数列专版(解答题)
高中数学必修5数列解答题专项练习附答案学生版
（2）求数列
的前 项和 ．
20.已知等差数列{an}的公差为 2，若 a3=4，求 a12 ．
21.等比数列
的前 项和为 ，
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，求 .
第 5 页 共 32 页
22.已知等差数列
中, 是数列
（1）求数列
的通项公式;
的前 项和,且
（2）设数列
的前 项和为 ,求 .
23.在等差数列
26.已知{an}是等比数列，a1=2，且 a1 ， a3+1，a4 成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若 bn=log2an ， 求数列{bn}的前 n 项和 Sn ．
27.设 为等差数列
的前 n 项和，已知
（1）求
的通项公式；
（2）令
，
，若
小值．
，
t．
对一切
成立，求实数 m 的最
（1）求数列{an}的通项公式； （2）记数列{ }的前 n 项和 Tn ， 求 Tn。
34.在等差数列
中，
，
；
（1）求
的通项公式；
（2）求数列
的前 项和 .
35.已知正项数列
的前 n 项和为 ，且
，
．
Ⅰ㜠 求
的通项公式；
Ⅱ㜠 设
，求数列
的前 n 项和 ．
36.已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3，x3﹣x2=2．（12 分）
（ii）已知对于任意的 n∈N*，不等式
<M 恒成立，求实数 M 的最小值．
（Ⅱ）数列{bn}的前 n 项和为 Tn ， 满足 42an-1=λTn-2(n∈N*)，是否存在非零实数λ，使得数列{bn}为等比数 列？并说明理由．
高考数学一轮总复习解答题专项3数列新人教A版
解答题专项三数列1.(2022浙江,20)已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>1.记{a n}的前n项和为S n(n∈N*).(1)若S42a2a3+6=0,求S n;(2)若对于每个n∈N*,存在实数c n,使a n+c n,a n+1+4c n,a n+2+15c n成等比数列,求d的取值范围.2.已知数列{a n}的前n项和为S n,数列是首项为,公差为的等差数列,若[x]表示不超过x的最大整数,如[0.5]=0,[lg 499]=2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=[lg a n],求数列{b n}的前2 021项的和.3.(2022河南郑州一模)已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),前n项和为S n,现给出下列三个条件:①S1,S2,S4成等比数列;②S4=16;③S8=4(a8+1).请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.(1)求{a n}的通项公式;(2)若b n b n1=4a n(n≥2),且b1=3,求数列的前n项和T n.4.已知等比数列{a n}的公比为λ(λ>1),a1=1,数列{b n}满足b n+1b n=a n+1λ,b1=.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)规定:[x]表示不超过x的最大整数,如[1.2]=2,[2.1]=2.若λ=2,c n=,记T n=c1+c2+c3+…+c n(n≥2),求的值,并指出相应n的取值范围.答案：1.解(1)数列{a n}是首项a1=1的等差数列且d>1.∵S42a2a3+6=0,∴4a1+d2(a1+d)(a1+2d)+6=0.把a=1代入得4d2+12d=0,解得d=3或d=0(舍去),∴S n=na1+d=(2)∵对每个n∈N*,存在实数c n使得a n+c n,a n+1+4c n,a n+2+15c n成等比数列,∴(a n+1+4c n)2=(a n+c n)(a n+2+15c n),+8a n+1c n+16=a n a n+2+a n+2c n+15a n c n+15,+(8a n+1a n+215a n)c n+a n a n+2=0,而8a n+1a n+215a n=8(a1+nd)[a1+(n+1)d]15[a1+(n1)d] =8a1+8nda1(n+1)d15a115(n1)d=8a1+(8nn115n+15)d=8+(148n)d,a n·a n+2=(a n+d)2a n(a n+2d)=d2,+[8+(148n)d]c n+d2=0,对此式,Δ=[8+(148n)d]24d2≥0,[8+(148n)d+2d][8+(148n)d2d]=[(168n)d+8][(128n)d+8]≥0,[(2n)d+1][(32n)d+2]≥0,n=1时,显然成立;n=2时,d+2≥0,d≤2;n≥3时,原式=[(n2)d1][(2n3)d2]>0恒成立.∴1<d≤2,∴d的取值范围是(1,2].2.解(1)数列是首项为,公差为的等差数列, 所以+(n1),得S n=,当n=1时,a1=S1=,当n≥2时,a n=S n S n1=,又a1=也适合上式,所以a n=(2)由(1)得b n=[lg a n]=lg,当n=1时,1<lg a1<0;当n=2,3,4,…,19时,0≤lg a n<1;当n=20,21,22,…,199时,1≤lg a n<2;当n=200,201,202,…,1999时,2≤lg a n<3;当n=2000,2001,…,2021时,3≤lg a n<4.故数列{b n}的前2021项和为[lg a1]+[lg a2]+[lg a3]+…+[lg a2021]=1+0×18+1×180+2×1800+3×22=3845.3.解(1)由①S1,S2,S4成等比数列可得=S1·S4,即(2a1+d)2=a1·(4a1+6d),解得d=2a1, 由②S4=16可得S4=4a1+6d=16,即2a1+3d=8,由③S8=4(a8+1)可得8a1+d=4(a1+7d+1),可得a1=1,若选①②,由可得所以a n=1+2(n1)=2n1,若选①③,由可得所以a n=1+2(n1)=2n1,若选②③,由可得所以a n=1+2(n1)=2n1.综上所述,{a n}的通项公式为a n=2n1.(2)由(1)知a n=2n1,所以b n b n1=4(2n1)=8n4,所以b2b1=12,b3b2=20,b4b3=28,b5b4=36,…,b n b n1=8n4,以上各式累加可得b n b1=12+20+28+…+8n4==4n24.因为b1=3,所以b n=4n21(n≥2),且b1=3也满足上式,所以b n=4n21.所以,所以T n=1+…+=1=4.解(1)由题意得a n=λn1(λ>1),则b n+1b n=λnλ(λ>1),当n≥2时,b n=(b n b n1)+(b n1b n2)+…+(b2b1)+b1=(λn1λ)+(λn2λ)+…+(λ1λ)+=(λn1+λn2+…+λ1)(n1)λ+nλ+λ1,又b1=符合上式,因此b n=nλ+λ1.(2)由(1)知,当λ=2时,b n=2n2n+1,则c n=>0.当n=2时,T2=c1+c2=,此时==3;当n=3时,T3=c1+c2+c3=,此时=+2=2.当n≥3时,T n≥T3,因为c n=(n≥2),所以T n<1+33+4+…+n+1=1+3=1+1n1<,因此T3≤T n<, 即T n∈,令x=T n1,则x∈,=T n1+=x+,利用对勾函数的单调性,得x+,A其中A=+2,从而=2.综上,当n=2时,=3;当n≥3时,=2.。
