控制系统的时域数学模型

dx( t ) , 方向与 x( t )相反 dt
m
d 2 x( t ) dt 2
f
dx( t ) kx( t ) F ( t ) dt
电枢控制直流电机(P22)
电枢回路电压平衡方程 ：
dia ( t ) ua ( t ) La Ra ia ( t ) Ea dt
Ea 电枢反电势： C e m ( t )
y=mx+b 非线性系统 对在工作点(x0,,y0)附近作小范围 变化的变量∆x和∆y而言，则是线性的。
设
又
则 大部分非线性系统在一定的条件下 可近似看成线性系统。
x=x0+△x y=y0+△y y0=mx0+b y0+△y=y=mx+b =mx0+m△x+b △y=m△x
线性化：有条件地把非线性数学模型 当(x- x0)小范围波动时，略去高于 近似处理成线性数学模型。 一次的小增量项，方程可简化为 ： dg 若非线性函数连续，且各阶导数存 y(t)=g(x0)+ dx x=x(x-x0) 0 在，可在工作点附近按泰勒级数展开. =y0+m(x-x0) 设非线性元件为: m为工作点处的斜率。最后可改写 y(t)=g[x(t)] 成下列线性方程： 系统的正常工作点为x0 (y-y0)=m(x-x0) x-x0 d2g (x-x0)2 dg =g(x0)+ dx x=x y=m△x dx2 x=x + △ 或 0 0 1! 2!
Mm 电磁转矩方程：( t ) C m ia ( t )
电机轴上转矩平衡方程 ：
J m 电机轴上总的转动惯量
d 2m ( t ) dt 2
dm ( t ) Jm f m m ( t ) M m ( t ) M c ( t ) dt f m 电机轴上总的粘性摩擦 系数
m Z1
SM
电机
方块图的绘制
r
操纵手柄
测速电机 TG
+ Z2 _ 减速器
m 减
c
J L fL
负载
W1
ur
uε uc
u ut
放大器
ua
电机
速 器
c
负载
测速电机
W2
W W 位置随动系统结构图绘制
1 2
r r
c
r
操纵手柄
W1
ur uε
uε E
u
放大器
R ua a
uc ut
u t放大器 ua u
RC
duo ( t ) uo ( t ) ui ( t ) dt
牛顿定律 F ma
1.外力 F ( t ), 方向见图
加速度 a
d 2 x( t ) dt 2
2.弹簧恢复力与位移成正 比kx( t ), 方向与 x( t )相反
3.阻尼器阻力与位移速度 成正比 f
dx( t ) d 2 x( t ) F ( t ) kx( t ) f m dt dt 2
封 面
2-1控制系统的时域数学模型
1、线性元件的微分方程
2、控制系统微分方程的建立 3、线性系统的基本特性
4、线性定常微分方程的求解
5、非线性微分方程的线性化
数学模型：描述系统输入，输出变量以及内部各 变量之间关系的数学表达式。
分类 静态数学模型：变量的各阶导数为0。 动态数学模型：变量的各阶导数不为0。 微分方程 时域中常用 差分方程 状态方程 传递函数 复数域中用 结构图 频率特性 ——频域中用
以1为输入 , 2 为输出的微分方程：
2 ( t )
2、 控制系统微分方程的建立
（2） 建立初始微分方程组。 一个系统通常是由一些环节连接而成 的，将系统中的每个环节的微分方程求出 根据各环节所遵循的基本物理规律，分 别列写出相应的微分方程，并构成微分方 来 ，便可求出整个系统的微分方程。 程组。
c(t) = e –t sin t= 0 r(t) =δ(t), c(0) = c'(0)
输出响应曲线
r(t) c(t)
0
r(t)
c(t)
t
5、非线性微分方程的线性化
绝大多数物理系统在参数某些范围 内呈现出线性特性。当参数范围不加限 制时，所有的物理系统都是非线性的。 对每个系统都应研究其线性特性和相 应的线性工作范围。
dm ( t ) Tm m ( t ) K1ua ( t ) K 2 M c ( t ) dt
减速器(P23)
两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同
M 11 M 2 2
r1 Z1 齿数与半径成正比 r2 Z 2
r11 r2 2
速比 i Z2 Z1
Z1 1 1 ( t ) 1 ( t ) Z2 i
4、线性微分方程式的求解
解：用一个例子来说明采用拉氏变换法 将方程两边求拉氏变换得： 解线性定常微分方程的方法。 s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s) 例 已知系统的微分方程式，求系统的 R(s) = 1 输出响应。 1 1 C 2c(t) s2 +dc(t) = (s+1)2 + 1 (s) = d 2s +2 + 2c (t) = r(t) 2 +2 dt dt 求拉氏反变换得：
动态数学模型
建立数学模型的方法：解析法、实验法。
1、线性元件的微分方程
电阻、电容、电感(补充)
+ i(t ) R –
u(t)= i (t)· R
u(t )
C
u(t) i(t)= R
