二次函数符号判断练习
会根据二次函数的图像判断abc符号
会根据二次函数的图像判断abc符号22x-3的图象，a>0，b0.因为抛物线开口向上，顶点在x轴上方，所以a>0；抛物线在y轴负半轴上与y轴交点，所以c0，即存在两个实根。
y=-x2-2x-1的图象，a0.因为抛物线开口向下，顶点在x轴下方，所以a0，即存在两个实根。
y=x2-3x+2的图象，a>0，b0，b2-4ac>0.因为抛物线开口向上，顶点在x轴上方，所以a>0；抛物线在y轴正半轴上与y轴交点，所以c>0；抛物线在顶点处与x轴相交，所以b2-4ac>0，即存在两个实根。
y=x2-4x+4的图象，a>0，b0；抛物线在y轴正半轴上与y 轴交点，所以c=4；抛物线在顶点处与x轴相切，所以b2-4ac=0.y=-x2+4的图象，a<0，b=0，c=4，b2-4ac=16.因为抛物线开口向下，顶点在x轴上方，所以a<0；抛物线在y轴正半轴上与y轴交点，所以c=4；抛物线在x轴上有两个交点，所以b=0，b2-4ac=16.y=-x2-x的图象，a<0，b<0，c=0，b2-4ac=1.因为抛物线开口向下，顶点在x轴上方，所以a<0；抛物线经过坐标原点，所以c=0；抛物线在x轴上有一个交点，所以b<0，b2-4ac=1.y=x2+4x+5的图象，a>0，b>0，c=5，b2-4ac=-4.因为抛物线开口向上，顶点在x轴下方，所以a>0；抛物线在y轴正半轴上与y轴交点，所以c=5；抛物线在顶点处与x轴相交，所以b>0，b2-4ac=-4.y=-x2+4x-5的图象，a0，c=-5，b2-4ac=24.因为抛物线开口向下，顶点在x轴上方，所以a0，b2-4ac=24.2.求解方程ax²+bx+c=-3的根。
3.求解方程ax²+bx+c=-4的根。
4.不等式ax²+bx+c>0的解集为______。
二次函数abc符号确定
二次函数a、b、c符号的确定一．选择题（共13小题）1．（2013•黔东南州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞02．（2013•崇明县一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么a，b，c的符号为（）A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞03．（2014•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）A．c＞0 B．2a+b=0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞04．（2014•徐汇区一模）已知抛物线y=ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（）A．B．C ．D．5．（2014•沙湾区模拟）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法错误的是（）A．a＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．＞06．（2014•邢台一模）抛物线y=ax2+bx+c如图，考查下述结论：①b＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④2a+b＜0．正确的有（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④7．（2014•兴化市一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）、（0，3），下列结论中错误的是（）A．a bc＜0 B．9a+3b+c=0 C．a﹣b=﹣3 D．4ac﹣b2＜08．（2013•定西）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2013•滨州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（2013•邢台一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列条件正确的是（）A．a c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．b＞0 D． a＞0、b＜0、c＞011．（2013•红桥区一模）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（2013•百色）在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx的图象大致是图中的（）A．B．C．D．13．（2013•长安区模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＞0；③abc=0；④2a﹣b=0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．解答题（共2小题）14．（2008•密云县一模）已知抛物线y=ax2+bx+c的一段图象如图所示．（1）确定a、b、c的符号；（2）求a+b+c的取值范围．15．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，（1）判断a，b，c及b2﹣4ac，a﹣b+c的符号；（2）求a+b+c的值；（3）下列结论：①b＜1，②b＜2a，③a＞，④a+c＜1，⑤﹣a﹣b+c＜0．其中正确的有_________，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2013•黔东南州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，再结合抛物线的对称轴与y轴的关系判断b与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据抛物线与x轴交点的个数判断b2﹣4ac与0的关系．解答：解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右边，∴a，b异号即b＞0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0．故选D．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0；没有交点，b2﹣4ac＜0．2．（2013•崇明县一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么a，b，c的符号为（）A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：推理填空题．分析：根据二次函数图象开口向下确定出a为负数，根据对称轴结合a为负数确定出b的正负情况，根据二次函数图象与y轴的交点即可确定出c的正负情况，从而最后得解．解答：解：∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x=﹣＜0，∴b＜0，∵二次函数图象与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴a＜0，b＜0，c＞0．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点与系数的关系是解题的关键．3．（2014•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）A．c＞0 B．2a+b=0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：本题考查二次函数图象的相关知识与函数系数的联系．需要根据图形，逐一判断．解答：解：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c＞0，正确；B、由已知抛物线对称轴是直线x=﹣=1，得2a+b=0，正确；C、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2﹣4ac＞0，正确；D、直线x=﹣1与抛物线交于x轴的下方，即当x=﹣1时，y ＜0，即y=ax 2+bx+c=a﹣b+c＜0，错误．故选：D．点评：在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．4．（2014•徐汇区一模）已知抛物线y=ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（）A．B．C．D．考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线对称轴位置和a，b的关系以及利用图象开口方向与a的关系，得出图象开口向下，对称轴经过x轴正半轴，利用图象与y轴交点和c的符号，进而得出答案．解答：解：∵抛物线y=ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，∴图象开口向下，a﹣2＜0，∴图象与y轴交于负半轴，∵a＜0，b=3，∴抛物线对称轴在y轴右侧．故选：B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握图象对称轴位置与a，b的关系是解题关键．5．（2014•沙湾区模拟）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法错误的是（）A．a＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．＞0考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线开口向上得到a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，图象与x轴有两个交点得b2﹣4ac＞0，对称轴在y轴右侧得，则，据此逐一判断即可．解答：解：：A、∵抛物线开口向上，∴a＞0，所以A选项的说法正确；B、∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，所以B选项的说法正确；C、∵抛物线与x轴有两交点，∴b2﹣4ac＞0，y＜0，∴4a+2b+c＜0，所以C选项的说法正确；D、∵对称轴在y轴右侧得，∴，所以D选项的说法错误．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac ＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．