专题100：数列基础知识与典型例题(解析版)
专题100：数列基础知识与典型例题（解析版）一、基本概念1、数列：按照一定次序排列的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．无穷数列：项数无限的数列．递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 常数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．4、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．5、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．1．已知数列{}n a 满足125a =，且对任意*n N ∈，都有11422n n n n a a a a +++=+，那么4a 为（ ）A ．17B ．7C ．110D ．10【答案】A 【分析】依次计算出234,,a a a 的值. 【详解】 化简可得1232n n n a a a +=+，则214a =，3211a =，417a =.故选：A2．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．2【答案】A 【分析】依次计算前几项可知数列的周期性. 【详解】∵12a =，111n n a a -=-(2n ≥)， 211122a ∴=-=， 3121a =-=-，41(1)2a =--=，511122a =-=， …，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201836722=⨯+， 2018212a a ∴==， 故选：A.3．已知数列{a n }，a n-1=ma n +1(n>1)，且a 2=3，a 3=5，则实数m 等于（ ） A ．0 B ．2 5C ．2D ．5【答案】B 【分析】直接由a 2=3，a 3=5代入求解即可. 【详解】由题意，得a 2=ma 3+1，即3=5m+1，解得m=25. 故选：B.4．已知数列{a n }，a 1=1，a n+1=12a n +12n ，则该数列的第3项等于（ ） A ．1 B ．14 C ．34D ．58【答案】C 【分析】根据递推关系先求出2a ，即可求出3a . 【详解】11111,22n n n a a a +==+，21322111131,22224a a a a =+∴=+==.故选：C.5．若数列{a n }的通项公式为a n =-2n 2+25n ，则数列{a n }的各项中最大项是（ ） A ．第4项 B ．第5项C ．第6项 .D ．第7项【答案】C 【分析】直接将通项公式配方，即可得到最值. 【详解】因为a n =-2n 2+25n=-2225625-48n ⎛⎫+⎪⎝⎭，且n ∈N *，所以当n=6时，a n 的值最大，即最大项是第6项. 故选:C6．下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（ ） A ．1，2，3，…，20 B ．-1，-2，-3，…，-n ，… C ．1，2，3，2，5，6，… D ．-1，0，1，2，…，100，… 【答案】D 【分析】直接判断数列的单调性和是否无穷即可. 【详解】由递增数列和无穷数列的定义知D 项正确. 答案：D等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示：11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或2、通项公式：若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②n ma a d n m-=-．通项公式特点：1()na dn a d =+-),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
内蒙古学业水平考试数列解答题专练
数列会考解答题专练1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 15＝225. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n2.设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .3.设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和S n .4.等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960. (1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.5.已知数列{}n a 中，()12125,2,233n n n a a a a a n --===+≥。
（1）求数列{}n a 前三项之和S 3的值；（2）证明：数列{}()12n n a a n -+≥是等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式。
6.1）已知在等差数列{}n a 中，1,37,6293n d n S ===，则求1a 和n a 。
（2）已知在等比数列{}n b 中，11b =-，464b =，求q 和4S 。
7.数列{}n a 满足044,3,11221=+-==++n n n a a a a a ① 证明：数列{}n n a a 21-+是等比数列； ② 令nnn a b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S 。
8.设数列}{n a ，)(23,3*11N n a a a n n ∈-==+. （Ⅰ）求32,a a ;（Ⅱ）（i ）求证：数列}1{-n a 是等比数列；（ii ）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和n S 的公式．9.若S n 是公差不为0的等差数列}{n a 的前n 项和，且421,,S S S 成等比数列。
高考数学解答题逐题专项练1：数列解析版
