九年级数学下册第七章锐角三角形第67讲_第73讲讲义新版苏科版
新苏科版九年级数学下册《7章 锐角三角函数 7.6 用锐角三角函数解决问题》课件_24
C 1m
27° 50m
D
x
40°
F
E 1m
G
B
1.如图，飞机在距地面9km高空上飞行，先在A处测得正前
方某小岛C的俯角为30°，飞行一段距离后，在B处测得该
小岛的俯角为60°．求飞机的飞行距离．
变式：如图，飞机在一定的高度上飞行，先在A处测得正
前方某小岛C的俯角为30°，飞行10km后，在B处测得该小
B 30 D
小结
怎样测量建筑物的高度？
方案一：若天气晴朗有阳光，
利用相同时刻物高与影长成比例。工具: 卷尺
方案二：若天气不好下过雨，
可利用水潭或平面镜。 工具: 卷尺,平面镜
方案三：利用锐角三角函数。工具: 测角仪,卷尺
小结
仰角、俯角问题中的基本图形
C
30°
A
45°
DB C
A
30° 45°
B
D
AD+BD=AB AD-BD=AB
工具: 卷尺
平面镜
方法二:利用平面镜反射 B B ∵ △ＡＤＥ∽△ＡＢＣ
D EA
ＡＥ ＤＥ
∴
＝
ＡＣ ＢＣ
BC
AC • DE AE
C 即：旗杆长
D
.
E
A
C
怎样测量旗杆的高度？
方案一：若天气晴朗有阳光， 利用相同时刻物高与影长成比例。
工具: 卷尺
方案二：若天气不好下过雨， 可利用水潭或平面镜。
工具: 卷尺 平面镜
1、当从低处观测高处的目标时,视线与水平线 所成的锐角称为仰角.
2、当从高处观测低处的目标时,视线与水平线 所成的锐角称为俯角.
视线
铅 仰角
新苏科版九年级数学下册《7章锐角三角函数7.6用锐角三角函数解决问题》教案_26
四、 练习固学
1. 如图，小网想测量位于池塘两端的 A、B 两点的距离．他沿着与直线
AB平行的道路 EF 行走，当行走到点 C处，测得∠ ACF＝45°，再向前
行走 100 米到点 D 处，测得∠ BDF＝ 60° . 若直线 AB与 EF 之间的距离
为 60 米，则 A、 B 两点间的距离是
用锐角三角函数解决问题的常用知识 1. 直角三角形中 5 个元素的关系 2. 坡角和坡度 3. 仰角和俯角 4. 方向角 ( 或方位角 ) 二、任务自学
1．[ 九下 P120 复习题第 11 题改编 ] 如图，在离楼房 AB45m的 C 处，利用测角仪 CD测得该 楼顶部的仰角为 30° . 已知测角仪的高度为 1.2 m ，则该楼房的高度等于 ____________m. 2.[ 九下 P113 问题 1 改编 ] 如图 , 拦水坝的横断面为梯形，梯形 ABCD的高为 6 米，斜面 AB
米．
2. 如图， 禁止捕鱼期间， 某海上稽查队在某海域巡逻， 上午某一时刻在 A 处接到指挥部通知，
在他们东北方向距离 12 海里的 B 处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东 75°方向以每小时 10 海
里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时
14 海里的速度沿北偏东某一方向出发，
在 C 处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
(1) 求山坡 EF 的水平宽度 FH；
(2) 欲在层窗台 P 处至地面 C 处的高
度为 0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于 i 1.215: 0，.7底5部 C 距 F 处至少多远？
选择典型性、代表性的中考题，训练学生的思维，发展学生能力，丰富学生 的数学活动经验。 五、小结悟学
九年级数学下册 第7章 锐角三角形 7.1 正切教案 (新版)苏科版
7.1正切教学目标:1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
2、了解计算一个锐角的正切值的方法。
教学重点：理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
教学难点：计算一个锐角的正切值的方法。
教学过程：一、观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。
下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图（1）图（2）[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答：图的台阶更陡，理由 .二、探索活动1、思考与探索一：除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？（1）可通过测量BC与AC的长度，（2）再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。
（思考：BC与AC长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）答：_________________. （3）讨论：你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答：____________________.____.2、思考与探索二：（1）如图，一般地，如果锐角A的大小已确定，我们可以作出无数个相似的RtAB1C1，RtAB2C2，RtAB3C3……，那么有：Rt△AB1C1∽_____∽____……AC1C2AC3B1B2B3A 2C1BB CA131BAC35根据相似三角形的性质， 得：111B C AC ＝_________＝_________＝…… （2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的 大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的 邻边的比值也_________。
3、正切的定义如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，a 、b 分别是∠A 的对边和邻边。
我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______，记作______。
即tanA ＝________＝__________ （你能写出∠B 的正切表达式吗？）试试看. 4、牛刀小试根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B 的正切值。
九年级数学下册第7章锐角三角形7.2正弦余弦教案(新版)苏科版
D CBA7.2正弦、余弦教学目标：1、 理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
教学重点、难点：1、掌握在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。
教学过程: 一、情景创设1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m 后，他的相对位置升高了5m ，如果他沿着该斜坡行走了20m ，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m 呢？2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？ 二、探索活动1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。
2、正弦的定义如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即sinA ＝________=________. 3、余弦的定义如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即cosA=______=_____。
（你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看. ___________________________________________. 4、例1、已知:如图, ∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D()BC (1)sinA AC()==CD()(2)sinB()AB==CD()(3)cos ACD,cos BCD()BC∠=∠=CD()()AC(4)tanA,tanB()AC BD()====例2、根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角．．的正弦、余弦值。
