸出一个球是绿球的概率是．13.，那么这个正多边形的边数为．3601820．14.满足0a ，0b ，0c 即可）0，0c ，又其对称轴左侧的部分是上升21y x ．15.如图，在ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，2BD AD ，且//DE BC ．设AB a ，AC b，那么DE．（用a 、b表示）【参考答案】1133a b．【解析过程】由题意，可知13DE AD BC AB ，故13DE BC1111133333BA AC AB AC a b a b ．第15题图第16题图16.“垃圾分类”是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为吨．【参考答案】1500．【解析过程】由扇形统计图，可得可回收垃圾占比为150%29%1%20% ，故全市可收集的干垃圾总量为6050%10150020%吨．17.如图，在ABC 中，35C ，将ABC 绕点A 旋转 （0180 ）度角，使点B 落在边BC 上的点D 处，若AD 平分BAC ，则 度．【参考答案】110．，，由三角形内角和得 ，18.在，⊙．又三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）2133．【参考答案】6．【解析过程】原式22936．20.（本题满分10分）解关于x的不等式组：36152x xxx．【参考答案】34x．【解析过程】3626333422103124152x xx x xxxx x x xx．即原不等式组的解为34x．21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO的延长线上，且4cos5ABC，2OB OC．（1）求⊙O的半径；（2）求BAC的正切值．【参考答案】（1）5；（2）94．【解析过程】（1）如图所示，作OD AB于点D，由垂径定理可得142AD DB AB．在Rt ODB中，44cos cos5DBABC OBDOB OB，解得5OB ，即⊙O的半径为5．（2）如图所示，作CE AB于点E，可得//OD CE，因此OD DB OBCE BE CB．又3OD ，2OB OC，故342233OCCE BE OC，解得92CE ，6BE ．在Rt ACE中，992tan864CECAEAE，即BAC的正切值为94．第21题图第23题图某加油站现有面值为1000元的会员卡，购买该卡可以打九折．若用此卡内的金额来加油，则每升油在原价的基础上还可以减价0.3元．某人购买了此会员卡，并将卡内金额一次性全部用完．（1）他实际花了多少钱购买会员卡？（2）假设优惠后该人加油的实际单价为y 元/升，每升油的原价为x 元/升，请写出y 关于x 的函数关系式（不必写出定义域）；（3）若每升油原价为7.3元/升，那么优惠后的实际单价与原价的差值为多少？【参考答案】（1）900（元）；（2）0.90.27y x ；（3）1（元）．【解析过程】（1）由题意，可得100090%900 （元），即他实际花了900（元）购买会员卡．（2）该人实际花费900（元），实际单价为y 元/升，购买油量为900y升；会员卡面值为1000（元），会员卡加油每升为 0.3x 元/升，购买油量为10000.3x 升；由油量相等可列方程90010000.3y x ，化简得0.90.27y x ，即y 关于x 的函数关系式为0.90.27y x ．（3）当7.3x 时，可得0.97.30.27 6.3y ，7.3 6.31x y ，即优惠后的实际单价与原价的差值为1（元）．23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，点F 、E 分别在线段BC 、AC 上，且FAC ADE ，AC AD ．（1）求证：FC AE ；（2）若ABC CDE ，求证：2AF BF CE ．【参考答案】（1）证明如下；（2）证明如下．【解析过程】（1）如图所示，//AD BC ，ACF DAE ，又AC AD ，FAC ADE ，ACF DAE ≌（..A S A ），FC AE ．（2）如图所示，由外角可得AFB ACF FAC ，CED DAE ADE ，又ACF DAE ，FAC ADE ，AFB CED ．又ABC CDE ，AFB CED ∽，AF BFCE DE．又ACF DAE ≌，AF DE ．可得AF BF CE AF，即2AF BF CE ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线364y x与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在线段AB 上（不与点B 重合），以C 为顶点的抛物线2:M y ax bx c （0a ）经过点B ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）求b 、c 的值；（3）平移抛物线M ，使得点C 平移至点P ，点B 平移至点D ，联结CD ，且//CD x 轴，如果点P 在x轴上，且新抛物线经过点B ，求新抛物线N 的表达式．【参考答案】（1） 8,0A ， 0,6B ；（2）32b ，6c ；（3） 2316y x ．时，解得8x ；当x （2）6 ．在线段将a 242432．（3因为点 ,0P p 是由点3,64C t t平移得到的，因此抛物线M 向左或向右平移后再向下平移364t 个单位得到新抛物线N ．又点D 是由点 0,6B 平移得到的，所以点D 的纵坐标为34t．又//CD x 轴，所以C D y y ，即364t 34t 4t ．又3342416C b x t a a a，所以抛物线233:6162M y x x ．设抛物线N 的顶点式为 2316y x p ，因为新抛物线经过点B ，将 0,6B 带入 2316y x p ，第25题图1第25题图2可得 236016p p ，故抛物线N 的表达式为 2316y x ．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）②小题5分，第（3）小题5分）已知在ABC 中，AB AC ，点O 在边AB 上，点F 为边OB 中点，以O 为圆心、OB 为半径的圆分别交BC 、AC 于点D 、E ，联结EF 交OD 于点G ．（1）如图1，如果OG GD ，求证：四边形CEGD 为平行四边形；（2）如图2，联结OE ，如果90BAC 时，OFE DOE ，4AO ，求边OB 的长；（3）联结BG ，如果BGO 是以OB 为腰的等腰三角形，且AO OF ，求OGOD的值．【参考答案】（1）证明如下；（2）133【解析过程】（1）AB AC ，ABCOB OD ，OBD ODB ．//ODB AC OD ．又OG //BD ．（2又 又90EAF OAE ，AFE AEO ∽，2AF AE AE AO AF AE AO．设OE OB x ，则1122OF OB x，1442AO AF x．又222216AE OE AO x ，因此221164423202x x x x．解得1x ，负舍，故1x ．即边OB 的长为1（3）首先排除OB OG ，因为假如OB OG ，由OB OD ，可推得点G 、D 重合，从而推得G 、D 、C 、E 重合，此时点A 和点O 必重合，又点F 为边OB 中点，这与AO OF 矛盾，故舍．因此只能OB BG ，如图所示，倍长GF 至点'G ，由'GF FG ，'GFB G FO ，FB FO ，可得''GFB G FO GF G F ≌，'OG BG OB OE ，'OEG OG F ．又//AC OD ，AO OF ，1'EG AOEG GF G F GF OF．由以上可得'OEG OG F OG OF ≌．又OF FB ，OD OB ，所以OG GD ，故12OG OD ．。
2023年上海市中考数学真题(解析版)
2023年上海市初中学业水平考试考生注意：1.本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2.作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上的作答一律不得分．4.选择题和作图题用2B 铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】1.下列运算正确的是（）A.523a a a ÷= B.336a a a += C.()235a a = D.a =【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可．【详解】解：A 、523a a a ÷=，故正确，符合题意；B 、3332a a a +=，故错误，不符合题意；C 、()236a a =，故错误，不符合题意；D a =，故错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．2.在分式方程2221521x x x x -+=-中，设221x y x -=，可得到关于y 的整式方程为（）A .2550y y ++= B.2550y y -+= C.2510y y ++= D.2510y y -+=【答案】D【解析】【分析】设221x y x-=，则原方程可变形为15y y +=，再化为整式方程即可得出答案.【详解】解：设221x y x-=，则原方程可变形为15y y +=，即2510y y -+=；故选：D .【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.3.下列函数中，函数值y 随x 的增大而减小的是（）A.6y x= B.6y x =- C.6y x = D.6y x=-【答案】B【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案．【详解】解：A 、6y x =，60k =>，y 随x 的增大而增大，不符合题意；B 、6y x =-，60k =-<，y 随x 的增大而减小，符合题意；C 、6y x =，60k =>，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，不符合题意；D 、6y x =-，60k =-<，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键．4.如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（）A.小车的车流量与公车的车流量稳定；B.小车的车流量的平均数较大；C.小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；D.小车与公车车流量的变化趋势相同．【答案】B【解析】【分析】根据折线统计图逐项判断即可得．【详解】解：A 、小车的车流量不稳定，公车的车流量较为稳定，则此项错误，不符合题意；B 、小车的车流量的平均数较大，则此项正确，符合题意；C 、小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量，则此项错误，不符合题意；D 、小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加；大车车流量的变化趋势是先增加、再减小，则此项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了折线统计图，读懂折线统计图是解题关键．5.