热点一等差、等比数列基本量的计算解决由等差数列、等比数列组成的综合问题，要立足于两个数列的概念，设出相应基本量，充分利用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量.解决综合问题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件，形成解题策略.例1 (2019·六安市第一中学模拟)已知正数数列{a n}的前n项和为S n，满足a2n＝S n＋S n－n≥2)，a1＝1.1((1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝(1－a n)2－a(1－a n)，若{b n}是递增数列，求实数a的取值范围.解(1)a2n＝S n＋S n－1(n≥2)，a2n－1＝S n－1＋S n－2(n≥3).相减可得a2n－a2n－1＝a n＋a n－1，∵a n>0，a n－1>0，∴a n－a n－1＝1(n≥3).当n＝2时，a22＝a1＋a2＋a1，∴a22＝2＋a2，a2>0，∴a2＝2.因此n＝2时，a n－a n－1＝1成立.∴数列{a n}是等差数列，公差为1.∴a n＝1＋n－1＝n.(2)b n＝(1－a n)2－a(1－a n)＝(n－1)2＋a(n－1)，∵{b n}是递增数列，∴b n＋1－b n＝n2＋an－(n－1)2－a(n－1)＝2n＋a－1>0，即a>1－2n恒成立，∴a>－1.∴实数a的取值范围是(－1，＋∞).跟踪演练1 (2019·乐山调研)已知等差数列{a n}中，a2＝5，a1，a4，a13成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n.解(1)设等差数列{a n}的公差为d，则a1＝5－d，a4＝5＋2d，a13＝5＋11d，因为a1，a4，a13成等比数列，所以(5＋2d)2＝(5－d)(5＋11d)，化简得d2＝2d，则d＝0或d＝2，当d＝0时，a n＝5.当d ＝2时，a 1＝5－d ＝3，a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1(n ∈N *).所以，当d ＝0时，a n ＝5(n ∈N *)； 当d ＝2时，a n ＝2n ＋1(n ∈N *). (2)由(1)知，当a n ＝5时，S n ＝5n . 当a n ＝2n ＋1时，a 1＝3，则S n ＝n 3＋2n ＋12＝n 2＋2n (n ∈N *).热点二 数列的证明问题判断数列是否为等差或等比数列的策略：(1)将所给的关系式进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的定义进行判断； (2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可.例2 已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，且S n 为a n 与1a n的等差中项.(1)求证：数列{S 2n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)设b n ＝－1na n，求{b n }的前n 项和T n .(1)证明 由题意知2S n ＝a n ＋1a n，即2S n a n －a 2n ＝1，①当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1，代入①式得2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2＝1， 整理得S 2n －S 2n －1＝1(n ≥2).又当n ＝1时，由①式可得a 1＝S 1＝1(负值舍去)， ∴数列{S 2n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解 由(1)可得S 2n ＝1＋n －1＝n ， ∵数列{a n }的各项都为正数，∴S n ＝n ， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －n －1， 又a 1＝S 1＝1满足上式， ∴a n ＝n －n －1(n ∈N *). (3)解 由(2)得b n ＝－1na n＝－1nn －n －1＝(－1)n(n ＋n －1)，当n 为奇数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n －1＋n －2)－(n ＋n －1)＝－n ；当n 为偶数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n －1＋n －2)＋(n ＋n －1)＝n ，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝(－1)nn (n ∈N *).跟踪演练2 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 原式可转化为S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，即S n ＝2S n －1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2].由S 1－2a 1＝1－4，得S 1＝3，所以S 1－1＋2＝4， 所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，所以T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝41－2n1－2＋n n ＋12－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.热点三 数列的求和问题1.裂项相消法就是把数列的每一项分解成一正一负的两项，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项消，有的是间隔项消.常见的裂项方式有： 1n n ＋1＝1n －1n ＋1；1nn ＋k＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1；14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.2.如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么求数列{a n ·b n }的前n 项和S n 时，可采用错位相减法.用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n －qS n ”的表达式. 