《大学数学概率论及试验统计》第五章_课后答案(余家林主编)

7、若 X~F（ 5，3） ，P {X < 9.01} =0.95，Y~F（ 3，5） ，P=0.95，试写出有关的双侧分位数。 解: 若 X~F(5,3)
因 P {X < 9.01} =0.95， 则 F0.05 ( 5,3) =
又 F0.95(3,5)=5.41,
w.
解：Xi ～N(0,0.3 ) 则
w.
即 F0.95(5,3)=9.01;
co m
10
3、分位数（ 1） F0.05 (7,5) ， （ 2） F0.95 (10,12 ) 。
∑x
i =1
2 i
> 1.44 。
=1－P{
1 10 2 ∑ X i ≤ 16 }=1-0.9=0.1 0.09 i =1
（注意最后一步的查表方法）
6、若 X~x2(4)， P{X<0.71}=0.05， P{X<9.49}=0.95，试写出有关的双侧分位数。 解: 0.71 及 9.49 为双侧 0.1 分位数
案 网
又 X~N (0,1) ,P{X<－1.96}=0.025, P{X>1.96}=0.025,所以-1.96 与 1.96 是双侧 0.05 分位数.
2
1 是双侧 0.1 分位数字 (对应于 F (5,3) 的 ) 5.41 1 同理: 对于 F(3,5) , 与 5.41 是双侧 0.1 分位数 9.01
故 9.01 与
kh
即
da
1 1 = F0. 95 (3,5) 5.41
1 10 2 2 ∑ X i ～ χ (10) 0.09 i=1
课
后 答
课
2 10 10 2 1.44 Xi − µ = P χ 2 > 16 =1-0.9=0.1。 P ∑ X i > 1.44 = P ∑ > σ 0 . 09 i =1 i =1
da
(
后 答
X −µ 解：∵X～N(0,0.09)，∴μ=0, σ=0.3， χ = ∑ i ~ χ 2 (10 ) σ i =1
解：因 P{X<1.96}=0.975, 故 P{x > 1.96} = 0.025 , 即 1.96 是上侧 0.025 分位数,
5、若 t0.95(4) =2.132，试写出有关的上侧分位数与双侧分位数。 解: 2.132 是上侧 0.05 分位数, －2.132 和 2.132 为双侧 0.1 的分位
∗
(7 )s ∗ = 10.188, (8 )cv = s
kh
9
24.5 组上限 24.5 29.5 组中值 22 27 频数 8 11
da
29.5 34.5 34.5 39.5 32 37 13 18 39.5 44.5 42 18 44.5 49.5 47 15
(10)中位数为 x3=51.3;
{
= Φ (0.25) − Φ (− 0.75) = 0.5987 − (1 − 0.7734) =0.3721
案 网
2 10
2. 设总体 X～N(0,0.09)有一个容量为 10 的样本，试求 ∑ X i2 >1.44 的概率。
i
kh
}
1 n 1 , 4
3. 设总体的X服从N(1,4)分布，样本容量为16，均值为 X ，试求： ① P{|X-0.5|<1}；② P{| X -0.5|<1} 。 解：① P X − 0.5 < 1 = P{− 0.5 < X < 0.5} = Φ
组下限 19.5
ww
(4 )s 2
=
w.
(1)∑ ni xi
i =1 9
试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本 方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8) 样本变异系数，(9)众数， (10)中位数，(11)极差，(12)75% 分位数。 解：设组中值依次为 x1 , x2 ,L , x9 , 频数依次为 n1 , n2 ,L , n9 , n = n1 + n2 + L + n9 = 100
(1)∑ xi = 257.7 ， (2 )x = ∑ xi = 51.54
i =1 i =1 5 5
5
5
(3) ss=
2 ∑ (x i − x ) = ∑ x i2 − nx 2 =13307.84－5×51.542=25.982 i =1 i =1
(7)s*=2.5486; (8)cv=
2. 观测100支金冠苹果枝条的生长量(单位：cm)得到频数表如下：
95
(4)s2 =
案 网
1 1 1 5 ( x i − x )2 = ss=5.1964, (5)s=2.28; (6)s*2= ss =6.4955 ∑ 5 n −1 5 i= 1
co m
(10 ) n = 50,中位数为 37 + 42 = 39.5 , (11)极差为62 − 22 = 40
2 x−a sx ；② s 2 y= 2 。 b b
∑ ( x i − x ) 2 ，s y = n ∑ ( y i − y )2 ，试证明：①
i i
1
x−a 1 n 1 n xi − a 1 n 1 n = ( ) = x i − na y = x − a ∑ i ∑ ∑ i ∑ = nb i =1 b n i =1 n i= 1 b bn i= 1
课
后 答
s∗ × 100 =4.945;(9)每个数都是一个, 故没有众数. x
(11)极差为 54.5－47.8=6.7;(12)0.75 分位数为 53.2.
9 1 n x = 39.5 ∑ n1 + L n9 i=1 i i
x
×100 = 25.79, (9)众数是37或 42
w.
