弹性力学 课后习题解答

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习题解答

第二章

2.1计算：(1)pi iq qj jk ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 解：(1)pi iq qj jk

pq qj jk pj jk pk ;

(2)()pqi ijk jk

pj qk pk qj jk pq qp e e A A A A ;

(3)()ijp klp ki lj

ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B 。

2.2证明：若ij

ji a a ，则0ijk jk e a 。

证：20ijk jk

jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a 。

2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：

2[,,] a a a b a c

b a b b b

c a b c c a c b c c

证：123111

2

123222123333

[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。

2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：

()()()()()() a b c d a c b d a d b c

证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e a b c d e e ()()()()()i j l m il jm im jl i i j j i i j j a b c d a c b d a d b c ()()()() a c b d a d b c 。

2.5设有矢量i i u u e 。原坐标系绕z 轴转动 系，如图2.4所示。试求矢量u 解：11cos ，12sin ，130 ， 21sin ，22cos ，230 ， 310 ，320 ，331 。 1112cos sin i i u u u u ，

2 2212sin cos i i u u u u ，

333i i u u u 。

2.6设有二阶张量ij i j T T e e 。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T 在新坐标系

中的分量11T 、12T 、13T 和33T 。 解：变换系数同上题。

1122112212211111sin2222

i j ij T T T T T T

T T

， 12211221221112sin2222

T T T T T T

T ，

131323cos sin T T T ， 3333T T 。

2.7设有3n

个数12n i i i A ，对任意m 阶张量12m j j j B ，定义 121212

12

n m

n

m

i i i j j j i i i j j j C A B

若1212n m i i i j j j C 为n m 阶张量，试证明12n i i i A 是n 阶张量。

证：为书写简单起见，取2n ，2m ，则

ijkl ij kl C A B ，

在新坐标系中，有

i j k l i j k l C A B (a)

因为ijkl C 和kl B 是张量，所以有

i j k l i i j j k k l l ijkl i i j j ij k k l l kl i i j j ij k l C C A B A B

比较上式和式(a)，得

()0i j i i j j ij k l A A B

由于B 是任意张量，故上式成立的充要条件是 i j i i j j ij A A

即ij A 是张量。

2.8设A 为二阶张量，试证明tr I A A 。

证：=()()===tr jk j k jk i j i k jk ij ik ii i i A A A A I A A e e e e e e e e 。

2.9设a 为矢量，A 为二阶张量，试证明：

3

(1)()T T a A A a ，(2)()T T A a a A 证：(1) ()()()T T

T T ji i j k k ji i k jkn n A a A a e A a e e e e e

()T ji k jkn i n jn k jki i n A a e A a e e e e e

k k jn j n a A a A e e e 。

(2) ()()()T T

T T i i kj j k kj i ijn n k a A A a e a A e e e e e

()nj i ijk n k nj n i jik k A a e A a e e e e e

nj n j i i A a A a e e e

2.10已知张量T 具有矩阵

123[]456789

T

求T 的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。

解：T 的对称部分具有矩阵

1351

][])3572579T

T T ，

T 的反对称部分具有矩阵

0121

][])1012210T

T T 。

和反对称部分对应的轴向矢量为 1232 ωe e e 。

2.11已知二阶张量T 的矩阵为

310[]130001

T

求T 的特征值和特征矢量。

解：2310130(1)[(3)1]0001

由上式解得三个特征值为14 ，22 ，31 。

将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为