高斯小学奥数五年级上册含答案_第10讲_约数与倍数

第十讲约数与倍数

在前面的章节，我们学习了数论中的整除和质数合数等知识．今天，我们来学习数论中

有关约数与倍数的知识．

约数和倍数的定义是这样的：对整数a和b，如果|a b，我们就称a是b的约数（因数），b是a的倍数．

=⨯=⨯=⨯，根据定义，我们很容易找到一个数的所有约数，例如对12：因为121122634

可知12可以被1、2、3、4、6、12整除，那么它的约数有1、2、3、4、6、12，共6个．

从上面12的分拆可以看出，约数具有“成对出现

．．．．”的特征，也就是：最大约数对应最小约数、第二大约数对应第二小约数等．所以在写一个数的所有约数时，可以逐对写出．另外如果计算较大约数不太方便，可以转而计算与其成对的较小约数．

例题1．12345654321的第三大约数是多少？

「分析」第三大约数有点大，那我们可以先求出第三小的约数，再根据它计算第三大的约数．12345678987654321的第二大约数是多少？

从上面的分析知，可以通过枚举的方法逐对写出一个数的所有约数，从而可就算出它的约数个数．但是对很大的数，例如20120000，用枚举来计算个数便很麻烦，所以我们要采用新的方法计算．

以72为例，首先采用枚举可知72共12个约数，分别为1、72；2、36；3、24；4、18；

6、12；8、9．因为72的约数能整除72，而72的所有质因数也都能整除72，所以对72进行质因数分解，有：32

=⨯，那么72的所有约数应当由若干个2与若干个3构成．显7223

然，2有0个到3个共4种选择；3有0个到2个共3种选择，根据乘法原理，72的约数共⨯=个，见下表（注意021

4312

=、031

=）：

从72的这个例子，我们可以总结出计算约数个数的一个简单做法：

约数个数等于指数加1再相乘

例题2．下列各数分别有多少个约数？

23， 64， 75， 225， 720．

「分析」熟练掌握约数个数的计算公式即可．

下列各数分别有多少个约数？

18， 47， 243， 196， 450．

例题3．3600有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？

「分析」约数既然能整除3600，那说明约数一定包含在3600的因数中．我们知道4223600235=⨯⨯，

那么3600的所有约数一定是由若干个2、若干个3和若干个5组成的．如果约数是3的倍数，那么它至少要含有多少个3？

3456共有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？

前面介绍过，一个数的约数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数，所以平方数有奇数个约数，根据上面关于约数个数的知识我们可以知道，有奇数个约数的数一定是平方数．．．．．．．．．．．．．．，有偶数个约数的数一定不是平方数．．．．．．．．．．．．．．．

． 72 20 21 22 23 30 00231⨯= 10232⨯= 20234⨯= 30238⨯= 31 01233⨯= 11236⨯=

212312⨯=

312324⨯= 32

02239⨯=

122318⨯= 222336⨯=

322372⨯=

例题4．在小于1000的正整数中，有多少个数有奇数个约数？

「分析」有奇数个约数的数一定是平方数，所以只要找出有多少个平方数小于1000即可．

在2000到3000中，有多少个数有奇数个约数？

把一个数分解质因数后，可以知道它的约数个数，反过来，如果知道一个数的约数个数，虽然并不能知道这个数是多少（例如6和10都有4个约数），但可以知道这个数的质因数分解式的形式，例如有2个约数的数一定是质数，有4个约数的数是3a 或b c ⨯（a 、b 、c 都是质数）．下面以16个约数为例，来看一下如何反求质因数分解式：

先对16进行分解：162844

2242222=⨯=⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯． 所以质因数分解式为：15

、7

⨯

、3

3

⨯

、3

⨯⨯

、⨯

⨯

⨯

．

例题5．有12个约数的数最小是多少？有多少个两位数的约数个数是12个？

「分析」有12个约数的数有什么样的特点呢？2310823=⨯，根据约数个数的计算方法可知108有12个约数．除此之外，3223⨯，3225⨯，甚至形如32a b ⨯（a 、b 为不同的质数）均有12个约数．想一想还有没有其他的可能？

关于约数的另一类问题是计算约数和，下以72为例，先利用上面的表格列出72的所有约数，并计算出行和：

现在把3个行和相加，得到72的约数和是()()

012301222223331513195+++⨯++=⨯=．

72 20 21 22 23 行和

30 0023⨯ 1023⨯ 2023⨯ 3023⨯ 01230(2222)3+++⨯ 31 0123⨯

1123⨯

2123⨯

3123⨯

01231(2222)3+++⨯ 32

0223⨯ 1223⨯ 2223⨯ 3223⨯

01232(2222)3+++⨯

根据这个例子，我们可以总结出计算约数和的一般方法：

32a b c ⨯⨯的约数和为()()

()232111a a a b b c +++⨯++⨯+．

例题6．计算下列数的约数和：108、144． 「分析」熟练掌握约数和的计算公式即可．