例3 (2019·菏泽模拟)已知正项等比数列{a n }中，a 1＝12，且a 2，a 3，a 4－1成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝log 2a 2n ＋4，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 2，a 3，a 4－1成等差数列，所以2a 3＝a 2＋a 4－1，得2a 1q 2＝a 1q ＋a 1q 3－1， 又a 1＝12，则2×12q 2＝12q ＋12q 3－1，即q 2＝12q ＋12q 3－1，所以2q 2＝q ＋q 3－2，所以2q 2＋2＝q ＋q 3， 所以2(q 2＋1)＝q (q 2＋1)， 所以(q 2＋1)(2－q )＝0，显然q 2＋1≠0，所以2－q ＝0，解得q ＝2， 故数列{a n }的通项公式a n ＝a 1qn －1＝12·2n －1＝2n －2. (2)由(1)知，b n ＝log 2a 2n ＋4＝log 2(2n －2)2＋4＝2log 22n －2＋4＝2(n －2)＋4＝2n ，所以1b n b n ＋1＝12n ·2n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，则T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4n ＋1. 跟踪演练3 (2019·龙岩模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 6＝36. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2n·a n ，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵a 2＝3，∴a 1＋d ＝3， ∵S 6＝36，∴6a 1＋15d ＝36， 则a 1＝1，d ＝2， ∴a n ＝2n －1.(2)由(1)可知，b n ＝2n(2n －1)，T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，①①×2，得2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1，②①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1＝2＋2×41－2n －11－2－(2n －1)·2n ＋1＝－6＋2n ＋2－(2n －1)·2n ＋1＝－6＋2n ＋1(3－2n )，∴T n ＝6＋(2n －3)·2n ＋1.真题体验(2019·全国Ⅱ，理，19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式.(1)证明 由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n ).又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列.由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2.又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.押题预测已知在等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝1a n＋2log 2a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1，a 2，a 3－2成等差数列， ∴2a 2＝a 1＋(a 3－2)＝2＋(a 3－2)＝a 3， ∴q ＝a 3a 2＝2⇒a n ＝a 1qn －1＝2n (n ∈N *).(2)∵b n ＝1a n ＋2log 2a n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2log 22n－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2n －1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋5＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＋2n －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋n ·[1＋2n －1]2＝n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1(n ∈N *).A 组 专题通关1.(2019·日照模拟)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且a 1＝2，S 3＝12. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2n a，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为数列{a n }是等差数列， 由S 3＝12，得3a 2＝12，所以a 2＝4， 又a 1＝2，所以公差d ＝2， 所以a n ＝2＋(n －1)·2＝2n ， 故数列{a n }的通项公式a n ＝2n (n ∈N *). (2)由(1)知，b n ＝22n＝4n，所以数列{b n }是首项为4，公比q ＝4的等比数列， 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝41－4n1－4＝43(4n－1). 2.(2019·潍坊模拟)S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0. (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 11－q31－q＝13，q >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝1，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1，n ∈N *，S n ＝1×1－3n1－3＝3n－12，n ∈N *.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， 因为S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， 又因为(S 2＋λ)2＝(S 1＋λ)·(S 3＋λ)， 所以(λ＋4)2＝(λ＋1)·(λ＋13)， 所以λ＝12，此时，S n ＋12＝12×3n，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n＝3，故存在λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以S 1＋12＝32为首项，3为公比的等比数列.3.