6．（2014•邢台一模）抛物线y=ax2+bx+c如图，考查下述结论：①b＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④2a+b＜0．正确的有（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，c＜0，﹣＞0，b＜0，正确；②由图象知当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，正确；③图象与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac正确；④由图象知，即2a+b=0，本项错误．故选B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：①2个交点，b2﹣4ac＞0；②1个交点，b2﹣4ac=0；③没有交点，b2﹣4ac＜0．（5）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．7．（2014•兴化市一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）、（0，3），下列结论中错误的是（）A．a bc＜0 B．9a+3b+c=0 C．a﹣b=﹣3 D．4ac﹣b2＜0考点：二次函数图象与系数的关系．分析：A、由对称轴可判断ab的符号，再由抛物线与y轴的交点可判断c的符号，从而确定abc的符号；B、观察图象，不能得出x=3时，函数值的符号，所以9a+3b+c不一定等于0；C、将（﹣1，0）、（0，3）分别代入y=ax2+bx+c，即可得出a﹣b=﹣3；D、根据抛物线与x轴的交点个数可判断b2﹣4ac的符号，从而确定4ac﹣b2的符号．解答：解：A、∵抛物线对称轴x=﹣＞0，∴ab＜0，又∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，正确，故本选项不符合题意；B、观察图象，由于没有给出对称轴方程，所以不能得出x=3时，函数值的符号，所以9a+3b+c不一定等于0，即9a+3b+c=0不一定正确，故本选项符合题意；C、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）、（0，3），∴，②代入①，整理，得a﹣b=﹣3，正确，故本选项不符合题意；D、∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，正确，故本选项不符合题意．故选B．点评：本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系：当a＜0，抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．8．（2013•定西）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴x=﹣＞﹣1，故＜1，∵a＜0，∴b＞2a，所以2a﹣b＜0，①正确；②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0；②正确；③当x=1时，y=a+b+c＜0，③正确；④当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，④错误；⑤当x=2时，y=4a+2b+c＜0，⑤错误；故错误的有2个．故选：B．点评：此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值是解题关键．9．（2013•滨州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：根据对称轴为x=1可判断出2a+b=0正确，当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，根据开口方向，以及与y轴交点可得ac＜0，再求出A点坐标，可得当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．解答：解：∵对称轴为x=1，∴x=﹣=1，∴﹣b=2a，∴①2a+b=0，故此选项正确；∵点B坐标为（﹣1，0），∴当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故此选项正确；∵图象开口向下，∴a＜0，∵图象与y轴交于正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0，故ac＞0错误；∵对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0），∴A点坐标为：（3，0），∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．，故④错误；故选：B．点评：此题主要考查了二次函数与图象的关系，关键掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．（2013•邢台一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列条件正确的是（）A．a c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．b＞0 D．a＞0、b＜0、c＞0考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由函数图象可得：a＞0，b＜0，c＞0，再结合图象判断各选项．解答：解：由函数图象可得：a＞0，b＜0，c＞0，A、ac＜0，错误；B、b2﹣4ac＜0，错误；C、b＞0，错误；D、a＞0、b＜0、c＞0，正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，重点是从函数图象上得到重要的信息．11．（2013•红桥区一模）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵该函数图象的开口向下，∴a＜0；又对称轴x=﹣＜0，∴b＜0；而该函数图象与y轴交于正半轴，故c＞0，∴abc＞0，正确；②当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0；正确；③根据题意得，对称轴﹣1＜x=﹣＜0，∴2a﹣b＜0，正确；④∵＞2，a＜0，∴4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，正确．故选D．点评：本题考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．12．（2013•百色）在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx的图象大致是图中的（）A．B．C．D．考点：二次函数图象与系数的关系；反比例函数的性质．分析：根据反比例函数图象的性质确定出m＜0，则二次函数y=mx2+mx 的图象开口方向向下，且与y 轴交于负半轴，即可得出答案．解答：解：∵反比例函数y=，中，当x＞0时，y随x的增大而增大，∴根据反比例函数的性质可得m＜0；该反比例函数图象经过第二、四象限，∴二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．∴只有A选项符合．故选A．点评：本题考查了二次函数图象、反比例函数图象．利用反比例函数的性质，推知m＜0是解题的关键，体现了数形结合的思想．13．（2013•长安区模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＞0；③abc=0；④2a﹣b=0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：观察函数图象得到x=1时，y＜0；x=﹣1时，y＞0，所以a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，则可对①②进行判断；由于抛物线过原点，所以c=0，可对③进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x=﹣1，即x=﹣=﹣1，则可对④进行判断．解答：解：∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0；所以①错误；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0；所以②正确；∵抛物线过原点，∴c=0，∴abc=0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，所以④正确．故选C．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．二．解答题（共2小题）14．（2008•密云县一模）已知抛物线y=ax2+bx+c的一段图象如图所示．（1）确定a、b、c的符号；（2）求a+b+c的取值范围．考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题．分析：（1）根据抛物线开口向上，则a＞0，对称轴在x轴正半轴可知﹣＞0，与y轴交点在y轴负半轴可知c＜0；（2）再根据抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），（0，﹣1），即可求出a+b+c的取值范围．解答：解：（1）根据抛物线开口向上，则a＞0，∵对称轴在x轴正半轴可知﹣＞0，∴b＜0，又与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，故a＞0，b＜0，c＜0；（2）∵抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），（0，﹣1），∴a﹣b+c=0，c=﹣1，即a﹣b=1，a=b+1，∴a+b+c=b+1+b﹣1=2b，∵b＜0，∴2b＜0，∵a＞0，∴b+1＞0，∴b＞﹣1，2b＞﹣2，故，﹣2＜a+b+c＜0．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，难度一般，关键是正确获取图象信息进行解题．15．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，（1）判断a，b，c及b2﹣4ac，a﹣b+c的符号；（2）求a+b+c的值；（3）下列结论：①b＜1，②b＜2a，③a＞，④a+c＜1，⑤﹣a﹣b+c＜0．