在四边形ABCD 中，,AD BC AB CD =∥．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（）A.AB CDB.AD BC =C.A B∠=∠ D.A D ∠=∠【答案】C【解析】【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．【详解】A ： AB CD ，,AD BC AB CD=∥∴ABCD 为平行四边形而非矩形故A 不符合题意B ： AD BC =，,AD BC AB CD=∥∴ABCD 为平行四边形而非矩形故B 不符合题意C ： AD BC∥180A B ∴∠+∠=︒A B∠=∠∴90A B ∠=∠=︒AB CD= ∴ABCD 为矩形故C 符合题意D ： AD BC∥180A B ∴∠+∠=︒A D∠=∠180D B ∴∠+∠=︒∴ABCD 不是平行四边形也不是矩形故D 不符合题意故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．6.已知在梯形ABCD 中，连接AC BD ，，且AC BD ⊥，设,AB a CD b ==．下列两个说法：①()22AC a b =+；②AD =则下列说法正确的是（）A.①正确②错误B.①错误②正确C.①②均正确D.①②均错误【答案】D【解析】【分析】根据已知及结论，作出图形，进而可知当梯形ABCD 为等腰梯形，即AD BC =，AB CD 时，①()22AC a b =+；②AD =，其余情况得不出这样的结论，从而得到答案．【详解】解：过B 作BE CA ∥，交BC 延长线于E ，如图所示：若梯形ABCD 为等腰梯形，即AD BC =，AB CD 时，∴四边形ACEB 是平行四边形，,CE AB AC BE ∴==，AB DC ∥，DAB CBA ∴∠=∠，AB AB =Q ，()SAS DAB CBA ∴△≌△AC BD ∴=，即BD BE =，又 AC BD ⊥，∴BE BD ⊥，在Rt BDE △中，BD BE =，,AB a CD b ==，则DE DC CE b a =+=+，)2222AC BE DE a b ∴====+，此时①正确；过B 作BF DE ⊥于F ，如图所示：在Rt BFC △中，BD BE =，,AB a CD b ==，DE b a =+，则()1122BF FE DE a b ===+，()()1122FC FE CE a b a b a =-=+-=-，BC ∴===，此时②正确；而题中，梯形ABCD 是否为等腰梯形，并未确定；梯形ABCD 是AB CD 还是AD BC ∥，并未确定，∴无法保证①②正确，故选：D ．【点睛】本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7.分解因式：29n -=________．【答案】()()33n n -+【解析】【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：()()29=33n n n --+，故答案为：()()33n n -+．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．8.化简：2211x x x---的结果为________．【答案】2【解析】【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．【详解】解：2211x x x ---()2122211x x x x--===--；故答案为：2．【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．9.已知关于x2=，则x =________【答案】18【解析】【分析】根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可．【详解】解：根据题意得，140x -≥，即14x ≥，2=，等式两边分别平方，144x -=移项，18x =，符合题意，故答案为：18．【点睛】本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键．10.函数()123f x x =-的定义域为．【答案】23x ≠【解析】【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．【详解】解：由()123f x x =-可知：230x -≠，∴23x ≠；故答案为23x ≠．【点睛】本题主要考查函数及分式有意义的条件，熟练掌握函数的概念及分式有意义的条件是解题的关键．11.已知关于x 的一元二次方程2610ax x ++=没有实数根，那么a 的取值范围是________．【答案】9a >【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2610ax x ++=没有实数根，∴243640b ac a ∆=-=-<，解得：9a >；故答案为：9a >．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．12.在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为________．【答案】25【解析】【分析】根据简单事件的概率公式计算即可得．【详解】解：因为在不透明的盒子中，总共有10个球，其中有四个绿球，并且这十个球除颜色外，完全相同，所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为42105P ==，故答案为：25．【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．13.如果一个正多边形的中心角是20︒，那么这个正多边形的边数为________．【答案】18【解析】【分析】根据正n 边形的中心角的度数为360n ︒÷进行计算即可得到答案．【详解】根据正n 边形的中心角的度数为360n ︒÷，则3602018n =÷=，故这个正多边形的边数为18，故答案为：18．【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．14.一个二次函数2y ax bx c =++的顶点在y 轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．【答案】21y x =-+（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次函数2y ax bx c =++的顶点在y 轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定a<0，对称轴02b x a=-=，0c >，从而确定答案．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c =++的对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向上，即a<0，∵二次函数2y ax bx c =++的顶点在y 轴正半轴上，∴02b a-=，即0b =，0c >，∴二次函数的解析式可以是21y x =-+（答案不唯一）．【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y 轴的交点确定系数的正负是解题的关键．15.如图，在ABC 中，点D ，E 在边AB ，AC 上，2,AD BD DE BC =∥，联结DE ，设向量AB a =，AC b = ，那么用a ，b 表示DE = ________．【答案】1133b a - 【解析】【分析】先根据向量的减法可得BC b a =- ，再根据相似三角形的判定可得ADE ABC ，根据相似三角形的性质可得13DE BC =，由此即可得．【详解】解：∵向量AB a = ，AC b = ，BC AC AB b a ∴=-=- ，2AD BD = ，13AD AB ∴=，DE BC ∥，ADE ABC ∴ ，13DE AD BC AB ∴==，13DE BC ∴=，111333DE BC b a ∴==- ，故答案为：1133b a - ．【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键．16.垃圾分类（Refuse sorting ），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为________．【答案】1500吨【解析】【分析】由题意易得试点区域的垃圾收集总量为300吨，然后问题可求解．【详解】解：由扇形统计图可得试点区域的垃圾收集总量为()60150129300÷---=％％％（吨），∴全市可收集的干垃圾总量为30050101500⨯⨯=％（吨）；故答案为1500吨．【点睛】本题主要考查扇形统计图，熟练掌握扇形统计图是解题的关键．17.如图，在ABC 中，35C ∠=︒，将ABC 绕着点A 旋转(0180)αα︒<<︒，旋转后的点B 落在BC 上，点B 的对应点为D ，连接AD AD ，是BAC ∠的角平分线，则α=________．【答案】1103⎛⎫︒⎪⎝⎭【解析】【分析】如图，AB AD =，BAD ∠=α，根据角平分线的定义可得CAD BAD α∠=∠=，根据三角形的外角性质可得35ADB α∠=︒+，即得35B ADB α∠=∠=︒+，然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，根据题意可得：AB AD =，BAD ∠=α，∵AD 是BAC ∠的角平分线，∴CAD BAD α∠=∠=，∵35ADB C CAD α∠=∠+∠=︒+，AB AD =，∴35B ADB α∠=∠=︒+，则在ABC 中，∵180C CAB B ∠+∠+∠=︒，∴35235180αα︒++︒+=︒，解得：1103α⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭；故答案为：1103⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．18.在ABC 中7,3,90AB BC C ==∠=︒，点D 在边AC 上，点E 在CA 延长线上，且CD DE =，如果B 过点A ，E 过点D ，若B 与E 有公共点，那么E 半径r 的取值范围是________．1010r <≤【解析】【分析】先画出图形，连接BE ，利用勾股定理可得294BE r =+，210AC =，从而可得1010r <≤，再根据B 与E 有公共点可得一个关于r 的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：由题意画出图形如下：连接BE，B 过点A ，且7AB =，B ∴e 的半径为7，E 过点D ，它的半径为r ，且CD DE =，2CE CD DE r ∴=+=，3,90BC C =∠=︒，BE ∴==，AC ==，D 在边AC 上，点E 在CA 延长线上，CD AC CE AC ≤⎧∴⎨>⎩，即2r r ⎧≤⎪⎨>⎪⎩r <≤B 与E 有公共点，AB DE BE AB DE ∴-≤≤+，即77r r ≤+-≤⎪⎩①，不等式①可化为2314400r r --≤，解方程2314400r r --=得：2r =-或203r =，画出函数231440y r r =--的大致图象如下：由函数图象可知，当0y ≤时，2023r -≤≤，即不等式①的解集为2023r -≤≤，同理可得：不等式②的解集为2r ≥或203r ≤-，则不等式组的解集为2023r ≤≤，又r <≤，半径r 的取值范围是r <≤，r <≤．