(2019·江南十校模拟)已知数列{a n }中，a 2a 6＝64，且log 2a n ，12log 2a n ＋1，1(n ∈N *)成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝a na n ＋1a n ＋1＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .解 (1)∵log 2a n ，12log 2a n ＋1，1成等差数列，∴2×12log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1，即log 2a n ＋1＝log 2(2a n )， ∴a n ＋1＝2a n 且a n >0，∴数列{a n }是等比数列，且公比q ＝2. 由a 2a 6＝64得a 24＝64，解得a 4＝8，∴a n ＝a 4qn －4＝8×2n －4＝2n －1(n ∈N *).(2)由(1)知，b n ＝2n －12n －1＋12n＋1＝12n －1＋1－12n ＋1，∴T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫120＋1－121＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1－122＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1－123＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋1－12n －1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1－12n ＋1＝12－12n ＋1. B 组 能力提高4.(2019·烟台模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }是等差数列，且a 3＝b 4－2b 1，b 6＝a 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)S n ＝2a n －2， 当n ＝1时，得a 1＝2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2， 作差得a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝2n.设等差数列{b n }的公差为d ， 由a 3＝b 4－2b 1，b 6＝a 4， 所以8＝3d －b 1，16＝5d ＋b 1， 所以3＝d ，b 1＝1， 所以b n ＝3n －2.(2)T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n ) ＝3(b 1＋b 2)＋3(b 3＋b 4)＋…＋3(b 2n －1＋b 2n ) ＝3(b 1＋b 2＋…＋b 2n ) 又因为b n ＝3n －2，所以T 2n ＝3×2n ·b 1＋b 2n2＝3n [1＋3×(2n )－2]＝18n 2－3n .5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －1(n ∈N *)，数列{b n }满足nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)，且b 1＝1.(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 为等差数列，并求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝(－1)n －14n ＋13＋2log 2a n3＋2log 2a n ＋1，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ；(3)若d n ＝a n ·b n ，数列{d n }的前n 项和为D n ，对任意的n ∈N *，都有D n ≤nS n －a ，求实数a 的取值范围.解 (1)由nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n (n ＋1)，两边同除以n (n ＋1)， 得b n ＋1n ＋1－b nn＝1， 从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 为首项b 11＝1，公差d ＝1的等差数列，所以b nn＝n (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2.当n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，所以a 1＝1. 当n ≥2时，S n ＝2a n －1，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －1，又a 1＝1≠0，所以a na n －1＝2， 从而数列{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列， 从而数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *).(2)c n ＝(－1)n －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n ＋12n ＋12n ＋3＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋12n ＋3，T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝13＋15－15－17＋…－14n ＋1－14n ＋3＝13－14n ＋3(n ∈N *). (3)由(1)得d n ＝a n b n ＝n ·2n －1，D n ＝1×1＋2×2＋3×22＋…＋(n －1)·2n －2＋n ·2n －1，①①×2得，2D n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n.②①－②得－D n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n，所以D n ＝(n －1)·2n＋1， 由(1)得S n ＝2a n －1＝2n－1， 因为∀n ∈N *，都有D n ≤nS n －a ， 即(n －1)·2n＋1≤n (2n－1)－a 恒成立， 所以a ≤2n－n －1恒成立， 记e n ＝2n －n －1，所以a ≤(e n )min ， 因为e n ＋1－e n ＝[2n ＋1－(n ＋1)－1]－(2n －n －1)＝2n－1>0，从而数列{e n }为递增数列，所以当n ＝1时，e n 取最小值e 1＝0，于是a ≤0.。
高中数学必修5数列解答题专项练习附答案 教师版
5.数列
首项
，前 项和 与 之间满足
ሺ
.
