浙江省学考选考湖州市菱湖中学2018年10月2018～2019学年度高二数学第一学期期中试题及参考答案
浙江省诸暨中学2018-2019学年高二上学期10月阶段性考试数学平行班答案及评分标准
数学参考答案及评分标准（平行班）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
题号
1
2
3
4
5
答案
C
A
B
C
C
题号
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
B
C
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共34分。
11．____ _____ _____ ____
又 ∥ ，所以 平面 ，
又 平面 ……4分
(3) 是 与平面 所成的角，
∥ ，
与平面 所成的角等于 与平面 所成的角
在 中， ， ，
在 中，
在 中，
即直线DE与平面CBE所成角的正切值为 ……4分
21.【解析（Ⅰ）取CF的中点为H，连EH，BH，EH//AF
(或其补角)即为 与 所成角
由已知得 ， ，
①……2分
对 , 恒成立.
把 看作关于 的函数 ,则①式等价于
②
由于 ,则 ,从而②式转化为
3,
即 ③……2分
对 恒成立
我们又可以把③式的左边看作 的函数.记 = .
若 ,③式显然不成立;
若 , 是 的一次函数,这样,要使 对 恒成立,只要 及 同时成立即可.解不等式组
得 或 .
所以存在实数 ,使不等式 对任意 , 恒成立.,其取值范围是 .……2分
②当a＜0时，由（ax﹣ ）（x+4）≤0，得B=（﹣∞，﹣4]∪[ ，+∞）．……2分
∵ ，∴ ≥2，解得﹣ ≤a≤ห้องสมุดไป่ตู้．
浙江湖州菱湖中学18-19学度高二上12月抽考-数学
浙江湖州菱湖中学18-19学度高二上12月抽考-数学考生须知：1、本试题卷分第一卷(客观题)和第二卷〔主观题〕两部分，试卷共22大题；总分值为150分；考试时间为120分钟。
2、第一卷做在答题卡上，第二卷做在答题卷上，做在试题卷上不得分。
第一卷〔共50分〕【一】选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。
〕 1. 抛物线28y x =-的焦点坐标是〔 〕 A.()0,2- B. ()2,0- C.()0,2 D. ()2,02. 2m =-是直线(2)30m x my -++=与直线30x my --=垂直的〔 〕 A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、非充分也非必要条件A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB.1sin ,:≥∈∀⌝x R x p .1sin ,:>∈∃⌝x R x p D.1sin ,:>∈∀⌝x R x p4.设m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，以下命题正确的选项是〔〕 A.假设,,//,m n m n αβ⊥⊥那么//αβB.假设//,//,//,m n αβαβ那么//m n C.假设,//,//,m n αβαβ⊥那么m n ⊥ D.假设//,//,//,m n m n αβ那么//αβ5.12,F F 为椭圆22221x y a b +=〔0a b >>〕的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，假设1AF B ∆的周长为16，椭圆的离心率e =A 、22143x y += B 、221163x y += C 、221164x y += D 、2211612x y += 6.双曲线C 的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆2212516x y +=的长轴端点、焦点，那么双 曲线C 的渐近线方程为〔〕A 、430x y ±=B 、340x y ±=C 、450x y ±=D 、540x y ±= 7.)21210t x ty +++=的倾斜角的范围是〔〕A 、[)0,πB 、2,,3223ππππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C 、2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭8、某简单几何体的三视图如下图，其正视图、侧视图、 俯视图均为直角三角形，面积分别是1，2，4，那么那个几 何体的体积为 () A 、43B 、83C 、4D 、89.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，那么点A 与抛物线焦点的距离为〔〕A.2B.3C.4D.510、如图在长方形ABCD 中，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，那么K 所形成轨迹的长度为()A 、2πB 、3πC 、23D 、332 第二卷〔共100分〕【二】填空题〔本大题共7小题，每题4分，共28分。
浙江省湖州市菱湖中学高二数学10月月考试题新人教A版
高二10月月考数学试题一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分）1．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是 （ ）A ．31,2 B ．--213, C ．--123, D ．－2，－3 2．圆x 2+y 2+4x=0的圆心坐标和半径分别是 （ ）A ．(－2,0), 2B ．(－2,0), 4C ．(2,0), 2D ．(2,0), 43．若1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --三点共线 则m 的值为 （ ）A ．21 B ．21- C ．2- D ．2 4．两圆094622=+-++y x y x 和01912622=-+-+y x y x 的位置关系是 （ ） A ．外切 B ．内切 C ． 相交 D ．外离5．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)和B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为 ( )A ．2B ．－8C ．2或－8D ．8或－26．圆1O ：06422=+-+y x y x 和圆2O ：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是 （ ）A. 30x y ++= B 250x y --=C 390x y --=D 4370x y -+=7．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 （ ） A ．34k ≥ B ．324k ≤≤ C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 8．已知方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是 ( )A ．9B ．14C ．14－．14＋9． 将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为 ( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或1110．若直线y ＝kx －1与曲线2)2(1---=x y 有公共点，则k 的取值范围是 ( ) A ．(0，43] B ．[13，43] C ．[0，12] D ．[0,1]二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知点A (－1,2)，B (－4,6)，则|AB |等于________12．以点A(1,4)、B(3, -2)为直径的两个端点的圆的方程为 .13．直线l 1：x ＋my ＋6=0与l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m =0，若21//l l 则m =__________.14．过圆0222=-+-+y x y x 和圆522=+y x 的交点，且圆心在直线0143=-+y x 上的圆的方程为 .15．与圆 1)2(22=+-y x 外切，且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是________________ .16 过圆22(2)4x y +-=外一点(2,2)A -，引圆的两条切线，切点为12,T T ，则直线12TT 的方程为________17．已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题： ① 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；② 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；③ 对任意实数θ，一定存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切;④ 对任意实数k ，一定存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切.其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）.三、解答题（本大题共5小题，满分72分）18．（本小题满分14分）直线l 过点P(2,1)，按下列条件求直线l 的方程：(1) 直线l 与直线x -y+1=0的夹角为3π； (2) 直线l 与两坐标轴正半轴围成三角形面积为4.19．(本小题满分14分)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N 在A 1C 1上，且满足|A 1N |＝3|NC 1|.(1) 求MN 的长;(2) 试判断MNC ∆的形状.20．（本小题满分14分）已知曲线C ：04222=+--+m y x y x(1) 当m 为何值时，曲线C 表示圆；(2) 若曲线C 与直线042=-+y x 交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，其中O 为坐标原点，求m 的值。
浙江省湖州市菱湖中学高二(上)期中数学试卷
2016-2017学年浙江省湖州市菱湖中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心坐标与半径分别是（）A．（﹣1，2），2 B．（1，2），2 C．（﹣1，2），4 D．（1，﹣2），42．对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（）A．若a＞b，c≠0则ac＞bc B．若a＞b＞o，c＞d则ac＞bdC．若a＞b，则D．若ac2＞bc2则a＞b3．抛物线y=﹣2x2的准线方程是（）A．B．C．D．4．条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分也不必要的条件5．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是（）A． B．C．D．6．已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=ax的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为（）A．4 B．5 C．D．7．动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2= 8．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为1，棱BB1所在直线上的动点M满足，AM与侧面BB1C1C所成的角为θ，若λ∈hslx3y3h，，，，，，（x1+x2）2﹣2x1x2hslx3y3h+2=5，∴|OA|2+|OB|2是定值为5．（3））S=|AB|d==．当且仅当m=±1时，S的最大值为1．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，等比数列的性质，基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
浙江省湖州市菱湖中学2018-2019学年高二通用技术上学期期中试题
浙江省湖州市菱湖中学2018-2019学年高二通用技术上学期期中试题一、单项选择题（每题1分，共20分）1.阿斯旺大坝在上世纪70年代竣工，结束了尼罗河年年泛滥的历史，生产了廉价的电力，还灌溉了农田。
然而近年来人们发现，它也破坏了尼罗河流域的生态平衡，引发一系列灾难。
这个例子说明技术具有 ( )A ．专利性B ．创新性C ．综合性D ．两面性 请根据材料，回答2—3题。
小杨同学设计了“带存储盒的指甲钳” 如图所示，即在传统指甲钳的下方加 了一个存储盒，这样可以防止在剪指甲时指甲乱跳影响环境卫生，该设计在全国青少年发明创造比赛中获三等奖。
2.小杨同学通过发明“带存储盒的指甲钳”，他自身的精神和智力得以发展，创新精神和批判能力得以提高，思维方式发生转变。
这说明技术能够 （ ） A ．保护人 B ．解放人 C ．发展人 D ．帮助人3.小杨同学设计的“带存储盒的指甲钳”主要体现了技术的 （ ） A ．专利性 B ．两面性 C ．综合性 D ．目的性4．如图所示为一款拉环瓶盖，巧妙地将易拉罐的拉环与啤酒瓶盖结合在一起。
使用者只需轻轻一拉，就可以打开啤酒瓶盖。
该产品的设计主要体现了人机关系的哪个目标 （ ） A ．高效B ．健康C ．舒适D ．安全5. 韩国的三名设计师设计了一款会发光的窨井盖盖子（如图所示）。
它的内外两个圆环均采用了发光系统，当盖子被移开后，这两个圆环就会发出荧光，即使是在黑暗中，也可以很好的提醒路人注意安全。
这种会发荧光的窨井盖主要考虑了 （ ）A 、普通人群和特殊人群B 、动态的人和静态的人C 、人的生理需求和心理需求D 、信息的交互6．为了检测该新型防护栏的可靠性，国家相关部门利用依次增大汽车的负载和速度的办法进行试验，该试验方法属于 （ ）A ．模拟试验法B ．强化试验法第5题图第6题图式第4题图C．优选试验法 D．移植试验法7．王阳同学就下图提出了四种看法，你认为正确的是 ( )A. 此图可描述产品设计的一般过程B. 产品设计的过程一定要按照此模式开展C. 设计一定是一个单向进行的过程D. 当测试发现问题后，所有工作都要重新开始8．右图漫画形象地描述了一直困扰公安部门的一种车牌使用现象。
浙江省湖州市菱湖中学2018-2019学年高二12月月考数学试题(解析版)
