您的位置：360文档中心› 江西高三下学期第四次大考理科数学试题

江西高三下学期第四次大考理科数学试题

合集下载

2023届陕西省高三下学期4月教学质量检测(二)理科数学试题(PDF版)

2023届陕西省高三下学期4月教学质量检测(二)理科数学试题(PDF版)

2023年陕西省高三教学质量检测试题（二）理科数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2230A x x x =+->，{}1,0,1,2B =-，则（ ）A ．{}2AB = B ．A B =RC ．(){}1,0RA B=-ð D ．(){}31RB x x A =-<<ð2．定义：若复数z 与z '满足1zz '=，则称复数z 与z '互为倒数．已知复数12z =+，则复数z 的倒数z '=（ ）A ．12-B ．12+C ．12-D ．12 3．设()3,a m =，()4,2b =，则“1m =-”是“()a ab ⊥-”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为（ ） A ．127 B ．481 C ．527 D ．8815．短道速滑队6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内）进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，()q r ⌝∧是真命题，则选拔赛的结果为（ ）A ．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名B ．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名C ．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名D ．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名6．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的m 的值为（ ）A ．25B ．45C ．55D ．757．已知等比数列{}n a 的前n 项和与前n 项积分别为n S ，n T ，公比为正数，且316a =，3112S =，则使1n T >成立的n 的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．12D ．13 8．已知函数()()2cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，()01f =．则下列说法正确的是（ ）A ．2πω=B ．()f x 的图象的对称轴方程为()23x k k ππ=-∈Z C ．()1f x ≥的解集为()44,43k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()f x 的单调递减区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z9．在13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64:1，则展开式中的常数项为（ ）A ．540B ．480C ．320D ．16010．已知三棱锥P ABC -中，1AC BC ==，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，PD ⊥平面ABC ，点P ，A ，B ，C 在球心为O 的球面上，若三棱锥P ABC -的体积是16，则球O 的半径为（ ） A ．32 B ．1 C ．12 D ．3411．如图，1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF △是面积为的正三角形，则e 的值是（ ）A．1 B．1 CD．4-12．已知集合(){}0M f αα==，(){}0N g ββ==．若存在M α∈，N β∈，使n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”．若函数()21xf x e -=-与函数()2xg x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．2214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3212,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程为9.49.1y x =+，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为________． 14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 0C C a b c --=．若ABC △的面积为b c +的最小值为________．15．已知函数()132,1,1x e xfx x x x -⎧<⎪⎨+≥=⎪⎩，则()()2f f x <的解集为________．16．如图，记椭圆221259x y +=，221259y x +=内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到()14,0F -，()24,0F ，()10,4E -，()20,4E 四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y x =，y x =-均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π． 其中正确命题的序号为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知在各项均为正数的等差数列{}n a 中，23421a a a ++=，且21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前3项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 的通项公式为n c =________，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 请在①n n a b ；②()()111n n n b b b +--；③()1nn a n -+这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并完成解答．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，PDC △是边长为2的等边三角形，平面PDC ⊥平面ABCD ，E 为线段PC 上一点．（1）设平面PAB平面PDC l =，证明：l ∥平面ABCD ；（2）是否存在这样的点E ，使平面ADEF 与平面ABCD 所成角为60︒？如果存在，求CE CP的值；如果不存在，请说明理由．19．（12分）如图，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，BD 的斜率之积为12-，椭圆的焦距为2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为12-，其中O 为坐标原点．若M 为线段PQ 的中点，则22MO MQ +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．20．（12分）为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．减排器等级分布如表．（1）若从这100件甲型号减排器中按等级用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望()E ξ． 21．（12分）已知函数()()2l 122n f x x x a b =+++，a ，b ∈R ． （1）当0a =时，设函数()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g b ，求(){}max g b ； （2）设1b =，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()12520x f x -<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=． （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，PQ 的中点为M ，()1,0A ，求AP AQ AM+的值．23．（10分）已知a ，b ，c 为正实数且235a b c ++=． （1）求222a b c ++的最小值； （2）当5≥时，求a b c ++的值．2023年陕西省高三教学质量检测试题（二）理科数学参考答案1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D （ 7．C 8．C 9．A 10．D 11．B 12．A 13．3914．15．(),1ln 2-∞- 16．②③17．（1）因为数列{}n a 为各项均为正数的等差数列， 所以2343321a a a a ++==，得37a =，设公差为d ，则有23116a a d d -=--=-，318a +=，433314a a a d a d +=++=+， 又21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前3项， 所以()()()2324311a a a a +=-+， 即()()64614d d =-+， 解得2d =或10d =-（舍去），所以132743a a d =-=-=，则数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列， 故21n a n =+，且由题意可得，1214b a =-=，2318b a =+=，所以数列{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列， 故11422n n n b -+=⋅=．（2）若选①，则()1212n n n n c a b n +==+⋅，则()()2341325272212212n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅，①在上式两边同时乘以2可得，()()341223252212212n n n S n n ++=⋅+⋅++-⋅++⋅，②①-②可得，()()234122322222(21)24122n n n n S n n +++-=⋅++++-+⋅=-+-⋅．即()22124n n S n +=-⋅+．若选②，则()()111nn n n b c b b +=--()()11222121n n n +++=-- 12112121n n ++=---，则12211111111377152121321n n n n S +++=-+-++-=----． 若选③，则()()()1121nnn n c a n n n =-+=-++，则()()31527394121nn S n n =-+++-+++++-++所以当n 为偶数时，()()()()()()()13579121121123n nn S n n n -⎡⎤=-++-+++-⋅-+-++++++⎣⎦()2132222n n nn n ++=⨯+=； 由上可得，当n 为奇数时，()()21421232122n n n n S n n ---=⨯+++++-+=综上可得，223,24,2n n nn S n n n ⎧+⎪⎪=⎨--⎪⎪⎩为偶数为奇数．18．（1）证明：C ABD ∥，AB ⊂/平面PDC ，DC ⊂平面PDC ，AB ∴∥平面PDC ，又AB ⊂平面P AB ，且平面PAB 平面PDC l =，AB l ∴∥，又l ⊂/平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，l ∴∥平面ABCD ．（2）解：设DC 的中点为O ，连接PO ，OA ，则PO DC ⊥ 平面PDC ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PDC ，平面PDC平面ABCD DC =，PO ∴⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则()1,0,0A ，()0,1,0D -，()0,1,0C，(P ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，假设存在点E 使平面ADEF 与平面ABCD 所成角为60︒，()01CE CP λλ=≤≤，则()0,1E λ-，即()0,2DE λ=-，设平面ADEF 的法向量为(),,n x y z =， 又()1,1,0DA =，则00n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()020y y z x λ+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，有1,n ⎛=- ⎝， cos ,m n m n m n⋅∴=12==， 整理得2440λλ+-=， 解得)[]210,1λ=∈，故存在点E满足条件，且)21CE CP=．19．（1）由题意，得1c =，(),A a b --，(),B a b -，(),C a b ，(),D a b -，22AC b b k a a =∴=，22BD b bk a a==--， 2212AC BDa kb k =-=-∴⋅，结合222a b c =+，解得a =1b =，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）解法一：设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭．当直线PQ 的斜率存在时， 设直线PQ 的方程为y kx t =+，由2212y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222124220kxktx t +++-=，()()()222222221641222821021k t k t k t t k ∆=-+-=-+>⇒<+，则12221224122212kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由12OP OQ k k =-⋅，得()()2212121212212220x x y y k x x kt x x t +=++++=， 代入化简得22212t k =+．2222121222x x y y MO MQ ++⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222212121212222222x x y y x x y y x y ++++⎛⎫⎛⎫+-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 点P ，Q 在椭圆上，221112x y ∴+=，222212x y +=，即22221212142x x y y +++=， ()222221212122242222222kt t x x x x x t t x --⎛⎫+=+-=-⋅= ⎪⎝⎭ 2212142x x +∴=， 2222222212121234242x x y y x x MO MQ ⎛⎫++++=++= ⎪⎝⎭∴， 即2232MO MQ +=； 当直线PQ 的斜率不存在时，易知2232MO MQ +=． 综上， 2232MO MQ +=，为定值． 解法二：由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得221122222222x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 把12122x x y y =-代入上式，化简得22122x y =，得22121y y +=，22122x x +=， 则22222212123222x x y y MO MQ +++=+=为定值． 20．（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.0850.0450.6⨯+⨯=， 用分层抽样的方法抽取10件，则抽取一级品为100.66⨯=（件），则至少有2件一级品的概率22314646464103742C C C C C P C ++==． （2）由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为710，二级品的概率为14，三级品的概率为120， 若从乙型号减排器中随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且13,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭~，所以()3003312704464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()21133********P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()122331924464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()033331134464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以ξ的分布列为所以数学期望()279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，或()13344E ξ=⨯=． 21．（1）当0a =时，函数()()21202ln f x x b x x =++>，则()b fx x x'=+． ①当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在区间[]1,2上单调递增，所以()()()min 512f x fg b ===． ②当0b <时，令()0f x '=，解得1x =，2x =（i）当1，即[)1,0b∈-时，()f x 在区间[]1,2上单调递增，由上知，此时()52g b =． （ii ）当12<<，即()4,1b ∈--时，()f x 在区间⎡⎣上单调递减，在区间⎤⎦上单调递增， 所以()()min ln 222b b f x f b ==-+-+． （iii ）当2≥，即(],4b ∈-∞-时，()f x 在区间[]1,2上单调递减，此时，()()min 2ln 24f x f b ==+．综上，()()5,12ln 2,4122ln 24,4b b b g b b b b b ⎧≥-⎪⎪⎪=-+-+-<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩，易知(){}5max 2g b =．（2）证明：原式转化为求证()2152f x x >， 当1b =时，()211x ax f x x a x x++'=++=， 所以1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，所以12x x a +=-，121x x =．因为12x x <且10x >，20x >，所以21x >，221a x x =--， 所以()()22222221221212212ln ln x a f x x x x x x x x +++==++ 令()()ln 1212g x x x x x x=++>， 则()23l 0n 12g x x x '=-++>， 所以()g x 在区间()1,+∞上单调递增，所以()()512g x g >=，即()2152f x x >． 所以()12520x f x -<．22．（1）由212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得1x y +=，即直线l 的普通方程为10x y +-=，由()2213sin 4ρθ+=可得2223sin 4ρρθ+=，所以22234x y y ++=，即2214x y +=． 所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=．（2）直线l的参数方程也可表示为122t x t y ⎧'⎪⎪⎨⎪'+=-⎩=⎪．（t '为参数）， 将其代入2214x y +=可得2560t ''+-=， 设该方程的根为1t '，2t '，则12t t ''+=，1265t t ''=-， 所以12AP AQ t t ''+=-=5==，1225t t AM ''=+=， 所以8AP AQAM +=．23．（1）由柯西不等式得()()()22222221232325a b ca b c +++++=≥+， 所以2222514a b c ++≥，当且仅当123a b c ==，即514a =，57b =，1514c =时，等号成立． 因此当514a =，57b =，1514c =时，222a b c ++的最小值为2514．（2）由基本不等式得2a b +≥3a c +≥23b c +≥以上三个式子相加得()223a b c ++≥5≤，5≥时，当且仅当23235a b c a b c ==⎧⎨++=⎩， 即53a =，56b =，59c =时成立， 故5518a b c ++=．。

复杂的三视图问题-玩转压轴题,(原卷版)

复杂的三视图问题-玩转压轴题,(原卷版)

一．方法综述三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．解题时一定耐心加细心，观察准确线与线的位置关系，区分好实线和虚线的不同. 根据几何体的三视图确定直观图的方法： （1）三视图为三个三角形，对应三棱锥；（2）三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥； （3）三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥； （4）三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥； （5）三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱.对于几何体的三视图是多边形的，可构造长方体（正方体），在长方体（正方体）中去截得几何体.二．解题策略类型一 构造正方体（长方体）求解【例1】某几何体的三视图如图所示，关于该几何体有下述四个结论：①体积可能是56；②体积可能是23；③AB 和CD 在直观图中所对应的棱所成的角为3；④在该几何体的面中，互相平行的面可能有四对；其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②③④【来源】河南省开封市2021届高三三模文科数学试题专题4.1 复杂的三视图问题【答案】D【举一反三】1．（2020·江西高三）某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．9B．92C．6D．32、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16B.13C.12D.13．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．4B ．8C ．12D ．14类型二 旋转体与多面体组合体的三视图【例2】（2020·内蒙古高三）如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（ ）A ．620π+B ．916π+C ．918π+D ．2063π+【举一反三】一个四棱柱被截去一个半圆柱后剩余部分的三视图如图，则截去部分与剩余几何体的体积比为（ ）A ．18ππ- B ．318ππ-C ．12ππ-D ．312ππ-类型三 与三视图相关的外接与内切问题【例3】（2020·辽宁鞍山一中高三月考）已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积是（ ）A．20πB．1015πC．25πD．22π【举一反三】1．（2020·四川成都七中高考模拟）某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（）A．618πB．69πC．63πD．13π2.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为A ．30B ．41C ．30D ．64【来源】甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试（一）数学（文）试题 3．（2020·山西高三）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．11πB ．12πC ．13πD ．14π类型四 与三视图相关的最值问题【例4】（2020·武邑宏达学校高考模拟（理））已知在直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，若棱1AA 在正视图的投影面α内，且AB 与投影面α所成角为(3060)θθ︒≤≤︒.设正视图的面积为m ，侧视图的面积为n ，当θ变化时，mn 的最大值是__________．【举一反三】1.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a+b 的最大值为 （A ）22 （B ）23 （C ）4 （D ）252、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为（ ）A.32 732.B C.64 764.D3．（2020·西安市长安区第五中学高三（理））如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（）A．8 B．4C．42D．43三．强化训练1．（2020·福建高三）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，某商鞅铜方升模型的三视图，如图所示(单位：寸)，若 取3，则该模型的体积（单位：立方寸）为（）A．11.9 B．12.6 C．13.8 D．16.22．（2020·北京人大附中高三）已知某多面体的三视图如图所示，则在该多面体的距离最大的两个面中，两个顶点距离的最大值为（）A．2 B5C6D．23．（2020·北京市十一学校高三）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A．43B．4C．423D．424．（2020·湖南雅礼中学高三月考（理））一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（）A．168 B．98 C．108 D．885．（2020·重庆一中高三月考（理））如图的虚线网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图.在该几何体的直观图中，直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．15B．25C5D256．（2020·江西高三）半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A．83B．4C．163D．2037.（2020·江西高三期末（理））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．8.（2020合肥市高三）我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为A． B．40 C． D．9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A． B． C． D．10．榫卯（sǔnmǎo）是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为（）A． B． C． D．11．如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A ．3682+B ．3282+C ．3242+D ．3642+【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（六）理科数学试题12．（2020·安徽高三月考）一副三角板由一块有一个内角为60︒的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，1AB =，60A ∠=︒，90B F ∠=∠=︒，BC DE =.现将两块三角板拼接在一起，使得二面角F BC A --为直二面角，则三棱锥F ABC -的外接球表面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π13．已知正方体1111ABCD A B C D -（如图1），点P 在侧面11CDD C 内（包括边界）.若三棱锥1B ABP -的俯视图为等腰直角三角形（如图2），则此三棱锥的左视图不可能是（ ）A．B．C．D．【来源】北京市海淀区2021届高三二模数学试题14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是某几何体的三视图，则该几何体的各个面中最大面积为（）A．6 B22C．32D13【来源】贵州省普通高等学校招生2021届高三适应性测试（3月）数学（文）试题15．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．3πB．23πC．43πD．12π【来源】四川省泸州市泸县第五中学2021届高三高考数学（文）一诊试题16．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．32C．1D．3317．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体内切球的表面积（单位：2cm）是（）A ．9π16B ．9π4C ．1π4D ．9π2【来源】安徽省江淮十校2021届高三下学期4月第三次质量检测理科数学试题18．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面中，最大的面积为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．42【来源】安徽省五校联盟2021届高三下学期第二次联考理科数学试题19．如图，正四棱锥P ABCD -的高为12，62AB =，E ，F 分别为PA ，PC 的中点，过点B ，E ，F 的截面交PD 于点M ，截面EBFM 将四棱锥分成上下两个部分，规定BD 为主视图方向，则几何体CDAB FME -的俯视图为（ ）A．B．C．D．【来源】江西省南昌市2021届高三二模数学（理）试题20．三棱柱被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．203B．6 C．52D162【来源】景德镇市2021届高三第三次质检数学（理）试题21．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．246π-B ．86π-C ．246π+D ．86π+【来源】河南省六市2021届高三第二次联考（二模）数学（文科）试题22．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．4C ．163D ．22323．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（）A．5B．2 C．3D．224．某几何体的三规图如图所示. 则其外接球的表面积为（）A．803πB．1369πC．5449πD．483π【来源】百师联盟2020-2021学年高三下学期开年摸底联考考理科数学试卷（全国Ⅰ卷）25．已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．32πB．823πC．833πD．8π26．（2020·湖北高三期末（理））中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器.下图是古代的一种度量工具“斗”（无盖，不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯形），则此“斗”的体积为（单位：立方厘米）27．（2020·陕西高三（理））某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为103，则棱长为a的正方体的外接球的表面积为28．（2020·深圳市高级中学高三（理））某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为3的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36 ，则该几何体的体积为__________．29．（2020·福建高三期末（理））农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．30．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球O的截面，截面面积最小为______．【来源】内蒙古锡林郭勒盟全盟2021届高三第二次模拟考试数学（理科）试题31．一个直三棱柱的三视图如图所示，则该直三棱柱的体积为_______，它的外接球的表面积为________．。