（1）求证：数列
是等差数列；并求数列
（2）设存在正数 ，使 ሺ
ሺ
ሺ
大值.
的通项公式； 对任意
都成立，求 的最
第 2 页 共 24 页
【答案】 （1）因为
时，
∴
得
由题意
ሺ
∴
ሺ
又因为
∴ 是以
为首项，2 为公差的等差数列.
故有
ሺ
×
∴
ሺ
∴
时，
又
，∴
ሺ
ሺ
ሺ
ሺ
ሺ
ሺ
ሺ
（2）设 ሺ
高中数学必修 5 数列解答题专项练习附答案
一、解答题（共 50 题；共 425 分）
1.设等比数列{an}满足
，
t．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记 为数列{log3an}的前 n 项和．若
【答案】 （1）解：设等比数列
的公比为 ，
根据题意，有 所以
，解得
，
t
（2）解：令
log
log
，
所以
ሺ
ሺ
，
所以 2a1+3a2=2a3 ，
即
，
所以 2q2-3q-2=0，
解得 q=2 或
（舍去），
又 a1=2，所以数列{an}的通项公式
成等差数列. 的前 项和 的最大值.
（2）解：由题意得，bn=11-2log2an=11-2n ， 则 b1=9，且 bn+1-bn=-2， 故数列{bn}是首项为 9，公差为-2 的等差数列，
【答案】 （1）解：
=〵
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列专版（解答题）
1、 已知)(,232,}{*2NnnnaSnaSnnnn且项和的前为数列
（1）求证：数列}2{nan为等比数列
（2）设;}{,cosnnnnPnbnab项和的前求数列
（3）设.4437:,}{,1nnnnnTTncnac求证项和为的前数列
2、数列),3,2,1(,2,}{naSSnannnn且满足项和为的前
（1）求数列}{na的通项公式
（2）数列}{,,1}{11nnnnnbabbbb求数列满足的通项公式；
（3）设
8:,}{),3(nnnnnTTncbnc证明项和为的前数列
3、已知数列}{),,2(2,43,41:}{*1121nnnnnbNnnaaaaaa数列满足满足：
.}{),,2(3,0*11nnnnSnbNnnnbbb项和为的前数列
（I）求证：数列}{nnab为等比数列；
（II）求证：数列}{nb为递增数列；
（III）若当且仅当1,,3bSnn求取得最小值时的取值范围。
4、已知a为实数，数列}{na满足).4(5)4(4,2,11111nnnnnaaaaanaa时当
（I）当200a时，填写下列表格；
N
2 3 51 200
n
a
（II）当200a时，求数列}{na的前200项的和200S；
（III）令nnnnnbbbTab21,)2(，求证：当351a时，.335aTn
5、已知数列).3(223,6,1,}{*2121NnnSSSaaSnannnnnn且且项和为的前
（I）求证：)}(2{*Nnann是等差数列；（II）求nS
6、设数列na的前n项和为nS，12a，点1(,)nnSS在直线11xynn（*nN）上.
（Ⅰ）求数列na的通项公式；
（Ⅱ）设112nnnnnSSTSS，求证：123433nTTTT.
7、设等比数列na的前n项和nS，首项11a，公比()(1,0)1qf.