菱湖中学2018学年第一学期12月月考高二数学试题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在空间直角坐标系中，已知点，点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量模的计算公式即可得出．【详解】.故选B.【点睛】本题考查空间两点的距离，掌握空间向量模的计算公式是解题的关键．2.与直线垂直，且过点的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，设直线方程为y=-2x+b，代入（2，0），可得b，即可求出直线方程．【详解】由题意，设直线方程为y=-2x+b，代入（2，0），可得b=4，∴所求直线方程为y=-2x+4．故选：A．【点睛】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．3.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程即可直接得出渐近线方程.【详解】双曲线,焦点在y 轴上且a=2,b=1，所以 .故选B.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，注意焦点位置是关键． 4.已知直线，，则与之间的距离是（ ）A. B. C. 1 D.【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平行线之间的距离公式化简求解即可. 【详解】两条直线与，化为直线与，则与的距离是，故选A .【点睛】本题主要考查两平行线之间的距离，属于简单题.解析几何中的距离常见有：（1）点到点距离，；（2）点到线距离，，（3）线到线距离.5.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的方程是（ ）．A. B. C. D.【答案】B 【解析】由双曲线的焦点可知c=,线段PF 1的中点坐标为(0,2),所以设右焦点为F 2,则有PF 2⊥x 轴,且|PF 2|=4,点P 在双曲线右支上.所以|PF1|===6,所以|PF1|-|PF2|=6-4=2=2a,所以a=1,b2=c2-a2=4,所以双曲线的方程为x2-=1.故选B.6.圆关于直线对称的圆的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆的对称的性质求出对称圆的圆心即可．【详解】：圆（x+2）2+（y+1）2=1的圆心为C（-2，-1），半径r=1，设圆心C（-2，-1）关于直线y=x-1对称的点的坐标为（a，b），则满足解得a=0，b=-3，即对称圆的圆心为（0，-3），则对称圆的方程为x2+（y+3）2=1，故选C．【点睛】本题主要考查圆的方程的求解，利用圆的对称性求出圆心坐标是解决本题的关键．7.不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】根据题意，解不等式2x2-5x-3≥0可得x≤-或x≥3，题目可以转化为找x≤-或x≥3的必要不充分条件条件，依次分析选项即可得答案．【详解】根据题意，解不等式2x2-5x-3≥0可得x≤-或x≥3，则2x2-5x-3≥0⇔x≤或，所以可以转化为找x≤-或x≥3的必要不充分条件；依次选项可得：或是或x≥3成立的充分不必要条件；或是或x≥3成立的既不充分也不必要条件或是或x≥3成立的必要不充分条件；x≤-或x≥3是或x≥3成立的充要条件；【点睛】本题考查了充分必要条件，涉及一元二次不等式的解答，关键是正确解不等式2x2-5x-3≥0．8.已知直线2kx-y+1=0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（）A. ，B. ，，C. ，D.【答案】B【解析】【分析】利用直线2kx-y+1=0恒过的定点在椭圆内或椭圆上，计算即得结论．【详解】∵直线2kx-y+1=0恒过定点P（0，1），∴直线2kx-y+1=0与椭圆，即点P（0，1）在椭圆内或椭圆上，即m≥1，又m≠9，否则是圆而非椭圆，∴1≤m＜9或m＞9，故选B．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．9.一动圆过定点，且与已知圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】动圆圆心为P，半径为r，已知圆的圆心为N，半径为4 由题意知：PM=r，PN=r+4，所以|PN-PM|=4，即动点P到两定点的距离之差为常数4，P在以M、C为焦点的双曲线上，从而可得动圆圆心P的轨迹方程．【详解】动圆圆心为P，半径为r，已知圆心为N，半径为4 由题意知：PM=r，动圆P与圆N相切有两种情况，内切或外切，所以，所以|PN-PM|=4，即动点P到两定点的距离之差为常数4，P在以M、C为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8，∴b=2，∴动圆圆心M的轨迹方程为.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．10.在四棱锥中，底面，底面为矩形，，是上一点，若，则的值为( )A. B. C. D. 4【答案】C【解析】因为底面，所以，又，故平面，故，此时，，则.因为，所以，即.二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.抛物线y2＝x的焦点坐标是___________，准线方程是______________。
2018-2019学年浙江省嘉兴一中、湖州中学高二(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省嘉兴一中、湖州中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若复数（2+i）（1+ai）是纯虚数（i是虚数单位，a是实数），则a等于（）A. B. C. 2 D. 32.双曲线x2-=1的渐近线方程是（）A. B. C. D.3.某个命题与正整数n有关，如果当n=k+1，（k∈N+）时命题成立，那么可推得当n=k时命题也成立．现已知当n=2019时该命题不成立，那么可推得（）A. 当时该命题不成立B. 当时该命题成立C. 当时该命题不成立D. 当时该命题成立4.经过点，且与椭圆相切的直线方程是（）A. B. C.D.5.方程所表示的曲线是（）A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在y轴上的椭圆C. 焦点在x轴上的双曲线D. 焦点在y轴上的双曲线6.设函数，则（）A. 为的极大值点B. 为的极小值点C. 为的极大值点D. 为的极小值点7.设抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA丄l，垂足为A，如果△APF为正三角形，那么|PF|等于（）A. B. C. 6 D. 128.有七名同学排成一排，其中甲，乙两人不能在一起，丙，丁两人要排在一起的排法数是（）A. 960B. 720C. 480D. 2409.已知抛物线y2=2px（p＞0）与椭圆（a＞b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.10.从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取三个不同的元素作为直线l：ax+by+c=0中a，b，c的值．若直线l的倾斜角小于135°，且l在x轴上的截距小于-1，那么不同的直线l有（）A. 109条B. 110条C. 111条D. 120条二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.计算：=______；=______．（用数字作答）12.与双曲线：有共同的渐近线，并且经过点，的双曲线C2方程是______，其C2离心率是______．13.函数的增区间是______，曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程是______．14.用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成______个无重复数字的三位数，也可以组成______个能被5整除且无重复数字的五位数．15.已知圆C：x2+y2+8x+ay-5=0经过抛物线E：x2=4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为______．16.双曲线x2-y2=1与直线x+2y+3=0交于A，B两点，且线段AB中点为P，O为坐标原点，则直线OP的斜率是______．17.已知P是椭圆=1（a1＞b1＞0）和双曲线=1（a2＞0，b2＞0）的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，∠F1PF2=，则的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的减区间；（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，求f（x）的值域．19.已知椭圆：＞＞经过两点（0，1），，．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l：x-y-1=0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB 的面积S．20.已知函数f（x）=e x-x（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，求实数a的取值范围．21.已知点F是抛物线C：y2=x的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|=．（Ⅰ）求点S的坐标；（Ⅱ）以S为圆心的动圆与x轴分别交于两点A、B，延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点；①判断直线MN的斜率是否为定值，并说明理由；②延长NM交x轴于点E，若|EM|=|NE|，求cos∠MSN的值．22.已知函数．（Ⅰ）求f（x）极大值；（Ⅱ）求证：＞，其中n∈N+，n≥2．（Ⅲ）若方程f（x）=t有两个不同的零点x1，x2，求证：x1+x2＞2答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的基本运算以及基本概念的应用，考查计算能力．利用复数的乘法运算法则化简复数，通过复数虚部不为0，实部为0，求解即可．【解答】解：复数（2+i）（1+ai）=2-a+（2a+1）i，复数（2+i）（1+ai）=2-a+（2a+1）i 是纯虚数，可得2-a=0，2a+1≠0，解得a=2．故选C．2.【答案】A【解析】解：双曲线x2-=1的焦点在x轴上，其中a=1，b=，则其渐近线方程为y=±x；故选：A．根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、b的值以及焦点的位置，由双曲线的渐近线方程分析可得答案．考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线焦点的位置．3.【答案】A【解析】解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P（n）对n=2019不成立，P（n）对n=2020也不成立，否则，n=2020成立，由已知推得n=2019也成立．与当n=2019时该命题不成立矛盾．故选：A．由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k+1成立，则它对n=k也成立，由此类推，对n＜k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k+1也不成立，由此类推，对n＞k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．当P（n）对n=k+1成立，则它对n=k也成立，由此类推，对n＜k的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k+1也不成立．对n＞k的任意整数均不成立．4.【答案】A【解析】解：根据题意，椭圆，点P（1，），有+（）2=1，即P在椭圆上，则过点且与椭圆相切的直线方程为+y=1，变形可得：x+2y-4=0；故选：A．根据题意，分析可得P在椭圆上，结合椭圆的切线方程可得要求直线的方程为+y=1，变形即可得答案．本题考查直线与椭圆的位置关系，注意分析点P与椭圆的关系，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：∵-1≤sinθ≤1，∴2sinθ+3＞0．sinθ-2＜0，方程所表示的曲线是：表示焦点在x轴上的双曲线，故选：C．利用sinθ值的范围，求得2sinθ+3与sinθ-2的范围，结合标准形式判断曲线的形状．本题考查双曲线的标准方程的特征，正弦函数的值域，利用好曲线的标准形式，是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：f′（x）=-+=，（x＞0），令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故x=2是函数的极小值点，故选：D．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值点即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．7.【答案】C【解析】解：∵抛物线方程为y2=6x，∴焦点F（1.5，0），准线l方程为x=-1.5，∵△APF为正三角形，∴直线AF的斜率为-，∴直线AF的方程为y=-（x-1.5），与x=-1.5联立，可得A点坐标为（-1.5，3）∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为（4.5，3），∴|PF|=|PA|=4.5-（-1.5）=6故选：C．先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA丄l，所以P点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|PF|长．本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，属于综合题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，利用分步计数原理，首先用捆绑法将丙丁两人捆绑在一起作为一个人，将甲、乙拿出后全部排列有A44种排法，排列后的5个空选2个空将甲乙两人去插如可得有A52种排法，将丙丁两人捆绑在一起进行排列有A22种排法，所以满足条件的排法有：A44A52A22=960种排法，故选：A．利用分步计数原理，首先用捆绑法将丙丁两人捆绑在一起作为一个人，再将甲、乙拿出后全部排列，最后甲乙两人去插空即可得到答案．本题考查排列组合的应用，利用分步计数原理，捆绑法和插空法计算可得．属于中档题．9.【答案】B【解析】解：如图所示，∵AF⊥x轴，∴=c，把x=代入抛物线方程可得：y2=，解得y=p．∴A，即A（c，2c）．代入椭圆的方程可得：=1，又b2=a2-c2，∴=1，化为e4-6e2+1=0，0＜e＜1．解得e2=3-2，∴-1．故选：B．如图所示，由AF⊥x轴，可得=c，分别代入椭圆与抛物线标准方程可得：A，即A（c，2c）．代入椭圆的方程可得：=1，又b2=a2-c2，利用离心率计算公式即可得出．本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：直线l：ax+by+c=0可化为，l在x轴上的截距为∵直线l的倾斜角小于135°，且l在x轴上的截距小于-1，∴∴c＞a＞b，共有种其中重复的项，（c，a，b）从b=1开始：（3，2，1），（6，4，2），（9，6，3）（重复2次）；（4，2，1），（8，4，2）（重复1次）；（5，2，1），（10，4，2）（重复1次）；（4，3，1），（8，6，2）（重复1次）；（5，3，1），（10，6，2）（重复1次）；（5，4，1），（10，8，2）（重复1次），共7个重复组合；b=2：（4，3，2），（8，6，4）（重复1次）；（（5，3，2），（10，6，4）（重复1次）；（5，4，2），（10，8，4）（重复1次），共3个重复组合；b=3：（5，4，3），（10，8，6）共1个重复组合所以不同的直线l有：120-7-3-1=109条．