湖南省长郡中学2019届高三第四次模拟考试数学(理科)试题

湖南省长郡中学2019届高三第四次模拟考试数学(理科)试题

湖南省长郡中学2019届高三第四次模拟考试数学（理）试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A，求定义域得集合B，再根据交集定义求结果.【详解】因为=,,所以,选B.【点睛】本题考查集合交集定义以及解不等式、求函数定义域，考查基本求解能力.2.已知复数（），其中i为虚数单位，若为实数，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b比值.【详解】因为))，所以因为，所以，选B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.如图所示的茎叶图记录了长郡中学的甲、乙两名同学在校级运动会的五次一千米训练成绩（单位：秒），通过茎叶图比较两人训练成绩的平均值及方差，并从中推荐一人参加运动会，①甲的成绩的平均值高于乙的成绩的平均值，推荐乙参加运动会②甲的成绩的平均值低于乙的成绩的平均值，推荐甲参加运动会③甲的成绩的方差高于乙的成绩的方差，推荐乙参加运动会④甲的成绩的方差低于乙的成绩的方差，推荐甲参加运动会其中正确结论的编号为A. ①③B. ②④C. ②D. ③【答案】A【解析】【分析】根据平均值及方差公式计算，推荐平均值差不多且方差小的参加运动会.【详解】甲同学平均值为，方差为乙同学平均值为，方差为，尽管乙同学平均值略低于甲同学，但乙同学方差远远小于甲同学，所以推荐乙参加运动会，选A.【点睛】均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性，本题考查基本求解能力，属基本题.4.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据奇偶性淘汰A,C，再根据函数最值确定选项.【详解】因为，所以为奇函数，不选A,C，又因为，所以选D.【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复5.已知等比数列满足，且，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据条件确定首项与公比，再利用分组求和法求和.【详解】因为，所以，因为，所以，因此，选D.【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为两个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）6.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为55，则判断框中m的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】执行循环，按终止循环条件列等式，解得结果.【详解】执行循环，得，所以，选D.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再根据圆锥以及柱体表面积公式求结果.【详解】还原几何体为两个圆锥与一个棱柱的组合体，其中小圆锥的底面半径为2，高为2；大圆锥的底面半径为2，高为4，棱柱的底面为正方形，边长为，高为1，因此该几何体的表面积为=，选D.【点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行求解.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】【分析】先根据条件确定M在双曲线右支上，再根据圆的性质以及三角形不等关系求最值.【详解】因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以圆，即，设圆心为,则有，选C.【点睛】本题考查双曲线的定义以及圆的性质，考查基本分析转化能力，属中档题.9.已知直三棱柱的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点，分别为线段，上的动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图像可知点M的轨迹为线段，两个端点分别为和的中点，即为等边三角形的高线，由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即M的轨迹.【详解】由题意可作如下图像：因为直线PQ与平面无交点所以与此平面平行，所以，当点P、点Q分别在点、C处时，此时中点M为中点，当点P、点Q分别在点、处时，此时中点M为中点，若D、E、F分别为三条棱的中点，则点M的轨迹为等边三角形的中线，设底面边长为x，由底面面积可得：，解得，所以轨迹长度为.故选D.【点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意两点之间的线段即为所求，注意计算的准确性.10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，O1（1，0），阴影部分为不等式表示的平面区域，PQ与阴影部分相切于点T，交x轴正半轴于点P，交y轴正半轴于点Q，设，的面积为，若关于t的不等式存在唯一整数解，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，再根据两个函数图象关系确定实数a的取值范围.【详解】设，从而,由得，由得，作图可得,其中因为所以，选B.【点睛】本题考查函数关系式以及函数图象，考查综合应用分析能力以及灵活转化能力，属难题.11.已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点P、Q均在椭圆上，且均在x轴上方，满足条件PF1∥QF2，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据椭圆定义求P点横坐标，再根据相似求Q横坐标，最后根据椭圆定义得结果.【详解】设，则由椭圆定义得，同理得，由，得，因为PF1∥QF2，所以，从而，选C.【点睛】本题考查椭圆定义以及直线与椭圆位置关系，考查等价转化思想与计算能力，属中档题.12.已知存在，且，使得，其中，则实数的值可能为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】先根据诱导公式化简方程，再根据三角函数有界性得方程组，解方程组可得实数的取值范围，进而确定选项.【详解】由得,所以,即，因为，所以当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，选D.【点睛】本题考查诱导公式、三角函数有界性以及三角函数特殊值，考查分类讨论思想与基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若的展开式中常数项为－12，则____．【答案】【解析】【分析】先根据二项式定理确定展开式常数项，解得a，再求定积分得结果.【详解】因为的展开式中常数项为，因此.【点睛】本题考查二项式定理以及定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.14.在中，记，若，则的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积得三角形边角关系，再利用三角形内角关系列函数关系式，最后利用基本不等式求最值，解得的最大值，即得的最大值.【详解】因为，所以,因此,因为,所以.即的最大值为【点睛】本题考查向量数量积、正弦定理、两角和正弦与正切公式、诱导公式以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属难题.15.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．【答案】小学中级【解析】【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，根据条件列不等式组，推出取法，根据取法推测队长的学段及职称.【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，则所以，若则，若则矛盾队长为小学中级时，去掉队长则，满足；队长为小学高级时，去掉队长则，不满足；队长为中学中级时，去掉队长则，不满足；队长为中学高级时，去掉队长则，不满足；综上可得队长为小学中级.【点睛】本题考查不等式性质，考查论证推理能力，属难题.16.已知定义在上的函数满足，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为____．【答案】【解析】【分析】构造函数，根据条件研究性质：奇偶性与单调性，再根据性质解不等式，即得结果.【详解】构造函数,因为，所以为上偶函数，由，得，所以因为，所以当时，由得，即时单调递增，由偶函数得当时单调递减，因此由不等式得或，所以或，解集为.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等三、解答题（共70分。

四川省川大附中2022-2023学年高三下学期三诊热身考试数学理科试题(含答案)

四川省川大附中2022-2023学年高三下学期三诊热身考试数学理科试题(含答案)

川大附中2022—2023学年下期高三三诊热身考试高三数学 理科（时间：120分钟 分值：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，，则集合( ) A. B. C. D.2. 人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源.根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提.截止目前，我国共进行了七次人口普查，如图是这七次普查的全国人口及年均增长率情况，下列说法正确的是( ) A. 年均增长率逐次减小B. 年均增长率的极差是C. 这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D. 第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大3. 已知平面，，直线，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象为( )A. B. C. D.5. 下列关于统计概率知识的判断，正确的是( )A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，且已知，则总体方差B. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 r 越接近于1C. 已知随机变量 X 服从正态分布，若，则D. 回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点6. 设等比数列中，使函数在时取得极值，则的值为A.B. 或C.D.2{|230}A x x x =--<B N =A B ⋂={0}{0,1}{0,1,2}{1,2,3}1.08%αβa α⊂b β⊂//a b //αβ()f x ()(||)g x f x =-1x 2x 21s 22s 12x x =222121()2s s s =+2(,)N μσ(1)(5)1P X P X -+=……2μ=ˆˆˆybx a =+()x y {}n a 37,a a ()3223733f x x a x a x a =+++=1x -05a ()±±7. 欧拉公式其中i 为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是A. 为虚数B. 函数不是周期函数C. 若，则D.8. 如图，已知三棱锥的侧棱长均为2，，，点D 在线段PA 上，点E 在线段PC 上，则周长的最小值为( ) A. B. 4 C.D. 69. 已知函数的部分图象如图所示．若，则的值为( )A.B. C. D. 10. 设，给出下列四个结论：①②③④其中正确结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11. 在四面体中，两两垂直且C 为球心，2为半径的球与该四面体每个面的交线的长度和的值为( )A. B. C. D. 12. 已知函数，若函数恰有5个零点，且，，则的取值范围是( )A.B.C.D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知向量，，，且A ，B ，C 三点共线，则__________.xi cos sin (e x i x =+)xR ∈()i e π()xi f x e =xi e =23x π=34i i e e ππ⋅P ABC -35APB BPC ︒∠=∠=50APC ︒∠=BDE V ()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<6()625f πα+=22sincos 22αα-354535-45-10a b c >>>>11;ac bc >;c c ba ab >(1)(1);a b c c -<-log ()log ()b a a c b c +>+⋅A BCD -,,AB AC AD AB AC AD ===O 56ππ43π32π22()3[f (x)]()2()g x mf x m m R =--∈12345,,,,x x x x x 12345x x x x x <<<<(,12)OA k = (4,5)OB = (,10)OC k =-k =14. 已知实数满足，______．15. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中诗篇《李白沽酒》里记载：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，入店饮斗九”意思是说，李白去郊外春游时，带了一壶酒，遇见朋友，先到酒店里将壶中的酒增加一倍假定每次加酒不会溢出，再饮去其中的3升酒．那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒升，将李白在第家店饮酒后所剩酒量记为升，则__________用和n 表示16. 已知双曲线G 的方程，其左、右焦点分别是，，已知点P 坐标为，双曲线G 上点，满足，则__________. 三、解答题（本大题共7小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 本小题12分在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且 求角A 的大小；若的周长．18. 本小题12分2020年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降．国内多地在3月开始陆续发布促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继2009年首次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动．某销售商在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了6天的汽车销售量单位：辆如下图： 第x 天3 4 5 6 7 8 销售量单位：辆172019242427从以上6天中随机选取2天，求这2天的销售量均在20辆以上含20辆的概率．根据上表中前4组数据，求y 关于x 的线性回归方程用中的结果计算第7，8天所对应的，再求与当天实际销售量的差，若差值的绝对值都不超过1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过些回归方程预测以后的销售量，请根据题意进行判断，中的结果是否可行，若可行，请预测第9天的销售量；若不可行，请说明理由．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，,x y ()2221x y +-=ω⋯()00(3)a a >*(1,)n n n N ∈…n a n a =(0a ).221169x y -=1F 2F (4,2)00(,)Q x y 00(0,0)x y >>11211121||||QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=12F PQ F PQ S S -=V V ()ABC V 2sin 0.2AA +=(1)(2)ABC V R =ABC V ()(y )(y )(1)()(2)ˆˆˆ.y bx a =+(3)(2)ˆyˆy (2)ˆˆˆy bx a =+1122211()()ˆ()n ni iiii i nniii i x y nxy x x y y bxnx x x ====---==--∑∑∑∑ˆˆ.a y bx=-19. 本小题12分如图所示多面体ABCDEF 中，平面平面ABCD ，平面ABCD ，是正三角形，四边形ABCD 是菱形，，求证：平面ABCD ；求二面角的正弦值．20. 本小题12分已知O为坐标原点，点在椭圆上，椭圆C 的左、右焦点分别为，，且 求椭圆C 的标准方程； 若点，，在椭圆C 上，原点O 为的重心，证明：的面积为定值．21. 本小题12分已知函数求在处的切线方程；若恒成立，求a 的取值范围；当时，证明：()ADE ⊥CF ⊥ADE V 2AB =CF =.3BAD π∠=(1)//EF (2)E AF C --()1)2P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 12||F F =(1)(2)0P 1P 2P 012P PP V 012P PP V ()ln 1().a x a f x x+-=(1)()f x (1,(1))f (2)(i)()1xf x x -…(ii)1a =(2)(3)()1.232219224f f f n n n n ++⋯+<+-+请考生在第22、23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. 本小题10分在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为写出曲线的参数方程；设A 是曲线上的动点，B 是曲线上的动点，求A ，B 之间距离的最大值.23. 本小题10分已知函数 解不等式；记函数的最小值为m ，若a ，b ，，且，求的最小值．()1C 2cos ρθ=2C ρ=(1)2C (2)1C 2C ()()|21||+1|.f x x x =-+(1)()6f x …(2)()=()|+1|g x f x x +c R ∈+2+3=0a b c m -222++a b c川大附中2022—2023学年下期高三三诊热身考试—参考答案一、单选题CDDBC CDAAB DB1. 已知集合2{|230}A x x x =−−<，B N =，则集合A B ⋂=( C ) A. {0} B. {0,1} C. {0,1,2} D. {1,2,3}2. 人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源.根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提.截止目前，我国共进行了七次人口普查，如图是这七次普查的全国人口及年均增长率情况，下列说法正确的是.( D ) A. 年均增长率逐次减小B. 年均增长率的极差是1.08%C. 这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D. 第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大3. 已知平面α，β，直线a α⊂，b β⊂则“//a b ”是“//αβ”的( D ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()(||)g x f x =−的图象为( B )A. B.C. D.5. 下列关于统计概率知识的判断，正确的是( C )A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x ，2x 和21s ，22s ，且已知12x x =，则总体方差222121()2s s s =+B. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 r 越接近于1C. 已知随机变量 X 服从正态分布2(,)N μσ，若(1)(5)1P X P X −+=，则2μ= 文：C. 用2R 来刻画回归效果，2R 值越大，说明拟合效果越好D. 回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(,)x y ，且至少过一个样本点 【解答】解：对于A ，设2层数据分别记为1212,,,;,,,m n x x x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，因为12x x =，所以总体样本平均数为121112mx nx mx nx x x x m n m n++====++，所以222111111()()m m i i i i s x x x x m m ===−=−∑∑，2222j 2j j 1j 111()()n n s x x x x n n ===−=−∑∑，所以总体方差22121()ms ns m n =++ 2212m n s s m n m n =+++，只有当m n =时，222121()2s s s =+才成立，A 错误; 对于B ，相关性越强，||r 越接近于1，B 错误;对于C ，若(1)(5)1P XP X −+=，则(1)(5)P X P X −=<，5(1)22μ+−∴==，C 正确; 对于D ，回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过样本点的中心(,)x y ，可以不过任一个样本点， D 错误.故选.C6. 设等比数列{}n a 中，37,a a 使函数()3223733f x x a x a x a =+++在=1x −时取得极值0，则5a 的值为 ( C )A. 3±或32±B. 3或32C. 32D. 32±【解答】由题意知：()23736f x x a x a '=++，()f x 在=1x −处取得极值0，()()23733711301360f a a a f a a '⎧−=−+−+=⎪∴⎨−=−+=⎪⎩，解得：3713a a =⎧⎨=⎩或3729a a =⎧⎨=⎩；当31a =，73a =时，()()22363310f x x x x '=++=+≥，f x 在R 上单调递增，不合题意；当32a =，79a =时，()()()23129313f x x x x x '=++=++，∴当()(),31,x ∈−∞−−+∞时，0f x ；当()3,1x ∈−−时，()0f x '<；f x 在()(),3,1,−∞−−+∞上单调递增，在()3,1−−上单调递减， 1x ∴=−是()f x 的极小值点，满足题意；253718a a a ∴==，又5a 与37,a a 同号，532a ∴=.故选.C7. 欧拉公式xi cos sin (e x i x =+其中i 为虚数单位，)x R ∈是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是 ( D )A. i e π为虚数B. 函数()xi f x e =不是周期函数C. 若132xi i e −=，则23x π= D. 34i i e e ππ⋅的共轭复数是262644i −+−8. 如图，已知三棱锥P ABC −的侧棱长均为2，35APB BPC ︒∠=∠=，50APC ︒∠=，点D 在线段PA 上，点E 在线段PC 上，则BDE 周长的最小值为( A ) A. 23 B. 4 C. 43 D. 6【解答】解：如图，将三棱锥的侧面展开，则BDE 周长的最小值为12.B B在12PB B 中，122PB PB ==，12353550120B PB ︒︒︒︒∠=++=，在12PB B 中，根据余弦定理可得：2221212122cos120B B PB PB PB PB ︒=+−⋅，所以1223B B =，即BDE 周长的最小值为2 3. 故选：A9. 已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示．若6()625f πα+=，则22sin cos 22αα−的值为( A )A. 35− B. 45C. 35 D. 45−10. 设10a b c >>>>，给出下列四个结论：①11;ac bc>②;c c ba ab >③(1)(1);a b c c −<−④log ()log ()b a a c b c +>+⋅其中正确结论有( B ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11. 在四面体A BCD −中，,,AB AC AD 两两垂直且3AB AC AD ===，以C 为球心，2为半径的球O 与该四面体每个面的交线的长度和的值为( D )A. 56πB. πC. 43π D. 32π【解答】解：因为四面体A BCD −中， AB ， AC ， AD 两两垂直 且3AB AC AD ===， 由题意知RtACD 、Rt ABC 为等腰直角三角形，且3AB AC AD ===，以点 C 为球心，2为半径作一个球O ，设球O 与Rt ACD 的边 CD 、 AD 分别交于点 M 、 N ，如图1； 与Rt ABC 的边 AB 、 CB 分别交于点 H 、 G ，如图2； 易得3cos 2ACN ∠=， 则6ACN π∠=，tan 16AN AC π=⋅=，所以4612NCM ACD ACN πππ∠=∠−∠=−=，所以弧 MN 的长2126MN ππ=⨯=，同理，弧.6GH π=在ABD 内，如图3，因为1AH AN ==，2HAN π∠=，则122HN ππ=⨯=，又如图4，易知弧 GM 是以顶点 C 为圆心，2为半径，圆心角为3π，则2233GM ππ=⨯=， 所以球面与该四面体每个面的交线的长度和为23.66232πππππ+++= 故选.D12. 已知函数，若函数22()3[f (x)]()2()g x mf x m m R =−−∈恰有5个零点12345,,,,x x x x x ，且12345x x x x x <<<<，，则的取值范围是( B )A. B. C.D.【解答】解：当0x <时，()x f x xe =，此时()(1)x f x x e '=+， 令，解得10,x −<<令，解得1x <−，可得()f x 在(,1)−∞−上单调递减，在(1,0)−上单调递增，且1(1);f e−=−当0x >时，22()2(1)1f x x x x =−+=−−+，而易得函数()f x 连续，且(0)0f =， 作出()f x 的大致图象如图所示.函数恰有5个零点1x ，2x ，3x ，4x ，5x ， 等价于方程有5个不同的实数根，解得()f x m =或2()3mf x =−，0m ≠，该方程有5个根， 且34()()f x f x =，则342x x +=，125()()().f x f x f x ==当0m <时，1251()()()(,0)f x f x f x m e ===∈−，342()()(0,1)3m f x f x ==−∈，故1(,0)m e∈−， 所以1332()()(2)f x f x f x ++−1342()()()f x f x f x =++134222()2()2(,0);333m m f x f x m e=+=−=∈−当0m >时，12521()()()(,0)3m f x f x f x e ===−∈−， 34()()(0,1)f x f x m ==∈，故3(0,)2m e∈， 所以1331342()()(2)2()()()f x f x f x f x f x f x ++−=++134212()2()2(0,).33m m f x f x m e=+=−+=∈综上，1332()()(2)f x f x f x ++−的取值范围是21(,0)(0,).3e e−⋃故选.B二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量(,12)OA k =，(4,5)OB =，(,10)OC k =−，且A ，B ，C 三点共线，则k =__________.【答案】23−14. 已知实数,x y 满足()2221x y +−=，223x y ω=+的取值范围是______．【答案】[]1,215. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中诗篇《李白沽酒》里记载：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，入店饮斗九⋯”意思是说，李白去郊外春游时，带了一壶酒，遇见朋友，先到酒店里将壶中的酒增加一倍(假定每次加酒不会溢出)，再饮去其中的3升酒．那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒00(3)a a >升，将李白在第*(1,)n n n N ∈家店饮酒后所剩酒量记为n a 升，则n a =__________(用0a 和n 表示).【答案】023(12)nna +−升16. 已知双曲线G 的方程221169x y −=，其左、右焦点分别是1F ，2F ，已知点P 坐标为(4,2)，双曲线G 上点00(,)Q x y ，00(0,0)x y >>满足11211121||||QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=，则12F PQ F PQ S S −=__________.【答案】8【解答】解：如图，设12QF F 的内切圆与三边分别相切于D ，E ，G ，可得QD QG =，11F D F E =，22F E F G =， 又由双曲线定义可得1228QF QF a −==，则121212()2QD DF QG GF DF GF EF EF a +−+=−=−=， 又122EF EF c +=，解得1EF a c =+，则E 点横坐标为a ，即内切圆圆心横坐标为.a又11211121||||QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=，可得，化简得112cos cos PFQ PF F ∠=∠，即112PFQ PF F ∠=∠，即1PF 是12QF F ∠的平分线， 由于(4,2)P ，可得4a =，可得P 即为12QF F 的内心，且半径r 为2，则故答案为：8.三、解答题（本大题共7小题，共84.0分。