【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键．三、解答题：（本大题共7题，共78分）19.2133-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【答案】6-【解析】【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．【详解】解：原式2293=+-+-6=-．【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．20.解不等式组36152x x x x >+⎧⎪⎨<-+⎪⎩【答案】1033x <<【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：36152x x x x >+⎧⎪⎨<-+⎪⎩①②，解不等式①得：3x >，解不等式②得：103x <，则不等式组的解集为1033x <<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．21.如图，在O 中，弦AB 的长为8，点C 在BO 延长线上，且41cos ,52ABC OC OB ∠==．（1）求O 的半径；（2）求BAC ∠的正切值．【答案】（1）5（2）94【解析】【分析】（1）延长BC ，交O 于点D ，连接AD ，先根据圆周角定理可得90BAD ∠=︒，再解直角三角形可得10BD =，由此即可得；（2）过点C 作CE AB ⊥于点E ，先解直角三角形可得6BE =，从而可得2AE =，再利用勾股定理可得92CE =，然后根据正切的定义即可得．【小问1详解】解：如图，延长BC ，交O 于点D ，连接AD，由圆周角定理得：90BAD ∠=︒，弦AB 的长为8，且4cos 5ABC ∠=，845AB BD BD ∴==，解得10BD =，O ∴ 的半径为152BD =．【小问2详解】解：如图，过点C 作CE AB ⊥于点E，O 的半径为5，5OB ∴=，12OC OB = ，31522BC OB ∴==，4cos 5ABC ∠= ，45BE BC ∴=，即41552BE =，解得6BE =，2AE AB BE ∴=-=，92CE ==，则BAC ∠的正切值为99224CE AE ==．【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．22.“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．（1）他实际花了多少钱购买会员卡？（2）减价后每升油的单价为y 元/升，原价为x 元/升，求y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？【答案】（1）900（2）0.90.27y x =-（3）1.00【解析】【分析】（1）根据10000.9⨯，计算求解即可；（2）由题意知，()0.90.30y x =-，整理求解即可；（3）当7.30x =，则 6.30y =，根据优惠后油的单价比原价便宜()x y -元，计算求解即可．【小问1详解】解：由题意知，10000.9900⨯=（元），答：实际花了900元购买会员卡；【小问2详解】解：由题意知，()0.90.30y x =-，整理得0.90.27y x =-，∴y 关于x 的函数解析式为0.90.27y x =-；【小问3详解】解：当7.30x =，则 6.30y =，∵7.30 6.30 1.00-=，∴优惠后油的单价比原价便宜1.00元．【点睛】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式．23.如图，在梯形ABCD 中AD BC ∥，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且=FAC ADE ∠∠，AC AD =（1）求证：DE AF=（2）若ABC CDE ∠=∠，求证：2AF BF CE=⋅【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质可得DAE ACF ∠=∠，再根据三角形的全等的判定可得DAE ACF ≅ ，然后根据全等的三角形的性质即可得证；（2）先根据全等三角形的性质可得AFC DEA ∠=∠，从而可得AFB CED ∠=∠，再根据相似三角形的判定可得ABF CDE ，然后根据相似三角形的性质即可得证．【小问1详解】证明：AD BC ，DAE ACF ∴∠=∠，在DAE 和ACF △中，DAE ACF AD CA ADE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA DAE ACF ∴≅ ，DE AF ∴=．【小问2详解】证明：DAE ACF ≅ ，AFC DEA ∴∠=∠，180180AFC DEA ∴︒-∠=︒-∠，即AFB CED ∠=∠，在ABF △和CDE 中，AFB CED ABF CDE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，ABF CDE ∴ ，AF BF CE DE∴=，由（1）已证：DE AF =，AF BF CE AF∴=，2AF BF CE =∴⋅．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线364y x =+与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，点C 在线段AB 上，以点C 为顶点的抛物线M ：2y ax bx c =++经过点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）求b ，c 的值；（3）平移抛物线M 至N ，点C ，B 分别平移至点P ，D ，联结CD ，且CD x ∥轴，如果点P 在x 轴上，且新抛物线过点B ，求抛物线N 的函数解析式．【答案】（1）()8,0A -，()0,6B （2）32b =，6c =（3）(2316y x =-或(2316y x =+【解析】【分析】（1）根据题意，分别将0x =，0y =代入直线364y x =+即可求得；（2）设3,64C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到抛物线的顶点式为()2364y a x m m +-+=，将()0,6B 代入可求得34m a =-，进而可得到抛物线解析式为2362y ax x =++，即可求得b ，c ；（3）根据题意，设(),0P p ，3,64C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据平移的性质可得点B ，点C 向下平移的距离相同，即列式求得4m =-，316a =，然后得到抛物线N 解析式为：()2316y x p =-，将()0,6B 代入可得p =±即可得到答案．【小问1详解】解：∵直线364y x =+与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，当0x =时，代入得：6y =，故()0,6B ，当0y =时，代入得：8x =-，故()8,0A -，【小问2详解】设3,64C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则可设抛物线的解析式为：()2364y a x m m +-+=，∵抛物线M 经过点B ，将()0,6B 代入得：23664am m ++=，∵0m ≠，∴34am =-，即34m a =-，∴将34m a =-代入()2364y a x m m +-+=，整理得：2362y ax x =++，故32b =，6c =；【小问3详解】如图：∵CD x ∥轴，点P 在x 轴上，∴设(),0P p ，3,64C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵点C ，B 分别平移至点P ，D ，∴点B ，点C 向下平移的距离相同，∴3366644m m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，解得：4m =-，由（2）知34m a =-，∴316a =，∴抛物线N 的函数解析式为：()2316y x p =-，将()0,6B 代入可得：p =±∴抛物线N 的函数解析式为：(2316y x =-或(2316y x =+．【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m 和a 的值．25.如图（1）所示，已知在ABC 中，AB AC =，O 在边AB 上，点F 边OB 中点，为以O 为圆心，BO 为半径的圆分别交CB ，AC 于点D ，E ，联结EF 交OD 于点G ．（1）如果OG DG =，求证：四边形CEGD 为平行四边形；（2）如图（2）所示，联结OE ，如果90,,4BAC OFE DOE AO ∠=︒∠=∠=，求边OB 的长；（3）联结BG ，如果OBG 是以OB 为腰的等腰三角形，且AO OF =，求OG OD 的值．【答案】（1）见解析（2）1+（3）12【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出B C ∠=∠，ODB B ∠=∠，等量代换得出C ODB ∠=∠，则OD AC ∥，根据F 是OB 的中点，OG DG =，则FG 是OBD 的中位线，则FG BC ∥，即可得证；（2）设OFE DOE α∠=∠=，OF FB a ==，则2OE OB a ==，由（1）可得OD AC ∥则AEO DOE α∠=∠=，等量代换得出OFE AEO α∠=∠=，进而证明AEO AFE ∽，得出2AE AO AF =⋅，在Rt AEO △中，222AE EO AO =-，则22EO AO AO AF -=⨯，解方程即可求解；（3）OBG 是以OB 为腰的等腰三角形，分为①当OG OB =时，②当BG OB =时，证明BGO BPA ∽，得出2=3OG AP ，设2,3OG k AP k ==，根据OG AE ∥，得出FOG FAE ∽，可得24AE OG k ==，PE AE AP k =-=，连接OE 交PG 于点Q ，证明QPE QGO ∽在PQE V 与BQO △中，13PQ a =，28233BQ BG QG a a a =+=+=，得出14PQ QE OQ BQ ==，可得PQE OQB ∽，根据相似三角形的性质得出2a k =，进而即可求解．【小问1详解】证明：∵AC AB=∴ABC C∠=∠∵OD OB=∴ODB ABC ∠=∠,∴C ODB∠=∠∴OD AC ∥，∵F 是OB 的中点，OG DG =，∴FG 是OBD 的中位线，∴FG BC ∥，即GE CD ，∴四边形CEDG 是平行四边形；【小问2详解】解：∵,4OFE DOE AO ∠=∠=，点F 边OB 中点，设OFE DOE α∠=∠=，OF FB a ==，则2OE OB a==由（1）可得OD AC∥∴AEO DOE α∠=∠=，∴OFE AEO α∠=∠=，又∵A A∠=∠∴AEO AFE ∽,∴AE AO AF AE=即2AE AO AF =⋅，∵90A ∠=︒，在Rt AEO △中，222AE EO AO =-，∴22EO AO AO AF -=⨯，∴()()222444a a -=⨯+解得：12a =或12a -=（舍去）∴21OB a ==；【小问3详解】解：①当OG OB =时，点G 与点D 重合，舍去；②当BG OB =时，如图所示，延长BG 交AC 于点P ，∵点F 是OB 的中点，AO OF =，∴AO OF FB ==，设AO OF FB ==a =，∵OG AC∥∴BGO BPA ∽，∴2233OG OB a AP AB a ===，设2,3OG k AP k ==，∵OG AE∥∴FOG FAE ∽，∴122OG OF a AE AF a ===，∴24AE OG k ==，∴PE AE AP k =-=，连接OE 交PG 于点Q ，∵OG PE ∥，∴QPE QGO∽∴22GO QG OQ k PE PQ EQ k====，∴12,33PQ a QG a ==，24,33EQ a OQ a ==在PQE V 与BQO △中，13PQ a =，28233BQ BG QG a a a =+=+=，∴14PQ QE OQ BQ ==，又PQE BQO ∠=∠，∴PQE OQB ∽，∴14PE OB =，∴124k a =，∴2a k =，2,2OD OB a OG k === ，∴2122OG k k OD a a ===．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明PQE OQB ∽是解题的关键．。