5、思考与探索(1)怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度到P点时，他的位置在竖直方向升高了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。
九年级数学锐角三角函数(学生讲义)
锐角三角函数与解直角三角形之羊若含玉创作【考纲领求】锐角三角函数的界说、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为依据题中给出的信息构建图形，树立数学模子，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B 所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．ab要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中界说的，反应了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确准时，其比值不变，角的度数变更时，比值也随之变更．(2)sinA，cosA，tanA分离是一个完整的数学符号，是一个整体，不克不及写成，，，不克不及懂得成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母暗示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不克不及写成“tanAEF”；别的，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的界说知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，，，tanA ＞0．考点二、特殊角的三角函数值应用三角函数的界说，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以便利地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的纪律会发明：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变更纪律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的盘算中，盘算时巧用这些关系式可使运算轻便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的进程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分离为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包含其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的懂得和记忆要联合图形，可以加倍清楚、直不雅地懂得.考点五、解直角三角形的罕有类型及解法已知条件解法步调Rt△ABC 双方两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行盘算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很普遍，症结是把实际问题转化为数学模子，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的症结.解这类问题的一般进程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、偏向角等概念，然后依据题意画出几何图形，树立数学模子.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)依据直角三角形(或通过作垂线结构直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并磨练答案是否相符实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母暗示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母暗示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指南偏向线按顺时针转到目的偏向的水平角叫做方位角，如图①中，目的偏向PA，PB，PC的方位角分离为是40°，135°，245°.(4)偏向角：指北或指南偏向线与目的偏向线所成的小于90°的水平角，叫做偏向角，如图②中的目的偏向线OA，OB，OC，OD的偏向角分离暗示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南偏向指的是南偏东45°，东南偏向指的是北偏东45°，西南偏向指的是南偏西45°，西南偏向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值盘算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要不雅察图形特点，恰当引帮助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(症结弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而依据条件选择适合的办法求解.【典范例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50°B．10·cos50°C．10·sin50°D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，依据锐角三角函数的界说，可以用某个锐角的三角函数值和一条边暗示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中双方之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k暗示各边．(3)要求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，经常使用的办法是：应用界说，依据三角函数值，用比例系数暗示三角形的边长；(2)题求cosA时，还可以直接应用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可自己测验测验完成．触类旁通：【变式】Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分离是∠A、∠B、∠C 的对边，那么c等于( )(A) a cosA bsin B+ (B)asin A bsin B+(C)a bsin A sin B+(D)a bcos A sin B+类型二、特殊角的三角函数值2．解答下列各题：(1)化简求值：tan60tan45sin45sin30sin60cos30cos45--++°°°°°°°；(2)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简12sin cos A A -．．【总结升华】 由第(2)题可得到往后经常使用的一个关系式：1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2．例如，若设sin α+cos α＝t ，则21sin cos (1)2t αα=-．触类旁通：【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值.3．(1)如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝105°，∠A ＝30°，AC ＝8，求AB 和BC 的长；(2)在△ABC 中，∠ABC ＝135°，∠A ＝30°，AC ＝8，如何求AB 和BC 的长?(3)在△ABC 中，AC ＝17，AB ＝26，锐角A 知足12sin 13A =，如何求BC 的长及△ABC 的面积？若AC ＝3，其他条件不变呢?【思路点拨】第(1)题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B ＝45°；过点C 作CD ⊥AB 于D ，则Rt △ACD 是可解三角形，可求出CD 的长，从而Rt △CDB 可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边”；第(3)题的条件是“双方一夹角”，均可用相似的办法解决．类型三、解直角三角形及应用4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=， AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长．