河南省青桐鸣大联考2023届高三下学期5月考试理科数学试题含答案

河南省青桐鸣大联考2023届高三下学期5月考试理科数学试题含答案

N [5, 6] ，
所以 M N (2, 6] .
故选：C
3.
如图，在 ABC 中，
AB
2，
AC
1 ， cos BAC
1
，M 为线段 BC 的中点，则
2 AM
（
）
4
A. 3
3
B.
2
C. 5
D. 10 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，可得
AM
1
解作答.
A. b c a
B. b a c
C. a c b
【答案】D
【解析】
） D. a b c
【分析】根据给定条件，利用奇偶函数定义探求出函数 f (x) 的周期性，及在 [2, 2] 上的单调性即可判断作
答.
【详解】由 f x 1为奇函数，得 f (x) 1 [ f (x) 1] ，即 f x 2 f x ，
三棱柱的体积为（ ）
A. 4 2
B. 4
【答案】A 【解析】
4
C.
3
D. 4 2 3
【分析】连接 B1C ，由题设条件结合线面垂直的判定性质证明 BM B1C ，再求出 BB1 即可求解作答.
【详解】 在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，连接 B1C ，如图，
由 ABC 90 ，得 A1B1 B1C1 ，而 BB1 平面 A1B1C1 ， A1B1 平面 A1B1C1 ，则 A1B1 BB1 ，
故选：B.
2. 已知集合 M x 2x 4 ， N x x2 x 30 0 ，则 M N （ ）
A. 5,
B. 2,
C. 2,6
D. 5, 6
【答案】C 【解析】

高考数学《立体几何》练习题及答案

高考数学《立体几何》练习题及答案

立体几何1．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．2B ．1C ．D ．【答案】B2．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D 【解析】3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积 A ．与,x y 都有关 B ．与,x y 都无关 C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】B4．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]5．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 一个圆锥SC的高和底面直径相等，且这个圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为A．322B．23C．35D．45【答案】C6．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【答案】D【解析】7．[广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题] 在如图直二面角A­BD­C中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE 沿BE 翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是A．BC与平面A1BE内某直线平行B．CD∥平面A1BEC．BC与平面A1BE内某直线垂直D．BC⊥A1B【答案】D8．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D【解析】9．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则该圆锥的体积为________. 【答案】33πR 10．[辽宁省本溪高级中学2020届高三一模考试数学（理）试卷]【答案】4π11．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P ∥平面1A BM ，则1C P 的最小值是________．【答案】305【解析】 【分析】由面面平行找到点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，再找出点P 的位置，使1C P 取得最小值，即1C P 垂直DN 于点O ，最后利用勾股定理求出最小值. 【详解】取BC 中点N ，连接11,,B D B N DN ，作CO DN ⊥，连接1C O ，因为平面1B DN ∥平面1A BM ，所以动点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，当点P 与点O 重合时，1C P 取得最小值，因为11152225DN CO DC NC CO ⋅=⋅⇒==，所以221min 11130()155C P C O CO CC ==+=+=. 故1C P 的最小值是305. 【点睛】本题考查面面平行及最值问题，求解的关键在于确定点P 的位置，再通过解三角形的知识求最值.12．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为________．21【答案】【解析】【分析】根据三视图还原几何体，设球心为O，根据外接球的性质可知，O与PAB△和正方形ABCD中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形OGEQ 为矩形，求得OQ和PQ后，利用勾股定理可求得外接球半径.【详解】由三视图还原几何体如下图所示：设PAB△的中心为Q，正方形ABCD的中心为G，外接球球心为O，则OQ⊥平面PAB，OG⊥平面ABCD，E为AB中点，∴四边形OGEQ为矩形，112OQ GE BC ∴===，2233PQ PE ==， ∴外接球的半径：22213R GE PQ =+=. 故答案为21. 【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果. 13．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】【解析】14．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]【答案】1 315．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，平面ABP⊥平面BCP，90APB=，M为CP的中点．求证：∠=︒，BP BC（1）AP//平面BDM；（2）BM ACP⊥平面．【解析】（1）设AC 与BD 交于点O ，连接OM ， 因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点， 因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ， 又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， 所以AP ∥平面BDM ．（2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ， 因为90APB ∠=︒，故AP BP ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ， 因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． 因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥． 因为AP CP P =I ，AP CP ⊂，平面ACP ， 所以BM ⊥平面ACP .16．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）] 如图，在四棱锥ABCDV -中，二面角D BC V --为︒60，E 为BC 的中点. （1）证明：VE BC =；（2）已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为︒60，求.VA VFABCDPMABCDPMO【解析】17．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q．（1）已知平面PAB∩平面PCD=l，求证：AB∥l．（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值． 【解析】 【分析】（1）证明AB ∥平面PCD ，然后利用直线与平面平行的性质定理证明AB ∥l ； （2）以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量和直线AQ 的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值即可．【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ． ∴AB ∥平面PCD ，∵AB ⊂平面PAB ，平面PAB ∩平面PCD =l ， ∴AB ∥l ；（2）∵底面是菱形，E 为BC 的中点，且AB =2， ∴13BE AE AE BC ==⊥,,， ∴AE ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()020,002,30,300D P C E,,,,,,,,，∴()0,1,1F ，()()()()3000,11310022AE AF DC DP ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r,,,,,,,,,,，设平面PCD 的法向量为(),,x y z =n ，有0PD ⋅=u u u r n ，0CD ⋅=u u u rn ，得()133=，，n ，设()1AQ AC AP λλ=+-u u u r u u u r u u u r，则()()321AQ λλλ=-u u u r ,,，再设(3,,)AQ mAE n m n n AF =+=u u u r u u u r u u u r，则()3321m n nλλλ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩，解之得23m n λ===，∴2223333AQ ⎛⎫=⎪⎝⎭u u u r ,,， 设直线AQ 与平面PCD 所成角为α，则3105sin cos ,AQ AQ AQα⋅>=<==u u u r u u u r u u u r n n n ，∴直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3105． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，合理构建空间直角坐标系是解决本题的关键，属中档题.18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 已知三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，D 是BC 的中点，160B BA ∠=︒，1B D AB ⊥.（1）求证：ABC △为直角三角形；（2）求二面角1C AD B --的余弦值． 【解析】（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，易知1ABB △为等边三角形，从而得到1B O AB ⊥，结合1B D AB ⊥，可根据线面垂直判定定理得到AB ⊥平面1B OD ，由线面垂直的性质知AB OD ⊥，由平行关系可知AB AC ⊥，从而证得结论；（2）以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据空间向量法可求得平面1ADC 和平面ADB 的法向量的夹角的余弦值，根据所求二面角为钝二面角可得到最终结果. 【详解】（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，在1ABB △中，1AB B B =，160B BA ∠=︒，1ABB ∴△是等边三角形， 又O 为AB 中点，1B O AB ∴⊥，又1B D AB ⊥，111B O B D B =I ，11,B O B D ⊂平面1B OD ，AB ∴⊥平面1B OD ，OD ⊂Q 平面1B OD ，AB OD ∴⊥， 又OD AC ∥，AB AC ∴⊥， ∴ABC △为直角三角形.（2）以O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：令12AB AC AA ===，则()1,2,0C -，()1,0,0A -，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()10,0,3B ，()11,0,3BB ∴=-u u u v ，()0,2,0AC =u u u v ，()1,1,0AD =u u u v，()1111,2,3AC AC CC AC BB =+=+=-u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v，设平面1ADC 的法向量为(),,x y z =m ，10230AD x y AC x y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=++=⎪⎩u u u v u u u u v m m ，令1x =，则1y =-，3z =，()1,1,3∴=-m ， 又平面ADB 的一个法向量为()0,0,1=n ，315cos ,5113∴<>==++m n ， Q 二面角1C AD B --为钝二面角，∴二面角1C AD B --的余弦值为15-.【点睛】本题考查立体几何中垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到线面垂直判定定理和性质定理的应用；证明立体几何中线线垂直关系的常用方法是通过证明线面垂直得到线线垂直的关系.19．[江西省宜春市上高二中2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题]20．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]21．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【解析】22．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD,2AB=,1BC=，2PC PD==，E为PB中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求二面角E AC D--的余弦值；（3）在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）设BD交AC于点F，连接EF. 因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点 . 又因为E为PB中点，所以EF∥PD.因为PD ⊄平面,ACE EF ⊂平面ACE ，所以PD ∥平面ACE.（2）取CD 的中点O ，连接PO ，FO .因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥.因为PC PD =，O CD 为中点，所以,PO CD OF ⊥∥BC ，所以OF CD ⊥. 又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面,PCD 平面PCD ∩平面ABCD =CD . 所以PO ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -， 则111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222A C B P E -，,， 设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =m ，131(1,2,0),(,,)222AC AE =-=-u u u r u u u r ， 所以20,2,0,131.00222x y x y AC z y x y z AE -+=⎧⎧=⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--++=⋅=⎩⎩⎪⎩u u u v u u u v m m 令1y =，则2,1x z ==-，所以2,11=-（，）m .平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =u u u r ，则6cos ,OP OP OP⋅<>==-⋅u u u r u u u r u u u r m m |m |. 如图可知二面角E AC D --为钝角，所以二面角E AC D --的余弦值为66-. （3）在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥.设([0,1]),(,,)PM M x y z PD=∈λλ，则,01,0PM PD D =-u u u u r u u u r λ（，）.因为(,,1)(0,1,1)x y z -=--λ，所以(0,,1)M --λλ. (1,1,1),(1,2,0)AM BD =---=--u u u u r u u u r λλ.因为AM BD ⊥，所以0AM BD ⋅=u u u u r u u u r .所以12(1)0λ--=，解得1=[0,1]2∈λ. 所以在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥，且12PM PD =。

河南省豫南名校2023届高三下学期四月联考理科数学试题真题卷(含答案与解析)