故选：A．先将直线l：ax+by+c=0化为，l在x轴上的截距为，利用直线l的倾斜角小于135°，且l在x轴上的截距小于-1，可得c＞a＞b，共有种，再考虑重复情况，即可得到不同的直线l的种数．本题考查计数原理的运用，解题的关键是分析出c＞a＞b，排除重复情况，很容易出错．11.【答案】20 35【解析】解：A=5×4=20；C+C=C=35．故答案为：20，35．根据排列数公式组合数性质以及组合数公式可得．本题考查了排列及排列数公式，属基础题．12.【答案】 2【解析】解：根据题意，双曲线C2与双曲线有共同的渐近线，设C2的方程为-=t，又由双曲线C2经过点，则有-=t，即t=-5，则双曲线C2方程为-=1，其中a=，b=3，则c==2，其离心率e==2；故答案为：-=1，2．根据题意，由双曲线的几何性质设C2的方程为-=t，将点M的坐标代入计算可得t的值，即可得双曲线C2方程，进而求出a、b、c的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是设出双曲线C2方程，属于基础题．13.【答案】（0，1] y=1【解析】解：根据题意，函数，定义域为（0，+∞），其导数f′（x）==-，若f′（x）＞0，即-＞0，解可得0＜x＜1，即函数f（x）的递增区间为（0，1），有f′（0）=0，则曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为y-0=f′（0）（x-1），即y=1；故答案为：（0，1），y=1．根据题意，分析函数的定义域，求出函数的导数，利用导数与函数单调性的关系可得f′（x）＞0，即-＞0，解可得x的取值范围，即可得函数的递增区间；进而求出f′（0）的值，由切线的几何意义分析可得答案．本题考查函数单调性的判定以及单调区间的求法，涉及曲线的切线方程，属于基础题．14.【答案】100 216【解析】解：①空、用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成无重复数字的三位数，则：三位数的最高位不能是0，有A51种排法，后两位数由剩下的数字排列则有A52种排法，采用分步计数原理，可以组成无重复数字的三位数A51A52=100个②空、分2类情况进行分析：组成能被5整除且无重复数字的五位数．个位是0和5的这两类情况，当个位是0时，剩余4位数由剩余数字任意排列有A54种排法，能被5整除且无重复数字的五位数有A11A54=120种情况，当个位是5时，最高位排除0在剩余4位数字有A41种排法，剩余中间3位数由剩余数字任意排列有A43种排法，能被5整除且无重复数字的五位数有A11A41A43=96种情况，所以：组成能被5整除且无重复数字的五位数有：A11A54+A11A41A43=120+96=216种情况，故答案为：100，216（1）第一空，采用分步计数原理讨论0的情况可得，（2）第二空则分2类情况进行分析，利用分类和分步的计数原理分别求出每种情况下的取法数目可得答案．本题考查分类和分步的计数原理的运用，关键是分析0在数字中的位置情况，进而确定分类的方法．15.【答案】4【解析】解：抛物线E：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=-1．（0，1）代入圆C：x2+y2+8x+ay-5=0，可得1+a-5=0，∴a=4∴圆C：x2+y2+8x+4y-5=0，即（x+4）2+（y+2）2=25，∴圆心到直线的距离为d=1，∴抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为2=4．故答案为：4．求出抛物线E：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=-1，确定圆的方程，即可求出抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长．本题考查圆的方程，考查抛物线的性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．16.【答案】-2【解析】解：x2-y2=1与直线x+2y+3=0联立可得3y2+12y+8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=-4，可得P的纵坐标-2，横坐标为1，则直线OP的斜率为-2．故答案为：-2．联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得P的坐标，由直线的斜率公式可得所求值．本题考查直线和双曲线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于基础题．17.【答案】【解析】解：设P为第一象限的交点，|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得，m+n=2a1，由双曲线的定义可得，m-n=2a2，解得m=a1+a2，n=a1-a2，在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2==，即为m2+n2-mn=4c2，即有2a12+2a22-a12+a22=4c2，即a12+3a22=4c2，由离心率e=，可得+=4，设=cosα，=2sinα，则=cosα+2sinα=sin（α+θ）（θ为辅助角），=sin（α+θ），当sin（α+θ）=1，即α+θ=时，取得最大值．故答案为：．设P为第一象限的交点，|PF1|=m，|PF2|=n，运用椭圆和双曲线的定义，求得m=a1+a2，n=a1-a2，再由余弦定理和离心率公式可得+=4，设=cosα，=2sinα，由辅助角公式，运用正弦函数的值域即可得到最大值．本题考查最值的求法，注意运用椭圆和双曲线的定义和性质：离心率，以及三角换元，辅助角公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（I）根据题意，函数，其导数f'（x）=x2+2x当f'（x）=x2+2x＜0，解得x∈（-2，0）即f（x）的减区间（-2，0）；（II）当f'（x）=x2+2x＞0，解得x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）即f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，则f（0）=0，f（1）=+1=，f（-1）=-+1=，则f（x）的值域，．【解析】（Ⅰ）根据题意，求出函数的导数，结合函数的导数与单调性的关系分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，由函数的导数与单调性的关系分析可得f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，进而求出f（0）与f（1）、f（-1）的值，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性的判定与单调区间，涉及函数的值域计算，属于基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆：＞＞经过两点（0，1），，．则有，解得：a=2，b=1即椭圆E的方程为+y2=1．（Ⅱ）记A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为x=y+1．由消去x得5y2+2y-3=0，所以，设直线l与x轴交于点P（1，0）S=|OP||y1-y2|S=．【解析】（Ⅰ）根据题意，将两个点的坐标代入椭圆的方程，可得，解可得a、b的值，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）记A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，5y2+2y-3=0，解可得y 的值，即可得直线l与x轴交点的坐标，结合三角形面积公式计算可得答案．本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程，关键是求出椭圆的标准方程．20.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x-x，∴f′（x）=e x-1，令f′（x）＞0，解得x＞0，令f′（x）＜0，得x＜0，∴f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）单调递增，∴当x=0时，f（x）取得极小值1．（Ⅱ）∵不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊂P，∴c对于任意x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，由f（x）＞ax，得（a+1）x＜e x，当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x∈（0，2]的情况，将（a+1）x＜e x变形为a＜，令g（x）=，则g（x）的导数，令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增，∴当x=1时，g（x）取得最小值e-1，从而实数a的取值范围是（-∞，e-1）．【解析】（Ⅰ）由已知得f′（x）=e x-1，由此利用导数性质能求出f（x）的最小值．（Ⅱ）由已知得c对于任意x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，由f（x）＞ax，得（a+1）x＜e x，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．21.【答案】解：（Ⅰ）设S（x0，y0）（y0＞0），由已知得F，，则|SF|=，，∴y0=1，∴点S的坐标是（1，1）------------------------（2分）（Ⅱ）①设直线SA的方程为y-1=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），由得ky2-y+1-k=0，∴，，∴，．由已知SA=SB，∴直线SB的斜率为-k，∴，∴--------------（7分）②设E（t，0），∵|EM|=|NE|，∴，∴，，，则，∴k=2----------------（8分）∴直线SA的方程为y=2x-1，则，，同理，∴---------------------------（12分）【解析】（Ⅰ）设S（x0，y0）（y0＞0），由已知得F，则|SF|=，由此能求出点S的坐标．（Ⅱ）①设直线SA的方程为y-1=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），由，得ky2-y+1-k=0，所以．由已知SA=SB，知直线SB的斜率为-k，由此能导出直线MN的斜率为定值-．②设E（t，0），由|EM|=|NE|，知k=2．所以直线SA的方程为y=2x-1，则，同理．由此能求出cos∠MSN的值．本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．22.【答案】解：（Ⅰ）函数，，解得x=1，（）极大值是（）；（II）方法一：函数，由（Ⅰ）得：f（x）在x=1处取得极大值1，且该极值是唯一的，则（1-ln x）≤1，即ln x≥2（1-），当且仅当x=1时取“=”，故当i≥2时，ln i＞2（1-）=2-＞2-=2-4（-），因此ln i=ln i＞[2-4（-）]=2（n-1）-4（-1+-+…+-）=2（n-1）-4（-1）=2（-1）2．方法二：下面用数学归纳法证明：ln i＞2（-1）2，对n∈N+，n≥2恒成立．（1）当n=2时，左边=ln2＞ln=，右边=2（-1）2＜2•=，左边＞右边，结论成立；（2）假设当n=k时，结论成立，即ln i＞2（-1）2，当n=k+1时，左边=ln i=ln i+ln（k+1）＞2（-1）2+ln（k+1）=2（-1）2-2（1+2-2）+ln（k+1）而ln（k+1）-2（1+2-2）=ln（k+1）-2+＞ln（k+1）-2+，设f（x）=（1-ln x），由（Ⅰ）得：f（x）在x=1处取得极大值1，且该极值是唯一的，则（1-ln x）≤1，即ln x≥2（1-），当且仅当x=1时取“=”，则ln（k+1）-2+＞0对∀k∈N+恒成立，即2（-1）2-2（1+2-2）+ln（k+1）＞2（-1）2成立，故当n=k+1时，结论成立，因此，综合（1）（2）得ln i＞2（-1）2，对n∈N+，n≥2恒成立．（ⅡI）证明：由（Ⅰ）知方程f（x）=t有两个不同的零点x1，x2，则0＜x1＜1＜x2⇒x2＞2-x1＞1，分析法：要证x1+x2＞2⇔x2＞2-x1＞1⇔f（x2）＜f（2-x1）⇔f（x1）=f（x2）＜f（2-x1）⇔f（x1）-f（2-x1）＜0，令函数h（x）=f（x）-f（2-x），（0＜x≤1），由，得h（x）在（0，1]上递增，h（x）＜h（1）=0，即f（x1）-f（2-x1）＜0成立，由上知x1+x2＞2成立．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数和极值点，单调性，可得极大值；（II）方法一、求得最值，可得（1-lnx）≤1，即lnx≥2（1-），由累加法和两性信箱，即可得证；方法二、运用数学归纳法证明，注意运用假设和f（x）的最值，即可得证；（Ⅲ）运用分析法和构造函数h（x）=f（x）-f（2-x），（0＜x≤1），求得导数和单调性，即可得证．本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查数学归纳法的运用，以及函数的零点问题解法，考查化简运算能力，以及推理能力，属于难题．。