【自招】2004-2019年上海市四校八大自主招生数学真题试题及答案
2004-2019年上海初中自主招生数学试题及答案真题及答案解析内容涵盖上海著名的“四大名校”和“八大金刚”在历年自主招生中的科学素养数学试题目录2019年复旦附中自主招生数学试题及答案2019年华师二附自主招生数学试题及答案2019年交大附中自主招生数学试题及答案（完全 ）２０１８年上海复旦附中自主招生数学试题及详解２０１６复旦附中创新拔尖人才培养选拔校园日试题2004年交大附中自主招生数学试题及答案2011年华师二附自主招生数学试题及答案2011年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）2012年复旦附中自主招生数学试题及答案2013年复旦附中自主招生数学试题及答案（部分）2013年华二附中自主招生数学试题与答案（部分）2013年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）2013年上海中学自主招生数学试题及答案2014年交大附中自主招生数学试题及答案2014年进才中学自主招生数学试题及答案2014年上海中学自主招生数学试题及答案2014年复旦附中自主招生数学试题及答案2014年华师二附自主招生数学试题2014年华中一附自主招生数学试题2015年复旦附中自主招生数学试题2015年华师一附自主招生数学试题及答案郝老师解答：（一）1、2、3、4、5、6、（二）1、2、3、（三）1、2、3、参考答案8、如果正整数n按照上述规则施行变换后的第八项为1，则变换中的第7项一定是2，变换中的第6项一定是4；变换中的第5项可能是1，也可能是8；变换中的第4项可能是2，也可是16变换中的第4项是2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或16变换中的第4项是16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128，21或20，3则n的所有可能的取值为2，3，16，20，21，128。
所以n的所有可能值共有6个991011.2016复旦附中创新拔尖人才培养选拔校园日一. 填空题1. 已知a b c xbcacab，则x ________.2. 已知函数225323yxa xb x b≤≤图像关于y 轴对称，则ab ________.3. 已知函数2221yk xkx k的图像与x 轴只有一个交点，则k__________.4. 在同一个直角坐标系中，已知直线y kx 与函数283233243xx yxxx ，≥，，≤图像恰好有三个公共点，则k 的取值范围是__________.5. 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥CD AB ，，设E F 、分别是AC BD 、的中点，AC与BD 交于点O ，已知OEF △是边长为1的正三角形，BOC △的面积为1534，则梯形ABCD 的面积为__________.6. 已知矩形ABCD 中，1AB BC a ，，若在边BC 上存在点Q ，满足AQQD ，则a 的取值范围是__________.7. 已知锐角ABC △的三边长恰为三个连续正整数，AB BCCA ，若BC 边上的高为AD ，则BDDC __________.EFBOD CAA8. 已知实数m n ，（其中1m n ）分别满足：22199********mm nn ，，则41mn m n_____________.9. 若关于x 的方程2240x xx m有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三边长，则m 的取值范围是___________.10. 如图，矩形ABCD 中，34AB BC ，，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把B 沿AE折叠，使点B 落在点'B 处，当'CEB △为直角三角形时，BE 的长为__________.11. 如图，OA OD ，是O ⊙的半径，延长OA 至B ，使OA AB C ，是OA 的中点，AOD 为锐角，连接CD BD ，，且CD a ，则_________.BD 12. 已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是_________个.13. 设10n n ≥个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任何两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为__________.EB'BCDACBAOD二. 解答题14. 关于x 的方程222120x m x m m 的两个根分别为12.x x ，1若125x x ∣∣，求m 的值；2若12x x ，均为整数，求m 的值. 15. 如图，ABC △中，56AB BCAC ，，过点A 作AD BC ∥，点P Q ，分别是射线AD 、线段BA 上的动点，且APBQ ，过点P 作PE AC ∥交线段AQ 于点O ，联结PQ ，记AP x POQ ，△面积为.y 1求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；2联结QE ，若PQE △与POQ △相似，求AP 的长.16. 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层到第33层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意. 现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）O E P A CB QD17. 设x 是实数，不大于x 的最大整数叫做x 的整数部分，记作x ，如 1.2133 1.32，，222111110111111212016201711011111220162017S ，求90S ; 2解关于x 的方程：212312.2x x x２０１８年上海复旦附中自招数学试题及详解2004年交大附中自主招生数学试题及答案（本试卷满分100分，90分钟完成）一、单项选择题：（本大题满分30分）本大题共有10个小题，每小题给出了代号为A 、B 、C 、D 四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请把正确答案的代号写在题后的圆括号内．每小题选对得3分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得零分． 1.计算()13422213939---⎛⎫+÷- ⎪⎝⎭，得（）A ．119B ．1C ．59D ．192.如果a b >，那么下列结论正确的是（）A ．22ac bc >B ．34a b-<-C ．32a b ->-D ．11a b<3.已知等腰梯形的中位线长为12，一条对角线分中位线所成的两条线段之比是2:1，则梯形的两底长分别为（）A ．8，16B ．10，14C ．6，18D ．4，204.如果两圆的公切线只有两条，那么这两个圆的位置关系是（）A ．相交B ．外离C ．内切D ．外切5.设()220042004f x x x =-+，（()f x 表示关于x 的函数，如()2002004020042004f =-⋅+=，()220042004f m m m =-+）若()()f m f n =，则()f m n +=（）A ．0B ．2004C ．-2004D ．206.若三角形的三个内角A 、B 、C 的关系满足3A B >，2C B <，那么这个三角形是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等边的锐角三角形7.如果A ∠是锐角，且3sin 4A =，那么（）A ．030A ︒<∠<︒B ．3045A ︒<∠<︒C ．4560A ︒<∠<︒D ．6090A ︒<∠<︒8.观察右图，根据规律，从2002到2004，箭头方向依次为（）A ．↓→B ．→↑C ．↑→D ．→↓9.已知一组数据6，8，10，x 的中位数与平均数相等，这样的x 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个以上（含4个）10.点P 是矩形ABCD 内一点，如果3PA =，4PB =，5PC =，则PD 的长度是（）A ．72B ．52C ．23D ．32二、填空题：（本大题满分36分）本大题共有12个小题，各小题只要求在横线上方填写最终、最准确的结果，每题填写正确得3分，否则一律得0分．11.若实数x 满足211x x+=，则52x x ++的值为_________．12.在ABC ∆中，90C ∠=︒，如果3sin 5A =，那么B ∠的余切cot B =_________．13.若方程21x x k -=+恰有三解（相等实根算一解），则k 的值是__________．14.把抛物线()232y x =-向上平移k 个单位，所得抛物线与x 轴交于点()1,0A x 与()2,0B x ，如果221210x x +=，那么k 的值为________．15.某养鱼户为了估计鱼塘内鱼的条数和重量，先网出100条鱼，做上标记后全部放回鱼塘，过些时候捕捞出90条鱼，发现其中有4条鱼带有标记，估计该鱼塘内养鱼约有_________条．16.如图，四边形ABCD 中，ADC ∠和ABC ∠都是直角，DE 垂直于AB ，AD 边与CD 边长度相等．已知四边形ABCD 的面积为16，那么线段DE 的长度是_________．17.在ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，如果延长BE 交AC 于F ，那么:AF FC =________．18.如图，ABC ∆中，已知AB AC =，DEF ∆是ABC ∆的内接正三角形，BDF α=∠，CED β=∠，AFE γ=∠，则用β、γ表示α的关系式是________．