2023年豫南名校高三四月联考试题数学（理科）本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设复数z 在复平面内对应的点为()0,a ，若2z=，则a =（ ） A. 2iB.C. 2±D.2. 设集合{}2230A x x x =∈--≤Z ，{}0,2B =，则（ ）A AB ⊆B. B A ⊆C. {}2,1,0,1,2A B =--UD. {}2A B ⋂=3. 已知aa 与b 的夹角为π4，则23a b += （ ）A. 10B. 8C. 5D. 44. 某科研团队通过电催化结合生物合成的方式，将二氧化碳和水高效合成高纯度乙酸，并进一步利用微生物合成葡萄糖和脂肪酸（油脂），该工作的突破，为人工和半人工合成“粮食”提供了新技术．在对照实验过程中，科研人员将收集到的实验组与对照组的实验数据进行记录如图，由于不小心被化学物质腐蚀了两个数据，已知被腐蚀前对照组的数据总值比实验组大35，被腐蚀后实验组的中位数增加了1，则对照组与实验组被腐蚀数据分别是（ ）A. 17；14B. 15；14C. 17；15D. 16；135. 我国自主研发的世界首套设计时速达600公里的高速磁浮交通系统，标志着我国掌握了高速磁浮成套技术和工程化能力，这是当前可实现的“地表最快”交通工具，因此高速磁浮也被形象地称为“贴地飞行”．若.某高速磁浮列车初始加速至时速600公里阶段为匀加速状态，若此过程中，位移x 与时间t 关系满足函数()2012x t v t kt =+（0v 为初速度，k 为加速度且0k ≠）．位移的导函数是速度与时间的关系()0v x t v kt '==+．已知从静止状态匀加速至位移107公里需60s ，则时速从零加速到时速600公里需（ ）A. 120sB. 180sC. 210sD. 240s6. 在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若tan A =b ＝2c，ABC S = a =（ ） A. 13B. 2C.D. 7. 在正三棱锥P -ABC中，PA =BC ＝6，M ，N ，Q ，D 分别是AP ，BC ，AC ，PC 的中点，平面MQN 与平面PBC 的交线为l ，则直线QD 与直线l 所成角的正弦值为（ ）A.B.56C.D.8. 在平面中，已知点H 到()2,0A -，()2,0BH 的轨迹为曲线C ，直线30x y --=与C 分别相交于M ，N ，且直线与坐标轴分别相交于点P ，Q ，已知定点()6,0D ，则MDNPDQS S =△△（ ）A.B.C.D.9.已知函数()sin())f x x x ωθωθ=+++（0ω>，π02θ<<）的一个零点π4与相邻的一条对称轴间的距离为π4，把函数()y f x =的图像向左平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图像，则()g x 的一个单调递减区间为（ ） A. ππ,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦10. 已知515ln 5a +=，3e 3b -+=，336e e 1e c ++=，则（ ） A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. c b a <<11. 已知椭圆222:1y C x t +=，过()1,2P 的直线分别与C 相切于A ，B 两点，则直线AB方程为（ ）A. 10x y +-=或410x y +-=B. 410x y +-=C. 10x y +-=D. 10x y ++=或410x y +-=12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()()11f x f x -=+，()f x 在区间(]0,1内单调且()5222xxf f x -⎡⎤-+=⎣⎦，则()20221k kf k ==∑（ ）A. 50552B. 5055C.505510112⨯D. 1011二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______．14. 已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，从下面两个条件中任选一个，则双曲线C 的渐近线方程为______．①与双曲线22197x y k k-=-+有共同焦点，且过()3,0M ；②过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线P ，Q 两点，143PQ =且2143QOF S =△． 15. 已知()()1ln f x x x =+，()1f m f n ⎛⎫=⎪⎝⎭且2m ≥，则m +2n 的取值范围是______． 16. 在棱长为1正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为线段1A B 和棱11A D上的点，11A M N =，EF 为过1A ，1C ，D 三点的平面与正方体1111ABCD A B C D -的外接球截得的圆面内一条动弦，且EF =．当线段MN 的长度最大时，直线MN 与EF 之间的距离为______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 记n S 为数列{}n a 前n 项和．已知11a =，134n n n S S a +=++． （1）证明：{}2n a +是等比数列； （2）求数列{}2n a n +的前n 项和n T ．18. 近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡．食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M ，N 两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：的的黄色蜂蜡罐 褐色蜂蜡罐 M 品种蜜蜂 40 20 N 品种蜜蜂 5010（1）判断是否有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联？（2）假设要计算某事件的概率()P B ，常用的一个方法就是找一个与B 事件有关的事件A ，利用公式：()()()()(|)()(|P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=+求解现从装有a 只M 品种蜜蜂和b 只N 品种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M 品种蜜蜂为事件A ，第二次抽到M 品种蜜蜂为事件B ．（ⅰ）证明：()aP B a b=+； （ⅱ）研究发现，①M 品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为23，被抽到的概率为45；M 品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为13，被抽到的概率为35；②N 品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为56，被抽到的概率为34；N 品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为16，被抽到的概率为12．请从M ，N 两个品种蜜蜂中选择一种，求该品种蜜蜂被抽到的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()2P K k ≥010.05 0.01 0.005 0.001 k 2.70638416.6357.87910.82819. 在斜三棱柱111ABC A B C -中，O 为底面正ABC 的中心，1A O ⊥底面ABC ，12AC AA ==．..（1）证明：平面1A AC ⊥平面1A BO ； （2）求1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值． 20. 已知函数()()()212e 1x f x x a x -=---． （1）求函数()f x 的极值点；（2）设1x ，2x 为()()()13ex g x f x x -=+-的两个极值点，证明：()212ln 21x x a <+⎡⎤⎣⎦．21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线:2l x =-，作直线l 的平行线:l x a '=()2x >，动点P 满足到F 的距离与到直线l '的距离之和等于直线l 与l '之间的距离．记动点P 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）过()3,1Q 作倾斜角互补的两条直线分别交E 于A ，B 两点和C ，D 两点，且直线AB 的倾斜角ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求四边形ACBD 面积的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为11,2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22223cos 4sin 12ρθρθ+=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的参数方程；（2）若Q 为曲线2C 上一点，求点Q 到曲线1C 距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知x ，y ，z 为正数，证明：（1）若2xyz =，则2221112x y z x y z ++++≤；（2）若229x y z ++=，则2229x y z ++≥．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设复数z 在复平面内对应的点为()0,a ，若2z=，则a =（ ）A. 2iB.C. 2±D.【答案】C 【解析】【分析】根据复数的几何意义可得i z a =，再根据复数的模即可求解. 【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为()0,a ，所以i z a =.因为2z =2=，解得2a =±. 故选:C.2. 设集合{}2230A x x x =∈--≤Z ，{}0,2B =，则（ ）A. A B ⊆B. B A ⊆C. {}2,1,0,1,2A B =--UD. {}2A B ⋂=【答案】B 【解析】【分析】解出集合A ，将集合,A B 进行运算即可得出结论.【详解】 {}2230{|13}A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤Z Z ，{}1,0,1,2,3A ∴=-，而{}0,2B =，则B A ⊆，故A 错误，B 正确；{}1,0,1,2,3A B ⋃=-，故C 错误；{}0,2A B =I ，故D 错误；故选：B.3. 已知a a 与b 的夹角为π4，则23a b += （ ）A. 10B. 8C. 5D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量的数量积及模的关系计算即可.【详解】22222π369161cos 9254a b a a b b +=+⋅+=+⨯+⨯= ，故2310a b +=.故选：A4. 某科研团队通过电催化结合生物合成的方式，将二氧化碳和水高效合成高纯度乙酸，并进一步利用微生物合成葡萄糖和脂肪酸（油脂），该工作的突破，为人工和半人工合成“粮食”提供了新技术．在对照实验过程中，科研人员将收集到的实验组与对照组的实验数据进行记录如图，由于不小心被化学物质腐蚀了两个数据，已知被腐蚀前对照组的数据总值比实验组大35，被腐蚀后实验组的中位数增加了1，则对照组与实验组被腐蚀数据分别是（ ）A. 17；14B. 15；14C. 17；15D. 16；13【答案】D 【解析】【分析】设对照组的腐蚀数据的个位数为a ，实验组的腐蚀数据的个位数为b ，由题意可得3a b -=，再由中位数的定义可求得3b =即可求出答案.【详解】设对照组的腐蚀数据的个位数为a ，实验组的腐蚀数据的个位数为b ，被腐蚀后的对照组的数据总值为：20222323242614141417210209a a ++++++++++++=+， 被腐蚀后的实验组的数据总值为：2121222316151212109610177b b ++++++++++++=+，被腐蚀后实验组的数据的中位数为15，被腐蚀前对照组的数据总值比实验组大35，即20917735a b +--=， 即3a b -=，被腐蚀前的实验组的数据的中位数为15102522b b+++=， 被腐蚀后实验组的中位数增加了1，即251512b+-=，解得：3b =， 6a =.故对照组与实验组被腐蚀数据分别是16,13. 故选：D .5. 我国自主研发的世界首套设计时速达600公里的高速磁浮交通系统，标志着我国掌握了高速磁浮成套技术和工程化能力，这是当前可实现的“地表最快”交通工具，因此高速磁浮也被形象地称为“贴地飞行”．若某高速磁浮列车初始加速至时速600公里阶段为匀加速状态，若此过程中，位移x 与时间t 关系满足函数()2012x t v t kt =+（0v 为初速度，k 为加速度且0k ≠）．位移的导函数是速度与时间的关系()0v x t v kt '==+．已知从静止状态匀加速至位移107公里需60s ，则时速从零加速到时速600公里需（ ）A. 120sB. 180sC. 210sD. 240s的【答案】C 【解析】【分析】根据题中所给函数解析式()2012x t v t kt =+先求得k 的值，再利用()0v x t v kt '==+即可求得答案.【详解】由题意得匀加速过程中，位移x 与时间t 关系满足函数()2012x t v t kt =+， 则由从静止状态匀加速至位移107公里需60s 可得2212060,2610770k k =⨯=⨯， 则由()0v x t v kt '==+可得220,2107660600030t t =⨯=⨯ （s ）， 故选：C6. 在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan A =b ＝2c ，ABC S = a =（ ）A. 13B. 2C. D. 【答案】C 【解析】【分析】由三角形的面积公式可求出,b c ，再由余弦定理即可求出答案.【详解】因为tan A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =，11sin 222ABC S bc A c c ==⨯⋅= ，解得：2c =， 24b c ==，由余弦定理可得：21164224122a =+-⨯⨯⨯=.解得：a =. 故选：C .7. 在正三棱锥P -ABC 中，PA =BC ＝6，M ，N ，Q ，D 分别是AP ，BC ，AC ，PC 的中点，平面MQN 与平面PBC 的交线为l ，则直线QD 与直线l 所成角的正弦值为（ ）A.B.56C.D.【答案】C 【解析】【分析】取PB 的中点J ，连接,MJ JN ，由题意可得平面MQN 与平面PBC 的交线为l 即为JN ，直线QD 与直线l 所成角即为直线QD 与直线MQ 所成角即为MQD ∠，由余弦定理求解即可.【详解】取PB 的中点J ，连接,MJ JN ，由题意可得1//,2QN AB QN AB =， 又因为1//,2MJ AB MJ AB =，所以1//,2MJ QN MJ QN =， 所以四边形MJNQ 是平行四边形，所以//MQ JN ， 所以M J N Q 、、、四点共面，所以平面MQN 与平面PBC 的交线为l 即为JN ，直线QD 与直线l 所成角即为直线QD 与直线MQ 所成角即为MQD ∠， 因为正三棱锥P -ABC中，PA =BC ＝6，所以6PA PB PC AB AC BC ======，所以3QD MQ MD ===，222272795cos 22276MQ QD MD MQD MQ QD +-+-∠===⋅⨯，所以sin MQD ∠===. 故选：C .8. 在平面中，已知点H 到()2,0A -，()2,0BH 的轨迹为曲线C ，直线30x y --=与C 分别相交于M ，N ，且直线与坐标轴分别相交于点P ，Q ，已知定点()6,0D ，则MDNPDQS S =△△（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】设(),H x y ，由题意求出点H 的轨迹，画出图象，求出()6,0D 到直线30x y --=的距离，由垂径定理求出MN ，即可求出MDN S ，再求出PDQ S △，即可得出答案.【详解】设(),H x y ，因为点H 到()2,0A -，()2,0B所以HA HB==，化简得：()22412x y -+=，故点H 的轨迹为()22412x y -+=，()6,0D 到直线30x y --=距离为：d ()4,0H 到直线30x y --=的距离为：1d ，所以2MN ==所以1122MDN S MN d =⋅==， 11933222PDQ P S QD y =⋅⋅=⋅⋅= ，所以92MDN PDQS S==故选：D .9. 已知函数()sin())f x x x ωθωθ=+++（0ω>，π02θ<<）的一个零点π4与相邻的一条对称轴间的距离为π4，把函数()y f x =的图像向左平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图像，则()g x 的一个单调递减区间为（ ） A. ππ,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦的【答案】B 【解析】【分析】首先由辅助角公式得出(())32sin f x πx ωθ++=，由相邻零点与对称轴之间的距离得出ω，再根据一个零点为π4得出θ，然后通过平移得出()g x ，最后利用整体带入方法求出单调递减区间．【详解】由已知得()sin())f x x x ωθωθ=+++sin())12[]2x x ωθωθ+++=32sin(πx ωθ++=，因为()f x 的一个零点π4与相邻的一条对称轴间的距离为π4， 所以π44T =，即πT =， 则2π2Tω==， 所以(()223sin f πx x θ++=， 由π4是()f x 的一个零点，得((24)2sin 03πf ππθ++==， 即)os(0c 3πθ+=，解得ππ6k θ=+，Z k ∈，又因为π02θ<<， 所以π6θ=，即()2sin 2co (2s 263πx x f x π+=+=， 把函数()y f x =的图像向左平移π4个单位长度得到函数()g x 的图像， 则πππ()()2()2cos(2)2sin 24422cos g x f x x x x =+=+=+=-， 由ππ2π22π22k x k -+≤≤+，Z k ∈，得ππππ44k x k -+≤≤+，Z k ∈， 即()g x 的单调减区间为πππ,π(Z)44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，因为πππ,0π,π444k k ⎡⎤⎡⎤-⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()g x 的单调减区间为π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：B ．10. 已知515ln 5a +=，3e 3b -+=，336e e 1e c ++=，则（ ） A. a b c << B. c a b <<C. a c b <<D. c b a <<【答案】A 【解析】【分析】构造函数()1ln (0)f x x x x=->，对()f x 求导，即可判断,a b 的大小，再证明0b c -<，即可得出答案.【详解】易知1ln55a =-，331ln e eb =-． 令()1ln (0)f x x x x=->，()221110x f x x x x '+=+=>，则()f x 在()0,∞+单调递增，又3e 5>，所以3311ln e ln 5e 5->-， 所以a b <．又33e 31e e e c =-， 则333e 3311ln e e e 0e eb c -=--+<，即b c <． 综上，a b c <<． 故选：A.11. 已知椭圆222:1y C x t +=，过()1,2P 的直线分别与C 相切于A ，B 两点，则直线AB方程为（ ）A. 10x y +-=或410x y +-=B. 410x y +-=C. 10x y +-=D. 10x y ++=或410x y +-=【答案】A 【解析】【分析】首先证明椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为：00221x x y y a b +=，即可得到点(,)P m n 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>外一点，过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的方程为221mx ny a b +=，再根据离心率分类讨论分别求出椭圆方程，即可得到切点弦方程． 【详解】首先证明椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为：00221x x y y a b +=，①当切线斜率存在时, 设过点()00,x y 的切线方程为y kx m =+，联立方程22221y kx mx y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22222222220b a k x kma x a m a b +++-=，0∆= ，即()()()222222222240kma b a k a m a b -+=-，22220a k m b +-∴=，又2222002212222kma ka ka x x x x b a k m m--+===→=+， 把20ka x m =代入y kx m =+中，得20b m y =，220200b x b y kx m a y y ∴=+=-+，化简得00221x x y ya b+=. ②当切线斜率不存在时，过()00,x y 的切线方程为x a =±，满足上式. 综上，椭圆上一点()00,x y 的切线方程为：00221x x y ya b+=. 再证明若点(,)P m n 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>外一点，过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的方程为221mx nya b+=． 这是因为在()11,A x y ，()22,B x y 两点处，椭圆C 的切线方程为11221x x y ya b+=和22221x x y ya b+=． 两切线都过P 点，所以得到了11221x m y n a b+=和22221x m y na b +=， 由这两个“同构方程”得到了直线AB 的方程221mx nya b+=；因为椭圆222:1y C x t +=，若焦点在x 轴，则21a =，22b t =，所以c ==所以c e a ===212t =，所以椭圆22:21C x y +=， 所以过()1,2P 作椭圆22:21C x y +=的两条切线方程， 切点弦方程AB 为41x y +=；若焦点在y 轴，则21b =，22a t =，所以c ==所以c e a ===22t =，所以椭圆22:12y C x +=， 所以过()1,2P 作椭圆22:12y C x +=的两条切线方程，切点弦方程AB 为212yx +=，即1x y +=； 综上可得直线AB 方程为10x y +-=或410x y +-=. 故选：A12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()()11f x f x -=+，()f x 在区间(]0,1内单调且()5222xxf f x -⎡⎤-+=⎣⎦，则()20221k kf k ==∑（ ）A. 50552B. 5055C.505510112⨯D. 1011【答案】A 【解析】【分析】由题意可通过换元法将已知条件函数的奇偶性和对称性推导出函数()f x 的周期性，再由()f x 在区间(]0,1内单调且()5222xxf f x -⎡⎤-+=⎣⎦，可得5(1),2f =根据函数周期性即可解得()20221k kf k =∑的值.【详解】由题知()f x 在(]0,1内单调，且(0,1]x ∈时，有()5222x xf f x -⎡⎤-+=⎣⎦，由此可知()(0,1]22x x f x -∈-+，当 (0,1]x ∈ 时. 22()122x x x x f x ---<≤+- ，得13535(1)(1)22(1)2222,f f f f f -⎡⎤⎡⎤<≤-+=-=⎣⎦⎢⎥⎣⎦ , 且 ()f x 在 (0,1]内单调，可得 5(1),2f =(1)(1)f x f x -=+ ，令1x x =+, 则 ()(2)f x f x -=+.