八年级数学竞赛试题及答案

八年级数学竞赛试题及答案1.将1、2、3、4、5这五个数字排成一排，使得最后一个数是奇数且其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除。

求满足要求的排法数量。

答案：3种2.XXX沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车。

假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车。

求发车间隔的时间。

答案：18分钟3.如图，在三角形ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC 的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD。

求FC的长度。

答案：FC=54.已知0<a<1，且满足$\left\lfloor\frac{a+1}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a+2}{3}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{a+29}{30}\right\rfloor=18$，求$\left\lfloor10a\right\rfloor$的值。

答案：25.XXX家电话号码原为六位数。

第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码。

XXX发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍。

求XXX家原来的电话号码。

答案：6.在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上。

如果连接这7个点中的每两个点，那么最多可以得到21条线段；以这些线段为边，最多能构成35个三角形。

7.设a、b、c均是不为0的实数，且满足$a^2-b^2=bc$及$b^2-c^2=ca$。

证明：$a^2-c^2=ab$。

8.如图，在凹四边形ABCD中，它的三个内角∠A、∠B、∠C均为45度。

E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点。

证明：四边形EFGH是正方形。

9.已知长方形ABCO，O为坐标原点，点B的坐标为（8,6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限且是直线y=2x+6上的一点，若△APD是等腰直角三角形。

求（1）点D的坐标；（2）直线y=2x+6向右平移6个单位后，在该直线上，是否存在点D，使△APD是等腰直角三角形？若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由。

10.设$x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{2008}$是整数，且满足以下条件：（1）$-1\leq x_n\leq 1$，$n=1,2,3,\ldots,2008$；（2）$x_1+x_2+\cdots+x_{2008}=0$。

求满足条件的$x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{2008}$的个数。

答案：$\binom{2007}{1003}$1.求解方程组：$\begin{cases} x_1+x_2+x_3+。

+x_{2008}=200 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2+。

+x_{2008}^2=2008\end{cases}$，求$x_1^3+x_2^3+x_3^3+。

+x_{2008}^3$的最小值和最大值。

2.在圆周上放置了一些数，如果有依次相连的4个数$a,b,c,d$满足不等式$(a-d)(b-c)>0$，那么可以交换$b,c$的位置，这称为一次操作。

(1) 若圆周上依次放着数$1,2,3,4,5,6$，是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数$a,b,c,d$，都有$(a-d)(b-c)\leq 0$？请说明理由。

(2) 若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数$1,2.2003$，是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数$a,b,c,d$，都有$(a-d)(b-c)\leq 0$？请说明理由。

3.已知$x=\dfrac{b}{a+b}$，其中$a,b$是互质的正整数（即$a,b$是正整数，且它们的最大公约数为1），且$a\leq8,2^{-1}<x<3^{-1}$。

(1) 试写出一个满足条件的$x$。

(2) 求所有满足条件的$x$。

4.如下图，已知$\triangle ABC$内，$P,Q$分别在$BC,CA$上，且$AP,BQ$分别是$\angle BAC,\angle ABC$的平分线。

(1) 若$\angle BAC=60^\circ,\angle ACB=40^\circ$，求证：$BQ+AQ=AB+BP$；(2) 若$\angle ACB=\alpha$时，其他条件不变，直接写出$\angle BAC$为多少度时，仍有$BQ+AQ=AB+BP$。

5.用任意的方式，给平面上的每一点染上黑色或白色。

求证：一定存在一个边长为1或3的正三角形，它的三个顶点是同色的。

6.将$1,2,3.10$这十个数按某一顺序排成一行，使得每相邻三个数的和都不超过$n$。

问：(1) 当$n=10$时，能否排成？请说明理由；(2) 当能够排成时，$n$的最小值是多少？7.已知实数$a,b,c$满足：$a+b+c=2,XXX(1) 求$a,b,c$中的最大者的最小值；(2) 求$a+\dfrac{1}{a}+b+\dfrac{1}{b}+c+\dfrac{1}{c}$的最小值。

8.在等腰三角形$ABC$中，$AB=AC$，延长边$AB$到点$D$，延长边$CA$到点$E$，连结$DE$，恰有$AD=BC=CE=DE$。

求$\angle BAC$的度数。

1.对于排列 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$，不能有连续的两个都是偶数，否则会与已知条件矛盾。