+
i(t )
–
u(t )
i(t )
1 u(t)= C i(t)dt
i(t)=
du ( t ) C dt
+
u(t )
1 非线性函数 线性化处理为：y(t) h(t) 2 h0
a h(t) 1 q (t) dh(t) = A i dt + 2A h0
线性化处理中应注意以下几点： （1）必须确定系统处于平衡状态时各部 （3）对于某些典型非线性系统，其非 件的工作点，在不同的工作点，非 线性特性是不连续的，在不连续 线性曲线的斜率是不同的。 点附近不能得出收敛的泰勒级数， （2）线性化是以直线代替曲线，略去了 因而就不能进行线性化，只能采 式中二阶以上项，如果系统工作范 用非线性理论进行分析处理。 围较大，将带来较大误差，所以非 线性数学模型的线性化是有条件的。
线性系统具有叠加性和齐次性。
叠加性： x1(t) 齐次性： x(t)
则 则 xβx(t) 2(t)
y1(t) y(t) y2(t) βy(t)
x1(t)+x2(t) β为常数 (t)+y2(t) y1
y=mx+b 二阶系统是非线性的 y=x2 系统也不是线性的，因为它不满 足齐次性。 因为它不满足叠加性
+ _ if 测速电机 W2
TG
La 减 m 电机 Z m速1
SM
c
器
JLfL
+ _
c
Z2
J L fL
ur ( t )
E r ( t ) k r ( t ) u(t ) u (t ) ut (t ) max E ua (t ) ka u(t ) uc ( t ) c ( t ) k c ( t ) max d 2 m ( t ) d m ( t ) k m ua ( t ) u (t ) ur (t ) uc (t ) k [r (t ) c (t )] Tm 2 dt dt d m ( t ) 1 ut ( t ) k t c (t ) m (t ) dt i
3、 线性系统的基本特性
叠加性和均匀性（或齐次性）
对线性系统进行分析和设计时，如果有几 个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处 理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输 出，然后将它们叠加。
4、线性微分方程的求解
方法 解析法 拉普拉斯变换
步骤： 1、将系统微分方程进行拉氏变换，得到以s为变 量的代数方程。 2、解变换方程，求出系统输出变量的象函数表 达式。 3、将输出的象函数表达式展开成部分分式。 4、对部分分式进行拉氏反变换，即得微分方程 的全解。
La J m ( La f m Ra J m ) d m ( t ) ( Ra f m C m C e ) m ( t ) dt
C m ua ( t ) La
源自文库
Tm 电机的时间常数 K 1 电机的传递系数
dMc ( t ) Ra M c ( t ) dt
忽略 La 可得下式：
齿轮系 : m i
测速发电机 : ut k t dui d M c 负载扰动力矩 Tm k k g ui kc M c g dt dt
操纵手柄
W1 电位器对 W2
位置随动系统原理图(补充)
Ra
r
E
c
La
r
uε
u
ut
放大器
ua
+ _ if
非线性系统的线性化步骤
1）写出原始方程 2）将非线性函数线性化，并将增量符号△略 去，可得非线性函数的增量线性化方程。
3）将非线性函数的增量线性化方程代入原 始方程。
例 将液位控制系统非线性微分方程线性化. A dh(t) +a h(t) =qi(t) dt 解： 按泰勒级数展开为 d h (h-h )+ 1 d2 h (h-h )2 +… h(t)= h0 + dh h0 0 0 2! dh2 h0 略去高于一次的增量项得 y(t)= h(t)= h0 + d h h △h = h0 + 1 △h dh 0 2 h0
–
L
1 i(t)= u ( t )dt L
d i (t) u(t)= L dt
RLC无源网络(P21),弹簧质量阻尼器(P22)
L di( t ) 1 i )t )dt Ri( t ) ui ( t ) dt C
uo ( t )
1 i ( t )dt C
LC
d 2 uo ( t ) dt 2
（3）消除中间变量，将式子标准化。 列写系统微分方程的一般步骤： 将与输入量有关的项写在方程式等号右 （1） 确定系统的输入变量和输出变量。 边，与输出量有关的项写在等号的左边。
+
R1
R2 k1 u 1
R
R1
ui
R1
k2
u2
c
功 ua 放
ω
SM
负m
载
速度控制系统(P24)
ut
TG
运放1 : u1 k1 ( ui ut ) k1 ue du1 运放 2 : u2 k 2 ( u1 ) dt 功放 : ua k3u2 直流电机 : Tm dm m km ua kc M c dt 1
典型非线性系统 (a)饱和非线性 (c)间隙非线性
输出 输出 真实特 近似特 性曲线 性曲线
00 输入 输入
(b)死区非线性 (d)继电非线性
输出 输出 0 0 输入 输入