又)(()f x f x -=- ，故 (2)()f x f x +=-. 令2x x +=. 则 (4)(2)()()f x f x f x f x +=-+=--= ()f x ∴的周期为 4 .当 x 趋于0时，有 ()0f x =. 故(20)(0)0f f +=-=，有 5(2)0.(1)(1)2f f f =-=-=-，∴20221()1(1)2(2)2020(2020)2021(2021)2022(2022)k k f k f f f f f ==+++++∑ ，根据()f x 的周期性可知 1(1)3(3)1(1)3(1)(1)3(1)2(1)f f f f f f f +=+-=-=-，5(5)7(7)5(1)7(1)2(1)f f f f f +=--=-，由20205054=， 故20221()505(2)(1)2021(2021)2022(2022)k k f k f f f ==⨯-++∑5505(2)2021(1)2022(2)2f f =⨯-⨯++50552=. 故选：A.【点睛】关键点睛：由奇函数性质()()0f x f x +-=，以及对称性性质()()11f x f x -=+推出函数周期是解题的必要步骤，再由()f x 在区间(]0,1内单调且()5222x xf f x -⎡⎤-+=⎣⎦，用特值法得出(1)f 的值为难点，本题考查的是函数的性质的综合应用，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______． 【答案】12##0.5 【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系化简已知条件，可求sin α，再根据余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】解：已知()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=， 即()()22sin5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=，解得1sin 2α=或sin 3α=-（舍）， 211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=， 故答案为：12.14. 已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，从下面两个条件中任选一个，则双曲线C 的渐近线方程为______．①与双曲线22197x y k k-=-+有共同焦点，且过()3,0M ；②过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线P ，Q 两点，143PQ =且2143QOF S =△．【答案】y x = 【解析】【分析】若选择①，由共同焦点可解得焦点为()()4,0,4,0-，再由待定系数法即可求解；若选择②，根据通径公式与面积公式联立解方程组即可得出27b =，29a =，从而得出结论. 【详解】若选择①：双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）焦点在x 轴上，故双曲线22197x y k k-=-+的焦点也在x4=，故焦点为()()4,0,4,0-，因为双曲线2222:1x y C a b -=与双曲线22197x y k k -=-+有共同焦点，所以2216a b +=，即双曲线2222:116x y C b b-=-， ()3,0M 代入双曲线C 可得2290:116C b b-=-，即27b =，29a =； 故双曲线C的渐近线方程为y x =30y ±=； 若选择②：由题意得，PQ 为通径，22143b PQ a ==（I ）， 的22211142223QOF PQ b S OF c a =⨯⨯=⋅=△（II ），两式联立化简得4c =， 所以2216a b +=，又因为22143b a =，联立化简得27b =，29a =；故双曲线C 的渐近线方程为y x =30y ±=；故答案为：y x =±. 15. 已知()()1ln f x x x =+，()1f m f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭且2m ≥，则m +2n 的取值范围是______． 【答案】[)3,+∞ 【解析】【分析】求导判定()f x 的单调性得1m n=，再用对勾函数的单调性求m +2n 的范围即可. 【详解】由题意得()1ln 1f x x x'=++，设()()211ln 1x g x x g x x x-'=++⇒=， 令()0g x '>得，1x >，令()0g x '<得，01x <<，故()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，即()()12g x g ≥=，故()f x 在定义域上单调递增.所以()112,2f m f m m n m n n m ⎛⎫=⇒=+=+ ⎪⎝⎭，设()2h m m m=+，2m ≥，由对勾函数的单调性可得()h m 在)+∞上单调递增，故22232m m +≥+=. 故答案为：[)3,+∞.16. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为线段1A B 和棱11A D 上的点，11A M N =，EF 为过1A ，1C ，D 三点的平面与正方体1111ABCD A B C D -的外接球截得的圆面内一条动弦，且EF =．当线段MN 的长度最大时，直线MN 与EF 之间的距离为______．【解析】【分析】由11A M N =可分析出1//MN BD ，利用线面垂直的判定定理可证1BD ⊥平面11AC D ，线段MN 的长度最大时，即为1BD ，作出过1A ，1C ，D 三点的截面，当线段MN 的长度最大时，直线MN 与EF 之间的距离即为GH ，求出11A C D 外接圆半径，利用勾股定理即可求出GH 的长度.【详解】解：已知M ，N 分别为线段1A B 和棱11A D 上的点，11A M N =，令111A N A D λ=，即1A N λ=，则11A M N ==，又1A B ==11A M A B λ=，则1//MN BD ，当线段MN 的长度最大时，即为1BD ，因为1BD 为正方体1111ABCD A B C D -的体对角线，可得11BD C D ⊥，111BD A C ⊥， 而1111C D A C C ⋂=，111,C D A C ⊂平面11AC D ， 所以1BD ⊥平面11AC D ，即MN ⊥平面11AC D ， 过1A ，1C ，D 三点的截面如下图所示，11A C D为等边三角形，其外接圆半径123r A D ==，因为EF =，则12EG EF ==，而EH r ==， 在Rt EGH中，GH ===， 所以线段MN 的长度最大时，直线MN 与EF，. 【点睛】关键点点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知11a =，134n n n S S a +=++． （1）证明：{}2n a +等比数列； （2）求数列{}2n a n +的前n 项和n T ． 【答案】（1）证明见解析（2）123322n n n ++--【解析】【分析】（1）根据等比数列定义证明数列{}2n a +是等比数列； （2）由（1）可求得n a ，再得2n a n +，由分组求和法计算n T 既可. 【小问1详解】由已知得．134n n n S S a +-=+，即134n n a a +=+， 所以()1232n n a a ++=+，所以{}2n a +是首项为123a +=，公比为3的等比数列． 【小问2详解】是的由（1）得11233n a -+=⋅，所以32nn a =-．则2322nn n a n +=+-， 则数列{}2n a n +的前n 项和()()()()121321232223212322nn n T n n -⎡⎤=+⨯-++⨯-+++--++-⎣⎦()()121333321212n n n n n -=++++++++-+-⎡⎤⎣⎦()()123131332213222n n n n n n n +-+=+⨯-=+---．18. 近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡．食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M ，N 两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：黄色蜂蜡罐 褐色蜂蜡罐 M 品种蜜蜂 40 20 N 品种蜜蜂 5010（1）判断是否有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联？（2）假设要计算某事件的概率()P B ，常用的一个方法就是找一个与B 事件有关的事件A ，利用公式：()()()()(|)()(|P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=+求解现从装有a 只M 品种蜜蜂和b 只N 品种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M 品种蜜蜂为事件A ，第二次抽到M 品种蜜蜂为事件B ．（ⅰ）证明：()aP B a b=+； （ⅱ）研究发现，①M 品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为23，被抽到的概率为45；M 品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为13，被抽到的概率为35；②N 品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为56，被抽到的概率为34；N 品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为16，被抽到的概率为12．请从M ，N 两个品种蜜蜂中选择一种，求该品种蜜蜂被抽到的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()2P K k ≥0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）选M 品种，被抽到的概率为1115，选N 品种，被抽到的概率为1724【解析】【分析】（1）根据题意求出2K ，与3.841比较即可得出结论；（2）（ⅰ）分别求出()P A ，(|)P B A ，()P A ，(|)P B A ，代入公式计算即可证明；（ⅱ）根据题意代入公式计算即可． 【小问1详解】根据列联表得()221204010205040 4.444 3.841606090309K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联． 【小问2详解】由已知公式可得，()aP A a b =+，1(|)1a P B A a b -=+-，(b P A a b =+，(|)1a P B A ab =+-， 则()()()P B P AB P AB =+()(|)((|P A P B A P A P B A =+111a ab aa b a b a b a b -=⋅+⋅++-++- (1)()(1)a a aba b a b -+=++-(1)()(1)a a b a b a b +-=++-aa b=+，得证． （ⅱ）①选M 品种，设选M 品种蜜蜂被抽到为事件C ， 由题意得()241311353515P C =⨯+⨯=,故选M 品种，被抽到的概率为1115． ②选N 品种，令选N 品种蜜蜂被抽到为事件D ， 由题意()153164621724P D =⨯+⨯=， 故选N 品种，被抽到的概率为1724． 19. 在斜三棱柱111ABC A B C -中，O 为底面正ABC 的中心，1A O ⊥底面ABC ，12AC AA ==．（1）证明：平面1A AC ⊥平面1A BO ； （2）求1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）由1A O ⊥底面ABC ，得出1A O AC ⊥，再由O 为底面正ABC 的中心得出BO AC ⊥，证明出AC ⊥平面1A BO ，根据AC ⊂平面1A AC ，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，分别求出1AC和平面11BCC B 的一个法向量，根据直线与平面夹角正弦的计算计算即可． 【小问1详解】证明：因为1A O ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以1A O AC ⊥，由O 为底面正ABC 的中心，可知BO AC ⊥，又1A O BO O ⋂=，BO ⊂平面1A BO ，1A O ⊂平面1A BO ， 所以AC ⊥平面1A BO ， 又AC ⊂平面1A AC ，所以平面1A AC ⊥平面1A BO ． 【小问2详解】结合（1）中所得，分别以CO ，1OA 所在直线为x ，z 轴，过点O 作AB 的平行线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由12AC AA ==，ABC 为正三角形，可知()0,0,0O，10,A ⎛⎝，B ⎫⎪⎪⎭，10,B ⎛ ⎝，C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以10,A C ⎛=- ⎝，()1,0BC =-，1BB ⎛=- ⎝ ，设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =，则100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y x y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩， 取1x =，则(1,n =，设1AC 与平面11BCC B 所成角为θ，则1sin cos ,A C n θ=，故1AC 与平面11BCC B． 20. 已知函数()()()212e 1x f x x a x -=---． （1）求函数()f x 的极值点；（2）设1x ，2x 为()()()13e x g x f x x -=+-的两个极值点，证明：()212ln 21x x a <+⎡⎤⎣⎦．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）先求出()f x '，因式分解得出()()()11e2x f x x a -'=--，再根据a 的值进行分类讨论即可；（2）由()g x 有两个极值点，则()g x 的二阶导数有解，得出0a >，由()()120g x g x ''==得出121112e e 2x x a x x ---=-，令11e 1x m -=>，21e 1x n -=>，则2ln ln m n a m n-=-且<构造()11ln 2m x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1x >），得出()1,x ∀∈+∞，有11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，令x =（1m n >>），1>ln ln m n m n -<-，则()21212ln 21x x a x x <++-，结合()()1211ln 22x x a -+-<即可证明． 【小问1详解】()()()()()111e 211e 2x x f x x a x x a --'=---=--，①当20a -≥，即0a ≤时，1e 20x a -->， 令()0f x '=，得1x =，当(),1x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，故()f x 有唯一的极小值点1； ②当20a -<，即0a >时，令()0f x '=，则11x =，()2ln 21x a =+， （ⅰ）当12a =时，()ln 211a +=，则()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增，此时()f x 无极值点； （ⅱ）当102a <<时，()ln 211a +<， 当()(),ln 21x a ∈-∞+时，()0f x ¢>，()f x 单调递增， 当()()ln 21,1x a ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，从而()f x 有两个极值点，极大值点为()ln 21a +，极小值点为1； （ⅲ）当12a >时，()ln 211a +>， 当(),1x ∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增； 当()()1,ln 21x a ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()()ln 21,x a ∈++∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增， 从而()f x 有两个极值点，极大值点为1，极小值点为()ln 21a +； 综上所述，当0a ≤时，()f x 有唯一的极小值点1； 当102a <<时，()f x 有两个极值点，极大值点为()ln 21a +，极小值点为1； 当12a =时，()f x 无极值点； 当12a >时，()f x 有两个极值点，极大值点为1，极小值点为()ln 21a +． 【小问2详解】 不妨设12x x >，由题得()()()()2113e e 1x x g x f x x a x --=+-=--， 则()()1e21x g x a x -'=--，设()1()e 21x h x a x -=--，则1()e 2x h x a -'=-，由1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点可知()()120g x g x ''==， 则()g x '在R 上不单调，则()0h x '=有解，故20a -<，则0a >， 由()111e21x a x -=-，()212e 21x a x -=-得()121112e e 2x x a x x ---=-，所以121112e e 2x x a x x ---=-．因为e 0x >，0a >， 所以110x ->，210x ->， 令11e 1x m -=>，21e 1x n -=>，则11ln x m -=，21ln x n -=，1m n >>， 故2ln ln m na m n-=-，且ln ln 2ee m n+=<==，令()11ln 2m x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1x >）， 则()()2222211112110222x x x m x x x x x---+-⎛⎫'=-+==< ⎪⎝⎭， 则()m x 在()1,+∞上单调递减，()()10m x m <=，即对()1,x ∀∈+∞，有11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，令x =（1m n >>）1>，则1ln2⎛< ⎝ln ln m nm n -<-，所以2ln ln m na m n-<<=-，则()()()21211ln 2x x a --<，即()21212ln 21x x a x x <++-，又()()1211ln ln lnln 222x x m n a -+-+==<，所以122ln 22x x a +<+，故()()212ln 21x x a <+．【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用导数研究()11ln 2m x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1x >）的单调性，由1ln2⎛<- ⎝ln ln m nm n -<-，再结合基本不等式，从而得出结论；本题考查了利用导数研究函数单调性，基本不等式的应用，属于难题．21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线:2l x =-，作直线l 的平行线:l x a '=()2x >，动点P 满足到F 的距离与到直线l '的距离之和等于直线l 与l '之间的距离．记动点P 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）过()3,1Q 作倾斜角互补的两条直线分别交E 于A ，B 两点和C ，D 两点，且直线AB 的倾斜角ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）28y x =；（2）. 【解析】【分析】（1）过P 分别作直线l ，l '的垂线，垂足为M ，N ，可得PF PM =，根据抛物线的定义即可求解；（2）设():13AN l x m y =-+，()11,A x y ，()22,B x y ，由ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得1m ≤≤联立()2813y xx m y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩,根据韦达定理可得12y y +，12y y ，由弦长公式可求AB ，CD ，根据11sin sin 22ACBD S QA CD QB CD θθ=+四边形，可得ACBD S =四边形2m t =，构造函数，利用导数即可求最大值. 【小问1详解】过P 分别作直线l ，l '的垂线，垂足为M ，N ，则由题意可得PF PN PM PN +=+，即PF PM =，则由抛物线的定义可知，动点P 的轨迹为以()2,0F 为焦点，直线:2l x =-为准线的抛物线， 则有22p=，4p =，故E 的方程为28y x =． 【小问2详解】由题目条件过()3,1Q 作倾斜角互补的两条直线分别交E 于A ，B 两点和C ，D 两点，可知直线AB ，CD 的斜率互为相反数．设():13AB l x m y =-+，()11,A x y ，()22,B x y ， 由直线AB 的倾斜角ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且直线AB 的斜率1k m =，可知π1πtantan 64m ≤≤，解得1m ≤≤ 联立()2813y xx m y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩,消去x 可得288240y my m -+-=，则()232230m m ∆=-+>，128y y m +=，12824y y m =-，则AB ===，同理可得CD =．记直线AB ，CD 的夹角为θ， 则11sin sin 22ACBD S QA CD QB CD θθ=+四边形(21sin 1612AB CD m θθ⋅=+=，又22222222sin cos 2tan 2sin sin 21sin cos tan 11121AB AB k mk m mmαααθαααα======+++++， 则32ACBD S ==四边形，令2m t =，13t ≤≤，则ACBD S =四边形， 令()324119f t t t t =++，则()212229f t t t '=++，当13t ≤≤时，()0f t '>，()f t单调递增， 则()maxACBDS ==四边形，故四边形ACBD 面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为11,2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22223cos 4sin 12ρθρθ+=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的参数方程；（2）若Q 为曲线2C 上一点，求点Q 到曲线1C 距离的最大值．【答案】（10y -+=，2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）（2【解析】【分析】（1）代入消元得到曲线1C 的普通方程，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，先得到曲线2C 的平面直角坐标方程，再化为参数方程；（2）设出点Q 的坐标，利用点的坐标表达出点Q 到曲线1C 距离，利用三角函数求出最大值. 【小问1详解】由曲线1C 的参数方程可知112x t =-+，则22t x =+，代入y =得曲线1C的普通方程为)22y x =+，0y -+=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可知曲线2C 的普通方程为223412x y +=， 即22143x y +=，故曲线2C的参数方程为2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．【小问2详解】由题可知，点Q 到曲线1C 的距离d。