专题总结及应用一、知识性专题专题1：锐角三角函数的界说【专题解读】 锐角三角函数界说的考核多以选择题、填空题为主．例1 如图28－123所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12 C ．cos B ＝32 D ．tan B ＝3 例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35,则tan A 等于 ( )A ．35 B ．45 C ．34 D ．43专题2 特殊角的三角函数值【专题解读】 要熟记特殊角的三角函数值．例4 盘算|－3|＋2cos 45°－(3－1)0． 例5 盘算－12⎛⎫- ⎪⎝⎭＋9＋(－1)2007－cos 60°．例6 盘算|－2|＋(cos 60°－tan 30°)0＋8．例7 盘算312-⎛⎫⎪⎝⎭－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－132-.专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考核综合运用知识解决问题的才能.BC 例8 如图28－124所示，在△ABC中，AD是边上的高，E为AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝4 5．(1)求线段DC的长；(2)求tan∠EDC的值.例9 如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC.(1)求证AC＝BD；(2)若sin C＝1213，BC＝12，求AD的长．例10 如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋303，求AB的长．专题4 用锐角三角函数解决实际问题【专题解读】增强数学与实际生活的接洽，提高数学的应用意识，造就应用数学的才能是当今数学改造的偏向，围绕本章内容，纵不雅近几年各地的中测验题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有汽船定位问题、堤坝工程问题、建筑丈量问题、高度丈量问题等，解决各类应用问题时要注意掌控各类图形的特征及解法．例13 如图28－131所示，我市某中学数学课外运动小组的同学应用所学知识去丈量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处不雅测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你依据这些数据算出河宽是若干?(成果保存小数点后两位)例14 如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发明海中的B点有人求救，便立刻派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以算作是直线)向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B．(参考数据2≈1.4，3≈1.7)例15 如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东偏向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°偏向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°偏向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船持续向正东偏向航行，该货船有无触礁危险?试说明来由．例16 如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块告白牌CD，甲、乙两人分离在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分离为45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE ＝15米，求这块告白牌的高度．(3≈1.73，成果保存整数)例17 如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高 4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.例18 如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD＝30m，或人在点A处测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB．(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)二、纪律办法专题专题5 公式法【专题解读】本章的公式许多，熟练掌握公式是解决问题的症结．例19 当0°＜α＜90°时，求21sincosαα-的值．三、思想办法专题专题6 类比思想【专题解读】求方程中未知数的进程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的进程叫做解直角三角形，因此对解直角三角形的概念的懂得可类比解方程的概念．我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素．例20 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分离为a，b，c，已知a＝52，b＝152，解这个直角三角形．．专题7 数形联合思想【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者巧妙联合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题经常使用的办法之一．例21 如图28－137所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为y＝－33x＋33，则cosα等于 ( )A．12 B．22C．32 D．33专题8 分类讨论思想【专题解读】当成果不克不及确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论．例22 一条器械走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°偏向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30 km，B，C间的距离是60 km．要经由C修一条笔挺的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，求交叉口P与加油站A的距离．(成果可保存根号)专题9 转化思想例24 如图28－140所示，A，B两城市相距100km．现筹划在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB)，经丈量，森林呵护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的偏向上．已知森林呵护区的规模在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内．请问筹划修筑的这条高速公路会不会穿越呵护区．为什么?(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)例25 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28－141所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个极点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．(成果保存整数；参考数据：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)例26 如图28－142所示，某居平易近楼I高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2米，窗户CD高1．8米．现筹划在I楼的正南边距1楼30米处新建一居平易近楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖若干米?。
2022春九年级数学下册 第7章 锐角函数7.3 特殊角的三角函数习题课件苏科版
h 2022
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You made my day!