49.5 54.5 52 10 54.5 59.5 59.5 64.5 57 62 4 3
2. 设总体 X 服从 N(0,1)分布，试写出样本 X1 .,X2 ，… ,Xn 的联合分布密度。 解：X∼N(0,1)，即 X 分布密度为： p ( x ) = X 1 、X 2 、…、X n 的联合分布密度为：
1 2π
2
e
−
x2 2
， − ∞ < x < +∞
1
2
n
i =1
－∞<xi<∞,i=1,2,… ,n
8、设 X 1 , X 2 ,......, X 10 相互独立且都服从 N（ 0， 0.09）分布，试求 P
ww
Xi ～N（0，1） ，i=1,2,3…10 0.3
2
Xi 2 ～ χ (10), ∑ i =1 0.3
10
P{ ∑ X i2 >1.44}=P{
i =1
10
1 10 2 1.44 1 10 2 1.44 }=1-P{ } ∑Xi > ∑Xi ≤ 0.09 i =1 0.09 0.09 i =1 0.09
2 2
(12 ) Q n1 + n 2 + L + n5 = 68, n1 + n2 + L + n 6 = 83,∴ 0.75分位数为47 。
3. 设 x1 、 x2 、 …、 xn 是一组实数，a 和 b 是任意非零实数，yi = yi 的均值，s x2 = 解①： y =
1 n
2
x i− a (i=1 至 n)，x 、y 分别为 xi 、 b y=
2 2 1、求分位数（ 1） x 0 （ 2） x 0 12 ) 。 . 05 (8 ) ， . 95 (
解①２．７３ ②２１．０ 2、求分位数（ 1） t 0.05 (8) ， （ 2） t 0.95 (12) 。 解①－１．８６ ②１．７８２
解①
1 ②２．７５ 3.97
4、若 u 0.975 =1.96，试写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
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课
P(X)=
1 (x − µ )2 } ，－∞<x<∞ exp{ − 2σ 2 2π σ
X1 .,X2 ，… , Xn 的联合分布密度为：
ww
w.
n = 1 (2π )n 2 σ n exp{− 1 2 ∑ x i2 } , －∞<xi <∞,i=1,2,… ,n i 2σ = 1 4. 根据样本观测值的频率分布直方图可以对总体作什么估计与推断? 解： 频率分布直方图反映了样本观测值落在各个区间长度相同的区间的频率大小， 可以估计 X 取值的集中程度与位置，由于每个小区间的面积就是频率，所以可以估计或推断 X 的分 布密度。
②s
2 y
1 = n
1 n xi − a x − a 1 n xi − x 1 = − = ∑ = 2 s2 ∑ ( y i − y) n ∑ b b n i=1 b b x i =1 i
2
2
ww
w.
kh
96
da
课
后 答
w.
案 网
co m
2
习题 ５．３ 答案
= 3950, (2 )x =
(3)ss = ∑ ni ( xi − x )2 = ∑ ni xi2 − nx 2 = 166300 − 100 × 39.5 2 =10275
i =1 i =1
9
1 1 ss = 102.75, (5)s = 10.137, (6)s ∗2 = ss = 103.788 100 n −1
5.1 习题答案
1. 设总体服从 P(λ)分布，试写出样本 X1,X2,… ,Xn 的联合分布律。 解:Q X ~ P(λ ),即X的分布律为： P( X = k ) =
λk e − λ ,k=1,2,… ,n,… . k!
X1 .,X2 ，… ,Xn 的联合分布律为： P(X1 = x1 , X2 = x2 , …, Xn = xn,)= P(X1 = x1 )P( X2 = x2 )…P(Xn = xn )
5 − 65 − 60 P − 65 < ∑ X i < 65 = P ≤ 20 i =1
= Φ
∑X
i =1
5
i
20
65 − 60 ≤ 20
5 − 125 − Φ 20 = Φ (1.12 ) − Φ(− 27.95) ≈ Φ (1.12) =0.8686。 20
n
1 1 − x2 1 − x2 1 − xn 1 n p( xi ) = e ⋅ e 2 L e 2 = (2π )− n 2 exp{− ∑ x i2 } 2 i =1 2π 2π 2π
2
2
co m
=
λx1 e − λ λ x2 e − λ λx n e − λ λ x1 + x2 +L+ x n −nλ ⋅ L = e , x1 x2 xn x1! x2 !L x n!
ww
w.
kh
da
课
后 答
w.
案 网
co m
习题 5.4 答案
1. 设总体 X～N(12,4)有一个容量为 5 的样本，试求 ∑ X i ∈(-65,65) 的概率。
i
解：Q X ~ N (12, 4),∴
∑X
i =1
5
i
~ N (60,20 ) ，∴
∑X
i =1
5
ຫໍສະໝຸດ Baidu
i
− 60
20
− 60
~ N (0,1)
kh
da
p (x
* n 1 i =1
后 答
3. 设总体 X 服从 N(μ, σ 2 )分布, 试写出样本 X1.,X2 ，… ,Xn 的联合分布密度。 解：X∼N(μ, σ2)，即 X 分布密度为：
案 网
p (x , x ,...x ) = ∏
*
w.
, x 2 ,...x n ) = ∏ p( x i )
－∞<xi <∞,i=1,2,… ,n
习题 5.2 答案
1. 观测 5 头基础母羊的体重(单位： kg)分别为 53.2,51.3,54.5,47.8,50.9， 试计算这个样本观测 值的数字特征：(1)样本总和，(2) 样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差， (5)样本标准差， (6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9) 众数，(10)中位数，(11)极差， (12)75%分位数。 解：设 x1 = 53.2, x2 = 51.3, x3 = 54.5, x 4 = 47.8, x5 = 50.9