河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评(四)理科数学试题(含答案解析)

河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评（四）理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{24}A xx =<<∣，{(6)(3)0}B x x x =--≥∣，则（）A ．2A B∈ B ．3A B∈⋂C ．4A B∈ D ．5A B∈ 2．若复数z 的共轭复数为z ，且(2i)35i z z -+=-+，则z 的虚部为（）A ．2i-B ．2iC ．2-D ．23．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123nn S m =⨯-，m ∈R ，则4S =（）A ．133B ．5C ．173D ．2234．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”．如图，为测量某塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得30BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，30CD =米，在C 点测得塔顶A 的仰角为60°，则塔的总高度约为（）1.4≈ 1.7≈）A ．13米B ．24米C ．39米D ．45米5．函数3sin ||x xy x -=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．6．某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了“绘画、书法、围棋、舞蹈、武术”五项兴趣拓展活动，小明计划从这五项活动中选择三项，则书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率为（）A ．0.9B ．0.7C ．0.6D ．0.37．记不等式组30,10,30x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩的解集为D ，现有下面四个命题：1:(,)p x y D ∀∈，280x y -+≥；2:(,)p x y D ∃∈，240x y -+>；3:(,)p x y D ∀∈，30x y ++>；4:(,)p x y D ∃∈，330x y +-≤．其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，与抛物线的准线交于点M ，且点A 位于第一象限，F 恰好为AM 的中点，AF BM λ=()λ∈R ，则λ=（）A ．32B ．43CD9．任意写出一个正整数m ，并且按照以下的规律进行变换：如果m 是个奇数，则下一步变成31+m ，如果m 是个偶数，则下一步变成12m ，无论m 是怎样一个数字，最终必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示为数列{}1:n a a m =（m 为正整数），131,1,2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数时当为偶数时，若72a =，则m 的所有可能取值之和为（）A ．188B ．190C ．192D ．20110．在菱形ABCD 中，5AB =，6AC =，AC 与BD 的交点为G ，点M ，N 分别在线段AD ，CD 上，且13AM MD =，13CN ND =，将MND 沿MN 折叠到MND '△，使GD '=，则三棱锥D ABC '-的外接球的表面积为（）A ．1203π16B ．627π16C ．289π8D ．40π11．设双曲线:E 22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为双曲线E 上在第一象限内的点，线段1F B 与双曲线E 相交于另一点A ，AB 的中点为M ，且2F M AB ⊥，若1230AF F ∠=︒，则双曲线E 的离心率为（）AB ．2CD 12．已知0.618e 1a =-，ln1.618b =，tan 0.618c =，其中e 为自然对数的底数，则（）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b a c>>D ．a c b>>二、填空题13．二项式523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为________．14．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，AC 与BD 的交点为M ，N 为边AB 上任意点（包含端点），则MB DN ⋅的最大值为________．15．圆22:280M x y x ++-=与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，点N 满足||2||NA NB =，直线:(0)l y kx m k =+>与圆M 和点N 的轨迹同时相切，则直线l 的斜率为________．16．先将函数()cos f x x =的图象向左平移2π3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>，纵坐标不变，所得图象与函数()g x 的图象关于x 轴对称，若函数()g x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，且在ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是________．三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos )sin b a C c A -=．(1)求A ；(2)若ABC D 在线段AC 上，且13AD AC =，求BD 的最小值．18．如图，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，4AB =，AD =MC ==45ADC ∠︒，点M 在底面ABCD 上的射影为CD 的中点O ，E 为线段AD上的点(含端点)．(1)若E 为线段AD 的中点，证明：平面MOE ⊥平面MAD ；(2)若3AE DE =，求二面角D ME O --的余弦值．19．某公司为了解年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，统计了近5年的年营销费用i x 和年销售量(1,2,3,4,5)i y i =，得到的散点图如图所示，对数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示．51ii u=∑51ii v=∑()()51iii u u v v =--∑()521ii u u =-∑16.1026.020.40 1.60表中ln i i u x =，ln i i v y =，5115i i u u ==∑，5115i i v v ==∑．已知b y a x =⋅可以作为年销售量y关于年营销费用x 的回归方程．(1)求y 关于x 的回归方程；(2)若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用-固定成本）参考数据： 4.399e 81≈139≈．参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()`121ˆniii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，离心率为12，且点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在㮋圆上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为Q ，经过坐标原点O 和点Q 的直线m 与椭圆C 交于M ，N 两点，求四边形AMBN 的面积的取值范围．21．已知函数()2cos sin ()f x mx mx x x m =--∈R ．(1)当1m =时，求()f x 在点()()π,πf 处的切线方程；(2)当0x >时，()0f x >，求实数m 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,1,x t y t =+⎧⎨=-⎩其中t 为参数，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2|sin |2|cos |ρθθ=+，其中θ为参数．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程，并画出曲线C 的简图（无需写出作图过程）；(2)直线:m θα=π0,2α⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭与曲线C 相交于A ，B两点，且||AB =α的值．23．已知函数()2|1||1|4f x x x =++--的最小值为m ．(1)在直角坐标系中画出()y f x =的图象，并求出m 的值；(2)a ，b ，c 均为正数，且1a b c m ++=-+，求222a b c b c a++的最小值．参考答案：1．B【分析】根据二次不等式解法求出集合B ，求出A B ⋂及A B ⋃，根据元素和集合的关系即可逐项判断.【详解】由题可知{6B x x =≥∣或3}x ≤，则{23}A B xx ⋂=<≤∣，{4A B x x ⋃=<∣或6}x ≥，依据选项可知B 正确.故选：B ．2．D【分析】先根据条件求出复数z ，然后可得虚部.【详解】设复数i z a b =+，a ，b ∈R ，则i (2i)(i)a b a b +-+-()(3)i a b b a =-++-35i =-+，即()335a b b a -+=-⎧⎨-=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，则12z i =+，故z 的虚部为2.故选：D ．3．B【分析】先根据n S 的定义依次求出123,,a a a ，再由等比数列的定义即可得到关于m 的关系式，解之即可得出答案.【详解】因为123nn S m =⨯-，当1n =时，1123a S m ==-，当2n =时，21243m a S a =+=-，则223a =，当3n =时，312383a m a a S +=+-=，则343a =，因为{}n a 是等比数列，所以322a q a ==，则2113a a q ==，所以2133m -=，解得13m =，则11233n n S =⨯-，则45S =.故选：B.4．C【分析】在Rt △ABC 根据∠ACB 的正切得AB 与BC 的关系，在△BCD 中利用正弦定理列式即可求解．【详解】设AB m =，则tan 60m BC ==︒，在BCD △中，105CBD ∠=︒，由正弦定理得sin105sin 45CD BC=︒︒，因为()sin105sin 4560︒=︒+︒sin 45cos60cos 45sin 60=︒︒+︒︒=，代入数据，解得90m =-9030 1.739≈-⨯=（米），故选：C ．5．A【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项B,D ；再利用特殊值即可排除选项C ，进而求解.【详解】函数3sin ()xx xy f x -==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且3sin()3sin ()()x x x xf x x x f x-----+-===-，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B,D 选项，只需研究0x >的图象，当π6x =时，πππ33sin 06662-=-<，则π06f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C 选项.故选：A ．6．B【分析】方法一：根据排列组合结合分类加法法则得出答案；方法二：先求出“书法、舞蹈这两项活动都被选中”的概率，即可根据对立事件的概率求法得出答案.【详解】方法一：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”分两种情况：①都没有被选中，有33C 种情况；②两项活动只有一项被选中，有1223C C 种情况，则所求概率为31232335C C C 70.7C 10P +===，故选B ．方法二：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”的对立事件是“书法、舞蹈这两项活动都被选中”，故所求概率为123235C C 710.7C 10P =-==，故选：B ．7．C【分析】作出不等式组所表示的区域，再逐项的作出对应直线，观察所作直线与可行域的关系，再利用存在命题与全称命题的概念进行判断即可求解.【详解】不等式组的解集D 表示的可行域如图中阴影部分所示，依据图（1）知命题1p 为真命题，依据图（2）知命题2p 为真命题，依据图（3）知命题3p 为假命题，依据图（4）知命题4p 为真命题．所以真命题有3个，故选：C ．8．A【分析】过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为N ，E ，根据抛物线的定义，又F 恰好为AM 的中点，可得到比例||||AF BM ，进一步推导得到λ的值.【详解】如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为N ，E ，根据抛物线的定义得||||AF AN =，||||BF BE =，因为F 为AM 的中点，所以||||||||1||||||AF BF BM BF BM BM BM +==+，又||||||||BF BE BM BM ==||||1||||2AN AF AM AM ==，所以||||1311||||22AF BF BM BM =+=+=，所以32λ=.故选：A 9．B【分析】列举出1234567a a a a a a a →→→→→→的可能情况，可得出m 的所有可能取值，相加即可得解.【详解】由题意，1234567a a a a a a a →→→→→→的可能情况有：①2142142→→→→→→；②16842142→→→→→→；③2010516842→→→→→→；④310516842→→→→→→；⑤128643216842→→→→→→；⑥21643216842→→→→→→；所以，m 的可能取值集合为{}2,16,20,3,128,21，m 的所有可能取值之和为21620312821190+++++=.故选：B.10．B【分析】设MN 与BD 的交点为H ，连接D H '，证明D G '⊥平面ABC ．设ABC 的外接圆圆心为1O ，AD C ' 的外接圆圆心为2O ，过1O ，2O 分别作平面ABC ，平面AD C '的垂线，设两垂线交于点O ，则O 是三棱锥D ABC '-外接球的球心，先求出12,r r ，再求出三棱锥D ABC '-的外接球的半径R 即得解.【详解】如图所示，因为13AM MD =，13CN ND =，所以//MN AC ，设MN 与BD 的交点为H ，连接'D H ，因为5AD CD AB ===，3GA GC ==，所以4DG =，则1GH =，3DH =，所以3D H '=．又GD '=222D G GH D H ''+=，则D G GH '⊥．又D G AC '⊥，AC HG G ⋂=，AC HG ⊂，平面ABC ，故D G '⊥平面ABC ．设ABC 的外接圆圆心为1O ，AD C ' 的外接圆圆心为2O ，过1O ，2O 分别作平面ABC ，平面AD C '的垂线，设两垂线交于点O ，则O 是三棱锥D ABC '-外接球的球心，且四边形12O OO G 为矩形．设ABC 的外接圆半径为1r ，在ABC 中，由()2221143r r -+=，解得1258r =，同理可得AD C ' 的外接圆半径28r =，所以28GO =．设三棱锥D ABC '-的外接球半径为R ，则22212R O A GO =+6252627646464=+=，则三棱锥D ABC '-的外接球的表面积26274π16S R π==.故选：B ．11．D【分析】连结连接2AF 、2BF .设2AF =2BF m =，根据双曲线的定义可推得||4AB a =，即2m a =．进而在直角三角形中，根据勾股定理可得2F M 结合已知条件，即可得出222c a =，从而得出离心率.【详解】如图，连接2AF 、2BF .因为M 为AB 的中点，2F M AB ⊥，所以22AF BF =．设2AF =2BF m =，因为212AF AF a -=，所以12AF m a =-.又因为122BF BF a -=，所以1BF =2m a +，则11||4AB BF AF a =-=．因为M 为AB 的中点，所以||||2AM BM a ==，则1F M m =．设122F F c =，在12Rt F F M △中，2F M =在2Rt AF M △中，2F M =，整理可得22222m a c =+，所以2F M =．当1230AF F ∠=︒时，12sin AF F ∠=212F M F F=122c =，则222c a =，所以离心率为ce a==故选：D ．12．D【分析】构造函数()1tan x f x x =--e ，π04x <<，利用导数判断其单调性即可判断,a c 的大小；ln1.618ln(10.618)b ==+，可构造函数()ln(1)h x x x =+-判断ln1.618b =与0.618的大小，构造函数()tan k x x x =-判断0.618与tan 0.618的大小，从而可判断,b c 的大小.【详解】令()1tan xf x x =--e e cos cos sin cos x x x xx--=，π04x <<，令()e cos x g x x =-cos sin x x -，则()(sin cos )e x g x x x '=-+sin cos x x +-()e 1(cos sin )xx x =--，当π04x <<时，()0g x '>，则()g x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又(0)110g =-=，所以当04x π<<时，()0g x >，又cos 0x >，所以()0f x >在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，又00.6184π<<，所以(0.618)0f >，即a c >．令()ln(1)h x x x =+-，则1()111x h x x x -=-=++'，当02x π<<时，()0h x '<，所以()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当02x π<<时，()(0)0h x h <=，即ln(1)x x +<．令()tan k x x x =-，则21()10cos k x x '=-≤，()k x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当02x π<<时，()(0)0k x k <=，即tan x x <，所以ln(1)tan x x x +<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立．令0.618x =，则ln(0.6181)0.618tan 0.618+<<，所以c b >．综上所述，a c b >>．故选：D ．【点睛】构造函数比较大小主要方法有：1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小；2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.13．90【分析】由二项式展开式通项公式可求.