其中正确的有①③④⑤，请说明理由．考点：二次函数图象与系数的关系．分析：（1）根据抛物线的开口向上确定a是正数，对称轴在y轴右侧，确定b＜0；再根据抛物线y轴的负半轴相交确定c是负数，根据抛物线与x轴交于两点，确定b2﹣4ac＞0，根据图象可知x=﹣1时，y＜0，确定＜0；（2）由函数的图象可知当x=1时，y=﹣3，即可得出a+b+c=﹣3；（3）由对称轴x=﹣=得出b=﹣a＜0，即可判定①的结论；由﹣=＜1，＞1，得出b ＞2a即可判定②的结论；由x1=﹣1.5，x2=2.5，所以=﹣，因为c=﹣3，a=＞，即可判定③的结论；由a=，c=﹣3，得出a+c=﹣＜1，即可判定④结论；由b=﹣a，得出﹣a﹣b+c=c=﹣3，即可判定⑤的结论．解答：解：（1）∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＜0；∵抛物线与y轴负半轴相交，∴c＜0，∵抛物线与x轴交于两点，∴b2﹣4ac＞0，∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0；（2）由函数的图象可知当x=1时，y=﹣3，所以a+b+c=﹣3；（3）∵对称轴x=﹣=∴b=﹣a＜0∴b＜1；故①正确；∵﹣=＜1，∴＞1，∵a＞0，∴b＞2a故②错误；∵x1=﹣1.5，x2=2.5，∴=﹣，∵c=﹣3，∴a=＞，故③正确；∵a=，c=﹣3，∴a+c=﹣＜1，故④正确；∵b=﹣a，∴﹣a﹣b+c=c=﹣3＜0，故⑤正确．故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac ＞0时，抛物线与x轴有两个交点．。
二次函数中的符号问题
由x=-1时抛物线上的点的位置确定
你还可想到啥？
14
看图说话：
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,请你写 出几个与二次函数符号问题有关的正确结论。
y 2 -1 O 1 x
15
试一试：
已知：抛物线y=ax2+bx+c中，a>0，a+b+c = 0， 9a+3b+c = 0，请你根据条件画出草图，并写出几 个与二次函数符号问题有关的正确结论。
y
-1 o 1 x
12
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象（a<0） 过点（-2，0）,且满足2a+b=0，下列结论： ①abc＞0；②b2- 4ac＞0；③4a+2b+c＞ 0； ④（a+c)2- b2 ＜ 0，其中正确的是 ② ③ 。
13
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （5）a+b+c的符号：
o
与x轴有两个交点
x
y
b2-4ac>0
o
x 与x轴有一个交点
y
b2-4ac=0
o
与x轴无交点
x
b2-4ac<0
7
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 b2-4ac 的符号：
y
oБайду номын сангаас
x
8
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 b2-4ac 的符号：
二次函数中常见关系式符号的判断
二Ｕ
所以 一 ｂ＝ ４ ａ ．
如果二次函数 Ｙ＝ ａ Ｎ ＋ ＋ｃ （ ａ≠０ ） 的对称轴 ＝
一
则４ ａ＋ｂ ＝ ０ ．
所以④对．
在点（ １ ， ０ ） 的 左边 ， 则一 ＜１ ， 当 ｏ＞０时 ， 得２ ａ＋
当Ｙ ＝２时 ， 对应的的值有两个 ， 所以⑤错．
正确是 （ ） ．
即①正确．
为 一１ ＜一 一 ＜ ０，
二“
Ａ ． ① ④ Ｃ ． ②⑤
， ：
Ｂ ． ③④ Ｄ ． ③⑤
Ｊ Ｉ １ Ⅱ一 ２ ａ＜ 一ｂ ．
即 ２ ａ—ｂ＜０ ．
所 以② 正确． 一Fra bibliotek，？ ０ ｉ ２
：
７ 、
＼
因 为 图 象 经 过 （一１ ， ２ ） ，
当 ＝ 一 ２时 ， Ｙ ＜０ ，
所以 ａ （一 ２ ） ＋ｂ Ｘ（一 ２ ）＋ ｃ ＜ ０
贝 Ｕ ４ Ⅱ一 ２ ６＋ ｃ ＜ ０ ．
如图所示 ， 则下列结论①６ 一 ４ ａ ｃ＜ ０ ， ②ａ ｂ ＞ Ｏ ， ③ｎ—ｂ＋ Ｃ ： ０ ， ｇ ） ４ ａ＋ｂ： ０， ⑤ 当 Ｙ： ２时 ， 只能有 一个值． 其 中
Ａ ． １ 个 Ｂ ． ２个
如 果 二 次 函数 ｙ＝ 似 ＋ ＋ｃ （ ａ ≠０ ） 的 对 称 轴 ＝
一
） ．
经过（ １ ， ０ ） ， ２ ａ＋ｂ ＝ ０ ．
举 例 如 下
分析
由 象得 ；
例 １ 已知二 次函数 Ｙ＝ ａ ｘ ＋ｋ ＋ｃ （ ａ ≠０ ） 的 图象
所 以选 ．
ｂ＞ ０ ， 当 ａ＜ ０时 ， ２ ０＋ｂ ＜ ０ ．
二次函数经典测试题附答案
二次函数经典测试题附答案二次函数经典测试题附答案一、选择题1.小明从如图所示的二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像中，观察得出了下面五条信息：①$c0$，③$a-b+c>0$，④$b^2>4ac$，⑤$2a=-2b$，其中正确结论是（）．A。
①②④B。
②③④C。
③④⑤D。
①③⑤解析】本题考查了二次函数图像与系数关系，观察图像判断图像开口方向、对称轴所在位置、与 $x$ 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件。
由抛物线的开口方向判断 $a$ 的符号，由抛物线与 $y$ 轴的交点判断 $c$ 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 $x$ 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断。
详解】①由抛物线交 $y$ 轴于负半轴，则 $c0$；由对称轴在 $y$ 轴右侧，对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，又 $a>0$，故$b0$，故②错误；③结合图像得出 $x=-1$ 时，对应 $y$ 的值在 $x$ 轴上方，故 $y>0$，即 $a-b+c>0$，故③正确；④由抛物线与 $x$ 轴有两个交点可以推出 $b^2-4ac>0$，故④正确；⑤由图像可知：对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，则 $2a=-2b$，故⑤正确；故正确的有：③④⑤。
故选：C。
点睛】本题考查了二次函数图像与系数关系，观察图像判断图像开口方向、对称轴所在位置、与 $x$ 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件。
2.二次函数 $y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）图像如图所示，下列结论：①$abc>0$；②$2a+b^2=2$；③当 $m\neq1$ 时，$a+b>am^2+bm$；④$a-b+c>0$；⑤若$ax_1+bx_1=ax_2+bx_2$，且 $x_1\neq x_2$，则 $x_1+x_2=2$。
其中正确的有（）A。
①②③B。
②④C。
②⑤D。
二次函数abc判定
合用标准文案3. 〔 2021? 山东威海，第 11 题 3 分〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如图，那么以下说法：2①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当 x=1时， y=2a；④ am+bm+a＞0〔 m≠﹣1〕．其中正确的个数是〔〕A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．解析：由抛物线与y 轴的交点判断 c 与0的关系，尔后依照对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y 轴交于原点， c=0，故①正确；该抛物线的对称轴是：，直线 x=﹣1，故②正确；当 x=1时， y=2a+b+c，∵对称轴是直线 x=﹣1，∴， b=2a，又∵ c=0，∴y=4a，故③错误；2x=m对应的函数值为y=am+bm+c，∵b=2a，2∴am+bm+a＞0〔 m≠﹣1〕．故④正确．应选： C．谈论：此题观察了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕系数符号由抛物线张口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．5. 〔 2021? 山东烟台，第 11 题 3 分〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠ 0〕的局部图象如图，图象过点〔﹣ 1， 0〕，对称轴为直线x=2，以下结论：①4a+b=0；② 9a+c＞3b；③ 8a+7b+2c＞ 0；④当x＞﹣ 1 时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有〔〕A．1 个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数的图象与性质．解答：依照抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，那么有 4a+b=0；观察函数图象获适合x=﹣3时，函数值小于0，那么 9a﹣ 3b+c＜ 0，即 9a+c＜ 3b；由于x=﹣ 1 时，y=0，那么a﹣b+c=0，易得c=﹣5a ，所以 8 +7 +2 =8 ﹣28 ﹣10a=﹣30，再依照抛物线张口向下得＜ 0，于是有 8 +7 +2a b c a a a a a b c＞0；由于对称轴为直线x=2，依照二次函数的性质获适合x＞2时， y 随 x 的增大而减小．解答：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴ b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；∵当 x=﹣3时， y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；∵抛物线与x 轴的一个交点为〔﹣1， 0〕，∴a﹣b+c=0，而 b=﹣4a，∴ a+4a+c=0，即 c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线张口向下，∴ a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；∵对称轴为直线x=2，∴当﹣ 1＜x＜ 2 时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时， y 随 x 的增大而减小，所以④错误．