2018-2019学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.直线x+y+1=0与直线x+y−1=0之间的距离是()A. √2B. √22C. 1 D. 12【答案】A【解析】解：直线x+y+1=0与直线x+y−1=0之间的距离是d=|1−(−1)|√12+12=√2．故选：A．根据两条平行直线间的距离公式计算即可．本题考查了求两条平行线间的距离应用问题，是基础题．2.若a<b<0下列不等式中不成立的是的是()A. |a|>|b|B. 1a−b >1aC. 1a>1bD. a2>b2【答案】B【解析】解：∵a<b<0，∴a<a−b<0，∴1a−b <1a．因此B不正确．故选：B．由a<b<0，可得a<a−b<0，可得1a−b <1a.即可判断出．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3.不等式2x−3x−1≤1的解集为()A. (−∞,2]B. [1,+∞)C. (1,2]D. [1,2]【答案】C【解析】解：根据题意，2x−3x−1≤1⇒x−2x−1≤0⇒(x−1)(x−2)≤0且x−1≠0，解可得：1<x≤2，即不等式的解集为(1,2]；故选：C．根据题意，2x−3x−1≤1⇒x−2x−1≤0⇒(x−1)(x−2)≤0且x−1≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查分时不等式的解法，注意将分时不等式变形为整式不等式，属于基础题．4.已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4，a32=a5，则该数列的前5项的和为()A. 20B. 24C. 31D. 32【答案】C 【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+2a1=4，a32=a5，∴a1(q+2)=4，(a1q2)2=a1q4，联立解得a1=1，q=2．∴该数列的前5项的和=25−12−1=31．故选：C．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.设x，y满足{2x+y≥4x−y≥−1x−2y≤2，则z=x+y()A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】解析：如图作出不等式组表示{2x+y≥4x−y≥−1x−2y≤2的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点(2,0)时，z有最小值，但z没有最大值．故选：B．本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件{2x+y=4x−y≥−1x−2y≤2对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案．6.已知两条异面直线，以及空间给定一点，则()A. 必存在经过该点的平面与两异面直线都垂直B. 必存在经过该点的平面与两异面直线都平行C. 必存在经过该点的直线与两异面直线都垂直D. 必存在经过该点的直线与两异面直线都相交【答案】C【解析】解：在A中，如果两条异面直线都垂直于同一平面，则这两条异面直线平行，与已知矛盾，故A 错误；在B中，若该点在这两条异面直线其中一条上，经过该点无法作一平面与两异面直线都平行，故错误；在C中，经过空间一点作与两条异面的公垂线段平行的直线，与两条异面直线都垂直，而且这样的直线有且只有一条，故C正确；在D中，若该点不在两条异面直线的公垂直线段长，则经过该点与两异面直线都相交的直线不存在，故D 错误．故选：C．利用平行公理能判断A的正误；在B中，若该点在这两条异面直线其中一条上，不成立；利用两异面直线的公垂线性质能判断C的正误；在D中，若该点不在两条异面直线的公垂直线段长，不成立．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．7.已知正四面体的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b，若它们的体积相等，则a3：b3的值为()A. 3π：√3B. √3：3πC. √3：2πD. 3π：√2【答案】D【解析】解：正四面体的体积V1=13×√34a2×√a2−(23×√32a)2=√212a3．圆柱的体积V2═π×(b2)2×b=π4b3．它们的体积相等，√212a3=π4b3．∴a3：b3=3π：√2．故选：D．分别求出正四面体和圆柱的体积，根据体积相等列出方程得出比值．本题考查了空间几何体的体积公式，属于基本知识的考查．8.圆心在曲线y=2x(x>0)上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为()A. (x−1)2+(y−2)2=5B. (x−2)2+(y−1)2=5C. (x−1)2+(y−2)2=25D. (x−2)2+(y−1)2=25【答案】A【解析】解：设圆心为(a,2a) (a>0)，则r=|2a+2a+1|√5≥|2√2a⋅2a+1|√5=√5，当且仅当a=1时等号成立．当r最小时，圆的面积S=πr2最小，此时圆的方程为(x−1)2+(y−2)2=5；故选：A．设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离的表达式，求出表达式的最小值，即可得到圆的半径长，得到圆的方程，推出选项．本题是基础题，考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式、基本不等式的应用，考查计算能力．9.三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC，∠BAC=90∘，AB=AC，则下列异面直线所成角最大的是()A. PA与BCB. PB与ACC. PC与ABD. 无法确定【答案】A【解析】解：如图，∵PA=PB=PC，∴顶点P在底面的射影为底面三角形的外心，设为O，∵∠BAC=90∘，AB=AC，∴O为BC的中点，则AO⊥BC，又PO⊥BC，可得BC⊥平面PAO，则PA⊥BC，∴PA与BC所成角为90∘；假设PB⊥AC，∵PO⊥AC，∴AC⊥平面PBC，则AC⊥BC，与∠BAC为90∘矛盾；同理PC与AB所成角小于90∘．故PA与BC所成角为最大角，等于90∘．故选：A．由已知画出图形，证明PA与BC所成角为90∘，再由反证法说明B，C错误，则答案可求．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用反证法证明数学问题，是中档题．10.Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=1，BC=√3，P为△ABC所在平面内一点，PA⊥PC，M为PC中点，则MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为()A. 15+6√38B. 14+7√36C. 22+3√57D. 7+2√74【答案】D【解析】解：以B为坐标原点，建立如图所示的坐标系：∵AB=1，BC=√3，故A(−1,0)，C(0,√3)，AC=2，若P为△ABC所在平面内一点，PA⊥PC，则P落中以AC中直径的圆上，设PC 的中点M(x,y)，则P 点坐标为(2x,2y −√3)，由P 点所在圆的圆心坐标为(−12,√32)，半径为1，故2x =−12+cosθ，2y −√3=√32+sinθ，(θ为参数)，故x =−14+12cosθ，y =3√34+12sinθ，(θ为参数)，即M 点的坐标为(−14+12cosθ,3√34+12sinθ)，故MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−34−12cosθ,−3√34−12sinθ)， MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(14−12cosθ,−3√34−12sinθ)，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =74+2√74sin(θ+φ)，其中tanφ=√39， 故MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为7+2√74故选：D ．以B 为坐标原点，建立坐标系：先求出M 点的坐标为(−14+12cosθ,3√34+12sinθ)，再求出两个向量的坐标，代入数量积公式，结合辅助角公式，进而可得答案．本题考查的知识点是与向量有关的最值问题，综合性强，运算量大，转化困难，属于难题．二、填空题（本大题共6小题，共28.0分）11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______；表面积为______．【答案】2π 8+5π【解析】解：由题意，几何体为底面直径为2，高为2的半圆柱体， 所以几何体的体积是12×π×12×4=2π，表面积为：π×12+2×4+π×4=8+5π． 故答案为：2π；8+5π．由题意，几何体为底面直径为2，高为2的半圆柱体，即可求出几何体的体积以及表面积．本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．12. 已知圆C ：x 2+y 2−2ax −2y +a 2−3=0的圆心在直线1：x +y −3=0上，则a =______；此时圆C 的标准方程为______．【答案】2 (x −2)2+(y −1)2=4【解析】解：∵x 2+y 2−2ax −2y +a 2−3=0， ∴(x −a)2+(y −1)2=4， 故圆心是(a,1)，半径是2，将(a,1)代入直线l 得：a +1−3=0，解得：a =2， 故圆的方程是：(x −2)2+(y −1)2=4， 故答案为：2，(x −2)2+(y −1)2=4．求出圆的标准方程，求出圆心的坐标，代入直线方程求出a 的值，从而求出圆的方程即可． 本题考查了圆的标准方程，考查转化思想，是一道常规题．13. 已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5S 3=3，则a5a 3=______．【答案】179【解析】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则S n =na 1+n(n−1)d2，由S 5S 3=3，得5a 1+10d3a 1+3d =3，即d =4a 1， ∴a 5a 3=a 1+4d a 1+2d=17a 19a 1=179．故答案为：179．设出等差数列的首项，由S 5S 3=3得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式可得a 5a 3．本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和，是基础的计算题．14. 已知正数a ，b ，c 满足3a −b +2c =0，则√acb 的最大值为______．【答案】√612【解析】解：根据题意，设t =√acb，由3a −b +2c =0可得3a +2c =b ，则t =√ac b=√ac 3a+2c=13√a c+2√c a≤12√3√a c⋅2√c a=12√6=√612；当且仅当3a =2c 时“=”成立， 则t ≤√612，即√acb的最大值为√612；故答案为：√612．消去b ，结合基本不等式的性质求出最大值，即可得答案．本题考查基本不等式的运用，关键将3a −b +2c =0变形为3a +2c =b ，本题是一道中档题．15. 在区间(−∞,t]上存在x ，使得不等式x 2−4x +t ≤0成立，则实数t 的取值范围是______． 【答案】[0,4]【解析】解：∵不等式x 2−4x +t ≤0成立， ∴△=(−4)2−4t ≥0， 解得t ≤4①；又x ∈(−∞,t]，不等式x 2−4x +t ≤0成立， ∴x ≤t ≤4x −x 2， 即x ≤4x −x 2， 解得0≤x ≤3， ∴t ≥0②；综上，实数t 的取值范围是[0,4]． 故答案为：[0,4]．根据不等式x 2−4x +t ≤0成立，△≥0求出t ≤4①；再根据x ∈(−∞,t]，不等式x 2−4x +t ≤0成立，得x ≤t ≤4x −x 2，求出0≤x ≤3，得t ≥0②；由此求出t 的取值范围．本题考查了不等式的应用问题，也考查了等价转化思想的应用问题，是基础题目．16. 如图，在等腰Rt △ABC 中，AB =AC =3√2，F 为线段BC 上的点，CF =2，E 为线段AB 上的点，现将四边形AEFC 沿EF 折起，使点A 在平面BEF 上的射影Q 在直线BF 上，且二面角A −EF −B 的大小为60∘，则此时线段AE 的长度为______．【答案】53√2【解析】解：如图所示，在△ABC 中，作AM ⊥EF 交BC 于点Q ，M 点为垂足． ∵点A 在平面BEF 上的射影Q 在直线BF 上，且二面角A −EF −B 的大小为60∘，在折叠图中，∠AMQ 为二面角A −EF −B 的平面角，大小为60∘．∴AM =2MQ ．在△ABC 中，BC 边所在直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系.O 点为坐标原点.BC =3√2×√2=6．则O(0,0)，F(1,0)，A(0,3)，B(−3,0)． 设Q(t,0)，∵QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0)+13(−t,3)=(23t,1)． ∵AQ ⊥MF ，∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,−3)⋅(23t −1,3)=t(23t −1)−9=0． 化为：2t 2−3t −9=0，t <0．解得t =−32.∴M(−1,1)．直线EF 的方程为：y =1−1−1(x −1)，化为：x +2y −1=0． 直线AB 的方程为：−x +y =3．联立为：{x +2y −1=0−x+y=3，解得x =−53，y =43．∴E(−53,43).∴AE =√(−53)2+(43−3)2=53√2． 故答案为：53√2．如图所示，在△ABC 中，作AM ⊥EF 交BC 于点Q ，M 点为垂足.根据点A 在平面BEF 上的射影Q 在直线BF 上，且二面角A −EF −B 的大小为60∘，在折叠图中，∠AMQ 为二面角A −EF −B 的平面角，大小为60∘.可得AM =2MQ.在△ABC 中，BC 边所在直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系.O 点为坐标原点.BC =6.设Q(t,0)，利用QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⊥MF ，可得AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得M 点坐标.联立直线EF 的方程与直线AB 的方程可得E 点坐标.即可得出AE ．本题考查了空间角、相互垂直的直线与数量积之间的关系、平面向量坐标运算性质、两点之间的距离公式、直线交点，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共72.0分）17. 已知圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −4)2+(y −4)2=R 2(R >0)．(Ⅰ)R 为何值时，圆C 1与圆C 2外切；(Ⅱ)在(1)的条件下，设切点为P ，过P 作直线l 与圆C 1相交于E 点，若|PE|=√2，求直线l 的方程． 【答案】解：(Ⅰ)由已知圆的方程可得：C 1(0,0)，C 2(4,4)，则|C 1C 2|=4√2=R +1． ∴R =4√2−1；(Ⅱ)∵C 1(0，0)，C 2(4,4)，∴P 为直线C 1 C 2与圆 C 2的交点(第一象限)． 联立{x 2+y 2=1y=x，得P(√22,√22).当直线斜率存在时，设直线l 的斜率为k ， ∴l ：kx −y +√22(1−k)=0，则圆心C 1到直线l 的距离d =√12−(√22)2=|−√22k+√22|√1+k2，解得：k =0，此时直线方程为y =√22．当直线斜率不存在时，直线方程为x =√22也满足条件．【解析】(Ⅰ)由两圆圆心距与半径的关系列式求得R 值；(Ⅱ)联立直线方程与圆的方程，求出P 的坐标，然后分类求解得答案．本题考查圆与圆位置关系的判定，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．18. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中.(I)证明：AC 1⊥平面A 1BD ；(Ⅱ)求直线CC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值．