DCABE 第16题03→47→811→…↓↑↓↑↓↑…1→25→69→10…19.若扇形的圆心角是60︒，则该扇形面积与其内切圆面积的比值是_________．20.有红、白、绿、蓝4种颜色的袜子各100只，在黑暗中至少要摸出________只袜子，才能保证摸出的袜子至少有18双（每两只同色袜子叫做一双）．21.在数集上定义运算a b ⊕，规则是：当a b ≥时，3a b b ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=．根据这个规则，方程464x ⊕=的解是__________．22.小于1000的自然数中，不能被5和7整除的数有________个．三、解答题：（本大题满分34分）本大题共3题，解答下列各题必须写出必要的步骤．23.（本题满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分4分．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，且2AD =，1AE =．求：（1）O 的直径的长；（2）求BC 的长；（3）求DBA ∠的正切tan DBA ∠．CEAF BD第18题第23题CDAEOB24.（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分．已知圆M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，若A、B、C三点的坐标分别是()2,0A-、()12,0B、()0,4C，（1）求点D的坐标；（2）求圆心M的坐标；（3）若一抛物线过A、B、C，另一抛物线过A、B、D，求两条抛物线顶点间的距离．CAD OMB 第24题25.（本题满分12分）求证：不存在这样的正整数，把它的首位数字移到末位之后，得到的数是原来数的两倍．2011年华师二附自主招生数学试题及答案一、填空题（每题4分）1.已知关于x 的多项式75212ax bx x x ++++（a 、b 为常数），且当2x =时，该多项式的值为8-，则当2x =-时，该多项式的值为__________．2.已知关于x 的方程()2210x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a =__________．3.已知当船位于A 时获悉，在其正东方向相距10海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30︒、相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东__________的方向沿直线前往B 处救援．4.关于x 、y 的方程组1x y x yx yy x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有________组解．5.已知a 、b 、c 均大于零，且222420a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是_______．6.已知二次函数225y x px =-+，当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，那么x p =对应的y 值的取值范围是____________．7.如图所示，正方形ABCD 的面积设为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中点，则图中阴影部分的面积是__________．8.在直角梯形ABCD 中，90ABC BAD ∠=∠=︒，16AB =，对角线AC 与BD 交于点E ，过E 作EF AB ⊥于点F ，O 为边AB 的中点，且8FE EO +=，则AD BC +的值为_________．9.以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从0到1对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标13,44变成12，原来的12变成1，等等），那么原数轴从0到1对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1n ≥），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为_________．A BCDEF12110.定义{}min ,,a b c 表示实数a 、b 、c 中的最小值，若x 、y 是任意正实数，则11min ,,M x y yx ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最大值是________．二、计算题（20分）11.四个不同的三位整数首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．（10分）12.如图，已知PA 切O 于A ，30APO ∠=︒，AH PO ⊥于H ，任作割线PBC 交O于点B 、C ，计算HC HBBC-的值．（10分）A PBCH O2011年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）1.如图，已知锐角ABC ∆中，45BAC ∠=︒，CE 、AD 分别是边AB 、BC 上的高，联结DE ，求证：2AD CD DE -=．ABCDEEFCDBA2.如图，已知在ABC ∆外作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE ，且90BAD CAE ∠=∠=︒，AM 为ABC ∆中BC 边上的中线，连接DE ．（1）求证：2DE AM =；（2）若AG BC ⊥于点G ，H 为直线AG 和DE 的交点，求证：H 为DE 中点．ABCM GHED3.如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD 、CD 平分ABC ∠，点D 在ABC ∆内，过点D 作EF ∥BC ．请问：EF 与BE 和CF 有什么关系？ABCE F D4.已知：在ABC ∆中，AB AC =，72B ∠=︒．（1）如何才能将ABC ∆划分成三个等腰三角形？请画出至少4种不同的图形；（2）如何才能将ABC ∆划分成四个等腰三角形？请画出至少3种不同的图形．5.如图，在正三角形ABC ∆中，其中AF BD CE ==，AD 、BE 、CF 两两相交于P 、Q 、R ．求证：PQR ∆为正三角形ABCD E F PQR2012年复旦附中自主招生数学试题及答案1.若x ab =，22y a b =+，则()()22x y x y ++-=______．2.x ，y 满足22y x px ≥++，若x y +最大值为2，则复实数_____p =．3.ky x=上一点C ，以C 为圆心，1为半径画圆，圆上有2点到O 点距为2，则k 取值范围______．4.直径为MN 的半圆与MA ，NB 相切．P 为MN 上一点，PF AB ⊥，若AB 与半圆相切，则ABPBPA +最大值为______．5.6.已知BAC ∠与内部一点M ，因纸太小A 点画不下，求做一直线经过M ，A （尺规作图）．7.矩形ABCD 中，BC AB 3=，将矩形折叠，B 落在AD 上点M 处，C 落在N 处，求AMFB EC -．MNA FBPB MCAM D N FCBE8.设21,x x 为022=--p px x 的两根，P 为实数．①求证032221≥++p x px ．②当3221-≤-p x x 时，求P 的最大值．9.实数1a ，2a ， n a 满足：①021=+++n a a a ②121=+++n a a a 求证：k 个数（k =1，2，3， n ），2121≤+++k a a a ．10.锐角ABC ∆中，AD ，BE ，CF 分别为BC ，AC ，AB 边上的高，设a BC =，b AC =，c AB =，x BD =，y EC =，z AF =．①用a ，b ，c 表示x ．②当a ，b ，c 满足什么关系时，有()c b a z y x ++=++2？1.已知a b c +≤，b c a +≤，c a b +≤，求a b c ++的值．2.已知221766xy x y x y xy ++=⎧⎨+=⎩，求432234x x y x y xy y ++++的值．3.若a 、b 、c 为正有理数，证明：⑴若a b +为有理数，则a 、b 为有理数，⑵若a b c ++为有理数，则a 、b 、c 为有理数．1.在Rt ABC ∆中90A AB a AC b ∠=︒==，，，在AC 上有一点E ，在BC 上有一点F ，BE EF AE x ⊥=，，EFC S y ∆=，求y 与x 的函数关系．2.定义①111⊗=，②()1111n n +⊗=⊗+，求1n ⊗=＿＿＿．3.()()()()221328()2114a x a x a f x a x a x a ++++-=-+++-定义域为D ，()0f x >在定义域D 内恒成立，求a 的取值范围？4.已知：2222114a b a b +=+，求20122013b a a b ⎫⎫⎛⎛+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭=＿＿＿．5.如图，有棋子摆成这样，求第n 幅图有＿＿＿颗棋子．6.如图，在矩形ABCD 中2AE BE =，将ABE DEC ∆∆、分别沿BE EC 、翻折，''15D EA ∠=︒，求ECB ∠=______．7.1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…，第2013个数是______．8.已知：x y 、为有理数，且满足21334x y +=+，求(,)x y =＿＿＿．EDCD 'A 'ABA'2013年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）1.有理化1351++．2.等边ABC ∆重心为O ，1ABC S ∆=，以O 为旋转中心旋转60︒得A B C '''∆，则ABC ∆与A B C '''∆的重叠面积为______．3.2=+b a ，7=+c b 求ac bc ab c b a 242332222-++++．4.用两条直线分割下图，使拼成正方形．5.如图，有半径为2的圆A ，A ()0,1，直线k x y +=过A ，与圆交于P ()11,y x ，Q ()22,y x ，01>y ，D ()3,0．①求P ，Q 坐标②以P 为顶点的抛物线过A ，求解析式③在抛物线对称轴上有一点M ，使DMQ ∆的周长最大，求M ．6.AC 'B 'BO⋅A 'CyxO1234512345﹣1﹣1﹣2﹣2﹣3﹣3﹣4﹣4﹣5AQ P D2013年上海中学自主招生数学试题及答案一、填空题（本部分共10道题，每题8分，共80分）1.计算111122320122013+++=+++ _____________.2.设x ，y ，z 为整数且满足201220131x y y z-+-=，则代数式333x y y z z x-+-+-的值为________________.3.若有理数a ，b 满足21334a b -=+，则a b +=________.4.如图，在ABC ∆中，3AC =，4BC =，5AB =，线段DE AB ⊥，且BDE ∆的面积是ABC ∆面积的三分之一，那么，线段BD 长为___________.5.