应选B．谈论：此题观察了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c〔 a≠0〕，二次项系数a 决定抛物线的张口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上张口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的地址，当 a 与 b 同号时〔即ab＞0〕，对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时〔即 ab＜0〕，对称轴在 y 轴右；常数项c 决定抛物线与 y 轴交点．抛物线与 y 轴交于〔0，c〕；抛物线与 x 轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0 时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与 x 轴有1个交点；△=b2﹣4ac ＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．27. 〔2021? 山东聊城，第 12 题，3 分〕如图是二次函数y=ax +bx+c〔 a≠ 0〕图象的一局部，x=﹣ 1 是对称轴，有以下判断：①b﹣ 2a=0；② 4a﹣ 2b+c＜ 0；③ a﹣ b+c=﹣ 9a；④假设〔﹣ 3， y1〕，〔， y2〕是抛物线上两点，那么 y1＞y2，其中正确的选项是〔〕A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．解析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要依照图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣ 1，∴﹣=﹣ 1，b=2a，∴b﹣ 2a=0，∴①正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，和 x 轴的一个交点是〔2， 0〕，∴抛物线和x 轴的另一个交点是〔﹣4， 0〕，∴把 x=﹣ 2 代入得： y=4a﹣ 2b+c＞ 0，∴②错误；∵图象过点〔 2， 0〕，代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0，又∵ b=2a，∴c= ﹣ 4a﹣2b=﹣ 8a，∴a﹣ b+c=a﹣ 2a﹣ 8a=﹣ 9a，∴③正确；∵抛物线和x 轴的交点坐标是〔2， 0〕和〔﹣ 4， 0〕，抛物线的对称轴是直线x=﹣ 1，∴点〔﹣ 3， y1〕关于对称轴的对称点的坐标是〔〔1，y1〕，∵〔， y2〕， 1＜，∴y1＞ y2，∴④正确；即正确的有①③④，应选 B．谈论：此题主要观察了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特别点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程2的ax +bx+c=09. (2021年贵州黔东南9．〔 4 分〕 ) 如图，二次函数y=ax2+bx+c〔 a≠ 0〕的图象如图所示，以下 4 个结论：①a bc ＜ 0；② b＜ a+c；③ 4a+2b+c＞ 0；④ b2﹣ 4ac ＞ 0其中正确结论的有〔〕A．①②③ B．①②④C．①③④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．解析：由抛物线的张口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点得出 c 的值，尔后依照抛物线与 x 轴交点的个数及x=﹣ 1 时，x=2 时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：由二次函数的图象张口向上可得a＞0，依照二次函数的图象与y 轴交于正半轴知： c＞ 0，由对称轴直线 x=2，可得出 b 与 a 异号，即 b＜0，那么 abc＜ 0，故①正确；把 x=﹣ 1代入 y=ax 2+bx+c 得： y=a﹣ b+c，由函数图象可以看出当x=﹣ 1 时，二次函数的值为正，即 a+b+c＞ 0，那么 b＜ a+c，故②选项正确；把 x=2 代入 y=ax 2+bx+c 得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2 时，二次函数的值为负，即 4a+2b+c＜ 0，故③选项错误；由抛物线与 x 轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0 的根的鉴识式 b2﹣ 4ac ＞0，故④ D选项正确；应选 B．谈论：此题观察二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的变换，根的鉴识式的熟练运用．会利用特别值代入法求得特其他式子，如：y=a+b+c， y=4a+2b+c，尔后依照图象判断其值．16．〔 2021? 四川南充，第10 题， 3 分〕二次函数y=ax2+bx+c〔 a≠0〕图象如图，以下结论：①abc ＞0；② 2 +=0；③当≠1 时，+ ＞2+ ；④﹣ + ＞0；⑤假设ax12+bx1=ax22+2，a b m a b am bm a b c bx且 x1≠ x2， x1+x2=2．其中正确的有〔〕A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤解析：依照抛物线张口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣=1，获取b=﹣ 2a＞ 0，即 2a+b=0，由抛物线与y 轴的交点地址获取c＞0，所以 abc＜0；依照二次函数的性质适合x=1时，函数有最大值22a+b+c，那么当 m≠1时， a+b+c＞ am+bm+c，即 a+b＞ am+bm；依照抛物线的对称性获取抛物线与x 轴的另一个交点在〔﹣1，0〕的右侧，那么当 x=﹣1时， y＜0，所以 a﹣ b+c＜0；把 ax122+bx1=ax2 +bx2先移项，再分解因式获取〔x1﹣x2〕 [ a〔x1+x2〕 +b]=0 ，而 x≠ x ，那么 a〔 x +x 〕+b]=0，即x+x =﹣，尔后把b=﹣ 2a代入计算获取x+x =2．12121212解：∵抛物线张口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞0，∴ abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，∴函数的最大值为a+b+c，22∴当 m≠1时， a+b+c＞ am+bm+c，即 a+b＞ am+bm，所以③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在〔3， 0〕的左侧，而对称轴为性质x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在〔﹣1， 0〕的右侧∴当 x=﹣1时， y＜0，∴ a﹣b+c＜0，所以④错误；2222﹣ bx2=0，∵ax1+bx1=ax2+bx2，∴ax1+bx1﹣ax2∴a〔 x1+x2〕〔 x1﹣ x2〕+b〔 x1﹣ x2〕=0，优秀文档谈论：此题观察了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕，二次项系数a 决定抛物线的张口方向和大小，当＞ 0 时，抛物线向上张口；当a＜ 0 时，抛物线向下开a口；一次项系数b 和二次项系数a共同决定对称轴的地址，当a与b同号时〔即＞ 0〕，ab对称轴在y 轴左；当a与b异号时〔即＜ 0〕，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与aby 轴交点．抛物线与 y 轴交于〔0， c〕；抛物线与 x 轴交点个数由△决定，△=b2﹣ 4ac＞ 0时，抛物线与 x 轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．11．〔 2021?莱芜，第212 题 3 分〕二次函数 y=ax +bx+c 的图象以以下图．以下结论：①a bc ＞ 0；② 2a﹣ b＜ 0；③ 4a﹣2b+c ＜ 0；④〔 a+c〕2＜b2其中正确的个数有〔〕A． 1 B． 2 C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．解析：由抛物线张口方向得 a＜ 0，由抛物线对称轴在y 轴的左侧得 a、 b 同号，即 b＜ 0，由抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方得 c＞ 0，所以 abc＞ 0；依照抛物线对称轴的地址获取﹣1＜﹣＜ 0，那么依照不等式性质即可获取2a﹣ b＜ 0；由于 x=﹣ 2 时，对应的函数值小于0，那么 4a﹣ 2b+c＜ 0；同样当 x=﹣1 时， a﹣b+c＞ 0，x=1 时， a+b+c＜ 0，那么〔 a﹣b+c〕〔 a+b+c〕＜0，利用平方差公式张开获取〔2222．a+c〕﹣ b ＜ 0，即〔 a+c〕＜ b解答：解：∵抛物线张口向下，∴a＜ 0，∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，∴x= ﹣＜ 0，∴b＜ 0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞ 0，∴a bc ＞ 0，所以①正确；∵﹣ 1＜﹣＜0，∴2a﹣b＜0，所以②正确；∵当 x=﹣ 2 时， y＜ 0，∴4a﹣2b+c＜0，所以③正确；∵当 x=﹣ 1 时， y＞ 0，∴a﹣ b+c＞0，∵当 x=1 时， y＜ 0，∴a+b+c＜ 0，∴〔 a﹣ b+c〕〔 a+b+c〕＜ 0，即〔 a+c﹣b〕〔 a+c+b〕＜ 0，22应选 D．