【答案】(本题满分14分)证明：(Ⅰ)连结AC交BD于点O，∵OC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴OC1⊥BD，又∵AC⊥BD，AC与BD交于点O，∴BD⊥平面ACC1，………………………………(3分)而AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD，……………(4分)同理可证AC1⊥A1B，∵A1B∩BD=B，……(6分)∴AC1⊥平面A1BD．解：(Ⅱ)∵AA1//CC1，故直线CC1与平面A1BD所成角即为直线AA1与平面A1BD所成角，…………(9分)由(1)知AC1⊥平面A1BD，设AC1与平面A1BD的交点为H，由题意知，点H在直线A1Q上，∴直线AA1在平面A1BD上的射影即为直线A1Q，…………………………………(10分)故∠AA1Q即为直线AA1与平面A1BD所成角，………………………………………(11分)设正方体棱长为1，则在Rt△AA1O中，AA1=1,AO=√22,A1O=√62，………………………………(13分)∴直线CC1与平面A1BD所成角的正弦值sin∠AA1O=√33.……………………………(14分)【解析】(Ⅰ)连结AC交BD于点O，推导出OC1⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面ACC1，进而AC1⊥BD，同理AC1⊥A1B，由此能证明AC1⊥平面A1BD．(Ⅱ)由AA1//CC1，得直线CC1与平面A1BD所成角即为直线AA1与平面A1BD所成角，由此能求出直线CC1与平面A1BD所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a n+n2−1(n∈N∗)．(Ⅰ)求a1及{a n}的通项公式；(Ⅱ)记b n=3n−1a n，求{b n}的前n项和T n．【答案】解：(Ⅰ)当n=2时，S2=a1+a2=a2+3，即a1=3，n≥2时，S n=a n+n2−1，S n−1=a n−1+(n−1)2−1，两式相减得a n=a n−a n−1+2n−1，即a n−1=2n−1，综上数列{a n}的通项公式a n=2n+1，n∈N∗；(Ⅱ)b n=3n−1a n=(2n+1)⋅3n−1，前n项和T n=3⋅30+5⋅31+7⋅32+⋯+(2n+1)⋅3n−1，3T n=3⋅3+5⋅32+7⋅33+⋯+(2n+1)⋅3n，两式相减得−2T n=3+2(3+32+⋯+3n−1)−(2n+1)⋅3n=3+2⋅3(1−3n−1)1−3−(2n+1)⋅3n，化简可得T n=n⋅3n．【解析】(Ⅰ)令n=1可得首项；将n换为n−1，两式相减可得所求数列的通项公式；(Ⅱ)求得b n=3n−1a n=(2n+1)⋅3n−1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．20.如图，三棱台ABC−A1B1C1中，上下底面均为正三角形AB=4，A1B1=2，AA1=BB1=CC1=4，设l为平面A1B1C1与平面ABC1的交线．(Ⅰ)证明：l//平面A1ABB1；(Ⅱ)求平面A1B1C1与平面ABC1所成锐二面角的余弦值．【答案】(本题满分15分)证明：(Ⅰ)∵ABC−A1B1C1是三棱台，∴A1B1//AB，∵AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，∴AB//平面A1B1C1.………………………………………………(3分)∵l是平面ABC1与平面A1B1C1的交线，∴AB//l，…………(5分)∵l⊄平面A1B1BA，∴l//平面A1B1BA.………………………(7分)解：(Ⅱ)三棱台ABC−A1B1C1中，平面ABC//平面A1B1C1，平面ABC1和平面A1B1C1所成锐二面角即为平面ABC1和平面ABC所成的锐二面角，………………………………………………………………………………………………(10分)由题意知AC1=BC1，且AC=BC，取AB中点O，连结CO，C1O，则CO⊥AB，C1O⊥AB，∴∠C1OC就是平面ABC1和平面ABC所成的锐二面角的平面角………………………(12分)由题意得C1O=2√5，CO=2√3，且CC1=4，…………………………………………(14分)在△C1OC中，由余弦定理可知cos∠C1OC=2√1515.………………………………(15分)【解析】(Ⅰ)推导出A1B1//AB，从而AB//平面A1B1C1.进而AB//l，由此能证明l//平面A1B1BA．(Ⅱ)平面ABC//平面A1B1C1，平面ABC1和平面A1B1C1所成锐二面角即为平面ABC1和平面ABC所成的锐二面角，由此能求出平面A1B1C1与平面ABC1所成锐二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.已知直线l1：x−y=0与直线l2：x+y−2=0交于点P1，过P1作x轴的平行线与直线l3：x=2交于Q1点，OQ1与l2交于点P2，过P2作x轴的平行线与直线l3：x=2交于Q2点，……，OQ n−1与l2交于点P n，过P n作x轴的平行线与直线l3：x=2交于Q n点，设直线OP n的斜率为1a n，b n=|P n Q n|.(Ⅰ)求a2，a3，a4，b2，b3；(Ⅱ)求a n和b n；(Ⅲ)已知T=1a n+2+1a n+3+1a n+4+⋯+12a n+2，求证：T>2n+23n+4．【答案】解：(Ⅰ)a 2=2，a 3=3，a 4=4，b 2=23，b 3=12 (Ⅱ)设P n (x n ,y n )，Q n (2,y n )，则P n−1(x n−1,y n−1)，Q n−1(2,y n−1)， ∴y n =−x n +2，y n−1=−x n−1+2，直线OP n 的斜率为1a n，故a n =x n y n ，a n−1=x n−1y n−1，y n−1=2a n，∴a n −a n−1=x n y n−xn−1y n−1=2−y n y n−2−y n−1y n−1=2y n−2yn−1=a n+1−a n ，即2a n =a n−1+a n+1，∴{a n }为等差数列，结合(1)易得a n =n ， 而b nbn−1=|2−x n ||2−x n−1|=y n y n−1=a n a n+1=nn+1，(n ≥2)累乘得：b n =2n+1， (Ⅲ)证明：T =1an+2+1a n+3+1a n+4+⋯+12a n+2=1n+2+1n+3+1n+4+⋯+12n+2 倒序相加得：2T =(1n+2+12n+2)+(1n+3+12n+1)+(1n+4+12n )+⋯+(1n+2+12n+2) ≥43n+4+43n+4+43n+4+⋯+43n+4=4(n+1)3n+4，(可由均值不等式当a ，b >0，1a +1b ≥2√ab ≥4a+b ，当且仅当a =b 时取等号) ∴T >2n+23n+4．【解析】(Ⅰ)根据题意代值计算即可，(Ⅱ)设P n (x n ,y n )，Q n (2,y n )，则P n−1(x n−1,y n−1)，Q n−1(2,y n−1)，根据等差数列的定义即可求出通项公式，再利用累乘法可得数列{b n }的通项公式，(Ⅲ)利用倒序相加法求和，再放缩证明即可．本题考查了数列的通项公式的求法和数列求和的方法，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。
浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷及解析
浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.若直线经过0,0O ，(A 两点，则直线OA 的倾斜角为（ ）A.6π B.3π 2.在正方形1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1B D 所成的角为（ ）A.6π B.4π C.3π D.2π 3.已知a R ∈，那么“1a >”是“21a >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.圆224x y+=被直线3450x y ++=截得的弦长为（ ）A.1B.2 D.5.已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列错误．．的是（ ） A.若//m α，n αβ=，则//m n B.若m α⊥，m β⊥，则//αβC.若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥D.若//m n ，m α⊥，则n α⊥ 6.设球O 与圆锥1SO 的体积分别为1V ，2V，若球O 的表面积与圆锥1SO 的侧面积相等，且圆锥1SO 的轴截面为正三角形，则12V V 的值是（ ）7.若圆:C 22()()2x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点，则22a b +的范围是（ ）A.[]2,4B.[]0,4C.[)4,+∞D.[)2,+∞ 8.已知正方体1111-ABCD A B C D 的体积为1，则四棱锥1111-B A B C D 与四棱锥1111-A A B C D 重叠部分的体积是（ ） A.18 B.16 C.524 D.7249.已知点()11,P x y 是单位圆221x y +=上的动点，点()22,Q x y 是直线260x y +-=上的动点，定义1212PQ L x x y y =-+-，则PQ L 的最小值为（ ）A.3- B.6 第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）10.已知直线10=与圆22:280C x y x y b +--+=，(),a b R ∈，交于A ，B 两点，若ABC 的面积的最大值为4，求此时ab =______．11.在三棱锥S ABC -中，底面ABC 是正三角形且SA SB SC ==，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =S ABC -外接球的表面积为______． 12.如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD 的棱长为2，B 是直线l 上的动点，C 是平面α上的动点，求O 到点D 的距离的最大值______．三、解答题（题型注释）13.设命题：实数满足()()20x a x a --<，其中0a >；命题q ：实数x 满足()()216220x x --≤．（1）若1a =，p ，q 都是真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．14.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程；(2) DC 边所在直线的方程．15.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB 平面PCD ，4AB =，2AC =，BC AC ⊥，平面PAC ⊥平面ABCD ，PAC 是正三角形．（1）求证：//CD 平面PAB ；（2）求二面角P AB C 的平面角的正切值．16.如图，已知多面体PABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥平面PAB ，AD =2BC =4，AB =1，PA =2，∠PAB =60°.（Ⅰ）证明：PB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值.17.如图，点P 是直线2x =-上一个动点，过P 做圆()22:11C x y +-=的两条切线PA ，PB 交直线2x =于A ，B 两点．O 是坐标原点，直线AO ，BO 的斜率为AO K ，BO K ．（1）当()2,1P =-时，求AO BO K K ⋅的值；（2）当P 运动时，求AO BO K K ⋅的最小值，并求此时点P 的坐标．四、新添加的题型倾斜角为120，在轴上的截距为1的直线l 的方程为________；直线10ax y ++=与直线l 垂直，则a =________.19.已知圆C 的方程为22220x y x my +--=，若圆C 过点()0,2，则m =______．若圆心C 在直线20x y -=上．则m =______．20.若a ，b ，c 是不同直线，α是平面，若//a b ，b c A =，则直线a 与直线c 的位置关系是______；若a b ⊥，b α⊥，则直线a 与平面α的位置关系是______． 21.ABC 为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置《斜二测画法》的直观图的面积为______．其直观图的周长为______．参考答案1.B【解析】1.由题意利用直线的倾斜角和斜率的概念，利用直线的斜率公式，求得直线OA 的倾斜角. 解：直线经过O （0，0），A 两点，设直线OA 的倾斜角为α，α∈[0，π）， 则tan α＝010-∴α＝3π， 故选：B.2.D【解析】2.以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与1B D 所成的角.解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，则A （1，0，0），C （0，1，0），D （0，0，0），B 1（1，1，1）， AC ＝（﹣1，1，0），1B D ＝（﹣1，﹣1，﹣1），设异面直线AC 与B 1D 所成的角为θ，则cos θ＝11||||||AC B D AC B D ⋅⋅＝0， ∴θ＝2π. ∴异面直线AC 与B 1D 所成的角为2π. 故选：D .3.A【解析】3.利用两个条件之间的推出关系可判断两者的条件关系.当1a >时，21a >成立，取2a =-，此时21a >成立，但是1a >不成立，“1a >”是“21a >”的充分不必要条件，故选：A.4.D【解析】4.求出圆心到直线3450x y ++=的距离，借助由半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形利用勾股定理即可得到弦长.解：依题意，圆x 2+y 2＝4圆心为（0，0），半径r ＝2，所以圆心到直线圆x 2+y 2＝4的距离d ＝1，设弦长为l ，则半径r 、半弦长2l 和弦心距d 构成直角三角形， 所以222212l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得l ＝故选：D.5.A【解析】5.在A 中，m 与n 平行或异面；在B 中，由线面垂直的性质可得//αβ；在C 中，由面面垂直的判定定理得αβ⊥正确；在D 中，由线面垂直的性质可得n α⊥.解：由α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，知：在A 中，∵//m α，n αβ=，∴m 与n 平行或异面，故A 错误；在B 中，∵m α⊥，m β⊥，∴由线面垂直的性质可得//αβ，故B 正确；在C 中，∵m α⊥，m β⊂，∴由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，故C 正确； 在D 中，∵//m n ，m α⊥，∴由线面垂直的性质可得n α⊥，故D 正确.故选：A.6.C【解析】6.设球O 的半径为R ，圆锥1SO 的底面半径为r ，则圆锥1SO 的母线长l ＝2r ，由球O 的表面积与圆锥1SO 的侧面积相等，得r，由此能求出12V V 的值. 解：设球O 的半径为R ，圆锥SO 1的底面半径为r ，则圆锥1SO 的母线长l ＝2r ，由题意得4πR 2＝πrl ＝2πr 2，解得r，33122443133R R V V r πππ∴===⨯故选：C.7.B【解析】7.根据有公共交点得到2224a ab b -+≤和2224a ab b ++≤，相加得到答案.