完全二叉树

完全二叉树

这是完全二叉树的基本形态，要深深记牢。完全二叉树的定义、性质以及算法见正文，这里补充一点：完全二叉树是效率很高的数据结构，堆是一种完全二叉树，所以效率极高，像十分常用的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要用堆才能优化，几乎每次都要考到的二叉排序树的效率也要借助平衡性来提高，而平衡性基于完全二叉树。




完全二叉树定义
完全二叉树(Complete Binary Tree) 若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的节点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。 完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有N个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 若一棵二叉树至多只有最下面的两层上的结点的度数可以小于2，并且最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则此二叉树成为完全二叉树。

完全二叉树特点
叶子结点只可能在最大的两层上出现,对任意结点，若其右分支下的子孙最大层次为L，则其左分支下的子孙的最大层次必为L 或 L+1； 出于简便起见,完全二叉树通常采用数组而不是链表存储,其存储结构如下: var tree:array[1..n]of longint;{n:integer;n>=1}
对于tree，有如下特点： （1）若i为奇数且i>1，那么tree的左兄弟为tree[i-1]； （2）若i为偶数且i1，tree的双亲为tree[i div 2]； （4）若2*i<=n，那么tree的左孩子为tree[2*i]；若2*i+1<=n，那么tree的右孩子为tree[2*i+1]； （5）若i>n div 2,那么tree为叶子结点（对应于（3））； （6）若i<(n-1) div 2.那么tree必有两个孩子（对应于（4））。 （7）满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树 完全二叉树第i层至多有2^（i-1）个节点，共i层的完全二叉树最多有2^i-1个节点。


完全二叉树叶子结点的算法
如果一棵具有n个结点的深度为k的二叉树，它的每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应，这棵二叉树称为完全二叉树。 可以根据公式进行推导，假设n0是度为0的结点总数（即叶子结点数），n1是度为1的结点总数，n2是度为2的结点总数，由二叉树的性质可知：n0=n2+1，则n= n0+n1+n2（其中n为完全二叉树的结点总数），由上述公式把n2消去得：n= 2n0+n1-1，由于完全二叉树中度为1的结点数只有两种可能0或1，由此得到n0=（n+1）/2或n0=n/2，就可根据完全二叉树的结点总数计算出叶子结点数。