密码学复习题答案

二、计算题（要求有具体过程）

1、计算319935 mod 77

2、判断方程383mod 32≡χ是否有解？如果有解，求出其中的一个解。

3、将836483分解成素数的乘积

1．解：由117n =⨯得()10660n ϕ=⨯=

由欧拉定理()1mod n a n ϕ≡知： 199353mod77

＝33260153mod 77⨯+

＝15

13mod 77

＝34

2、解：3383⎛⎫ ⎪⎝⎭＝31383122383(1)()3--- ＝383(1)(

)3-＝2(1)3⎛⎫- ⎪⎝⎭

＝（－1）（－1）＝1 所以原方程有解。 又383 mod 4＝3，所以它的一个根是3831

43mod 383+＝224

另外383－224＝159也是它的一个根。

3、解：914= 2

915836483742-=不是整数

29168364832573-=

29178364834406-=

29188364836241-=279= 所以：22

83648391879(91879)(91879)=-=+-＝997×839

三．叙述RSA 公钥密码的加密和解密算法，并证明其有效性。给出利用RSA 进行数字签名的协议。

四、在AES 分组密码中，涉及到有限域GF(28)上的乘法运算。即取不可化约多

项式843()1m x x x x x =++++,()()a x b x 和为GF(28)上的多项式，()()a x b x 定义为:

()()()()mod ()a x b x a x b x m x ＝,若642()1a x x x x x =++++，4()1b x x =+，

求()()a x b x

。 解： 10852()()1a x b x x x x x x =+++++

64()()a x b x x x =+

五、已知背包公钥密码系统的超递增序列为 (2，3，6，13，27，52)

模数m=105，ω=31，设用户要加密的明文为：011000，求其密文，并对解密解密出明文。

解：解：先计算公钥：a i =b i ω mod m ，i=1,2,3, (6)

2×31≡62 mod 105, 3×31≡93 mod 105,

6×31≡81 mod 105, 13×31≡88 mod 105,

27×31≡102 mod 105, 52×31≡37 mod 105,

明文011000对应的密文为： 解密过程：

首先计算ω=31模105的乘法逆元ω-1=61,即：

31×61≡ 1 mod 105

由

得

（69×61）mod 105=9=3+6

所以69对应的明文为011000

六、设p ＝151，q ＝223，n ＝p ×q ＝33673， p ≡q ≡3 mod 4，设明文m ＝31280，()112266mod c a m a m a m m

=++ ()9381mod105=+69

=()

11111122mod n n c a m a m a m m

ωωωω----∴=++ ()1122mod n n b m b m b m m =++

试对其进行加密，并对解密解密出明文m 。

解：加密：

c ≡m 2 mo

d n ，即

c ＝(31280)2 mo

d 33673＝2039

解密：先计算出：

r 1=c (p+1)/4=203938 mod 151=128

r 2=p-r 1=151-128=23

s 1=c (q+1)/4=203956 mod 223=60

s 2=q-s 1=223-60=163

下面利用中国剩余定理分别求解以下四个联立同余式：

利用中国剩余定理可得它们的解分别为：

24590，2393，31280 和 9083。

真正的明文31280 在上述四个解中

七、已知椭圆曲线E ：y 2＝x 3－4x －3(mod 7), 上有一点p （－2，2），求点2p ，4p 和6p 的坐标。

解:1）求2p

2141

3mod 72x a y λ+= ＝23(2)4mod 722

⨯--⨯＝1(84)mod7-⨯＝ 2 231(2)mod7x x λ=-＝2(22(2))mod7-⨯-＝1

3131[()]mod7y x x y λ=--＝[2(21)2]mod7---＝6 所以2(1,6)p =

2）求422p p p =+

128mod15160mod 223z z ≡⎧⎨≡⎩128mod151163mod 223z z ≡⎧⎨≡⎩23mod15160mod 223z z ≡⎧⎨≡⎩23mod151163mod 223z z ≡⎧⎨≡⎩

2141

3mod 72x a y λ+= ＝23(1)4mod 726

⨯-⨯＝1(15)mod7--⨯＝ 4 231(2)mod7x x λ=-＝2(421)mod7-⨯＝0

3131[()]mod7y x x y λ=--＝[4(10)6]mod7--＝5

所以4p ＝（0，5）

3）624p p p =+＝（0，2）

八. 设有一个如图所示的基于LFSR 的加密系统，请回答下列问题：

明文

1）写出该LFSR 的递推关系式和特征多项式p n (x)；

2）若该LFSR 初始状态（t ＝0）为（a 3a 2a 1）=(101)，LFSR 的输出作为密钥，明文

m ＝110，求对应的密文c 和这时LFSR 的状态；

3) 利用特征多项式判断该LFSR 的周期是多少？为什么？