(cm)．故选 B.
1 5 【2021·杭州】计算：sin 30°＝____2____.
6 【2020·宜宾】如图，A、B、C是⊙O上的三点，若
3 △OBC是等边三角形，则cos A＝___2_____．
【点拨】
∵△OBC 是等边三角形，
∴∠BOC＝60°.∴∠A＝12∠BOC＝30°.
∴cos
2 2
C．
3 2
D．1
2 【中考·包头】计算 sin245°＋cos 30°·tan 60°，其结果是
(A )．54
3 下列各式中正确的是( B )
A．sin
30°＝
3 2
B．cos 45°＋sin 45°＝ 2
C．sin 60°＝sin(2×30°)＝2sin 30°
D．tan 60°＋tan 30°＝2 3
11 在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝ 3， 求 sin A2的值． 小明给出了他自己的解答过程：
∵sin
A＝BACB＝
23，∴sinA2 ＝
3 4.
小明的解答过程是否正确？如果不正确，请写出正确的
解答过程．
解：小明的解答过程不正确． 正确的解答过程如下： ∵sin A＝BACB＝ 23，∴∠A＝60°， ∴sin A2＝sin 30°＝12.
九年级下册第7章锐角三角函数7、5解直角三角形教学新版苏科版
解直角三角形是求线段长度的常用方法之一
非直角三角形 四边形 多边形
转化
直角三角形
解直角三角形的简单应用
练一练： 如图所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向 行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶40海里到达C地
，则A、C两地相距（B ）
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
所以AB=tan 30°×56.3 ≈ 32.5（m）.
C
B
CONTENTS
2
解直角三角形
问题1 如图，在Rt△ABC中， ∠C为直角，其余5个元素（∠A、
∠B、a、b、c）之间有怎样的数量关系？
B
（1）三边之间关系：
a2＋b2＝c2 (勾股定理)
（2）锐角之间的关系：
c
a
A
C
b
∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．
九年级数学下册苏科版
第7章 锐角三角函数
7.5 解直角三角形
1 2
CONTENTS
1
情景导入
如图，为测量旗杆的高度，在点C 测得点A的仰角为30°，点C到点 B的距离56.3，求旗杆的高度AB（精确到0.1m）．
解：在Rt△ABC中，
A
tan C AB ，即 tan 30 AB ，
BC
56.3
7.在Rt△ABC中，∠C=90°.
(1)若∠B=60°，BC= 2，则∠A=__3_0_°_，AC=___6__，AB=_2___2_； (2)若∠A=45°，AB=2，则∠B=__4_5_°__，AC=___2___.
CONTENTS
4
概念
由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有 边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形.