谈论：此题观察了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=ax 2+bx+c〔 a≠ 0〕的图象为抛物线，当 a＞ 0，抛物线张口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与 y 轴的交点坐标为〔 0，c〕；当 b2﹣ 4ac＞ 0，抛物线与 x 轴有两个交点；当b2﹣ 4ac=0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b2﹣4ac＜ 0，抛物线与 x 轴没有交点．3． (2021 年四川资阳，第 10 题 3 分 ) 二次函数=ax 2++ 〔≠ 0〕的图象如图，给出以下y bx c a四个结论：①4ac﹣b2＜ 0；② 4a+c＜ 2b；③ 3b+2c＜ 0；④m〔am+b〕 +b＜a〔m≠﹣ 1〕，其中正确结论的个数是〔〕A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．解析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要依照图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜ 0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和 x 轴的一个交点在点〔0， 0〕和点〔 1，0〕之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在〔﹣3， 0〕和〔﹣ 2， 0〕之间，∴把〔﹣ 2， 0〕代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞ 2b，∴②错误；∵把〔 1， 0〕代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜ 0，∵b=2a，∴3b， 2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线 x=﹣1，∴y=a﹣ b+c 的值最大，2即把〔 m，0〕〔 m≠0〕代入得： y=am+bm+c＜ a﹣ b+c，2∴am+bm+b＜a，即 m〔 am+b〕+b＜ a，∴④正确；即正确的有 3 个，应选 B．谈论：此题主要观察了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特别点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程2的ax +bx+c=0解的方法．同时注意特别点的运用．4． (2021 年天津市，第 12 题 3 分 ) 二次函数y=ax2+bx+c〔a≠ 0〕的图象如图，且关于x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣ m=0没有实数根，有以下结论：①b2﹣4ac＞0；② abc＜0；③ m＞2．其中，正确结论的个数是〔〕A．0B．1C．2D．3考点：二次函数图象与系数的关系．解析：由图象可知二次函数y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点，进而判断①；先依照抛物线的张口向下可知a＜0，由抛物线与y 轴的交点判断 c 与0的关系，依照对称轴在 y 轴右侧得出 b 与0的关系，尔后依据有理数乘法法那么判断②；222一元二次方程ax +bx+c﹣m=0没有实数根，那么可转变成ax +bx+c=m，即可以理解为y=ax +bx+c 和 y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．解答：解：①∵二次函数=2++ 与x 轴有两个交点，y ax bx c ∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的张口向下，∴a＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴 x=﹣＞0，∴a b＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴a bc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣ m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c 和y=m没有交点，由图可得， m＞2，故③正确．应选 D．谈论：此题主要观察图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的变换，根的鉴识式的熟练运用．8.〔 2021? 孝感，第 12 题 3 分〕抛物线y=ax2+bx+c的极点为D〔﹣ 1，2〕，与x轴的一个交点 A 在点〔﹣3，0〕和〔﹣2，0〕之间，其局部图象如图，那么以下结论：①b2﹣4ac＜0；② a+b+c＜0；③ c﹣ a=2；④方程 ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点专题：数形结合．解析：由抛物线与x 轴有两个交点获取b2﹣4ac＞0；有抛物线极点坐标获取抛物线的对称轴为直线 x=﹣1，那么依照抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点〔0， 0〕和〔 1，0〕之间，所以当x=1时， y＜0，那么 a+b+c＜0；由抛物线的极点为D〔﹣1，2〕得 a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x =﹣=1得 =2，所以﹣ =2；依照二次函数的最大值问题，b ac a当 x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1 时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0 有两个相等的实数根．解答：解：∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵极点为 D〔﹣1，2〕，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x 轴的一个交点 A 在点〔﹣3，0〕和〔﹣2，0〕之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点〔0， 0〕和〔 1， 0〕之间，∴当 x=1时， y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的极点为 D〔﹣1，2〕，∴a﹣ b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣=1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即 c﹣ a=2，所以③正确；∵当 x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有 x=1时， ax2+bx+c=2，∴方程 ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．应选 C．谈论：此题观察了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c〔 a≠0〕的图象为抛物线，当 a＞0，抛物线张口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与 y 轴的交点坐标为〔0，c〕；当 b2﹣4ac＞0，抛物线与 x 轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b2﹣4ac＜0，抛物线与 x 轴没有交点．12.〔 2021? 菏泽第 8 题 3 分〕如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的极点D、F分别在 AC、 BC边上， C、D两点不重合，设 CD的长度为 x，△ ABC与正方形 CDEF重叠局部的面积为 y，那么以以下图象中能表示y 与 x 之间的函数关系的是〔〕优秀文档A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：数形结合．解析：分类谈论：当0＜x≤ 1 时，依照正方形的面积公式获取y=x2；当1＜ x≤2时， ED交 AB于 M， EF交 AB于 N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积获取 y=x2﹣2〔 x﹣1〕2，配方获取 y=﹣〔 x﹣2〕2+2，尔后依照二次函数的性质对各选项进行判断．解答：解：当0＜x≤ 1时， y=x2，当 1＜x ≤2 时，交于，交于，如图，ED AB M EF AB NCD=x，那么 AD=2﹣ x，∵R t △ ABC中， AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2﹣ x，∴EM=x﹣〔2﹣ x〕=2x﹣2，∴S△ ENM=〔2x﹣2〕2=2〔 x﹣1〕2，∴y=x2﹣2〔 x﹣1〕2=﹣ x2+4x﹣2=﹣〔 x﹣2〕2+2，∴y=，应选 A．15. 〔 2021 年山东泰安，第20 题 3 分〕二次函数y=ax2+bx+c〔 a， b，c 为常数，且a≠0〕中的 x 与 y 的局部对应值以下表：X﹣1013y﹣1353以下结论：（1〕ac＜ 0；（2〕当x＞ 1 时，y的值随x值的增大而减小．（3〕 3 是方程ax2+〔b﹣ 1〕x+c=0 的一个根；（4〕当﹣ 1＜x＜ 3 时，ax2+〔b﹣1〕x+c＞ 0．其中正确的个数为〔〕A．4个B．3个C．2个D．1个解析：依照表格数据求出二次函数的对称轴为直线x ，尔后依照二次函数的性质对各小题解析判断即可得解．解：由图表中数据可得出： x=1时，y=5值最大，所以二次函数2y=ax +bx+c 张口向下， a＜0；又 x=0时， y=3，所以 c=3＞0，所以 ac＜0，故〔1〕正确；∵二次函数y=ax2+bx+c 张口向下，且对称轴为x==1.5 ，∴当x＞1.5 时，y的值随x值的增大而减小，故〔2〕错误；2∵x=3时， y=3，∴9a+3b+c=3，∵ c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程 ax +〔b﹣1〕x+c=0的一个根，故〔3〕正确；∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+〔 b﹣1〕x+c=0，∵x=3时，ax2+〔 b﹣1〕x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣ 1＜x＜ 3 时，ax2=〔b﹣ 1〕x+c＞ 0，故〔 4〕正确．