又如果 $a_i$ 是偶数，$a_{i+1}$ 是奇数，则 $a_{i+2}$ 是奇数。

这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数。

因此，$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 只能是偶、奇、奇、偶、奇。

有如下 5 种情形满足条件：$2,1,3,4,5$；$2,3,5,4,1$；$2,5,1,4,3$；$4,3,1,2,5$；$4,5,3,2,1$。

2.设 18 路公交车的速度是 $x$ 米/分，小王行走的速度是$y$ 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为 $s$ 米。

每隔 6 分钟从背后开过一辆 18 路公交车，则 $6x-6y=s$（公交车比小王快，所以是相减）。

每隔3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车，则 $3x+3y=s$（公交车比小王快，所以是相加）。

由 $6x-6y=s$ 和 $3x+3y=s$ 可得 $s=4x$，即 18 路公交车总站发车间隔的时间是 4 分钟。

3.过点 $B$ 作 $BG\parallel AD$，交 $CA$ 延长线于 $G$。

因为 $AD$ 平分 $\angle BAC$，所以 $\angle BAD=\angleCAD$。

因为 $BG\parallel AD$，所以 $\angle ABG=\angleBAD$，$\angle G=\angle CAD$。

因此，$\angle ABG=\angleG$，$AG=AB=7$，$CG=AG+AC=7+11=18$。

因为$MF\parallel AD$，所以 $MF\parallel BG$。

因为 $M$ 是$BC$ 的中点，所以 $MF$ 是三角形 $CBG$ 的中位线，所以$FC=CG/2=9$。

4.因为 $0<a_++\frac{1}{a_+}<2$，所以$a_+,a_++\frac{1}{a_+},\dots,a_+^n+\frac{1}{a_+^n}$ 等于$0$ 或 $1$。

题设知，其中有 $18$ 个等于 $1$，所以 $a_+=1$，$a_+^n+\frac{1}{a_+^n}=2$。

因此，$1\leq a_+<2$，$a_+^{18}+\frac{1}{a_+^{18}}=2$。

故 $18\leq 30a_+<19$，于是 $6\leq 10a_+<7$。

解题思路：题目给出了一些条件，需要通过推导和计算来得出答案。

需要注意的是，文章中存在一些格式错误和表述不够清晰的地方，需要进行修改和改写。

5、根据题意，原电话号码的六位数为abcdef，经过两次升位后变成了八位数2a8bcdef。

根据题目中的等式，81乘以abcdef等于2a8bcdef。

设x等于bcdef的值，那么2a8x加上81a乘以10的3次方等于208乘以10的6次方加上ax。

通过计算可以得到a等于2，x等于，因此原来的电话号码是.6、在平面上有7个不共线的点，连接其中任意两个点可以得到21条线段。

以这些线段为边，最多能构成35个三角形。

7、根据题目中的两个等式，可以得到a/c等于b/(b-c)，以及ab-bc=ac和c(a+b)=ab。

将前两个等式相加可以得到a^2-c^2等于c(a+b)，将第三个等式代入可以得到a^2-c^2等于ab。

因此，四边形EFHG是正方形需要满足三个条件：EF和HG是平行的，EH等于HG，EH垂直于HG。

8、首先通过连接AC和BD，延长BD交AC于K点，延长CD交AB于L点，可以得到EF和HG是平行的，并且EF等于HG。

然后需要证明BD等于AC，由于∠BLC等于90度，∠ADL等于45度，可以得到AL等于LD，BL等于LC，因此△LBD和△LCAB是全等的，从而BD等于AC。

最后，由于BD垂直于AC，因此EH垂直于HG，因此四边形EFHG是正方形。

9、首先作DE和PF分别垂直于y轴，得到∠DEA等于90度，∠AFP等于90度。

因为△DAP是等腰直角三角形，所以AD等于AP，∠DAP等于90度。

因此，△DAP和△AFP是相似的，可以得到PF等于2DE。

根据题目中的条件，可以得到AB等于2BC，因此△ABC和△AFP也是相似的，可以得到AP等于4BC。

因此，BC等于AP除以4，DE等于PF除以2，可以得到BC等于3DE。

这篇文章存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行修改和删除。

修改后的文章如下：对于这2003个数，相邻两数乘积之和为Pk+1，其中Pk+1－Pk=（ac+cb+bd）－（ab+bc+cd）=ac+bd－ab－cd＜0.因此，每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1.由于相邻两数乘积总大于0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a,b,c,d，一定有（a－d）（b－c）≤0.考虑分数b/a，其中a、b为互质的正整数，且a≤8.因此，有(21)a b(31)a。

当a=1时，不存在正整数b满足条件。

当a=2时，有b=1，此时x=1/2.当a=3时，有b=2，此时x=2/3.当a=4时，不存在与a互质的正整数b。