圆:C 22()()2x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点22224a b a ab b ≤-≤∴-+≤；22224a b a ab b ≤+≤∴++≤；两式相加得到2204a b ≤+≤故选：B8.C【解析】8.如图所示，画出重叠部分的图像如图2，利用三棱柱的体积减去三棱锥的体积得到答案. 如图所示：G 为1AB 和1A B 交点，H 为1AC 和1BD 的交点，重叠部分如图2.12111151432424V V V =-=⨯-⨯⨯= 故选：C9.A【解析】9. 利用圆的参数方程与直线的方程分别求出12x x -与12y y -的最小值，比较即可得答案. 解：过,P Q 作x 轴，y 轴的垂线，垂足及其他交点如图所示， 则12x x EF PH GQ -===，12y y CD PG QH -===，由于直线260x y +-=的斜率是2-，当,P Q 都在第一象限时， ①121212PQ L x x y y PG GQ PG GK =-+-=+=+ 111222PK GK PK PK PK =-≥-= 取x 1＝x 2∈[0，1]时等号成立，则y 1y 2＝6﹣2x 2＝6﹣2x 1，则|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|＝|y 1﹣y 2|＝162x -，令x 1＝cos θ（θ∈[0，2π]），则|y 1﹣y 2|＝6﹣2cos θ﹣sin θ＝6（θ+ϕ）≥6 ②12122PQ L x x y y QH PH HL PH PL HL PL =-+-=+=+=+≥取y 1＝y 2∈[0，1] 时等号成立，则x 1x 2＝3﹣22y ＝3﹣12y .则|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|＝|x 1﹣x 2|＝132y -令y 1＝sin θ（θ∈[0，2π]），则|x 1﹣x 2|＝3﹣1sin 2θ﹣cos θ＝3sin （θ+ϕ）≥32-当,P Q 中至少有一个点不在第一象限时，明显1212x x y y -+-的取值会比,P Q 都在第一象限时大，综上可得：|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|的最小值是3故选：A.10.154-【解析】10.当ABC 的面积最大时，AC ⊥BC ，由ABC 面积的最大值为4，可算得b ，从而得到C 到直线的距离等于2，建立方程可求得a 的值，从而得ab 的值.解：∵圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣8y +b ＝0，即（x ﹣1）2+（y ﹣4）2＝17﹣b ；∴圆心C （1，4），半径r当ABC 的面积最大时，AC ⊥BC ，（S △ABC ）max ＝212r ＝4； ∴r 2＝8，即17﹣b ＝8，∴b ＝9；直角三角形ABC 中，AC ＝BC ＝r ，∴C 到直线AB ：ax +y +a ﹣1＝0的距离等于d ＝2，∴d ＝2，∴a ＝512-， ∴ab ＝154-. 故答案为：154-.11.12π【解析】11.根据空间直线平面的垂直问题，得出棱锥的高，转化顶点，补图的正方体的外接球求解正三棱锥S −ABC 的外接球的半径即可.解：取AC 中点D ，则SD ⊥AC ，DB ⊥AC ，又∵SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SDB ，∵SB ⊂平面SBD ，∴AC ⊥SB ，又∵AM ⊥SB ，AM ∩AC ＝A ，∴SB ⊥平面SAC ，∴SA ⊥SB ，SC ⊥SB ，根据对称性可知SA ⊥SC ，从而可知SA ，SB ，SC 两两垂直，将其补为立方体，其棱长为2，其外接球即为立方体的外接球，半径r 2面积S ＝4π×3＝12π.故答案为：12π.12.【解析】12.当线段BC 确定时，观察出当面OCB 和面BCD 共面时，O 到点D 的距离最大，即求点O 到线段BC 距离的最大值即可.解：在线段BC 上任取一点M ，连接OM ，DM ，由三角形三边关系得OM DM OD +≥，当O ，M ，D 三点共线时取等号， 则当面OCB 和面BCD 共面时，OD 最大，当面OCB 和面BCD 共面时，设OBC α∠=，则2sin ,2cos OC OB αα==，则2222cos 3OD OB BD OB BD πα⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭214cos 48cos cos 2αααα⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭424α=+≤+则OD ≤=即O 到点D 的距离的最大值为故答案为：13.（1）()1,2；（2）[]1,2．【解析】13.（1）先分别求出命题p ，q 为真时对应的集合，取交集即可求出x 的范围；（2）根据集合间的基本关系与充分、必要条件的关系列出不等式即可求出a 的取值范围. （1）当1a =时，由()()120x x --<，得{}12P x x =<<.由()()216220x x--≤，所以{}14Q x x =≤≤.因此x 的取值范围是()1,2；（2）可得{}2p x a x a =<<，{}14Q x x =≤≤， 若p 是q 的充分不必要条件所以P Q . 当=P ∅即0a ≤时，因为0a >不成立；当P ≠∅即0a >时，124a a ≥⎧⎨≤⎩[]11,22a a a ≥⎧⇒⇒∈⎨≤⎩， 故a 的取值范围是[]1,2. 14.（1）3x +y +2=0；（2）x −3y +2=0【解析】14.分析：（1）先由AD 与AB 垂直，求得AD 的斜率，再由点斜式求得其直线方程； （2）根据矩形特点可以设DC 的直线方程为x −3y +m =0(m ≠−6)，然后由点到直线的距离得出10=25√10，就可以求出m 的值，即可求出结果. 详解：(1)由题意：ABCD 为矩形，则AB⊥AD， 又AB 边所在的直线方程为：x －3y －6＝0， 所以AD 所在直线的斜率k AD ＝－3， 而点T(－1，1)在直线AD 上．所以AD 边所在直线的方程为：3x ＋y ＋2＝0. (2)方法一：由ABCD 为矩形可得，AB∥DC， 所以设直线CD 的方程为x －3y ＋m ＝0. 由矩形性质可知点M 到AB 、CD 的距离相等 所以＝,解得m ＝2或m ＝－6(舍)．所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.方法二：方程x －3y －6＝0与方程3x ＋y ＋2＝0联立得A （0，-2），关于M 的对称点C （4，2）因AB ∥DC ，所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0. 15.（1）证明见解析；（2）2.【解析】15.（1）推导出AB CD ∥，由此能证明//CD 平面PAB .（2）过P 作PH 垂直AC 于H ，过H 作HE 垂直AB 于E ，连结EP ，则PEH ∠即为所求二面角的平面角，求出PEH ∠的正切值即可. （1）因为//AB 平面PCD ， 平面PCD平面ABCD 于CD ，故AB CD ∥，CD ⊄平面PAB ，AB平面PAB故CD ∥平面PAB ；（2）过P 作PH 垂直AC 于H ，过H 作HE 垂直AB 于E ，连结EP 则PEH ∠即为所求二面角的平面角.又2PH ==1122242AC BC HE AB ⋅=⋅=⋅=，故an 2t PEH ∠==.16.（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）2√5719【解析】16.（Ⅰ）由余弦定理得PB =√3，从而PB ⊥AB ，由AD ⊥平面P AB ，得AD ⊥PB ，再由PB ⊥AB ，能证明PB ⊥平面ABCD ． （Ⅱ）由余弦定理求出cos ∠PDC =910，从而sin ∠PCD =√192，S △ACD ＝2，设直线P A 与平面PCD 所成角为θ，点A 到平面PCD 的距离为h ，由V A ﹣PDC ＝V P ﹣ACD ，得h =√3√19，从而sinθ=ℎPA=2√5719，由此能求出直线P A与平面PCD所成角的正弦值．（Ⅰ）在ΔPBA中，PA=2，AB=1，∠PAB=60°，所以PB2=22+12−2×2×1×cos60°=3，PB=√3，所以PB2+AB2=PA2，PB⊥AB，因为AD∥BC，所以A，B，C，D四点共面.又AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB.又PB⊥AB，AD∩AB=A，所以PB⊥平面ABCD.（Ⅱ）（方法一）在RtΔPBC中，PC=√7，在RtΔPAD中，PD=2√5.在直角梯形ABCD中，CD=√.在ΔPDC中，cos∠PDC=√5)2√5)2√7)22×2√5×√5=910，sin∠PDC=√1−(910)2=√1910.所以SΔPDC=12×2√5×√5×√1910=√192，SΔACD=12×4×1=2.设直线PA与平面PCD所成的角为θ，设点A到平面PCD的距离为ℎ，因为V A−PDC=V P−ACD，所以13×SΔPDC×ℎ=13×SΔACD×PB，即13×√192×ℎ= 13×2×√3，所以ℎ=√3√19，sinθ=ℎPA=√3√19=2√5719，故直线PA与平面PCD所成的角的正弦值为2√5719.（方法二）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAB，BC⊥AB.以点B 为坐标原点，以BA ，BC ，BP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图的空间直角坐标系，则P(0,0,√3)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，D(1,4,0)，所以PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,−√3)，PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,−√3)，CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2,0). 设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ， 设平面PCD 的一个法向量为n ⃑⃑ =(x,y,z)， 由{PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑⃑ =0CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑⃑ =0 得{2y −√3z =0x +2y =0 取y =√3，则z=2，x =−2√3，所以n⃑⃑ =(−2√3,√3,2). 所以sinθ=|PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ ||PA⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=√3+0−2√3|2√19=2√5719，故直线PA 与平面PCD 所成的角的正弦值为2√5719.（方法三）延长DC ，AB 相交于点E ，连结PE . 因为AD∥BC ，AD =2BC ，所以BC 为ΔADE 的中位线，点B ，C 分别为AE ，DE 的中点.所以ΔPDE 为等腰三角形. 取PE 中点F ，连DF ，AF . 所以DF ⊥PE ，AF ⊥PE ，DF ∩AF =F ，所以PE ⊥平面ADF ，又PE ⊂平面PCD ，所以平面ADF ⊥平面PCD .作AH⊥DF 于H ，连PH ，所以AH ⊥平面PCD .所以∠APH 就是直线PA 与平面PCD 所成的角. 因为AF=√3，AD =4，DF =√19， 所以AF 2+AD 2=DF 2，所以AH =√3√19.所以sin∠APH =AH AP=√3√19=2√5719，故直线PA 与平面PCD 所成的角的正弦值为2√5719. 17.（1）13=12AO BO K K ⋅-；（2）82,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】17.（1）当点P 的坐标为（−2，1）时，设直线为()12y k x -=+，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出斜率k 的值，得出切线方程，从而求得点A ，B 的坐标，得出AO BO K K ⋅的値；（2）设出切线方程，找出0y 与k 的关系，根据韦达定理和斜率公式，建立关于0y 的一元二次方程，求出AO BO K K ⋅最小时的0y ，即求出P 的坐标. （1）设切线PA ，PB ：()12y k x -=+， 点C 到PA ，PB ：()12y k x -=+的距离为1，1k =⇒=. PA，PB ：)12y x -=+， 2,13A ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭，2,13B ⎛- ⎝⎭111333==2212AO BO K K +∴⋅⋅-； （2）设()02,P y =-设切线PA ，PB ：()02y y k x -=+，()22000134420k y k y y =⇒+-+-=012201244323y k k y y k k -⎧+=-⎪⎪⇒⎨-⎪⋅=⎪⎩， PA ，PB ：()02y y k x -=+，令2x =，得()012,4A y k =+，()022,4B y k =+，()()()2102001201244=444AO BOk y k y y K K k k y k k +⋅+⋅=+++200416439y y =-≥-， 故当P 在直线上运动083y =，AO BO K K ⋅的最小值为169-，P 点的坐标82,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.10y +-=【解析】18.根据直线倾斜角可得斜率，由斜截式方程可得结果；根据垂直关系可构造方程求得结果. 直线倾斜角为120，∴直线斜率tan1203k ==-∴直线l 的方程为：1y =+10y +-=.直线l 与10ax y ++=垂直，10+=，解得：a =.10y +-=；-19.1 2【解析】19.通过点的坐标代入圆的方程，得到m 值；求出圆的圆心代入直线方程，即可得到m 值即可. 解：圆C 的方程为x 2+y 2﹣2x ﹣2my ＝0，若圆C 过点（0，2）， 则4﹣4m ＝0，解得m ＝1；圆的圆心（1，m ），圆心C 在直线2x ﹣y ＝0上， 可得2﹣m ＝0，解得m ＝2； 故答案为：1；2.20.相交或异面 平行或在平面内【解析】20.由a ∥b ，b ∩c ＝A ，得直线a 与直线c 的位置关系是相交或异面；由a b ⊥，b α⊥，得直线a 与平面α的位置关系a ∥α或a ⊂α. 解：a ，b ，c 是不同直线，α是平面， ∵a ∥b ，b ∩c ＝A ，∴直线a 与直线c 的位置关系是相交或异面.∵a ⊥b ，b ⊥α，则直线a 与平面α的位置关系a ∥α或a ⊂α. 故答案为：相交或异面；平行或在平面内.2【解析】21.画出正ABC 和水平放置的直观图'''A B C ，计算它的面积与周长即可. 解：如图所示ABC 为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置的直观图'''A B C 的面积为'''A B CS12B C O A ''''=⋅⋅12⋅sin45°＝12×2×（12×2×sin60°）×sin45°＝4；其直观图'''A B C 的周长为L A B B C C A ''''''=++12）+2+12）＝..。