应选 B ．谈论： 此题观察了二次函数的性质， 二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x 轴的交点，二次函数与不等式，有必然难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的要点．5. 〔 2021? 贵港，第 12 题 3 分〕二次函数 y =ax 2+bx +c 〔 a ≠ 0〕的图象如图，解析以下四个结论：① a bc ＜ 0；② b 2﹣ 4ac ＞0；③ 3a +c ＞ 0；④〔 a +c 〕 2＜ b 2，其中正确的结论有〔〕A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个考点 ： 二次函数图象与系数的关系．解析：①由抛物线的张口方向， 抛物线与 y 轴交点的地址、对称轴即可确定 a 、b 、c 的符号，即得 abc 的符号；②由抛物线与 x 轴有两个交点判断即可；③ 〔﹣ 2〕+2 〔 1〕=6 +3 ＜0，即 2 + ＜ 0；又由于a ＜0，所以 3 + ＜ 0．故错误；ff a ca ca c④将 x =1 代入抛物线解析式获取+ + ＜0，再将x =﹣ 1 代入抛物线解析式获取﹣ +＞0，a b ca b c 两个不等式相乘，依照两数相乘异号得负的取符号法那么及平方差公式变形后，获取〔 a +c 〕2＜b 2，解答：解：①由张口向下，可得 a ＜0，又由抛物线与 y 轴交于正半轴，可得 c ＞ 0，尔后由对称轴在 y 轴左侧，获取 b 与 a 同号，那么可得 b ＜ 0， abc ＞0，故①错误；②由抛物线与 x 轴有两个交点，可得b 2﹣4ac ＞ 0，故②正确；③当 x =﹣ 2 时， y ＜ 0，即 4a ﹣2b +c ＜ 0 〔 1〕当 x =1 时， y ＜ 0，即 a +b +c ＜0 〔 2〕（ 1〕 +〔 2〕× 2 得： 6a +3c ＜0，即 2a +c ＜ 0又∵ a ＜ 0，∴ a +〔 2a +c 〕 =3a +c ＜ 0．故③错误；④∵ x=1时， y=a+b+c＜0， x=﹣1时， y=a﹣ b+c＞0，∴〔 a+b+c〕〔 a﹣ b+c〕＜0，即[ 〔a+c〕+b][ 〔a+c〕﹣b]= 〔a+c〕2﹣b2＜ 0，∴〔 a+c〕2＜b2，故④正确．综上所述，正确的结论有 2 个．应选： B．谈论：此题观察了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c〔 a≠0〕系数符号由抛物线张口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．11. 〔 2021? 广东深圳，第11 题23 分〕二次函数y=ax +bx+c图象如图，以下正确的个数为〔〕①b c＞0；②2a﹣ 3c＜0；③2a+b＞ 0；④a x2+bx+c=0有两个解 x1， x2， x1＞0， x2＜0；⑤a+b+c＞0；⑥当 x＞1时， y 随 x 增大而减小．A．2B．3C．4D．5考点：二次函数图象与系数的关系．解析：依照抛物线张口向上可得a＞0，结合对称轴在y 轴右侧得出b＜0，依照抛物线与y 轴的交点在负半轴可得c＜0，再依据有理数乘法法那么判断①；再由不等式的性质判断②；依照对称轴为直线x=1判断③；依照图象与x 轴的两个交点分别在原点的左右两侧判断④；解答：解：①∵抛物线张口向上，∴a＞0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a， b 异号即 b＜0，∵抛物线与y 轴的交点在负半轴，∴c＜0，∴b c＞0，故①正确；②∵ a＞0，c＜0，∴2a﹣ 3c＞0，故②错误；③∵对称轴 x=﹣＜1，a＞0，∴﹣ b＜2a，∴2a+b＞ 0，故③正确；④由图形可知二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别在原点的左右两侧，即方程 ax2+bx+c=0有两个解 x1，x2，当 x1＞ x2时， x1＞0， x2＜0，故④正确；⑤由图形可知x=1时， y=a+b+c＜0，故⑤错误；⑥∵ a＞0，对称轴 x=1，∴当 x＞1时， y 随 x 增大而增大，故⑥错误．综上所述，正确的结论是①③④，共 3 个．应选 B．谈论：主要观察图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质，会利用对称轴的范围求 2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的变换．14．〔 2021? 齐齐哈尔， 9 题 3 分〕如图，二次函y=ax2+bx+c〔 a≠0〕图象的一局部，对称轴为直线 x=，且经过点〔2，0〕，以下说法：① abc＜0；② a+b=0；③4a+2b+c＜0；④假设〔﹣2，y1〕，〔，y2〕是抛物线上的两点，那么y1＜ y2，其中说法正确的选项是〔〕A．①②④B．③④C．①③④D．①②考点：二次函数图象与系数的关系．解析：①依照抛物线张口方向、对称轴地址、抛物线与y 轴交点地址求得、、的符号；a b c②依照对称轴求出b=﹣ a；③把 x=2代入函数关系式，结合图象判断符号；④求出点〔﹣ 2，y1〕关于直线x=的对称点的坐标，依照对称轴即可判断y1和 y2的大小．解答：解：①∵二次函数的图象张口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线 x=，∴﹣ =，∴b=﹣ a＞0，∴a bc＜0．故①正确；②∵ b=﹣ a∴a+b=0．故②正确；③把 x=2代入 y=ax2+bx+c 得： y=4a+2b+c，∵抛物线经过点〔2， 0〕，∴当 x=2时， y=0，即4a+2b+c=0．故③错误；④∵〔﹣ 2，y1〕关于直线x=的对称点的坐标是〔3，y1〕，又∵当 x＞时， y 随 x 的增大而减小，＜3，∴y1＜ y2．故④错误；综上所述，正确的结论是①②④．应选： A．谈论：此题观察了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象张口向上，当a＜0时，二次函数的图象张口向下．6.〔 2021? 扬州，第 16 题， 3 分〕如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a＞ 0〕的对称轴是过点〔 1，0〕且平行于y 轴的直线，假设点P〔4，0〕在该抛物线上，那么4a﹣ 2b+c的值为0．〔第 3 题图〕考点：抛物线与 x 轴的交点解析：依照抛物线的对称性求得与x 轴的另一个交点，代入解析式即可．解答：解：设抛物线与x 轴的另一个交点是，Q∵抛物线的对称轴是过点〔1， 0〕，与x轴的一个交点是P〔4，0〕，∴与 x 轴的另一个交点Q〔﹣2，0〕，把〔﹣ 2， 0〕代入解析式得：0=4a﹣ 2b+c，∴4a﹣ 2b+c=0，故答案为： 0．谈论：此题观察了抛物线的对称性，知道与x 轴的一个交点和对称轴，可以表示出与x 轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是此题的要点．2．〔 2021? 四川省德阳，第24 题 14 分〕如图，抛物线经过点A〔﹣2，0〕、 B〔4，0〕、C〔0，﹣8〕．〔1〕求抛物线的解析式及其极点D的坐标；〔2〕直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右侧的点P，作 y 轴的平行线交x 轴于点 F，交直线 CD于 M，使 PM=EF，央求出点P 的坐标；（3〕将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与〔 2〕中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多考点：二次函数综合题；解一元二次方程- 因式分解法；根的鉴识式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．专题：综合题．解析：〔1〕由于抛物线与x 轴的两个交点，抛物线的解析式可设成交点式：y=a〔 x+2〕（x﹣4〕，尔后将点 C的坐标代入即可求出抛物线的解析式，再将该解析式配成极点式，即可获取极点坐标．（2〕先求出直线CD的解析式，再求出点E的坐标，尔后设点P的坐标为〔m，n〕，进而可以用m的代数式表示出 PM、EF，尔后依照 PM=EF建立方程，即可求出 m，进而求出点 P 的坐标．〔3〕先求出点的坐标，尔后设平移后的抛物线的解析式为=x 2﹣ 2 ﹣8+ ，尔后只要考虑M y xc三个临界地址〔①向上平移到与直线EM相切的地址，②向下平移到经过点M的地址，③向下平移到经过点 E 的地址〕所对应的 c 的值，就可以解决问题．解答：解：〔 1〕依照题意可设抛物线的解析式为y=a〔 x+2〕〔 x﹣4〕．∵点 C〔0，﹣8〕在抛物线y=a〔 x+2〕〔x﹣4〕上，∴﹣ 8a=﹣ 8．∴a=1．∴y=〔 x+2〕〔 x﹣4〕=x2﹣2x﹣ 8=〔x﹣ 1〕2﹣9．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8，极点 D的坐标为〔1，﹣9〕．〔2〕如图，设直线 CD的解析式为y=kx+B．∴解得：．∴直线 CD的解析式为y=﹣ x﹣8．当 y=0时，﹣ x﹣8=0，那么有 x=﹣8．∴点 E 的坐标为〔﹣8，0〕．设点 P 的坐标为〔 m， n〕，22那么 PM=〔 m﹣2m﹣8〕﹣〔﹣ m﹣8〕=m﹣ m，EF=m﹣〔﹣8〕=m+8．∵PM=EF，2∴m﹣ m=〔 m+8〕．2整理得： 5m﹣6m﹣ 8=0．∴〔 5m+4〕〔m﹣ 2〕 =0解得： m1=﹣， m2=2．∵点 P 在对称轴 x=1的右侧，∴m=2．此时， n=22﹣2×2﹣8=﹣8．∴点 P 的坐标为〔2，﹣8〕．（3〕当m=2 时，y=﹣ 2﹣ 8=﹣10．∴点 M的坐标为〔2，﹣10〕．设平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8+c，①假设抛物线y=x2﹣2x﹣8+c 与直线 y=﹣ x﹣8相切，那么方程 x2﹣2x﹣8+c=﹣x﹣8即 x2﹣ x+c=0有两个相等的实数根．∴〔﹣ 1〕2﹣4× 1×c=0．∴c=．②假设抛物线y=x2﹣2x﹣8+c 经过点 M，那么有 22﹣ 2× 2﹣ 8+c=﹣10．∴c=﹣2．③假设抛物线y=x2﹣2x﹣8+c 经过点 E，那么有〔﹣ 8〕2﹣ 2×〔﹣ 8〕﹣ 8+c=0．综上所述：要使抛物线与〔 2〕中的线段 EM 总有交点，抛物线向上最多平移个单位长度，向下最多平移 72 个单位长度．谈论： 此题观察了用待定系数法求二次函数的解析式、用待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程、根的鉴识式、 抛物线与直线的交点问题等知识，而把抛物线与直线相切的问题转变成一元二次方程有两个相等的实数根的问题是解决第三小题的要点，有必然的综合性．8、〔 2021 年内蒙古包头〕 二次函数y ax2bx c的图象与 x 轴交于点 ( 2，0) ( x 1，0)，、且 1x 1 2 ，与 y 轴的正半轴的交点在(0，2) 的下方．以下结论：① 4a 2b c 0 ；②a b 0 ；③ 2a c0 ；④ 2a b 10 ．其中正确结论的个数是个．【答案】 4【解析】 此题观察二次函数图象的画法、鉴识理解， 方程根与系数的关系筀等知识和数形结合能力。