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点M N 、，顶点为R ，若MNR ∆恰好是等边三角形，则24b ac -=____________.6.如图为25个小正方形组成的55⨯棋盘，其中含有符号 “”的各种正方形共有19个.7.平面上有n个点，其中任意三点都是直角三角形得顶点，则n 的最大值为4.8.若方程()()2214x x k --=有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则实数k =74.9.一个老人有n 匹马，他把马全部给两个儿子，大儿子得x 匹，小儿子得y 匹(1)x y >≥，并且满足x 是1n +的约数，y 也是1n +的约数，则正整数n 共有______种可能得取值？10.已知0a >且不等式12ax <<恰有三个正整数解，则当不等式23ax <<含有最多的整数解时，正数a 的取值范围为__________.二、解答题（本部分共四道题，其中前两题每题15分，后两题每题20分，共70分，要求写出必要的解题步骤）11.设方程210x x --=的两个根为a b 、，求满足()()(),,11f a b f b a f ===的二次函数()f x .12.已知()11232n n n +++++=，这里n 为任意正整数，请你利用恒等式()3321331n n n n +=+++，推导出2222123n ++++ 的计算公式.13.解方程组：2222221()2()3()x y z y z x z x y ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩14.已知ABC ，5AC =，6AB =，7BC =，111A B C 中，1A A ∠=∠，1=B B ∠∠，但111A B C 的大小和位置不定，当1A 到BC 的距离为3，1B 到AC 的距离为1，（如图），问：1C 到AB 的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.2014年交大附中自主招生数学试题及答案一、填空题1.在△ABC 中，设CA a = ，CB b =，P 是中线AE 与中线CF 的交点，则BP = ．（用,a b 表示）2.已知a 是正实数，则2a a+的最小值等于．3.正整数360共有个正因数．4.小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎。
2023年上海市宝山区中考一模数学试卷(解析版)
2023年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有只有一个选项是正确的．1.已知线段a 、b ，如果:2:3a b =，那么下列各式中一定正确的是（）A.23a b =B.5a b += C.52a b a += D.312a b +=+【答案】C 【解析】【分析】根据比例的性质进行判断即可．【详解】解：A 、由:2:3a b =，得32a b =，故本选项错误，不符合题意；B 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是10a b +=，故本选项错误，不符合题意；C 、由:2:3a b =，得52a b a +=，故本选项正确，符合题意；D 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是3728a b +=+，故本选项错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．2.在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，如果AD ：1BD =：3，那么下列条件中能够判断//DE BC 的是（）A.14DE BC = B.14AD AB = C.14AE AC = D.14AE EC =【答案】C 【解析】【详解】试题解析：∵AD ：BD=1：3，∴14AD AB ＝，∴当14AE AC 时，AD AEAB AC ＝，∴DE ∥BC ，故C 选项能够判断DE ∥BC ；而A ，B ，D 选项不能判断DE ∥BC ；故选C ．3.已知非零向量a 、b、c，下列条件中，能判定向量a 与向量b方向相同的是（）A.a c ∥ ，b c∥ B.2a b = C.0a b +=D.3a c = ，2b c= 【答案】D 【解析】【分析】由a c ∥ ，b c ∥ ，可得a b ∥ ，则a 与b 的方向相同或相反；由||2||a b =可知，a 与b 的方向相同或相反；由0a b += ，可得a b =- ，则a 与b 的方向相反，由3a c = ，2b c = ，可得1132c a b == ，则a与b的方向相同，即可得出答案．【详解】解：对于A 选项，由a c ∥ ，b c ∥ ，可得a b ∥，∴a与b的方向相同或相反，故A 选项不符合题意；对于B 选项，a与b的方向相同或相反，故B 选项不符合题意；对于C 选项，由0a b += ，可得a b =- ，∴a与b的方向相反，故C 选项不符合题意；对于D 选项，由3a c = ，2b c = ，可得1132c a b ==，∴a与b的方向相同，故D 选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为β，那么tan β的值是（）A.2B.12C.5D.【答案】B 【解析】【分析】如图，由题意易得2,1OB AB ==，然后问题可求解．【详解】解：过点A 作AB x ⊥轴于点B ，如图所示：由题意得：AOB β=∠，∵()2,1A ，∴2,1OB AB ==，∴1tan 2AB OB β==；故选B ．【点睛】本题主要考查三角函数及坐标与图形，熟练掌握求一个角的正切值是解题的关键．5.将抛物线23y x =+向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）A.2y x =B.23y x =- C.()233y x =++ D.()233y x =-+【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数的平移可进行求解．【详解】解：将抛物线23y x =+向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为()233y x =-+；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．6.已知ABC 中，90C ∠=︒，3AC =、4BC =．以C 为圆心作C ，如果圆C 与斜边AB 有两个公共点，那么圆C 的半径长R 的取值范围是（）A .1205R <<B.125R <C.1235R <≤ D.1245R <≤．【答案】C 【解析】【分析】作CD AB ⊥于D ，由勾股定理求出AB ，由三角形的面积求出CD ，由AC BC >，可得以C 为圆心，4R =为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点；若C 与斜边AB 有两个公共点，即可得出R 的取值范围．【详解】解：作CD AB ⊥于D ，如图所示：90ACB∠=︒，3AC=，4 BC=，5AB∴==，∵ABC的面积1122AB CD AC BC=⋅=⋅，125AC BCCDAB⋅∴==，即圆心C到AB的距离125d=，AC BC<Q，∴以C为圆心，4R=为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，∴若C与斜边AB有两个公共点，则R的取值范围是1235R<≤．故选：C．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知线段2a=，8b=，如果线段c是a、b的比例中项，那么c=_____．【答案】4【解析】【分析】根据成比例线段列出比例式即可求解．【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项，∴2a=，8b=，∴216c ab==，∴4c=（负值舍去）故答案为：4．【点睛】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题的关键．8.已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC的最小边长为4厘米，那么三角形ABC的周长为_____厘米．【答案】18【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2:3:4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．【详解】解：所求三角形的三边的比是2:3:4，设最短边是2x 厘米，则24=x ，解得2x =，因而另外两边的长是36x =厘米，48x =厘米．则三角形的周长是68418++=（厘米）．故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4，是解题关键．9.计算：()()23a b a b --+＝_____．【答案】5a b --【解析】【分析】根据加减运算及乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：原式2233a b a b=---5a b=-- 故答案为：5a b --．【点睛】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握平面的加减运算及乘法运算法则是正确计算本题的关键．10.如果抛物线2y ax =的开口方向向下，那么a 的取值范围是_____．【答案】a<0【解析】【分析】根据二次函数的图象可进行求解．【详解】解：由抛物线2y ax =的开口方向向下，则有a<0；故答案为a<0．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．11.抛物线2(1)2y x =--+的对称轴是_____．【答案】直线1x =【分析】由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解．【详解】解：2(1)2y x =--+ ，∴抛物线顶点坐标为(1,2)，对称轴为直线1x =，故答案为：直线1x =．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．12.正六边形一个外角的度数为____________．【答案】60︒##60度【解析】【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360︒解答即可．【详解】∵正六边形的外角和是360︒，∴正六边形的一个外角的度数为：360660=，故答案为：60︒．【点睛】本题主要考查多边形的外角和及正多边形外角度数的计算，掌握多边形外角和等于360︒是解答本题的关键．13.已知圆O 的半径为1，A 是圆O 内一点，如果将线段OA 的长记为d ，那么d 的取值范围是_____．【答案】01d ≤<【解析】【分析】根据点在圆内，01d ≤<，可得结论．【详解】解： 点A 在圆内，∴01d ≤<，故答案为：01d ≤<．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：点与圆的位置关系有3种．