【详解】由题知()52153C rrrr T xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭1035C 3r r rx -=⋅⋅，当2r =时，4390T x =，故4x 的系数为90．故答案为：90.14．52##2.5【分析】以点A 为坐标原点，AB ，AD的方向为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，写出对应点的坐标，设(,0)N m (02)m ≤≤，根据平面向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】以点A 为坐标原点，AB，AD 的方向为x 轴，y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，(2,0)B ，(0,1)D ，设(,0)N m (02)m ≤≤，所以11,2MB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(,1)DN m =- ，则MB DN ⋅= 12m +，因为02m ≤≤，所以1522MB DN ≤⋅≤ ，即MB DN ⋅ 的最大值为52．故答案为：52．15【分析】求出A 、B 坐标，设N (x ,y )，求出N 的轨迹圆E 的方程，作出图象，利用圆的公切线的几何性质即可求其斜率．【详解】对于圆22:280M x y x ++-=，令0y =，得2280x x +-=，解得4x =-或2x =，则()4,0A -，()2,0B ．设(,)N x y ，∵2NANB=，∴2NA NB =，=，整理得22(4)16x y -+=，则点N 的轨迹是圆心为()4,0E ，半径为4R =的圆．又圆M 的方程为22(1)9x y ++=，则圆M 的圆心为(1,0)-，半径为3r =．∵434(1)43-<--<+，∴两圆相交，设直线l 与圆M 和点N 轨迹圆E 切点分别为C ，D ，连接CM ，DE ，过M 作DE 的垂线，垂足为点F ，则四边形CDFM 为矩形，∵5ME =，431EF DE DF R CM =-=-=-=，∴MF =则tan 12EF FME MF∠==，则两圆公切线CD 的斜率即为直线FM 的斜率为12．故答案为：12.16．11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据题目的要求平移伸缩对称变换得到()g x 的解析式，然后结合函数在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点以及在ππ,1212⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，列出不等式组，即可求得本题答案.【详解】函数()f x 的图象向左平移2π3个单位长度，得到2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的1ω，纵坐标不变，得到2πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，因为函数()g x 的图象与2πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于x 轴对称，所以2π()cos 3g x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2ππsin 32x ω⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭πsin 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为20π3x ≤≤，所以ππ2ππ6636x ωω≤+≤+，又因为π()sin 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有2个零点，且()sin π0k =，Z k ∈，所以2π2ππ3π36ω≤+<，解得1117<44ω≤，令22πππ2π2π262k x k ω-+≤+≤+，2k ∈Z ，得222π2π2ππ33k k x ωωωω-+≤≤+，2k ∈Z ，令20k =，得()g x 在2ππ,33ωω⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，所以ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2ππ,33ωω⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，所以2ππ312ππ312ωω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，又0ω>，解得04ω<≤．综上所述，1144ω≤≤，故ω的取值范围是11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．(1)π3A =；【分析】（1）根据正弦定理，结合三角恒等变换化简可推得tan A =（2）由已知可推得9bc =.在ABD △中，由余弦定理可推得2221193c b bc BD =+-，然后根据基本不等式，即可得出BD 的最小值．【详解】（1sin cos )sin sin B A C C A -=，又πA B C ++=]sin()sin cos sin sin A C A C C A +-=，sin A C sin sin C A =．又sin 0C >sin A A =，则tan A =．因为(0,π)A ∈，所以π3A =．（2）由（1）知π3A =，则ABC 的面积为1πsin 23S bc ===9bc =．在ABD △中，13AD b =，由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅2211π2cos 933c b c b =+-⨯⨯⨯221193c b bc =+-≥13bc 133bc ==，当且仅当2219c b =，即b =c =所以BD18．(1)证明见解析【分析】(1)在△ADO 中，利用勾股定理证明ED ⊥EO ，再结合ED ⊥MO 即可证明AD ⊥平面MOE ，从而可证明平面MOE ⊥平面MAD ；(2)连接OA ，证明DO OA ⊥，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解二面角的余弦值．【详解】（1）∵AD ⊂平面ABCD ，MO ⊥平面ABCD ，∴MO AD ⊥．∵O 为线段CD 的中点，E 为线段AD 的中点，∴2DO =，DE =∵=45ADC ∠︒，由余弦定理得22222222EO =+-⨯⨯，则222EO DE DO +=，则DE EO ⊥．∵MO EO O ⋂=，,MO EO ⊂平面MOE ，∴AD ⊥平面MOE ，又∵AD ⊂平面MAD ，∴平面MOE ⊥平面MAD ．（2）连接OA ，由(1)知当E 为线段AD 的中点时，AE DE EO ===则A 、O 、D 三点在以AD 为直径的圆上，故DO OA ⊥．故以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又MC =，则2MO =，∴(0,0,0)O ，(2,0,0)D ，(0,2,0)A ，(0,0,2)M ．又3AE DE =，则13,,022E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴(0,0,2)OM = ，(2,0,2)DM =- ，(2,2,0)DA =-，13,,022OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设平面MAD 的法向量为()111,,m x y z = ，则1111220220DM m x z DA m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，，解得1111x z x y =⎧⎨=⎩，，取11x =，则平面MAD 的一个法向量为(1,1,1)m =．设平面MEO 的法向量为()222,,x n y z = ，则2221302220OE n x y OM n z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，，解得22230x y z =-⎧⎨=⎩，，取23x =，则平面MEO 的一个法向量为(3,1,0)n =-．则cos 15m n m n m n⋅⋅==⋅，则二面角D ME O --的余弦值为15．19．(1)1481y x =(2)该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大【分析】(1)根据题目要求可知，y 关于x 的回归方程为非线性的，设b y a x =⋅，可得ln ln ln y a b x =+，代入已知条件所给的数据，计算即可.(2)列出年收益与营销费用的关系式，通过求导来求得最值.【详解】（1）由b y a x =⋅得，ln ln()ln ln b y a x a b x =⋅=+，令ln u x =，ln v y =，ln c a =，则v c bu =+．由表中数据可得，()()()515210.4ˆ0.251.6iii ii u u v v bu u ==--===-∑∑，则26.0216.1ˆˆ0.25 4.39955cv bu =-=-⨯，所以ˆ 4.3990.25v u =+．即ˆln 4.3990.25ln y x =+14.3994ln e x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，因为 4.399e 81≈，所以14ˆ81y x =，故所求的回归方程为1481y x =．（2）设年收益为W 万元，则144120324120W y x x x =--=--，对()W f x =求导，得34'()811f x x -=-，令348110x --=，解得132433519x =≈⨯=，当(0,351)x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增，当(351,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，因此，当351x =时W 有最大值，即该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大．20．(1)22143x y +=；(2)[6,．【分析】（1）由题得到关于,,a b c 的方程，解方程即得解；（2）设直线l 的方程为1x ky =+，联立椭圆C 的方程得到韦达定理，设线段AB 的中点为()00,Q x y ，求出它的坐标，求出||AB 、点M ，N 到直线l 的距离12,d d，再化简求出S =即得解.【详解】（1）设椭圆右焦点的坐标为(,0)(0)c c >，则12c a =，即2a c =，又222a b c =+，则223b c =，因为点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以221914a b +=，即2213144c c +=，解得1c =，则2a =，b =C 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知(1,0)F ，因为直线l 的斜率不为0，所以可设直线l 的方程为1x ky =+，代入椭圆C 的方程22143x y +=，消去x 化简得()2234690k y ky ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122634ky y k -+=+，122934y y k -=+．设线段AB 的中点为()00,Q x y ，则12023234y y k y k +-==+，200231134kx ky k -=+=+2434k =+，即2243,3434k Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，则直线m 的方程为34k y x =-，代入椭圆C的方程可得x =M ⎛⎫，N ⎛⎫⎝．12||AB y =-===()2212134k k +=+，点M ，N 到直线l的距离分别为1d =2d =，则四边形AMBN 的面积为1211||||22S AB d AB d =⨯⨯+⨯⨯()121|2AB d d =⨯⨯+∣1||2AB =⨯⨯．因为点M ，N 在直线l的两侧，所以1||2S AB =⨯1||2AB =⨯⨯1||2AB =⨯()221211234k k +=⨯+===，因为2110344k <≤+，所以6S ≤<因此，四边形AMBN 的面积的取值范围为[6,．21．(1)4πy x =-(2)[1,)+∞【分析】（1）由导数法求切线；（2）法一：对m 分类讨论，由导数法研究函数单调性及符号即可判断，其中1m ≥时，由作差法说明()2cos sin f x x x x x ≥--，将问题转化为判断()2cos sin g x x x x x =--的符号；法二：不等式等价为sin 2cos xmx x>-，由导数法研究sin ()2cos x g x x =-图象性质，由数形结合判断范围.【详解】（1）因为()2cos sin f x x x x x =--，所以()22cos sin f x x x x '=-+，因为()π4f '=，()π3πf =，所以切线方程为()3π4πy x -=-，即4y x π=-．（2）方法一：i.若1m ≥，由2cos sin (2cos sin )mx mx x x x x x x -----2(1)(1)cos m x m x x =---(1)(2cos )0m x x =--≥，可得()2cos sin f x x x x x ≥--，设()2cos sin g x x x x x =--，则()22cos sin g x x x x '=-+，当(0,]x π∈时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，则()(0)0g x g >=；当(,)x ∈π+∞时，()(1cos )(sin )0g x x x x x =-+->，所以()0g x >，所以()0f x >恒成立，符合题意；ii.若0m ≤，()2cos sin f x mx mx x x =--(1cos )sin mx x mx x =-+-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，不合题意．iii.若01m <<，()2(1)cos sin f x m m x mx x '=-++，设()()h x f x '=，则()(21)sin cos h x m x mx x '=++，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，因为ππ2022f m ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，(0)0f '<，所以存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，当()00,x x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()00,x 上单调递减，()(0)0f x f <=，不合题意．综上所述，m 的取值范围为[1,)+∞．方法二：由题知当0m >时，2cos sin 0mx mx x x -->，即(2cos )sin mx x x ->，因为2cos 0x ->，所以sin 2cos x mx x >-．设sin ()2cos x g x x=-，因为(2)()g x g x π+=，所以()g x 为周期函数，且周期为2π．22cos (2cos )sin ()(2cos )x x x g x x --'=-22cos 1(2cos )x x -=-，令()0g x '=，则π2π3x k =+或5π2π3x k =+，k ∈Z ，所以当ππ2π,2π33x k k ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z 时，()0g x '>，则()g x 单调递增；当π5π2,2π33x k k π⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k ∈Z 时，()0g x '<，则()g x 单调递减．当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()()h x g x '=，则32sin (1cos )()0(2cos )x x h x x -+'=<-，则()()h x g x '=单调递减，∴()(0)1g x g ''<=.当1m =时，直线y mx =与曲线()y g x =相切，如图，根据图象可知，要使sin 2cos x mx x>-，只需m 1≥，故实数m 的取值范围为[1,)+∞．【点睛】恒成立问题，一般可通过分离参数法，转化为由导数法研究不含参部分的最值；或者对参数分类讨论，由导数法分别说明.22．(1)20x y +-=，222||2||0x y x y +--=，作图见解析；(2)π12α=或5π12α=．【分析】（1）消去参数t ，即可得出直线的普通方程.根据公式即可求得曲线C 的直角坐标方程.然后根据方程作图即可；（2）设点A 位于第一象限，由图象集合已知条件可推出2sin 2cos A ραα=+，2sin 2cos B ραα=+.由||AB =πsin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.然后根据α的范围，即可得出α的值．【详解】（1）将直线的参数方程消去t ，得普通方程为20x y +-=．曲线C 的极坐标方程为2|sin |2|cos |ρθθ=+，即22|sin |2|cos |ρρθρθ=+，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为222||2||0x y x y +--=．则曲线C的简图如图所示．（2）不妨设点A 位于第一象限，结合图形和直线:0,2m πθαα⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭可知，2sin 2cos A ραα=+，2sin(π)2cos(π)B ραα=-+-+2sin 2cos αα=+，则||4sin 4cos A B AB ρραα=+=+π4α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以πsin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π,444α+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ππ43α+=或π2π43α+=，所以π12α=或5π12α=．23．(1)作图见解析，2m =-(2)3【分析】(1)写出f (x )解析式，按照一次函数图象画法即可画出图象，根据图象即可求出最小值m ；(2)利用基本不等式得22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，三式相加即可求得222a b c b c a++的最小值．【详解】（1）由题知()35,1,1,11,33,1,x x f x x x x x --≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩描点(2,1)-，(1,2)--，(1,0)，(2,3)，连线得()y f x =的图象如图所示．通过图象可知，当=1x -时，函数()y f x =的最小值为2-，即2m =-．（2）由(1)知2m =-，13a b c m ++=-+=，22a b a b+≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，三个式子相加得2223a b c a b c b c a++≥++=，当且仅当1a b c ===时等式成立，∴222a b c b c a++的最小值为3．。