九年级数学二次函数中a,b,c符号的确定
九年级数学二次函数中a ，b ，c 符号的确定珠海市第四中学（519015） 邱金龙二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是抛物线，利用图象来确定a ，b ，c 的符号，是常见的问题，解决的关键是对二次函数的图象和性质的正确理解。
一、a ，b ，c 符号的确定（1）a 符号的确定。
抛物线的开口向上，a ＞0，抛物线的开口向下，a ＜0。
（2）c 符号的确定。
因为x=0时，由c bx ax y ++=2得，y ＝c ，故抛物线与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞0，抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴，c ＜0，抛物线经过原点，c ＝0。
（3）b 符号的确定。
b 的符号要看对称轴ab x 2-=，再结合a 的符号来确定。
二、应用举例1、二次函数c bx ax y ++=2的图象分别如图所示，试分别判断（A ）（B ）（C ）（D ）图中a ，b ，c 的符号。
分析：（A ）图中，抛物线的开口向上，故a ＞0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的负半轴，故c ＜0。
对称轴ab x 2-=＞0，而a ＞0，故b ＜0。
（B ）图中，抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的正半轴，故c ＞0。
对称轴ab x 2-=＜0，而a ＜0，故b ＜0。
（C ）图中（过程略），a ＞0，c ＞0 ，b ＞0。
（D ）图中（过程略），a ＜0， c ＜0 ，b ＞0。
2、（2004重庆中考题）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则点M （b ，ac ）在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，故c ＞0。
对称轴ab x 2-=＞0，而a ＜0，故b ＞0。
因此，点M （b ，ac ）的横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限，选（D ）。
3、（2004陕西中考题）二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）A 、ab ＜0B 、bc ＜0C 、.a+b+c ＞0D 、a －b+c ＜0分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，故c ＜0。
二次函数符号问题
二次函数字母符号问题1.已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则点M （cb ，a ）在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论中：①b ＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④22)(b c a +，其中正确的个数是 （ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个3、已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论中：①abc ＞0；②b=2a ；③a+b+c ＜0；④a+b-c ＞0; ⑤a-b+c ＞0正确的个数是 （ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个4.二次函数c bx ax y ++=2的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过A(0,1),B(1,0),请判断实数a 的范围,并说明理由.5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数c ax y +=2（a<0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是 .6.如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y 轴相交于负半轴． A a>0； B b>0； C c>0； D a+b+c=0; E abc<0； F 2a+b>0； G a+c=1； H a>1．其中正确结论的序号是 ．xy O 1-1 27．已知抛物线c bx ax y ++=2（a ＜0)经过点（－1，0），且满足4a ＋2b ＋c ＞0．以下结论：①a ＋b ＞0；②a ＋c ＞0；③－a ＋b ＋c ＞0；④2252a ac b -．其中正确的个数有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个8.已知函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图像如图所示，下列5个结论中①abc ＞0；②b ＜a+c;③4a+2b+c ＞0；④2c ＞3b; ⑤a+b ＞m(am+b)(m ≠1的实数)，其中正确结论的个数是（ ）A 、5个B 、4个C 、1个D 、2个9已知函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图像经过（-2，0），另一交点在1到2之间，与y 轴的交点在0到2之间，下列4个结论中①4a-2b+c=0②0 b a ③2a+c ＞0④2a-b+1＞0正确的个数有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个。
二次函数字母符号的意义
1 二次函数字母符号的练习 二次函数2yaxbxc的图象的特征与a、b、c及的符号之间的关系。 字母的符号 图象的特征 a 0a 0a
b 0b 0ab（同号）
0ab（异号）
c 0c 0c 0c
24bac
0 0 0
1、满足0,0,0abc的函数2axbxc的图象是下图中的（ ）
2、二次函数2yaxbx与一次函数yaxb在同一直角坐标系中的图象大致为（ ） x y O x y O x y
O x y
O A B C D
x y O x y O x y O x y
O A B C D 2
3、二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则ac 0（填“>”，“<”或“=”） 4、已知：二次函数2(0)yaxbxca中，0a，0b，0c，则其图象的顶点在（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 5、当0b时，一次函数yaxb与二次函数2yaxbxc在同一坐标系中的图象为（ ）
6、已知反比例函数kyx图象如图所示，则二次函数222ykxxk的图象大致为（ ） 7、二次函数2yaxbxc的图象如图所示，反比例函数ayx与正比例函数()ybcx在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
8、已知二次函数2yaxbxc的图象开口向上，图象经过点（1，2）和（1，0）且与y轴交于向半轴，下列结论中正确的是 （填序号） ①0a ②0b ③0c ④0abc ⑤0abc ⑥20ab ⑦1ac ⑧1a
x y O x y O x y O x y
O A B C D
x y O x y O x y O x y O A B C D y
x O
1 -1
0 x y A B C D 0 0 0 0 x y x y x y x
y
x y O 1 -1
2 3
二次函数图像a,b,c各类关系式子的判断
二次函数图像a,b,c各类关系式子的判断一．开口方向：判断a的符号。
若开口向上，则a﹥0；若开口向下，则a﹤0.二．抛物线与y轴的交点：判断c的符号若交点在y轴的正半轴，则c﹥0；若交点在轴的负半轴，则c﹤0；若交点恰为原点，则c=0。
三．顶点的位置1.顶点横坐标－的作用：根据顶点与y轴的左右关系，判明横坐标的符号，再结合a的符号，即可判明b的符号。
（利用对称轴亦有此效，见后四。
1）2.顶点纵坐标(4ac－b2)／4a 的作用：根据顶点与x轴的上下关系，判明纵坐标的符号，再结合a的符号，即可判明b2－4ac的符号。
（利用抛物线与x轴的交点个数，亦有此效）四．对称轴x=－的位置1．判断b的符号：根据对称轴与y轴的左右关系，判明整个－的符号，再结合a的符号，即可判明b的符号。
2．若对称轴已知为x=k,则－ =k,即得出a、b之间的一个等量关系。
3．若对称轴已知为x=k>m，则－ >m,结合a的符号，可得出a、b之间的一个不等关系（如大小关系）。
五．抛物线与x轴的交点：从ax2+bx+c的结构特点入手判断有关命题注意二次函数式ax2+bx+c的结构有如下特点：当x=±3时，ax2+bx+c=9a±3b+c ①当x=±2时，ax2+bx+c=4a±2b+c ②当 x=±1时，ax2+bx+c=a±b+c ③当x=±m时，ax2+bx+c=am2±bm+c ④设抛物线与x轴的交点为A，B，根据x轴上的点（±3,0）,（±2,0）,（±1,0）,(±m,0)等与点A，B的位置关系，即可判断出和上述①②③④四个式子（或其变式）有关的若干命题是否成立。
对于某些较难判断的题目，仅有以上五点总结还不很够，为此，下面再补充一点。
六．以方程组或不等式组的思想为指导，运用相关技巧判断一些较难命题是否成立。
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读书破万卷
下笔如有神
2
C ax bxy ) 例1已知抛物线的图象如图所示， 则a 、b 、c (a 0,b 0,c 0a 0,b 0,c 0 A .
