概率论与数理统计练习题

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一、填空题（每题4分，共20分）

1、假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则A 和B 的关系是__B A ⊂ _____________。

2、设随机变量)(~λπX ，且{}{},21===X P X P 则

{}==k X P ____)

... ,1,0( !22

=-k k e k _________。

3、设X 服从参数为1的指数分布，则

=)(2

X E ____2_______。 4、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则

~Y X Z -=___)3,0(N ________。

5、),16,1(~),5,1(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，令12--=Y X Z ，则

=YZ

ρ__32

-

__。

二、选择题（每题4分，共20分）

1、将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ B ）

A 、323

B 、83

C 、161

D 、81

2、随机变量X 和Y 的,0=XY ρ则下列结论不正确的是（ B ） A 、)()()(Y D X D Y X D +=- B 、a X +与b Y -必相互独立 C 、X 与Y 可能服从二维均匀分布 D 、)()()(Y E X E XY E =

3、样本

n

X X X ,,,21Λ来自总体X ，,)(,)(2

σμ==X D X E 则有（ B ）

A 、2

i X )1(n i ≤≤都是μ的无偏估计 B 、X 是μ的无偏估计 C 、)

1(2n i X i ≤≤是2σ的无偏估计 D 、2X 是2σ的无偏估

计 4、设

n

X X X ,,,21Λ来自正态总体

),(2

σμN 的样本，其中μ已知，2

σ未知，则下列不是统计量的是（C ） A 、i

n

i X ≤≤1min B 、μ-X C 、∑=n

i i

X 1σ D 、1X X n -

5、在假设检验中，检验水平α的意义是（ A ） A 、原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率 B 、原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率 C 、原假设0H 成立，经检验不能拒绝的概率

D 、原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率

三、计算题（共28分）

1、已知离散型随机变量的分布律为

求：X 的分布函数，（2）)(X D 。（5分）

{}{}{}{}{}{}⎪⎪⎩⎪

⎪⎨

⎧≥==+=+=<≤==+=<≤==<= 3 132 132

0.5 2121 2.011

0)(x X P X P X p x X P X P x X P x x F

6.3)()()(22=-=X E X E X D

2、已知连续型随机变量X 的分布函数为

),(,arctan )(∞-∞∈+=x x B A x F ，求（1）常数A 和B ，（2）)11(<<-X p ，

（3）概率密度)(x f 。（8分） 解（1）因为

.1)( lim ,0)(lim x ==∞

→-∞

→X F x F x

所以

.

12)arctan (lim ,02

)arctan (lim =+

=+=-

=+∞

→-∞

→B A x B A B A x B A x x π

π

解得

π1

21=

=B A （2）

21)4121()4121()1()1()11(=

--+=--=<<-F F X p （3）+∞

<<∞-+=

'=x x x F x f ,)1(1

)()(2π

3、设随机变量321,,X X X 相互独立，其中21],6,0[~X U X 服从21

=

λ的指

数分布，)3(~3πX ，计算)32(321X X X D +-。（5分）

解：因为随机变量321,,X X X 相互独立，所以随机变量3213,2,X X X -也相互独立。

)32(321X X X D +-)(9)(4)(321X D X D X D ++=

又由于]6,0[~1U X ，所以

12)06()(2

1-=

X D 由于2X 服从

21

=

λ的指数分布，所以4)(2=X D

由于)3(~3πX ，所以3)(3=X D

)32(321X X X D +-=12)06(2

-+463944=⨯+⨯

4、设n X X X Λ21,是总体X 的样本，求X 的数学期望μ和方差2

σ的矩

估计量。（5分）

解：2

222)]([)()(,)(μσμ+=+==X E X D X E X E

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

=+=∑∑==n

i i

n i i X n X n 1222111μσμ

解得：2212

11)(1ˆ,1ˆS

n n X X n X X n n i i n i i -=-===∑∑==σμ

5、设随机变量X 服从)1,0(N 分布，求随机变量X

e Y =的概率密度函数。

（5分）

解

2

2

21)(x X e

x f -=

π

{}{}{}

{}y e

Lny X P y

e P y Y P y F y y

f y Y P y F y Lny Lny

X Y Y Y 1.

21 )(,00)(,0)(,02)(2

1

-∞

-⎰

=≤=≤=≤=>==≤=≤π

所以

⎪⎩

⎪

⎨⎧≤>=-0 00 21)(2)(21y y e y f Lny Y π

四、应用题（共32分）

1、 1、已知在10只晶体管中有2只次品，在其中任取两次，每次任取一只，不放回抽样。求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）一只正品，一只次品。（8分）

解：设i A 为事件“第i 次取出的是正品”（=i 1，2 ）， （1）

4528

97108)()()(12121=⨯=

=A A P A P A A P