2019-2020学年浙江省湖州市高二(上)期中数学试卷试题及解析
2019-2020学年浙江省湖州市高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．若直线经过(0,0)O，A 两点，则直线OA 的倾斜角为( ) A ．6πB ．3πCD2．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1B D 所成的角为( ) A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π3．已知a R ∈，那么“1a >”是“21a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知某几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为( )ABCD5．圆224x y +=被直线3450x y ++=截得的弦长为( ) A ．1B ．2CD．6．已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列错误的是( ) A ．若//m α，n αβ=，则//m n B ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ C ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥D ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥7．设球O 与圆锥1SO 的体积分别为1V ，2V ，若球O 的表面积与圆锥1SO 的侧面积相等，且圆锥1SO 的轴截面为正三角形，则12V V 的值是( )A B C D 8．若圆22:()()2C x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点，则22a b +的取值范围是( ) A ．[2，4]B ．[0，4]C ．[4，)+∞D ．[2，)+∞9．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，则四棱锥1111B A B C D -与四棱锥1111A A B C D -重叠部分的体积是( ) A ．18B ．16C ．524D ．72410．已知点1(P x ，1)y 是单位圆221x y +=上的动点，点2(Q x ，2)y 是直线260x y +-=上的动点，定义1212||||PQ L x x y y =-+-，则PQ L 的最小值为( )A ．3B ．6-CD 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．倾斜角为120︒，在y 轴上的截距为1的直线l 的方程为 ；直线10ax y ++=与直线l 垂直，则a = ．12．已知圆C 的方程为22220x y x my +--=，若圆C 过点(0,2)则m = ，若圆心C 在直线20x y -=上，则m = ．13．若a ，b ，c 是不同直线，α是平面，若//a b ，bc A =，则直线a 与直线c 的位置关系是 ；若a b ⊥，b α⊥，则直线a 与平面α的位置关系是 ．14．ABC ∆为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置（斜二测画法）的直观图的面积为 ，其直观图的周长为 ．15．已知10ax y a ++-=与圆22:280C x y x y b +--+=，(,)a b R ∈，交于A ，B 两点，若ABC ∆面积的最大值为4，求此时a b = ．16．在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是正三角形且SA SB SC ==，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =，则三棱锥S ABC -外接球的表面为 ．17．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD 的棱长为2，B 是直线l 上的动点，C 是平面α上的动点，求O 到点D 的距离的最大值 ．三、解答题：5小题，共74分18．设命题p ：实数x 满足()(2)0x a x a --<，其中0a >；命题q ：实数x 满足(216)(22)0x x --…．（1）若1a =，p ，q 都是真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0)M ，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在直线上．求： （1）AD 边所在直线的方程； （2）DC 边所在的直线方程．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB 平面PCD ，4AB =，2AC =，BC AC ⊥，平面PAC ⊥平面ABCD ，PAC ∆是正三角形．（1）求证：//CD 平面PAB ；（2）求二面角P AB C --的平面角的正切值．21．如图，已知多面体PABCD 中，//AD BC ，AD ⊥平面PAB ，24AD BC ==，1AB =，2PA =，60PAB ∠=︒．（1）证明：PB ⊥平面ABCD ；（2）求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值．22．如图：点P 是直线2x =-上一个动点，过P 作圆22:(1)1C x y +-=的两条切线PA ，PB 交直线2x =于A ，B 两点．O 是坐标原点，直线AO ，BO 的斜率为AO k ，BO k ． （1）当点P 的坐标为(2,1)-时，求AO BO k k 的值；（2）当P 运动时，求AO BO k k 的最小值，并求此时点P 的坐标．2019-2020学年浙江省湖州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．若直线经过(0,0)O ，A 两点，则直线OA 的倾斜角为( )A ．6πB ．3πC D【解答】解：直线经过(0,0)O ，A 两点，设直线OA 的倾斜角为α，[0α∈，)π，则tan α==3πα∴=， 故选：B ．2．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1B D 所成的角为( ) A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为1，则(1A ，0，0)，(0C ，1，0)，(0D ，0，0)，1(1B ，1，1)， (1AC =-，1，0)，1(1B D =-，1-，1)-，设异面直线AC 与1B D 所成的角为θ， 则||cos 0||||AC BD AC BD θ==，2πθ∴=．∴异面直线AC 与1B D 所成的角为2π．故选：D ．3．已知a R ∈，那么“1a >”是“21a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由21a >得1a >或1a <-， 即“1a >”是“21a >”的充分不必要条件， 故选：A ．4．已知某几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为( )A B C D 【解答】解：由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥，棱锥的顶点在底面的射影是斜三角形的顶点，且棱锥的底面是一个以2 棱锥的高为2，故棱锥的体积112232V =⨯⨯=．故选：B ．5．圆224x y +=被直线3450x y ++=截得的弦长为( )A ．1B ．2C D ．【解答】解：依题意，圆224x y +=圆心为(0,0)，半径2r =， 所以圆心到直线圆224x y +=的距离1d ==，设弦长为l ，则半径r 、半弦长2l和弦心距d 构成直角三角形，所以2222()12l=+，解得l =， 故选：D ．6．已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列错误的是( ) A ．若//m α，n αβ=，则//m n B ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ C ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥D ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥【解答】解：由α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，知： 在A 中，//m α，n αβ=，m ∴与n 平行或异面，故A 错误；在B 中，m α⊥，m β⊥，∴由面面垂直的判定定理得//αβ，故B 正确； 在C 中，m α⊥，m β⊂，∴由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故C 正确； 在D 中，//m n ，m α⊥，∴由线面垂直的判定定理得n α⊥，故D 正确． 故选：A ．7．设球O 与圆锥1SO 的体积分别为1V ，2V ，若球O 的表面积与圆锥1SO 的侧面积相等，且圆锥1SO 的轴截面为正三角形，则12V V 的值是( ) ABCD【解答】解：设球O 的半径为R ，圆锥1SO 的底面半径为r ， 则圆锥1SO 的母线长2l r =，由题意得2242R rl r πππ==，解得r =，∴12V V ===． 故选：C ．8．若圆22:()()2C x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点，则22a b +的取值范围是( ) A ．[2，4]B ．[0，4]C ．[4，)+∞D ．[2，)+∞【解答】解：根据题意，知(,)C a b ，因为圆C 与直线都有公共点，所以点C 到这两条直线的距离1d =2d =即22a b -+剟；22a b --剟，作出不等式组表示的平面区域如下图：则可行域为正方形，根据22a b +的几何意义可知其表示点(,)a b 到原点距离的平方， 所以22a b +最大值为224=，最小值为0，所以22a b +范围为[0，4]． 故选：B ．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，则四棱锥1111B A B C D -与四棱锥1111A A B C D -重叠部分的体积是( ) A ．18B ．16C ．524D ．724【解答】解：如图，设11A BAB E =，11AC BD O =，11DC CD F =，∴四棱锥1111B A B C D -与四棱锥1111A A B C D -重叠部分的体积是：111111A EB D FC O D FC V V V --=- 11115111434224=⨯⨯⨯-⨯⨯=．故选：C ．10．已知点1(P x ，1)y 是单位圆221x y +=上的动点，点2(Q x ，2)y 是直线260x y +-=上的动点，定义1212||||PQ L x x y y =-+-，则PQ L 的最小值为( )A ．3B ．6-CD 【解答】解：①取12[0x x =∈，1]，则1y =，2216262y x x =-=-，则1212121||||||62x x y y y y x -+-=-=-，令1cos ([0,])2x πθθ=∈，则12||62cos sin y y θθ-=--6)6θϕ=+-…；②取12[0y y =∈，1]，则1x =，2123322y yx =-=-．则1121212||||||32y x x y y x x -+-=-=-，令1sin ([0,])2y πθθ=∈，则121||3sin cos 3)32x x θθθϕ-=--=+…．综上可得：1212||||x x y y -+-的最小值是3-． 故选：A ．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．倾斜角为120︒，在y 轴上的截距为1的直线l 的方程为 1y =+ ；直线10ax y ++=与直线l 垂直，则a = ．【解答】解：倾斜角为120︒，在y 轴上的截距为1的直线l 的方程为：tan1201y x =︒+，即1y =+．直线10ax y ++=与直线l 垂直，则tan1201a -⨯︒=-，解得a =．故答案为：1y =+，． 12．已知圆C 的方程为22220x y x my +--=，若圆C 过点(0,2)则m = 1 ，若圆心C 在直线20x y -=上，则m = ．【解答】解：圆C 的方程为22220x y x my +--=，若圆C 过点(0,2)， 则440m -=，解得1m =；圆的圆心(1,)m ，圆心C 在直线20x y -=上， 可得20m -=，解得2m =； 故答案为：1；2．13．若a ，b ，c 是不同直线，α是平面，若//a b ，bc A =，则直线a 与直线c 的位置关系是 相交或异面 ；若a b ⊥，b α⊥，则直线a 与平面α的位置关系是 ． 【解答】解：a ，b ，c 是不同直线，α是平面， //a b ，bc A =，∴直线a 与直线c 的位置关系是相交或异面．a b ⊥，b α⊥，则直线a 与平面α的位置关系//a α或a α⊂． 故答案为：相交或异面，//a α或a α⊂．14．ABC ∆为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置（斜二测画法）的直观图的面积为 ，其直观图的周长为 ． 【解答】解：如图所示，ABC ∆为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置的直观图△A B C '''的面积为111sin 452(2sin 60)sin 45222A B C SB C O A '''=''''︒=⨯⨯⨯⨯︒⨯︒=； 其直观图△A B C '''的周长为：112)2)222L A B B C C A =''+''+''=++=215．已知10ax y a ++-=与圆22:280C x y x y b +--+=，(,)a b R ∈，交于A ，B 两点，若ABC ∆面积的最大值为4，求此时a b = 4． 【解答】解：圆22:280C x y x y b +--+=，即22(1)(4)17x y b -+-=-；∴圆心(1,4)C ，半径r =；当ABC ∆的面积最大时，AC BC ⊥，21()42ABC max S r ∆==； 28r ∴=，即178b -=，9b ∴=；直角三角形ABC 中，AC BC r ==，C ∴到直线:10AB ax y a ++-=的距离等于2d =，2d ∴==512a ∴=-， 154ab ∴=-． 故答案为：154-．16．在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是正三角形且SA SB SC ==，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =，则三棱锥S ABC -外接球的表面为 12π ．【解答】解：取AC 中点D ，则SD AC ⊥，DB AC ⊥，又SD BD D =，AC ∴⊥平面SDB ，SB ⊂平面SBD ，AC SB ∴⊥， 又AM SB ⊥，AM AC A =，SB∴⊥平面SAC，⊥，∴⊥，SC SBSA SB根据对称性可知SA SC⊥，从而可知SA，SB，SC两两垂直，将其补为立方体，其棱长为2，其外接球即为立方体的外接球，半径2r==积4312Sππ=⨯=．