B . a 0,b 0 a 0,b0,c 0,c 0
C .
D .
与例3下列图象中，当）
关于二次函数的符号判断
它的图象如图，有以下结论：①
:②
⑤） •①③⑤
1
\7
/ \ 1/
xi/ 1
2
y ax bx c 中，b = 4a 例2 抛物线, 2a b 0c 0cc 0a b b 4ac 0 ④③ abc 04a c ；其中正确的为（：⑥
A •①②
B •①④
C •①②⑥ D
2
y ax b o ab axy 的图象是时，函数（
O O XX XX O O A B D C
则它的图象可能是图所示的
（）a ，且+ b 已知二次函数+ y = ax + bx + c , c 如果a>b>c4
G D O X X O XI I X I
B D ACCB A c ax bxy 为等，且、CA 的图象与两个坐标轴的交点分别为、例 6如图，二次函 数B 20c 1a b 0ac cS ，其中一定成立； ④；③；②腰直角三角形， 那么下列结论①AB
C y 的 有（ ）
C 个、
C3
个
D
、4、 A1 个
B
、2 个 A
B 7 福娃们在一起探讨研究下面的题目：
O
2
y x x m m 函数为常数）的图象如左图，
（y
y o ax X a 1时，函数值（ 时，；那么如果）
y 00 y m . A B . x O
X 1
X 2 y my m . C . D
读书破万卷 下笔如有神 __________________________________
2
= 0,
例
参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（
贝贝：我注意到当 Om y 匸1 .晶晶：我发现图象的对称轴为 匚
a 1的符号.
迎迎：我认为关键要判断
m 可以取一个特殊的值•妮妮：
2
0c b a Oac b 4例8下列命题：①若，则；2O bx cax cab ，则一元二次方程
②若有两
个不相等的实数根；20c ax bx c3b 2a
③若有两个不相等的实数根；，则一元二次方程
2
0 b 4ac 3.
④若或，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是
①④ D.只有②③④.A .只有①②③
22
a0 bx a b yaxa （）
9已知，二次函数的图像为下列图像之一，则的值为例
2x a x .欢欢：我判断岀
2 其中正确的是（
E.只有①③④
）.C.只有
x 0 时，.
4 3 D. —1 C. A. —1 B
2.二次函数在直角坐标系中的（
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
X 0
2
c ax bx y o ，c0，b 0 a,关于这个二次函数的图象有如下说（其中） 3.已知二次函数 yx 轴
②图象的顶点一定在第四象限； ③图象与轴的交点至少有一个在法： ①图象的开口一定向上； ） 的右侧•以上说法正确的个数为（
3
0x 时，函数值最大；一个函数的图象如图，给岀以下结论：①当
5. 1x 0 2 0 x yx ，当随②当
的增大而减小；③存在时，函数0XX
）时，函数值为0.其中正确的结论是 （0 B •①③.①
\
k
r
jr
-3
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y
）的图象如上图所示，则点
2c bxy ax的图象中，观察得岀了5所示的二次函数小明从图6.03 b c 02ac 0abc 0a b
；；
③；④；②下面五条信息：① 04b c ，你认为其中正确信息的个数有( ［⑤.5个4个
)0 bx c(a yax个结已知二次函数的图象如图所示，有下列59.论：
c23b 0 2b a c4a b cabc 0⑤；；④；；②③①)bm(am ab 1 m )的实数)其中正确的结论有(，(
B. D.
则函数
B . 3 个C. A. I5l32,yyy,5x y x 4CAB (的图象上的三点, 则
y,y, ,y 312231_____ __ 444()
A . C . 232211112333mx m 1)xy (m ) (8.若一次函数
D. C. B.
mxy mmmm
),为二次函数7.若(()，
的大小关系是y y y yyy y yy yy y
的图像过第一、三、四象限有
最大值有最小值A.有最大值有最小值
44442
D. 5 个C.4 B.3 个个A.2个
2) 0(y ax bx ca A图象的一部分，图象过点10.如图是二次函数2bacbxa；,对称轴为3(—, 0).给岀四个结论：①二―1 + >4；②2=0bcaba . v.其中正确结论是( 5③—=0 + ；④)口=■, D ()①③ 23( B ()①④)②④(A C
a"C yaxbx 的图象二次函数 11.图象如图所示，，则反比例函数 y x 的两个分支分别在第 象限。
a 0）与一次函数16.（已知二次函数1y kx m （k 0）AB （8，24）,）的图象相交于点 2（—，
2
x y y 的取值范围是，则能使 . 成立的（如图所示） 21 _________
24a 2b c o
） 0 c （aaxy bx .以下结论：①，且满足一
117.已知抛物线，0）经过点 (a b c 0220b a
0 a c a5acb 2 .其中正确的个数
2
0 0,b 0,c 0,a cbx y ax 象限.，那么抛物线经过
14.
图象时，列了如下表格：初三数学课本上，用“描点法”画二次函数
x 12 0 1 2 ……
111y 2 622 4
...... 2222 bx axcy x 3y
答问题：该二次函数•在时，
若 ________ 2 bx cy ax 的 15.
根据表格上的信息回
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C |
大小关系为 P 、Q 贝0 Q=|a + b + c| + |2a — b| __________________
有个
18.如图，在直角平面坐标中，二次函数图象的顶点坐标为C(4 , ) , 3 且在轴上截得的线段
AB的长为6 .求二次函数的解析式；x
22x x 2mx 3m 8m 4 0。
19.已知关于的一元二次方程
m 2时，原方程永远有两个实数根；)求证：当(1
(2)若原方程的两个实根一个小于5,另一个大于2,求m的取值范围
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2c ax bxy )的图象如图所示，则下列结论正确的是(1. 已知抛物线a2 b b c 0a B .A.
0 c a b0 c D . C.
2m0m 2x y mx2 mmx y )的图象可(4.在同一直角坐标系中，函数和是常数，且・)
I"
D. A. B. C.
2
A,B,C时,
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如图所示.* 1 ）求抛物线的解析式，写岀抛物线的顶点坐标；（2c ax bxyx <0当）画岀抛物线（2时的图象；,2caxy bxx Oy .
，写岀）利用抛物线 3 （为何值时，
能是（.。