2023届江西省上饶中学新八校高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)

详解： 为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
6.防疫工作，人人有责，某单位选派了甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者到A、B、C三处核酸点参加志愿工作，若每个核酸点至少去1名志愿者，则甲、乙两人派到同一处核酸点参加志愿者工作的概率为（）
故选：B.
11.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，则下列结论不正确的是（）
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数 ， ．
（1）当 时，求不等式 解集；
（2）设 ，且当 ， ，求 的取值范围．
江西省新八校
东乡一中都昌一中丰城中学赣州中学
景德镇二中上饶中学上栗中学新建二中新八桥
2023届高三第一次联考理科数学试题
考试时间：120分钟分值：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【详解】复数 ，
∴ ，则复数 的虚部为1，
故选：A.
3.下列说法正确的是（）
A.“ ， ”的否定形式是“ ， ”
B.若函数 为奇函数，则 .
C.两个非零向量 ， ， 是 的充分不必要条件

江西省萍乡市2022-2023学年高三上学期期末考试数学理科试卷

准考证号姓名（在此卷上答题无效）萍乡市2022－2023学年度高三期末考试试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}2,x B y y x A ==∈，则A B = A ．{}1,2B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)1,2-D ．{}12．已知i 为虚数单位，则复数11i+的实部与虚部之和为A ．1-B ．0C ．1D ．23．在各项均为正数的等差数列{}n a 中，23=a ，若235,1,3++a a a 成等比数列，则公差=d A ．1-或2B ．2C ．1或2-D ．14．已知m 和n 是空间中两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下列命题正确的是A ．若⊥m n ，n ⊂α，则α⊥m B ．若m ⊂α，n ⊂β， αβ，则m n P C ．若m αP ，⊥m n ，则α⊥n D ．若α⊥m ，m β，则αβ⊥5．关于某校运动会5000米决赛前三名选手甲、乙、丙有如下命题：“甲得第一”为命题p ；“乙得第二”为命题q ；“丙得第三”为命题r .若∨p q 为真命题，∧p q 为假命题，()⌝∧q r 为假命题，则下列说法一定正确的为A ．甲不是第一B ．乙不是第二C ．丙不是第三D ．根据题设能确定甲、乙、丙的顺序6．在二项式6(2)-a x 的展开式中，若3x 的系数为160，则=aA ．1-B ．1C D ．7．函数=y kx 与ln =y x 的图象有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为A ．1=k B ．1e=k C ．1e=k 或0≤k D ．1=k 或0≤k 8．分形是由混沌方程组成，其最大的特点是自相似性：当我们拿出图形的一部分时，它与整体的形状完全一样，只是大小不同．谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，它的构造方法是：将一个正方形均分为9个小正方形，再将中间的正方形去掉，称为一次迭代；然后对余下的8个小正方形做同样操作，直到无限次，如右上图．进行完二次迭代后的谢尔宾斯基地毯如右下图，从正方形ABCD 内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为A ．19B ．1781C ．29D ．3179．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()'f x 是其导函数.当0≥x 时，()20'->f x x ，且()23=f ，则()()3113≥+f x x 的解集是A ．[)2,+∞-B ．[]2,2-C ．[)2,+∞D ．(],2∞--10．下列关于函数1()sin 2cos =+f x x x有关性质的描述，正确的是A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线2π=x 对称C ．函数()f x 的最小正周期为πD ．函数()f x 的图象关于直线=πx 对称11．点M 为抛物线28=y x 上任意一点，点N 为圆22430+-+=x y x 上任意一点，P 为直线10---=ax y a 的定点，则+MP MN 的最小值为A ．2B C ．3D ．2+12．已知函数()ln f x ax a =+，()e ln x g x x x =+-，若关于x 的不等式()()f x g x >在区间(0,)+∞内有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围为A ．(2e,e ⎤⎦B ．2e (e,]2C ．(23e ,e ⎤⎦D ．23e e (,]23萍乡市2022－2023学年度高三期末考试试卷理科数学第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22，23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，已知角α终边过点(2,1)-P ，则sin 2α=__________．14．在平面直角坐标系中，向量,a b 满足()()1,1,231,5=+=- a a b ，则⋅= a b __________．15．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若∆ABC 的周长为7，面积为，且828ab c +=，则=c __________．16．已知球O 是棱长为1的正四面体的内切球，AB 为球O 的一条直径，点P 为正四面体表面上的一个动点，则⋅PA PB 的取值范围为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）记n S 为数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 的前n 项和，已知11=a ，()21⋅=-n n a S n n ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列1321+⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭n n a n 的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDE 中，ABC ∆为等边三角形，平面ABC ⊥平面ACDE ，且222AC AE ED ===，90∠=∠=︒DEA EAC ，F 为边BC 的中点．(1)证明： DF 平面ABE ；(2)求EF 与平面ABE 所成角的正弦值．19.（本小题满分12分）甲、乙两人参加某知识竞赛对战，甲答对每道题的概率均为12，乙答对每道题的概率均为(01)<<p p ，两人答每道题都相互独立.答题规则：第一轮每人三道必答题，答对得10分，答错不加分也不扣分；第二轮为一道抢答题，每人抢到的概率都为12，若抢到，答对得10分，对方得0分，答错得0分，对方得5分.(1)若乙在第一轮答题中，恰好答对两道必答题的概率为()f p ，求()f p 的最大值和此时乙答对每道题的概率0p ；(2)以(1)中确定的0p 作为p 的值，求乙在第二轮得分X 的数学期望．20.（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在原点，周长为8的∆ABC 的顶点()A 为椭圆E 的左焦点，顶点,B C 在E 上，且边BC 过E 的右焦点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)椭圆E 的上、下顶点分别为,M N ，点(),2P m (),0R ≠∈m m ，若直线,PM PN 与椭圆E 的另一个交点分别为点,S T ，求证：直线ST 过定点，并求该定点坐标．21.（本小题满分12分）已知函数()1ln e +-=x xf x a x．(1)若0=a ，求()f x 的极值；(2)若()1≥f x 恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线()()0100,,0:πθθθρ=∈≥C 与曲线22:4sin 30ρρθ-+=C 相交于,P Q 两点．(1)写出曲线2C 的直角坐标方程，并求出0θ的取值范围；(2)求11+OP OQ的取值范围．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()()10,0=--+>>f x a x b a b 的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为1．(1)求实数,a b 满足的关系式；(2)若对任意R ∈x ，不等式()2<-f x x ab恒成立，求实数b 的取值范围.萍乡市2022—2023学年度高三期末考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题（12×5=60分）：ABBDC ；ACBCC ；AD .二、填空题（4×5=20分）：13.45-；14.0；15.3；16.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、解答题（共70分）：17.（1）由(21)n n a S n n =-得，(21)n n n n S a -=，当11(1)(23)2,n n n n n S a ----≥=，………（1分）两式相减得：11(21)(1)(23)n n n n n n n a a a ----=-，化简得：12123n n a n a n -+=-，………………（2分）21234211233212121239754112325275313n n n n n n n a a a a a a n n n n a a a a a a a a n n n -----+---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--- ，…（4分）当1n =时，2141113a ⋅-==，符合上式，………………………………………………（5分）故2413n n a -=；……………………………………………………………………………（6分）（2）由(1)知13=(21)321n n n a n n +⋅-⋅+，………………………………………………………（7分）1231133353(23)3(21)3n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ 23413133353(23)3(21)3n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，……………………………（9分）两式相减得1234121323232323(21)3n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ 21113(13)32(21)362(1)313n n n n n -++⨯-=+⨯--⨯=-+-⨯-，……………（11分）故13(1)3n n T n +=+-⋅.………………………………………………………………………（12分）18.（1）证明：取AB 的中点为M ，连接ME ，MF ，…………………………………（1分）因为F 为边BC 的中点，所以MF AC ，1=2MF AC ，……………………………………（2分）又DE AC ，12DE AC =，所以MF DE ，且MF DE =，即四边形EDFM 为平行四边形，所以DF EM ，………………………………………（4分）又EM ABE ⊂平面，DF ABE ⊄平面，所以DF ABE 平面；………………………（6分）【用面面平行性质得到线面平行同样给分】（2）平面ABC ⊥平面ACDE ，ABC 平面平面ACDE AC =，EA AC ⊥，EA ⊂平面ACDE ，则EA ⊥平面ABC ，…………………………………（8分）过点F 作FN AB ⊥于N ，则FN EA ⊥，且EA AB A = ，则FN ABE ⊥平面，连接EN ，则EF 与平面ABE 所成角为FEN ∠，………………………………………（10分）由题知，在直角FNE ∆中，有2FN EN EF =，则sin4FN FEN EF ∠=即EF 与平面ABE .…………………（12分）【建立空间直角坐标系求解同样给分】19.（1）由题知，22233()(1)33f p C p p p p =⋅⋅-=-，…………………………………（2分）2()693(23)f p p p p p '=-=-，则()f p 在2(0,)3单调递增，在2(,1)3单调递减，……（4分）故()f p 的最大值为24(39f =，此时，023p =；…………………………………………（6分）（2）由题知，X 的所有可能取值为0,5,10，……………………………………………（7分）11115(0)232212P X ==⨯+⨯=，111(5)224P X ==⨯=，121(10)233P X ==⨯=，……（9分）则X 的分布列为：………………………………………………………………………………………………（10分）乙在第二轮得分X 的数学期望51155()0510124312E X =⨯+⨯+⨯=．…………………（12分）20．（1）根据椭圆定义可知48a =，2a =，……………………………………………（2分）c =，1b ==，…………………………………………………………………（3分）故椭圆E 的标准方程为2214x y +=；………………………………………………………（4分）（2）由题知，(0,1)M ，(0,1)N -，………………………………………………………（5分）直线:1xPM y m =+，与椭圆方程联立、化简得：22(4)80m x mx ++=，则284S m x m -=+，2244S m y m -=+，……………………………………………………………（7分）同理可得22436T m x m =+，223636T m y m -=+，…………………………………………………（8分）()()()22423212121441216192161612T S STT S m m y y m m k x x m m m m m -+---====-++，………………………（9分）直线222221284121:(1644162m m m m ST y x x m m m m ---=⋅++=⋅+++，………………………（11分）故直线ST 过定点1(0,)2．…………………………………………………………………（12分）X 0510P512141321．（1）0a =，1ln ()xf x x -=，22ln ()0x f x x-+'==，得2x e =，…………………（1分）则()()20,,()0,x e f x f x '∈<单调递减；()()2,,()0,x e f x f x '∈+∞>单调递增，……（3分）故()f x 的极小值为221()f e e =-，无极大值；……………………………………………（4分）（2）【法一】由题知，1ln x axe x x +-≥，0x >，令()1ln x g x axe x x =+--，则()1'()1x g x x ae x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，…………………………………（5分）①当0a ≤时，'()0g x <，(1)0g ae =≤，则1x >时，()(1)0g x g <≤，不合题意；…（7分）②当0a >时，设0x 满足001x ae x =，则()g x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，则min 0000()()ln 1x g x g x ax e x x ==--+，……………………………………………………………（9分）001x ae x = ，00001,ln ln x ax e a x x ∴=+=-，………………………………………………（10分）故min 000()()1ln 1ln 20g x g x x a x a ==-+++=+≥，解得21a e≥，…………………………（11分）综上所述，实数a 的取值范围为21[,)e +∞.………………………………………………（12分）【法二】由题知，ln 1xx x a xe +-≥，0x >，………………………………………………（5分）令ln 1()x x x g x xe+-=，则()21(2ln )'()x x x x g x x e+--=，…………………………………………（6分）设0x 满足002ln x x =+，则()g x 在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减，…………（8分）故0000max 000ln 11()()x x x x g x g x x e x e +-===，…………………………………………………（9分）002ln x x =+ ，020x x e -∴=，故0max 2011()x g x x e e ==，即21a e ≥，……………………（11分）综上所述，实数a 的取值范围为21[,)e+∞.………………………………………………（12分）【法三】由题知，ln 1xaxe x x ≥+-，即ln ln 1x x ae x x +≥+-，…………………………（6分）令ln t x x =+，t R ∈，即1t ae t ≥-，即1()t t a g t e-≥=，………………………………（8分）2'()t tg t e-= ，()g t ∴在(),2-∞单调递增，在()2,+∞单调递减，…………………（10分）故max 21()(2)a g t g e ≥==，即实数a 的取值范围为21[,)e+∞.…………………………（12分）22．（1）曲线2C 的直角坐标方程为2243x y y +-=-，即()2221x y +-=，……（2分）当02πθ=时，曲线1:0C x =与曲线2C 有两个交点，符合题意，………………………（3分）当02πθ≠时，曲线1C 的直角坐标方程为：0tan y x θ=，设()20,2C 到曲线1C 的距离为d ，则1d r ==，得0tan θ0tan θ<4分）又0(0,)θπ∈ ，02,33ππθ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭；…………………………………………………………（5分）（2）将0θθ=代入2C 的极坐标方程得：204sin 30ρθρ-+=，…………………………（6分）设,P Q 两点对应的极径分别为12,ρρ，则120124sin ,3ρρθρρ+==，…………………（7分）1212124sin 111103OP OQ θρρρρρρρ+≥∴+=+== ，……………………………………………（9分）由（1）知02,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则04sin 11433OP OQ θ⎤+=∈⎥⎝⎦.………………………………（10分）23．（1）(),11,1ax a b x f x a x b ax a b x -+≤⎧=--+=⎨-++>⎩，…………………………………………（1分）()y f x = 与x 轴交点坐标分别为1,0,1,0b b a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，顶点坐标为()1,b ，……………（3分）21212b b S b a a∴=⨯⨯==，即2b a =；……………………………………………………（5分）（2）对于x R ∀∈，不等式左边=2221()121b x b f x x x b b b b--+==--+<-恒成立，……（6分）即对于x R ∀∈，121x x b b<-+-恒成立，…………………………………………………（7分）222111x x x x b b b-+-≥--+=- …………………………………………………………（8分）∴121b b <-，即211bb->或211b b-<-，…………………………………………………（9分）又0b > ，()()0,13,b ∴∈+∞ .…………………………………………………………（10分）命题：胡斌（市教研室）欧阳丽（芦溪中学）徐敏（莲花中学）江敏（萍乡三中）刘晓君（湘东中学）吕鋆（上栗中学）彭仕海（萍乡中学）审核：胡斌。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

南康中学2015～2016学年度第二学期高三第四次大考 数学(理)试卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1) 已知集合A={x|y=2xx)，B= {x| y=ln(1-x)}，则AUB=( )

(A) [0，1] (B) [0，1) (C) (一∞，1] (D) (一∞，

1) (2) 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=( ) (A) -2 (B)2 (C)1一i (D)1+i (3) 已知命题p：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：函数y=x3+sinx的图像关于原点中

心对称，则下列命题是真命题的是( ) (A)pq (B) p q (C)(p) ( q) (D)p (q) (4) 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据 (x1，y1)，(x2，y2)，(X3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)．根据收集到的数据可知x1+x2 +x3 +x4 +x5

=150， 由最小二乘法求得回归直线方程为y= 0.67x+ 54.9，则y1+y2+y3+y4+y5的值为( )

(A)75 (B)155.4 (C)375 (D)466.2 (5) (x2一x+1)3展开式中x项的系数为( ) (A) -3 (B) -1 (C)1 (D)3 (6) 从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程

序框图，则输出的x不小于40的概率为( ) (A) 34

(B)58 (C)78 (D)12 (7) 已知数列{an}满足3logan＋1＝3logan＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则13log(a5＋a7＋a9)的

值 是( ) (A)－5 (B)－15 (C)5 (D) 15 (8) 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 ( ) (A)72 (B)96 (C)108 (D)144

(9) 由曲线28yx与直线28yx围成的封闭图形的面积为( )

(A)24 (B)36 (C)42 (D)48 (10) 已知椭圆22122:1xyCab(a>b>0)与双曲线222:14yCx有公共的焦点，2C的一条渐

近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,AB两点，若1C 恰好将线段AB三等分，则( ) (A)2132a (B)2a13 (C)212b (D)2b2

(11) 已知点P在直线x+3y-2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0+2，则00yx的取值范围是( )

(A)[一13，0) (B)(一13，0) (C)(一13，+∞) (D)(一∞，一13)U(0，+∞)

(12) 对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝ a，a－b≤1，b，a－b>1.设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若

函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( ) (A) (－∞，－2]∪－1，32 (B) (－∞，－2]∪－1，－34 (C)－1，14∪14，＋∞ (D)－1，－34∪14，＋∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． (13)已知向量a=(1，3)，向量,ac的夹角是3，ac=2，则||c等于 。

(14) 数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+Sn-1=2n-l (n2)，且S2 =3，则a1+a3的值为 。 (15)正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为2，此时四面体 ABCD外接球表面积为__________． (16)抛物线22(0)xpyp的焦点为F，其准线与双曲线22133xy相交于,AB两点，若ABF为等边三角形，则p

.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分) 已知函数f(x)=(3sinx+ cosx)cosx一12(xR，>0)．若f(x)的最小正周期为4．

( I)求函数f(x)的单调递增区间； (II)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)的取

值范围．

(18)(本小题满分12分)李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有1L、

2L两条路线(如图)，1L路线上有1A、2A、3A三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；2L路线上有1B、2B两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，3

5

.

(Ⅰ)若走1L路线，求最多．．遇到1次红灯的概率； (Ⅱ)若走2L路线，求遇到红灯次数X的数学期望； (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班

路线，并说明理由.

(19)(本小题满分12分) 如图，四棱锥S- ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD ⊥ DC，，AB=AD＝1 DC=SD=2， E为棱SB上的一点，且SE=2EB． (I)证明：DE⊥平面SBC； (II)证明：求二面角A- DE -C的大小。 (20)(本题满分12分) 设椭圆E：22221(0)xyabab，其中长轴长是短轴长的2倍，过焦点且垂直于x轴的

直线被椭圆截得的弦长为23。 (I)求椭圆E的方程； (II)点P是椭圆E上动点，且横坐标大于2，点B， C在y轴上，1)1(22yx内切于PBC，

试判断点P的横坐标为何值时PBC的面积S最小。

(21)(本题满分12分) 已知函数错误！未找到引用源。为自然对数的底数). (I)若错误！未找到引用源。，求函数错误！未找到引用源。的单调区间； (II)若错误！未找到引用源。，且方程错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。内

有解，求实数错误！未找到引用源。的取值范围.

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． (22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图， 圆M与圆N交于A， B两点， 以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C、D两点，延长DB交圆M于点E， 延长CB交圆N于点F．已知BC=5， DB=10. (I)求AB的长； (II)求CFDE。

(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C，直线2C的极坐标方程分别为4sin,cos()22.4

(I)12CC求与交点的极坐标； (II)112.PCQCCPQ设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为

33,,.12xtatRabbyt为参数求的值

(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数f(x)= 211xx的最大值为M.

(I)求实数M的值； (II)求关于x的不等式|x一2|+| x+22|≤M的解集。 南康中学2015～2016学年度第二学期高三第四次大考 数学(理)参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 答案：(1)(C) (2)(B) (3)(B) (4)(C) (5)(A) (6) (B) (7)(A) (8)(C) (9)(B) (10)(C) (11)(D) (12)(B) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 答案：(13)2 (14)1 (15)5 (16)6 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分) 解：(I)2()3coscos1sin2fxxxx 31sin2cos2sin(2)226xxx．

π422πT，41．由 Zkkxk，226222， 得 Zkkxk，3π2π43π4π4． ∴()fx的单调递增区间为4433kkkZ，().------------------(6分) (Ⅱ)由正弦定理得，CBBCAcosinscos)ins(2sin， ∴)sin(cossin2CBBA． ∵ACBsin)sin(0，∴21cosB．

或：CbBcacoscos)2(，2coscos+cosaBbCcB=a，∴21cosB． 又0B， .3B 203A



6262A

． 1)21()(，Af．------------------(12分)

(18)解：(Ⅰ)设“走1L路线最多遇到1次红灯”为事件A， ……………1分

则0312331111()=()()2222PACC， ……………3分

所以走1L路线，最多遇到1次红灯的概率为12. ……………4分 (Ⅱ)依题意，X的可能取值为0，1，2. ……………5分

相关文档
最新文档