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1
第67讲 正弦、余弦、正切定义
金题精讲
题一：在Rt△ABC中，∠C=90°，
(1)若a=8，b=15，则c=______，sinA=______，cosA=______，tanA=______，
sinB=______，cosB=______，tanB=______．
(2)若a=1，b=3，则c=______，sinA=______，cosA=______，tanA=______，
sinB=______，cosB=______，tanB=______．
题二：在Rt△ABC中，∠C=90°，
(1)若∠B=60°，则sinB=______，cosB=______，tanB=______．
sinA=______，cosA=______，tanA=______．
(2)若∠B=45°，则sinB=______，cosB=______，tanB=______．
sinA=______，cosA=______，tanA=______．
第68讲 正弦、余弦、正切应用
新知新讲
题一：在Rt△ABC中，∠C=90°，
(1)若sinA=37，求∠A及∠B的其它三角函数值；
2
(2)若tanA=37，求∠A及∠B的其它三角函数值．
金题精讲
题一：如图，△ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=13．
(1)求AB边上的高CD；
(2)求△ABC的面积S；
(3)求tanB．
题二：如图，△ABC中，D为BC中点，且∠BAD=90°，tanB=13，求sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．
3
第69讲 特殊角的三角函数值
新知新讲
题一：求下列各式的值．
(1)22211cos45cos30sin45sin30tan30；
(2)20153015(1)()(cos68)338sin602
金题精讲
题一：求适合下列条件的锐角．
(1)2sin22；(2)6sin(16)33．
题二：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，延长CA至D点，使AD=AB．求：
(1)∠D= ，∠DBC= ；
(2)tanD及tan∠DBC；
(3)请用类似的方法，求tan22.5°．
第70讲 锐角三角函数的关系与性质
新知新讲
题一：如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=35，求cosA和tanB的值．
金题精讲
题一：在△ABC中，∠C=90°，化简
(1)12sincosAA；(2)12sin10cos10oo．
4
第71讲解直角三角形
新知新讲
题一：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，c=22，解ABC；
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=3，解△ABC；
(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=14，b=2，求c的值；
(4)在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=14，S△ABC=2，求c的值．
第72讲解斜三角形
新知新讲
题一：如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=135°，AC=10cm，求AB及BC的长．
题二：△ABC中，∠A=30°，AC=10，52BC，求AB的长．
题三：如图，在△ABC中，AB=c，AC=b，锐角∠A=．
(1)△ABC的面积；
(2)BC的长．
5
第73讲解直角三角形与实际问题
新知新讲
题一：如图，Rt△ABD中，∠D=90°，∠B=45，∠ACD=60°．BC=10cm．求AD的长．
题二：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点
D
的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求
山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．
金题精讲
题一：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影
子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC=20m，斜坡坡面上的影长
CD=8m，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD
与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆
AB
的高度．
6
题二：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了5003m
到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求
(1)A、C两地之间的距离；
(2)确定目的地C在营地A的什么方向？
题三：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个
景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为
60°．求山高CD．
7
第67讲 正弦、余弦、正切定义
金题精讲
题一：(1)17，817，1517，815，1517，817，158；(2)10，1010，31010，13，31010，1010，
3．
题二：(1)32，12，3，12，32，33；(2)22，22，1，22，22，1．
第68讲 正弦、余弦、正切应用
新知新讲
题一： (1)cosA=2107，tanA=31020，sinB=2107，cosB=37，tanB=2103；
(2)sinA=35858，cosA=75858，sinB=75858，cosB=35858，tanB=73．
金题精讲
题一：4cm；32cm2；224．
题二： 31313，21313，32．
第69讲 特殊角的三角函数值
新知新讲
题一：134；83．
金题精讲
题一：22.5°；76°．
题二：15°，75°；23，23；21．
第70讲 锐角三角函数的关系与性质
新知新讲
题一：45，43．
金题精讲
题一：sinA+cosA；cos10°－sin10°．
第71讲 解直角三角形
新知新讲
题一：(1)b=2，∠A=∠B=45；(2)b=3，c=23，∠B=60°；(3)81515；(4)17．
第72讲 解斜三角形
新知新讲
题一：535；52．题二：535．题三：1sin2bc；222cosbcbc．
第73讲 解直角三角形与实际问题
新知新讲
题一：(1553)cm．题二：25(31)m，50(31)m．