设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外d r ⇔>②点P 在圆上d r ⇔=．③点P 在圆内d r ⇔<．14.如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为y 平方米，那么y 关于x 的函数解析式为_____．（不要求写出定义域）【答案】(122)y x x =-【分析】由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为(122)x -米，再利用矩形的面积公式，即可得出y 关于x 的函数解析式．【详解】解： 篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为x 米，∴花圃平行于墙的一边长为(122)x -米．根据题意得：(122)y x x =-．故答案为：(122)y x x =-．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y 关于x 的函数解析式是解题的关键．15.如图，在ABC 中，已知线段EF 经过三角形的重心G ，EF AB ∥，四边形ABFE 的面积为215cm ，那么ABC 的面积为_____2cm．【答案】27【解析】【分析】连接CG 并延长交AB 于H ，由G 为ABC 的重心，可得23CG CH =，而EF AB ∥，有CEF CAB ∽△△，23CE CG CA CH ==，故224()39CEF CAB S S ==△△，设ABC S x =△2cm ，有1549x x -=，即可解得答案．【详解】解：连接CG 并延长交AB 于H，如图：G 为ABC 的重心，2CG GH ∴=，∴23CG CH =，EF AB ∥ ，CEF CAB ∴ ∽，23CE CG CA CH ==，∴23EF CE CG AB AC CH ===，∴224(39CEF CAB S S ==△△，设ABC S x =△2cm ，则2(15)cm CEF S x =-△，∴1549x x -=，解得27x =，故答案为：27．【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形重心的性质．16.已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于_____．【答案】7【解析】【分析】设另一个圆的半径长为r ，根据两圆内切得出25r -=或25r -=，再求出r 即可．【详解】解：设另一个圆的半径长为r ，内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，25r ∴-=或25r -=，解得：7r =或3r =-（半径不能为负，舍去），所以另一个圆的半径长是7．故答案为：7．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，能熟练掌握圆与圆的位置关系的内容是解此题的关键，已知两圆的半径分别为a ，()b a b >，两圆的圆心距为d ，那么当a b d -=时，两圆的位置关系是内切．17.已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为_____．【答案】11或21【解析】【分析】设半径长分别为13和20的A 、B 相交于点E 、点F ，24EF =，连接AE 、BE ，则13AE =，20BE =，再分两种情况讨论，一是点A 、点B 在直线EF 的同侧，延长BA 交EF 于点C ，根据“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”得90BCE ∠=︒，12CE CF ==，可由勾股定理求得16BC =，5AC =，则11AB BC AC =-=；二是点A 、点B 在直线EF 的异侧，BA 交EF 于点D ，则16BD =，5AD =，21AB BD AD =+=．【详解】解：半径长分别为13和20的A 、B 相交于点E 、点F ，24EF =，连接AE 、BE ，则13AE =，20BE =，如图1，点A 、点B 在直线EF 的同侧，延长BA 交EF 于点C ，AB 垂直平分EF ，90BCE ∴∠=︒，11241222CE CF EF ===⨯=，16BC ∴===，5AC ===，16511AB BC AC ∴=-=-=；如图2，点A 、点B 在直线EF 的异侧，BA 交EF 于点D ，90BDE ADE ∠=∠=︒ ，11241222DE DF EF ===⨯=，16BD ∴==，5AD ==，16521AB BD AD ∴=+=+=，综上所述，这两个圆的圆心距为11或21，故答案为：11或21．【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．18.如图，已知ABC 中，2AB AC ==，36A ∠=︒．按下列步骤作图：步骤1：以点B 为圆心，小于BC 的长为半径作弧分别交BC 、AB 于点D 、E ；步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ；步骤3：作射线BM 交AC 于点F ．那么线段AF的长为_____．1-【解析】【分析】由题意得，BF为ABC ∠的平分线，可得36ABF CBF ∠=∠=︒，进而可得AF BC =，设BC AF x ==，则2CFx =-，结合已知条件证明BCF ACB △△∽，则BC CFAC BC =，即22x x x-=，求出x 的值，即可得出答案．【详解】解：由题意得，BF 为ABC ∠的平分线，ABF CBF ∴∠=∠，AB AC = ，36A ∠=︒，72ABC C ∴∠=∠=︒，36ABF CBF ∴∠=∠=︒，AF BF ∴=，18072BFC C CBF ∠=︒-∠-∠=︒，BC BF ∴=，AF BC ∴=，设BC AF x ==，则2CF x =-，A CBF ∠=∠ ，BCFACB =∠∠，BCF ACB ∴△∽△，∴BC CFAC BC =，即22x x x-=，解得1x =或1-（舍去），1AF \．1．【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：tan 452cos60|1cos30|sin 601︒--+︒︒-︒．【答案】42--【解析】【分析】分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【详解】解：tan 452cos60|1cos30|sin 601︒--+︒︒-︒132|1|22=⨯--+3112=-++1142=-+-3342=--【点睛】本题考查了三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．20.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A 、(2,3)B -、(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 与点E 是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D 的横坐标为2-，试求点E 的坐标．【答案】（1）2=23y x x --（2）(4,5)【解析】【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题．（2）根据二次函数图象的对称性求得E 的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得E 的坐标．【小问1详解】解：由题意得，930a b c ++=，423a b c ++=-，3c =-．1a ∴=，2b =-．∴这个抛物线的表达式为2=23y x x --．【小问2详解】由（1）得，2=23y x x --．∴该抛物线的对称轴是直线1x =．点D 与点E 是抛物线上关于对称轴对称的两点，点D 的横坐标为2-，E ∴的横坐标是4．∴当4x =时，16835y =--=．(4,5)E ∴．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键．21.如图，已知圆O 的弦AB 与直径CD 交于点E ，且CD 平分AB ．（1）已知6AB =，2EC =，求圆O 的半径；（2）如果3DE EC =，求弦AB 所对的圆心角的度数．【答案】（1）134（2）120︒【解析】【分析】（1）连接OA ，如图，设O 的半径为r ，则OA r =，2OE r =-，先根据垂径定理得到3AE BE ==，CD AB ⊥，在Rt OAE △中利用勾股定理得到2223(2)r r +-=，然后解方程即可；（2）连接OB ，如图，先利用3DE EC =得到OE CE =，即12OE OA =，再利用正弦的定义得到30A ∠=︒，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算AOB ∠即可．【小问1详解】解：连接OA ，如图，设O 的半径为r ，则OA r =，2OE r =-，CD 平分AB ，3AE BE ∴==，CD AB ⊥，在Rt OAE △中，2223(2)r r +-=，解得134r =，即O 的半径为134；【小问2详解】解：连接OB ，如图，3DE EC = ，3OC OE EC ∴+=，即3OE CE OE CE ++=，OE CE ∴=，1122OE OC OA ∴==，在Rt OAE △中，1sin 2OE A OA == ，30A ∴∠=︒，OA OB = ，30B A ∴∠=∠=︒，180120AOB A B ∴∠=︒-∠-∠=︒，即弦AB 所对的圆心角的度数为120︒．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．22.如图，某小区车库顶部BC 是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB ．已知平台斜坡CD 的坡度i =，坡长为6米．在坡底D 处测得灯的顶端A 的仰角为45︒，在坡顶C 处测得灯的顶端A 的仰角为60︒，求灯的顶端A 与地面DE 的距离．（结果保留根号）【答案】(3+米【解析】【分析】过点B 作BF DE ⊥于点F ，过点C 作CG DE ⊥于点G ，由坡度的定义及斜坡CD 的坡长为6米，可得DG =米，3CG BF ==米，设BC FG x ==米，则(DF x =+米，在Rt ABC △中，tan 60AB ABBC x ︒===，解得=AB ，则(3)AF =米，在Rt ADF 中，45ADF ∠=︒，可得AF DF =，即3x +=+，求出x 的值，进而可得答案．【详解】解：过点B 作BF DE ⊥于点F ，过点C 作CG DE ⊥于点G ，由题意得，6CD =米，45ADF ∠=︒，60ACB ∠=，CG BF =，BC FG =，斜坡CD 的坡度i =∴CG DG =即DG =，在Rt CDG △中，由勾股定理得222)6CG +=，解得3CG =，DG ∴=米，3BF =米，设BC FG x ==米，则(DF x =+米，在Rt ABC △中，tan 60AB AB BC x ︒===，解得=AB ，(3)AF ∴=+米，在Rt ADF 中，45ADF ∠=︒，AF DF ∴=，即3x +=+，解得3x =，(3AF ∴=+米．∴灯的顶端A 与地面DE 的距离为(3+米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．