偏微分方程数值及matlab实验报告(8)

偏微分方程数值实验报告八

实验题目：利用有限差分法求解

.

0)1(,0)1(),()()(==-=+''-u u x f x u x u 真解为

)

1()(22

x e x u x -=-实现算法：对于两点边值问题

,

)(,)(,,d 22βα==∈=-b u a u l x f dx

u

(1)

其中),(b a l =f b a ),(<为],[b a l =上的连续函数，βα，为给定常数.

其相应的有限差分法的算法如下：

1.对求解区域做网格剖分，得到计算网格.在这里我们对区间l 均匀剖分n 段，每个剖分单元的剖分步长记为n

a

b h -=

.2.对微分方程中的各阶导数进行差分离散，得到差分方程.运用的离散方法有：方法一:用待定系数和泰勒展开进行离散

)()()()(d )

(d 11112

2++--++≈i i i i i i i i x u x u x u x x u ααα方法二：利用差商逼近导数

2

112

2)

()(2)()(d )(d h x u x u x u x x u i i i i i -++-≈(2)

将(2)带入(1)可以得到

)()()

()(2)(2

11u R x f h x u x u x u i i i i i +=+--

-+,

其中)(u R i 为无穷小量，这时我们丢弃)(u R i ，则有在i x 处满足的计算公式：

1

,...,1)()

()(2)(2

11-==+--

-+n i x f h x u x u x u i i i i ，(3)

3.根据边界条件，进行边界处理.由(1)可得

β

α==n u u ,0(4)

称(3)(4)为逼近(1)的差分方程，并称相应的数值解向量1-n U 为差分解，i u 为)(i x u 的近似值.4.最后求解线性代数方程组，得到数值解向量1

-n U .

实验题目：用Lax-Wendroff 格式求解方程：

.

4sin 1),1(],

1,0[,2sin 1)0,(,

0),1,0(,02t t u x x x u t x u u x t ππ+=∈+=>∈=- （1） （精确解).2(2sin 1t x u ++=π） 数值边值条件分别为： （a ）).(20101

n 0

n

n n

u u h

u u -+

=+τ （b ）.1n

0n u u =

（c ）.02-12111n 0=++++n n u u u

请将计算结果与精确解进行比较。

实现算法： 1.网格剖分：

对求解区域],0()1,0(G T ⨯=作均匀网格剖分. 节点： ,jh x j = N j ,...,1,0= ,jh t k = M k ,...,1,0= 其中空间和时间步长：.,1M

T N h ==τ 2.算法实现

将),(1+k i t x u 在节点),(k i t x 处作泰勒级数展开

)(][!2][),(),(32221τττO t

u t u t x u t x u k

i k i k i k i +∂∂+∂∂+=+ （2）

考虑在节点),(k j t x 处（1）的微分方程，有：

.0=∂∂-∂∂x

u a t u .)()(2

2

222x u a t u x a x u a t t u ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂-∂∂=∂∂ 将上述两式代入（2）式，得

)(][2][),(),(322221τττO x

u a x u a t x u t x u k

i k i k i k i +∂∂+∂∂-=+

对x 的一阶、二阶导数用中心差商代替

)())],(),([(21

][

211h O t x u t x u h

x u k i k i k i +-=∂∂-+ )())],(),(2),([(1

][211222h O t x u t x u t x u h

x u k i k i k i k i ++-=∂∂-+ 代入整理后得到

)()()()],(),(2),([2)],(),([2),(),(3222112

2

2111ττττ

τ

O h O h O t x u t x u t x u h

a t x u t x u h

a t x u t x u k i k i k i k i k i k i k i ++++-+

--

=-+-++

略去误差项，以k i u 代替),(k i t x u ，得到如下差分格式

)2(2)(2112

22111k i k i k i k

i k i k i

k i

u u u h

a u u h a u u

---+++-+--=ττ （3） （3）式就是Lax-Wendroff 格式，其截断误差为)(22h O +τ，节点如图

令h

a r τ

||=

，就得到（1）式的Lax-Wendroff 格式的公式 )2(2

)(2112111k i k i k i k

i k i k i

k i

u u u r u u r u u

---+++-+--= （4）

（4）式是二阶精度的差分格式.

程序代码：

function [X,T,U] = advection_fd1d (NS ,NT ,pde,bd) % WAVE_EQUATION_FD1D 利用有限差分方法计算一维双曲线方程