故答案为：12π．17．如图，直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD的棱长为2，B是直线l上的动点，C是平面α上的动点，求O到点D的距离的最大值【解答】解：由题意，直线BC与动点O的位置关系是：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线段长）+半径1=+．∴到点D=O．三、解答题：5小题，共74分18．设命题p ：实数x 满足()(2)0x a x a --<，其中0a >；命题q ：实数x 满足(216)(22)0x x --…．（1）若1a =，p ，q 都是真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，(1)(2)0x x --<解得12x <<，(216)(22)0x x --…解得2216x 剟，即14x 剟， 所以当p ，q 都是真命题时，解得12x <<，故实数x 的取值范围为(1,2)；（2）命题:2p a x a <<，因为p 是q 的充分不必要条件，所以(,2)[1a a Ü，4]，124a a ⎧⎨⎩……， 解得12a 剟，故实数a 的取值范围为[1，2]． 19．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0)M ，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在直线上．求：（1）AD 边所在直线的方程；（2）DC 边所在的直线方程．【解答】解：（1）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-又因为点(1,1)T -在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．320x y ++=．（2）M 为矩形ABCD 两对角线的交点，则点M 到直线AB 和直线DC 的距离相等 //DC AB∴可令DC 的直线方程为：30(6)x y m m -+=≠-M 到直线AB 的距离d ==M ∴到直线BC=2m ∴=或6-，又6m ≠-2m ∴=DC ∴边所在的直线方程为：320x y -+=20．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB 平面PCD ，4AB =，2AC =，BC AC ⊥，平面PAC ⊥平面ABCD ，PAC ∆是正三角形．（1）求证：//CD 平面PAB ；（2）求二面角P AB C --的平面角的正切值．【解答】解：（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，//AB 平面PCD ， //AB CD ∴，CD ⊂/平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，//CD ∴平面PAB ．（2）解：4AB =，2AC =，BC AC ⊥，平面PAC ⊥平面ABCD ，PAC ∆是正三角形． ∴以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1P ，0，(2A ，0，0)，(0B ，，0)，(1AP =-，0，(2AB =-，，0)，设平面PAB 的法向量(n x =，y ，)z ，则020n AP x n AB x ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1z =，得(3n =，1，1)，平面ABC 的法向量(0m =，0，1)，设二面角P AB C --的平面角为θ，则||cos ||||5m n m n θ===，sin θ== sin tan 2cos θθθ==． ∴二面角P AB C --的平面角的正切值为2．21．如图，已知多面体PABCD 中，//AD BC ，AD ⊥平面PAB ，24AD BC ==，1AB =，2PA =，60PAB ∠=︒．（1）证明：PB ⊥平面ABCD ；（2）求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值．【解答】证明：（1）在PBA ∆中，2PA =，1AB =，60PAB ∠=︒，241221cos603PB ∴=+-⨯⨯⨯︒=，PB ∴=，222PB AB PA ∴+=，PB AB ∴⊥，//AD BC ，A ∴，B ，C ，D 四点共面，又AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，AD PB ∴⊥，又PB AB ⊥，AD AB A =，PB ∴⊥平面ABCD ．解：（2）在Rt PBC ∆中，PC =Rt PAD ∆中，PD =在直角梯形ABCD 中，CD =，在PDC ∆中，9cos 10PDC ∠==，1sin 2PCD ∠=⨯=，14122ACD S ∆=⨯⨯=， 设直线PA 与平面PCD 所成角为θ，设点A 到平面PCD 的距离为h ，A PDC P ACD V V --=，∴1133PDC ACD S h S PB ∆∆⨯⨯=⨯⨯，即11233h =⨯解得h =，sin h PA θ===，∴直线PA 与平面PCD ．22．如图：点P 是直线2x =-上一个动点，过P 作圆22:(1)1C x y +-=的两条切线PA ，PB 交直线2x =于A ，B 两点．O 是坐标原点，直线AO ，BO 的斜率为AO k ，BO k ．（1）当点P 的坐标为(2,1)-时，求AO BO k k 的值；（2）当P 运动时，求AO BO k k 的最小值，并求此时点P 的坐标．【解答】解：（1）当点P 的坐标为(2,1)-时，设直线为1(2)y k x -=+，根据直线与圆相切，1d ==，得213k =，得k =或者k =所以两条切线的方程为2)1,2)1y x y x ++=++，把2x =代入得(2,1(2,1A B +-所以17(146AO BO K K =+=-． （2）设(2,)P m -，设切线的方程为(2)y k x m =++，由1d =，化简得2234(1)20k m k m m +-+-=，根据韦达定理2121224(1),33m m m k k k k --=+=-， 设1(2,)A y ，2(2,)B y ，当2x =时，114y k m =+，224y k m =+，124AO BO y y k k =，代入化简得222121211418164()()443439AO BO k k k k m k k m m m m =+++=-=--， 所以当83m =时，AO BO k k 最小， 综上，8(2,)3P -．。
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- 1 - 浙江省湖州市菱湖中学2019年10月2018～2019学年度高2021届高2018级高二数学上学期期中试题 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.直线0433yx的倾斜角大小是( )
A.6 B.3 C. 65 D.32 2.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形''''OABC的面积为2,则原梯形的面积为( ) A. 4 B. 22 C. 2 D. 2 3.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.过点0,1且与直线210xy垂直的直线方程是( ) A.220xy B.210xy C.210xy D.210xy
5.下列有关命题的说法正确的是( )
A.函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数 B.命题“若x＝y,则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题 C.“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件 D.命题“若x2＝1,则x＝1”的否命题为“若x2＝1,则x≠1” 6.已知nm,是两条不同直线,,,是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) A.若,mm,则 B.若,,则// C.若//,//mm,则// D.若,//mn,则mn 7.点P(4,－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 8.设P是椭圆x29＋y25＝1上一点,M,N分别是两圆:(x＋2)2＋y2＝1和(x－2)2＋y2＝1上的点,则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( ) A.2,6 B.4,8 C.6,8 D.8,12 - 2 -
9.已知F1,F2是椭圆C:x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点, 且PF→1⊥PF→2.若△PF1F2的面积为9,则b＝( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H.则以下命题中,错误的命题是( ) A.点H是△A1BD的垂心 B.AH垂直于平面CB1D1 C.AH延长线经过点C1 D.直线AH和BB1所成角为45°
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分) 11.一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体的表面积．．．是 ,体积．．
是 .
12.已知直线l1:ax＋3y－1＝0与直线l2:2x＋(a－1)y＋1＝0,若
12ll,则a ；若12ll∥,则a .
13.长方体1111ABCDABCD中,1ADAB,21AA,则异面直线1AA与1BD所成角的大小是 ；1BD与平面
11AADD所成角的大小是 .
14.一球内切于底面半径为3,高为3的圆锥,则内切球半径是 ；内切球与该圆锥的体积之比为 .
15.过点(3,－5),且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆标准方程为____________.
16.设椭圆C:x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于________. 17.正方体1111DCBAABCD中,QNM,,分别是棱BCDACD,,1111的中点,点P在对角线1BD上,给出以
下命题: ①当P在1BD上运动时,恒有//MN面APC；
(第11题图) 俯视图
侧视图正视图
112
2- 3 -
②若MPA,,三点共线,则321BDBP； ③若321BDBP,则C1Q // 面APC； ④过M、N、Q三点的平面截正方体所得的截面是正六边形； ⑤若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线1AB和
11CA所成的角都为60的直线有n条,则7nm.
其中正确命题为 .(填写正确命题的编号)
三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.已知椭圆C:x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2,0),离心率为63. (1)求椭圆C的标准方程； (2)求椭圆C的长轴和短轴的长.
19.已知p:；q:. (1)若p是q的必要条件,求m的取值范围； (2)若┐p是┐q的必要不充分条件,求m的取值范围.
20.已知圆22:14Cxy内有一点1,12P,过点P作直线l交圆C于,AB两点. (1)当点P为AB中点时,求直线l的方程； (2)当直线l的倾斜角为45时,求弦AB的长. - 4 -
EFDBCAP 21.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB＝3,E在CC1上且CE＝2EC1. (1)若F是AB的中点,求异面直线C1F 与AC所成角的大小； (2)求三棱锥B1—DBE的体积.
22.如图所示,已知四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PA平面ABCD, 60,,ABCEF分别是,BCPB的中点.
(1)证明:AE平面PAD； (2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为3,求二面角BAFC的正切值. - 5 -
菱湖中学2018学年第一学期高二数学期中考试答案 一、 选择题 1、C 2、A 3、A 4、C 5、B 6、D 7、A 8、B 9、C 10、D 二、 填空题
11、, 6 12、 ,3 13、 14、1, 15、y220＋x24＝1 16、33 17、②③④⑤
三、 解答题 18、(1)＋＝1；…………………………………… 8分 (2)；…………………………………… 14分 19.解:由得,即p:, q:.
Ⅰ若p是q的必要条件, 则,即,即, 解得, 即m的取值范围是 …………………………………… 7分 Ⅱ是的必要不充分条件, 是p的必要不充分条件. 即,即,解得或. 即m的取值范围是或. …………………………………… 15分
20.解:(1)已知圆错误！未找到引用源。的圆心为错误！未找到引用源。,∵10=2112CPk,直线错误！未找到引用源。的方程为11()122yx错误！未找到引用源。,即- 6 - MH
EFDBCA
P
N
13+24yx ……………………………………… 7分
(2)当直线错误！未找到引用源。的倾斜角为错误！未找到引用源。时,斜率为1错误！未找
到引用源。,直线错误！未找到引用源。的方程为1+2yx错误！未找到引用源。,圆心错误！
未找到引用源。到直线错误！未找到引用源。的距离为11032242d,又∵圆的半径为2错误！未找到引用源。, ∴弦错误！未找到引用源。的长为22324622()42错误！未找到引用源。. …………………………………… 15分
21.证明(1):连接AC,A1C1, ∵AC//A1C1,∴∠F C1 A1(或其补角)是异面直线C1F 与AC所成角,………………3分
在△F C1 A1中,111135932,,22ACAFCF
22211
935(32)()()222cos922322FCA
∴异面直线C1F 与AC所成角为4. …………………………8分 (2)由题意得, 1111119333=3322BDBEDBEBBEBVVSDC.…………………15分
22.解:(1)PA面ABCD,AE面ABCD,PAAE； 又底面ABCD为菱形,60ABC,E为BC中点, ,//,,AEBCADBCAEAD AE面PAD； ……………………………………7分
(2)AE面PAD,AHE是EH与面PAD所成角,
tan,AEAHEAHPOAH时,AH最小,tanAHE最
大,AHE最大, - 7 -
令2AB,则3,1AEAH,在RtAHD中,2,30ADADH, 在RtPAD中,233PA, PA面ABCD,面PAB面ABCD,且交线为AB,取AB中点M,
正ABC中,,CMABCM面PAB, 作MNAF于N,连CN,由三垂线定理得CNAF, MNC是二面角BAFC的平面角.3CM.
在PAB中,23,2,3BFAFAB边AF上的高11,2BGMN,
tan23CMMNCMN. ……………………………………15分