(Ⅰ)证明：(1)nnSa；
(Ⅱ)若数列}{nb满足112b，*1()(,2)nnbfbnNn，求数列}{nb的通项公式；
(Ⅲ)若1，记1(1)nnncab，数列nc的前项和为nT，求证：当2n时，24nT.
8、已知数列na的前n项和为nS，且满足21),2(0211anSSannn.
（1）求证：1nS是等差数列；（2）求na的表达式；
（3）若2(1)(2)nnbnan时，求证：222231nbbb
9、过点)0,1(P作曲线)0(:2xxyC的切线，切点为1Q，没1Q在x
轴上的投影是1P，又过1P，作曲线C的切线，切点为2Q，设2Q在x
轴上的投影是2P„，依次下去，得到一系列点1Q，2Q„nQ，设nQ
的横坐标为na。
(I)求1a的值及}{na的通项公式；
(Ⅱ)令)1)(1(1nnnnaaab，设数列}{nb的前n项和为nT，求nT。
10、在数列}{na中，Nnnaaann,134,211。
(I)证明数列}{nan是等比数列；
(Ⅱ)求数列}{na的前n项和nS；
(Ⅲ)证明不等式1nS≤4nS，对任意Nn皆成立
11、当n为正整数时，区间(,1)nInn，na表示函数31()3fxxx在nI上函数值取整
数值的个数，当1n时，记1nnnbaa．当0x，()gx表示把x“四舍五入”到个位
的近似值，如(0.48)0g，(2)1g，(2.76)3g，(4)4g，„，当n为正整数时，
n
c
表示满足()gkn的正整数k的个数．
(Ⅰ)求2b，2c； (Ⅱ) 求证：1n时，nnbc；
(Ⅲ) 当n为正整数时，集合1|(),2nkMgknkN中所有元素之和为nS，记
(22)nnnnTS
，求证：1233nTTTT
12、在数列{}na中，11a，2112(1)nnaan
（Ⅰ）证明数列2{}nan是等比数列，并求{}na的通项公式；
（Ⅱ）令112nnnbaa，求数列{}nb的前n项和nS；
（Ⅲ）求数列{}na的前n项和nT。
13、在数列na中，1111,302,nnnnaaaaannN
（I）试判断数列1na是否成等差数列；
（II）设nb满足1nnba，求数列nb的前n项和nS；
（III）若11nnaa对任意2n的整数恒成立，求实数的取值范围。
14、考察下列式子：
,642716151413121110,27898765,81432,101
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„；
请你做出一般性的猜想，并且证明你猜想的结论。
15、定义数列na：11a，当2n 时，11,2,,2,21,.nnnarnkkNaankkN
其中， 0r常数。
（1） 当0r时， 123nnSaaaa。
①求：nS；
②求证：数列2nS中任意三项均不能够成等差数列。
（2） 求证：对一切nN及0r，不等式121224knkkkaa恒成立。
16、定义：若数列nA满足21nnAA，则称数列nA为“平方递推数列”。已知数列na
中，21a，点),(1nnaa在函数xxxf22)(2的图像上，其中n为正整数。
（Ⅰ）证明：数列12na是“平方递推数列”，且数列)12lg(na为等比数列。
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为nT，即12(21)(21)(21)nnTaaa，
求数列na的通项及nT关于n的表达式。
（Ⅲ）记nanTbn12log，求数列nb的前n项之和nS，并求使2008nS的n的最小值。
17、已知各项均不为零的数列na的前n项和为nS且满足11,2nnnacSaar
（1）若r＝－6，数列na能否成为等差数列？若能，求c满足的条件；若不能，说明理由．
（2）设32111234212nnnnaaaPaaaaaa，2242345221nnnnaaaQaaaaaa，
若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式2nnnPQnn恒成立．
18、数列na满足*1(0,)aaaaN,1210nnaaapa*(0,1,)ppnN.
(1)求数列na的通项公式na；
(2)若对每一个正整数k,若将123,,kkkaaa按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差
数列, 且公差为kd.
①求p的值及对应的数列kd．
②记kS为数列kd的前k项和，问是否存在a,使得30kS对任意正整数k恒成立?若存
在,求出a的最大值；若不存在,请说明理由．
19、