23.已知：如图，四边形ABCD 、ACED 都是平行四边形，M 是边CD 的中点，联结BM 并延长，分别交AC 、DE 于点F 、G ．（1）求证：2BF FM BG =⋅；（2）联结CG ，如果AB =，求证：BGC BAC ∠=∠．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到AB CD ∥，AB CD =，则2AB CM =，CM DM =，再证明ABF CMF △∽△，利用相似比得到2BF AB FM CM ==，同理方法证明CMF DMG △∽△，则1FM CM MG DM ==，所以22BF FM MG ==，然后利用224BF FM =，24FM BG FM ⋅=可得到结论；（2）先利用AB CD =得到CD =，2CM =，则2CG CM CD CG ==，加上MCG GCD ∠=∠，则可判断CMG CGD △∽△，所以MGC DEC ∠=∠，然后利用平行线的性质得到EDC ACD BAC ∠=∠=∠，从而得到结论．【小问1详解】解：证明： 四边形ABCD 为平行四边形，AB CD ∴∥，AB CD =，M 是边CD 的中点，2AB CM ∴=，CM DM =，AB CM ∥ ，ABF CMF ∴△∽△，∴2BF AB FM CM==， 四边形ACED 为平行四边形，AC DE ∴∥，CMF DMG ∴△∽△，∴1FM CM MG DM ==，22BF FM MG ∴==，224BF FM = ，244FM BG FM FM FM ⋅=⋅=，2BF FM BG ∴=⋅；【小问2详解】AB = ，AB CD =，CD ∴=，22CM =，∴22CG CD =，22CM CG =，∴CG CM CD CG =，MCG GCD ∠=∠ ，CMG CGD ∴△∽△，MGC DEC ∴∠=∠，AC ED ∥ ，EDC ACD ∴∠=∠，AB CD ∥ ，BAC ACD ∴∠=∠，BAC BGC ∴∠=∠．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -、(2,0)B ，将该抛物线位于x 轴上方的部分沿x 轴翻折，得到的新图象记为“图象U ”，“图象U ”与y 轴交于点C．（1）写出“图像U ”对应的函数解析式及定义域；（2）求ACB ∠的正切值；（3）点P 在x 轴正半轴上，过点P 作y 轴的平行线，交直线BC 于点E ，交“图象U ”于点F ，如果CEF △与ABC 相似，求点P 的坐标．【答案】（1）()222212(12)x x x x y x x x ⎧-++≥≤-=⎨---<<⎩或（2）3（3）1(2，0)或373(4+，0)或2(3，0)或2210(3+，0)【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由1122ABC S AB CO AC BH =⨯⨯=⨯⨯△，求出BH =（3）因为45E ABC ∠=︒=∠，故当CEF △与ABC 相似时，ECF ACB ∠=∠或BCA ∠，①当ECF ACB ∠=∠时，设：CH t =，则3HF t HE ==，则4t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，即可求解；②当ECF CAO ∠=∠时，同理可解．【小问1详解】解：由题意得：2(1)(2)2y x x x x =-+-=-++，则翻折后的函数表达式为：2y x x 2=--，即()222212(12)x x x x y x x x ⎧-++≥≤-=⎨---<<⎩或；【小问2详解】过点B 作BH AC ⊥于点H ，则1122ABC S AB CO AC BH =⨯⨯=⨯⨯△，即32BH ⨯=，解得：BH =则sinBH ACB BC ∠==，则tan 3ACB ∠=；【小问3详解】由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：2y x =-，设点(,0)P m ，在点(,2)E m m -，点2(,2)F m m m --或2(,2)m m m -++，则CE =，22FE m m =-+或24m -，如下图45E ABC ∠=︒=∠，故当CEF △与ABC 相似时，ECF ACB ∠=∠或BCA ∠，①当ECF ACB ∠=∠时，即tan tan 3ECF ACB ∠=∠=，在CEF △中，过点F 作FH CE ⊥于点H ，设：CH t =，则3HF t HE ==，则4t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，解得：12m =或34+（不合题意的值已舍去）；②当ECF CAO ∠=∠时，则tan tan 2ECF CAO ∠=∠=，同理可得：3t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，解得：23m =；综上，点P 的坐标为：1(2，0)或373(4+，0)或2(3，0)或2210(3+，0)．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键．25.如图1，在ABC 中，BC =，5AB =，1cot 2ABC ∠=．点D 、E 分别在边AC 、AB 上（不与端点重合），BD 和CE 交于点F ，满足ABD BCE ∠=∠．（1）求证：2CD DF DB =⋅；（2）如图2，当CE AB ⊥时，求CD 的长；（3）当CDF 是等腰三角形时，求:DF FB 的值．【答案】（1）见解析（2）3011（3）5+或4【解析】【分析】（1）作CG AB ⊥于G ，解直角三角形BCG ，求得BG 和CG ，进而解直角三角形ACG ，求得AC ，从而得出AC AB =，进一步得出DCF CBD ∠=∠，从而CDF BDC △∽△，进一步得出结论；（2）作DG CE ^于G ，解直角三角形BEF ，求得112EF BE ==，3CF CE EF =-=，解Rt DCG △，得出3tan 4DG AE DCF CG CE ∠===，进而设3DG a =，4CG a =，5CD a =，从而32a FG =，进而由CG FG CF +=得，3432a a +=，进一步得出结果；（3）有两种情形：当CF DF =时，可推出CD BC ==，作CG AB ⊥于G ，作DK BC ⊥于K ，进而证明DCK CBG △≌△，从而2CK BG ==，4DK CG ==，进而求得BD ，根据（1）：2CD DF BD =⋅，求得DF ，进而求得BF ，进一步得出结果；当CD CF =时，可推出BD BC ==，作BH AC ⊥于H ，可得出4CD =，同样根据（1）2CD DF BD =⋅求得5DF =，进一步得出结果．【小问1详解】解：证明：如图1，作CG AB ⊥于G ，1cot 2BGABC CG ∴∠==，cos 5ABC ∴∠=，2BG ∴=，24CG BG ==，3AG AB BG ∴=-=，5AC ∴=，AC AB ∴=，ACB ABC ∴∠=∠，ABD BCE ∠=∠ ，DCF CBD ∴∠=∠，CDF CDF ∠=∠ ，CDF BDC ∴△∽△，∴DF CD CD BD =，2CD DF DB ∴=⋅；【小问2详解】如图2，作DG CE ^于G ，CE AB ⊥ ，∴∥DG AB ，FDG ABD BCE ∴∠=∠=∠，1tan tan tan 2EF BE FDG ABD BCE BECE ∴∠=∠==∠==，112EF BE ∴==，3CF CE EF =-=∴，在Rt DCG △中，3tan 4DGAEDCF CG CE ∠=== ，∴设3DG a =，4CG a =，5CD a =，32aFG ∴=，由CG FG CF +=得，3432a a +=，611a ∴=，30511CD a ∴==；【小问3详解】如图3，当CF DF =时，CDF ACF ∠=∠，ACF CBD ∠=∠ ，CDF CBD ∴∠=∠，CD BC ∴==，作CG AB ⊥于G ，作DK BC ⊥于K ，90DKC CGB ∴∠=∠=︒，DCB ABC ∠=∠ ，(AAS)DCK CBG ∴△≌△，2CK BG ∴==，4DK CG ==，2BK BC CK ∴=-=，BD ∴=由（1）知：2CD DF BD =⋅，2DF ∴=BF BD DF ∴=-=-=:5DF BF ∴=+如图4，当CD CF =时，CDF CFD BCD ∠=∠=∠，BD BC ∴==，作BH AC ⊥于H ，22CD DH CH ∴==，4BH CG ==，2DH BG ==，4CD ∴=，由（1）知：2CD DF BD =⋅，24DF ∴=，5DF ∴=，BF BD DF ∴=-=，:4:14DF FB ∴==，综上所述：:5DF FB =+4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质及分类，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理清线段之间的关系．第23页/共23页。
上海数学自招题晋元
上海数学自招题晋元摘要：一、上海数学自招题晋元简介1.上海数学自招考试的背景2.晋元中学在自招考试中的地位二、晋元中学数学自招题目的特点1.题目难度与考察知识点2.题目类型与解题技巧三、晋元中学数学自招考试的备考策略1.提高数学基本功2.熟悉自招考试题型3.增强解题速度与准确率四、总结1.晋元中学数学自招考试的重要性2.对备考学生的建议正文：上海数学自招题晋元，作为上海市知名中学，晋元中学在数学自主招生考试中一直备受关注。
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因此，学生在备考过程中，应熟悉各种题型，掌握解题技巧，提高解题速度与准确率。
针对晋元中学数学自招考试的备考策略，首先，学生要重视数学基本功的培养，加强数学基本概念、公式定理的学习，形成系统的知识体系。
其次，要熟悉自招考试的题型，了解各类题目的解题思路和方法，进行有针对性的练习。
此外，参加模拟考试也是提高应试能力的重要途径，可以帮助学生了解考试流程，适应考试压力，及时发现并弥补自己的不足。
总之，晋元中学数学自招考试不仅对学生的数学基本功有较高要求，还考查学生的解题能力和创新思维。
因此，备考学生要在加强基础知识学习的同时，注重解题技巧的培养，提高自己的综合能力。
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2023年上海中学自主招生数学试卷
1．已知，求x2+y2．
2．如图，已知∠AOX＝30°，OA＝2，AB⊥OA，AB＝OA，则B的坐标为 ．
3．已知a+＝3，b+＝17，c+＝，求abc＝ ．
4．与x轴，y轴交于A，B（k为正整数），记Sk为S△AOB在对应k时的大小，则S1+S2+⋯+S
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＝ ．
5．有九个方格，把1到9这些正整数均填入其中，要使任意相邻的三个格子的和为3的倍数，有 种
填法．
6．在圆O中，AP＝7，BP＝3，且OP⊥CP，求CP＝ ．
7．有一数列（8项），首项与末项均为1，每一项与前一项比均为1或2或，这种数列有 种．
8．x2+y2＝|x|+|y|有 组整数解．
9．．
10．在长方形ABCD中，长为4，宽为2，N为CD的中点，M在AD上，且∠MBC＝∠BMN，求AM．
2
11．三角形三边为x，y，z，均为正整数，且符合xyz＝2（x﹣1）（y﹣1）（z﹣1），求三边长．